%% This document created by Scientific Word (R) Version 3.0
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\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
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\newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\begin{document}
MINES\ PONTS\ \ \ \ \ \ \ DEUXIEME\ EPREUVE DE\ MATHEMATIQUES\hfill
Fili\`{e}re PC
\vspace{1pt}
\hfill1999
\section{Premi\`{e}re partie}
\begin{enumerate}
\item [ I-1$%
%TCIMACRO{\UNICODE{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
$]\underline{Fonction $T\alpha(f)$:}
\begin{enumerate}
\item $f$ est continue sur $\mathbb{R}$\ , alors $f$ est born\'{e}e sur le
segment $\left[ 0,a\right] $\ ; notons\ $M_{a}=\sup\limits_{x\in\left[
0,a\right] }\left| f(x)\right| $ .:\newline $\forall x\in\left]
0,a\right] \;,\;\;\left| x^{\alpha-1}f(x)\right| \leq\dfrac{M_{a}%
}{x^{1-\alpha}}\;.$\newline Comme $\alpha>0,$\ la fonction de Riemann
majorante , $x\mapsto\dfrac{M_{a}}{x^{1-\alpha}}$, est int\'{e}grable sur
$\left] 0,a\right] ,$ et par suite\newline $x\mapsto$ $\;\left|
x^{\alpha-1}f(x)\right| $\ aussi , ce qui est la d\'{e}finition de :
\[
\fbox{x$\mapsto$\ x$^{\alpha-1}$f(x)\ est\ int\'{e}grable\ sur\ $\left]0,a\right] $}%
\]
\item Notons $l$ la fonction constante \'{e}gale \`{a} $l$.\newline $\forall
x\in\left] 0,+\infty\right[ \;\;\;%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}}
%EndExpansion
u^{\alpha-1}du=\dfrac{x^{\alpha}}{\alpha}\;\;$d'o\`{u} $\;\;\;T_{\alpha
}(l)(x)=\dfrac{l}{\alpha}$\ \ :\ $T_{\alpha}(l)$\ est une fonction
constante.\newline Notons $\;p_{n}$ la fonction puissance $x\mapsto x^{n}%
$.\newline $\forall x\in\left] 0,+\infty\right[ \;\;\;%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}}
%EndExpansion
u^{\alpha-1+n}du=\dfrac{x^{\alpha+n}}{\alpha+n}\;\;$d'o\`{u} $\;\;\;T_{\alpha
}(p_{n})(x)=\dfrac{x^{n}}{\alpha+n}$\ \ :\ $T_{\alpha}(p_{n})$est
proportionnelle \`{a} la fonction $p_{n}\;$%
\[
\fbox{$T_\alpha(l)=\dfrac{l}{\alpha}\ et\;\forall n\in\mathbb{N}^{\ast
}\ \ $\ $T_\alpha(p_n)=\dfrac{p_n}{\alpha+n}$}%
\]
\item Consid\'{e}rons $a\in\left] 0,R\right[ \;$et $x\in\left] 0,a\right]
$\ ; on peut \'{e}crire $:$\newline $f(x)=a_{0}+g(x)\;$avec $g(x)=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=1}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}}
%EndExpansion
a_{n}x^{n},$ s\'{e}rie normalement convergente sur le segment $\left[
0,a\right] $ puisque $a0,$ la norme infinie
sur $\left[ 0,a\right] $ de $u_{n}$ est\newline $\left\| u_{n}\right\|
_{\infty}=\left| a_{n}\right| a_{{}}^{n+\alpha-1}=a^{\alpha-1}\times($ terme
g\'{e}n\'{e}ral d'une s\'{e}rie convergente) ; On en d\'{e}duit que la
s\'{e}rie $u_{n}$ est normalement convergente et peut s'int\'{e}grer terme
\`{a} terme . D'apr\`{e}s les calculs effectu\'{e}s en $1b)$ et par
lin\'{e}arit\'{e} de l'op\'{e}rateur $T_{\alpha}\;$il vient : \newline
$\forall x\in\;\left] 0,a\right] \;\;T_{\alpha}(f)(x)=\dfrac{a_{0}}{\alpha}+%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=1}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}}
%EndExpansion
\dfrac{a_{n}}{\alpha+n}x^{n}\;.$ En particulier $T_{\alpha}(f)(x)$ a une
limite quand $x\rightarrow0$ avec
\[
\fbox{$\lim\limits_{x\rightarrow0}T_\alpha$ $(f)(x)=\dfrac{a_0}{\alpha}%
=\dfrac{f(0)}{\alpha}$}%
\]
\end{enumerate}
\item[ I-2$%
%TCIMACRO{\UNICODE{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
$] \underline{R\'{e}solution de l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle
$E_{\alpha,f}$ sur les demi-droites $\left] 0,+\infty\right[ $ et $\left]
-\infty,0\right[ $ :}
\begin{enumerate}
\item L'\'{e}quation s'\'{e}crit \ $y^{\prime}+\dfrac{\alpha}{x}y=\dfrac
{1}{x}f(x)\;\;\;:\;$elle est lin\'{e}aire du premier ordre.\newline
L'\'{e}quation homog\`{e}ne \ $y^{\prime}+\dfrac{\alpha}{x}y=0$ \thinspace a
pour ensemble de solutions sur $\left] 0,+\infty\right[ $ la droite des
fonctions colin\'{e}aires \`{a} $\;x\mapsto\dfrac{1}{x^{\alpha}}.$%
\newline $T_{\alpha}(f)$ est d\'{e}rivable et \ \newline \ $\forall
x\in\left] 0,+\infty\right[ \;\;\;T_{\alpha}(f)^{\prime}(x)=\dfrac{-\alpha
}{x^{\alpha+1}}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}}
%EndExpansion
u^{\alpha-1}f(u)du+\dfrac{1}{x^{\alpha}}(x^{\alpha-1}f(x)=\dfrac{-\alpha}%
{x}T_{\alpha}(f)(x)+\dfrac{1}{x}f(x).$\newline On remarque donc que
$T_{\alpha}(f)$ est solution , d'o\`{u} l'expression de la solution
g\'{e}n\'{e}rale $\phi$ de E$_{\alpha,f}$\ sur\ $\left] 0,+\infty\right[ $
:\newline $\mathbb{\;\;}\forall$x$\in\left] 0,+\infty\right[ $\ \ \ $\phi
$(x)=$\dfrac{\lambda}{x^{\alpha}}$+T$_{\alpha,f}$(f)(x)$\;\;,\;\lambda
\in\mathbb{R}.$\newline Si $\lambda\neq0$ , $x\mapsto\dfrac{\lambda}%
{x^{\alpha}}\;$n'est pas born\'{e}e au voisinage de $0+\;$ et $\;\phi$ non
plus .
\[
\fbox{La seule solution qui ait une $\lim$ite finie en 0+\ est T$_\alpha$(f)}%
\]
\item L'\'{e}quation homog\`{e}ne \ $y^{\prime}+\dfrac{\alpha}{x}y=0$
\thinspace a pour ensemble de solutions sur $\left] -\infty,0\right[ $ la
droite des fonctions colin\'{e}aires \`{a} $\;x\mapsto\dfrac{1}{(-x)^{\alpha}%
}.$\newline Consid\'{e}rons $G_{\alpha}$ : $x\mapsto%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{-x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{-x}}
%EndExpansion
u^{\alpha-1}f(-u)du,$ la fonction conseill\'{e}e par l'\'{e}nonc\'{e} :
\newline $\forall x\in\left] -\infty,0\right[ \;\;\;\;G_{\alpha}^{\prime
}(x)=-(-x)^{\alpha-1}f(x).$ Alors $y(x)=\dfrac{1}{(-x)^{\alpha}}G_{\alpha}(x)$
v\'{e}rifie :\newline $y^{\prime}(x)=\alpha\dfrac{1}{(-x)^{\alpha+1}}%
G_{\alpha}(x)-\dfrac{1}{(-x)}f(x)=-\dfrac{\alpha}{x}y(x)+\dfrac{1}{x}f(x)$ :
nous disposons donc d'une solution de l'\'{e}quation avec second
membre.\newline L'expression de la solution g\'{e}n\'{e}rale $\psi$ de
E$_{\alpha,f}$\ sur\ $\left] -\infty,0\right[ $ est $\psi(x)=\dfrac
{1}{(-x)\alpha}(\lambda+%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{-x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{-x}}
%EndExpansion
u^{\alpha-1}f(-u)du)\;,\lambda\in\mathbb{R}.$\newline Si $\lambda\neq0$ ,
$x\mapsto\dfrac{\lambda}{(-x)^{\alpha}}\;$n'est pas born\'{e}e au voisinage de
$0-\;$ et $\;\psi$ non plus
\[
\fbox{La seule solution qui ait une $\lim$ite finie en 0-\ est x$\mapsto
\dfrac{1}{(-x)^{\alpha}}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_0^{-x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_0^{-x}}
%EndExpansion
u^{\alpha-1}f(-u)du$}%
\]
\end{enumerate}
\item[ I-3$%
%TCIMACRO{\UNICODE{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
$] \underline{R\'{e}solution de l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle
$E_{\alpha,f}$ sur l$^{\prime}$intervalle $I$ puis sur $\mathbb{R}$ :}
\item[ a.] Si $\,S$ , somme d\'{e}finie par $S(x)=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}}
%EndExpansion
b_{n}x^{n}$ , est solution de $E_{\alpha,f}$ sur un intervalle $J=\left]
-R^{\prime},R^{\prime}\right[ ,$on peut\newline d\'{e}river terme \`{a} terme
sur l'intervalle de convergence : $\forall x\in\left] -R^{\prime},R^{\prime
}\right[ \;\;S^{\prime}(x)=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=1}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}}
%EndExpansion
nb_{n}x^{n-1}\;$et \newline ajouter terme \`{a} terme :\ $xS^{\prime
}(x)+\alpha S(x)=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}}
%EndExpansion
(n+\alpha)b_{n}x^{n}.$\newline On a alors \ \ $\forall x\in\left] -R^{\prime
},R^{\prime}\right[ \;\;\;\;%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}}
%EndExpansion
(n+\alpha)b_{n}x^{n}=f(x)=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}}
%EndExpansion
a_{n}x^{n}\;,\;$et par unicit\'{e} du d\'{e}veloppement en s\'{e}rie
enti\`{e}re, il faut :
\[
\fbox{$\forall n\in\mathbb{N\;\;}b_n=\dfrac{a_n}{n=\alpha}$}%
\]
R\'{e}ciproquement, consid\'{e}rons la suite $\;(b_{n}=\dfrac{a_{n}}{n+\alpha
})_{n\in\mathbb{N}}\;.\;$Comme pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}\;\left|
b_{n}\right| \leq\left| a_{n}\right| $ $\;$le rayon de convergence
$R^{\prime}$ de la s\'{e}rie enti\`{e}re $\sum b_{n}x^{n}$ v\'{e}rifie $R\leq
R^{\prime}$ et d'apr\`{e}s le calcul pr\'{e}c\'{e}dent, la somme $S(x)=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}}
%EndExpansion
b_{n}x^{n}$ est solution de $E_{\alpha,f}$ sur un intervalle $\left]
-R,R\right[ .$\newline En particulier $S$ est solution sur $\left]
-R,0\right[ \subset$ $\left] -\infty,0\right[ $ et a une limite finie \`{a}
gauche de $0$ , et est aussi solution sur $\left] 0,R\right[ \subset$
$\left] 0,+\infty\right[ $ et a une limite finie \`{a} droite on en
d\'{e}duit :
\[
\fbox{$\forall x\in\left] -R,R\right[ $\ $\;S(x)=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_n=0^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_n=0^{+\infty}}
%EndExpansion
\dfrac{a_n}{n+\alpha}x^{n}=\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
T_{\alpha}(f)(x)\;\;\text{si\ \ }x>0\\
\dfrac{f(0)}{\alpha}\;si\;x=0\\
g(x)\;\;si\;x<0
\end{array}
\right. $}%
\]
\item[ b.] Une solution $\phi$ sur $\mathbb{R}$ , est solution sur $\left]
-R,0\right[ \subset$ $\left] -\infty,0\right[ $ et a une limite finie \`{a}
gauche de $0$ , et est aussi solution sur $\left] 0,R\right[ \subset$
$\left] 0,+\infty\right[ $ et a une limite finie \`{a} droite $.$ il faut
donc \ $\phi(x)=\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
T_{\alpha}(f)(x)\;\;\text{si\ \ }x>0\\
g(x)\;\;si\;x<0
\end{array}
\right. .$ \newline Par raccordements des intervalles\ $\left]
-\infty,0\right[ ,\;\left] -R,R\right[ ,$ $\left] 0,+\infty\right[ ,$dont
l'intersection deux \`{a} deux est non vide et non r\'{e}duite \`{a} un point
, on voit que l'application d\'{e}finie par$\;\phi(x)=\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
T_{\alpha}(f)(x)\;\;\text{si\ \ }x>0\\%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\dfrac{a_{n}}{n+\alpha}x^{n}\;\;\;\;si\;x\in\left] -R,R\right[ \ \\
g(x)\;\;si\;x<0
\end{array}
\right. \;$est solution sur $\mathbb{R}$ .
\[
\fbox{$\forall x\in$ $\mathbb{R\;}$\ $\;\phi(x)=\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
T_{\alpha}(f)(x)\;\;\text{si\ \ }x>0\\
\dfrac{f(0)}{\alpha}\;si\;x=0\\
g(x)\;\;si\;x<0
\end{array}
\right. \;$est la seule solution de $E_\alpha,f$ sur\ $\mathbb{R}$}%
\]
\item[ I-4$%
%TCIMACRO{\UNICODE{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
)$] \underline{Fonction $T_{\alpha}(f)$}\ :
\begin{enumerate}
\item Soient $x$ et $y$ des r\'{e}els tels que $00$ impos\'{e},
choisissons $A$ tel que : $\forall x\in\left] 0,+\infty\right[
,\;\;x>A\Rightarrow\left| f(x)-l\right| \leq\varepsilon\;.$ Alors
:\newline $\;x>A\Rightarrow\left|
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{A}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{A}^{x}}
%EndExpansion
t^{\alpha-1}(f(t)-l)dt\right| \leq\varepsilon%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{A}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{A}^{x}}
%EndExpansion
t^{\alpha-1}dt\leq\dfrac{\varepsilon}{\alpha}x^{\alpha}.$ Notons $B=\left|
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{A}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{A}}
%EndExpansion
t^{\alpha-1}(f(t)-l)dt\right| $ ce r\'{e}el ind\'{e}pendant de $x.$ Il vient
:\newline $x>A\Rightarrow\left| T_{\alpha}(f)(x)-\dfrac{l}{\alpha}\right|
\leq\dfrac{B}{x^{\alpha}}+\dfrac{\varepsilon}{\alpha}.$ Comme $\lim
\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x^{\alpha}}=0$ , on peut trouver un
r\'{e}el $A^{\prime}$ tel que \newline $x>A^{\prime}\Rightarrow\left|
T_{\alpha}(f)(x)-\dfrac{l}{\alpha}\right| \leq2\dfrac{\varepsilon}{\alpha},$
ce qui assure bien :
\[
\fbox{$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}$f(x)=l\ $\Rightarrow\lim
\limits_{x\rightarrow+\infty}$T$_\alpha$(f)(x)=$\dfrac{l}{\alpha}$}%
\]
\item[ I-5$%
%TCIMACRO{\UNICODE{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
)$] \underline{Endomorphisme $L_{\alpha}$}:
\item[ a.] Quand $\;h\in E$ , $L_{\alpha}(h)$ est d\'{e}rivable sur $\left]
0,+\infty\right[ $ par application du th\'{e}or\`{e}me fondamental de
l'analyse\ : elle y est en particulier continue.\newline V\'{e}rifions sa
continuit\'{e} en $0$ :\ on a d\'{e}j\`{a} calcul\'{e} \ $\dfrac{1}{x^{\alpha
}}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}}
%EndExpansion
u^{\alpha-1}du=\dfrac{1}{\alpha}$\ alors$\;$\ $L_{\alpha}(h)(x)-\dfrac
{h(0)}{\alpha}=\dfrac{1}{x^{\alpha}}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}}
%EndExpansion
u^{\alpha-1}(h(u)-h(0))du$ , et,\newline $\left| L_{\alpha}(h)(x)-\dfrac
{h(0)}{\alpha}\right| \leq\dfrac{1}{x^{\alpha}}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}}
%EndExpansion
u^{\alpha-1}\left| h(u)-h(0)\right| du$ \newline Pour $\varepsilon>0$
impos\'{e}, choisissons $A$ tel que : $\forall u\in\left] 0,+\infty\right[
,\;\;u0,$ $\;\;\;\;L_{\alpha}\circ
L_{\beta}(h)(x)=\dfrac{1}{\alpha-\beta}(L_{\beta}$ $-L_{\alpha})(h)(x).$%
\newline Par continuit\'{e} , cette \'{e}galit\'{e} est encore vraie en $x=0,$
et on a $:$\newline $\forall h\in E,\;\;\;\;$ $L_{\alpha}\circ L_{\beta
}(h)=\dfrac{1}{\alpha-\beta}(L_{\beta}$ $-L_{\alpha})(h)..$Comme
$\dfrac{L_{\beta}-L_{\alpha}}{\alpha-\beta}$ est invariant quand on
\'{e}change $\alpha$ et $\beta,$ on en d\'{e}duit que les deux applications
$L_{\alpha}$ et $L_{\beta}$ commutent avec :
\[
\fbox{$\forall$($\alpha$,$\beta$)$\in\left] 0,+\infty\right[ \times\left]
0,+\infty\right[ $\ \ $\alpha\neq\beta\Rightarrow$L$_\alpha\circ$L$_\beta
$=L$_\beta\circ$L$_\alpha$=$\dfrac{L_\beta-L_\alpha}{\alpha-\beta}$}%
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section{Seconde partie $:$}
\begin{enumerate}
\item [ II-1$%
%TCIMACRO{\UNICODE{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
)$]\underline{Etude\ de $T_{\alpha}(f)$} :
\begin{enumerate}
\item [ a.]$f\;$est une fraction rationnelle qui n'a pas de p\^{o}le r\'{e}el,
donc $f\;$est de classe$\;\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}\;,$ et $f$ est
d\'{e}veloppable en s\'{e}rie enti\`{e}re $f(x)=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}}
%EndExpansion
(-1)^{n}x^{2n},$ pour tout $x\in\left] -1,1\right[ $ (s\'{e}rie
g\'{e}om\'{e}trique) .\newline
\item[ b.] $T_{1}(f)(x)=\dfrac{1}{x}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}}
%EndExpansion
\dfrac{du}{1+u^{2}}=\dfrac{\arctan(x)}{x}$ .\newline $T_{2}(x)=\dfrac{1}%
{x^{2}}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}}
%EndExpansion
\dfrac{udu}{1+u^{2}}=\dfrac{1}{x^{2}}\left[ \dfrac{\ln(1+u^{2})}{2}\right]
_{0}^{x}=\dfrac{\ln(1+x^{2})}{2x^{2}}.$%
\[
\fbox{$\forall x>0\ \ \ T_1(f)(x)=\dfrac{\arctan(x)}{x}%
\ \ \ et\ \ \ T_2(x)=\dfrac{\ln(1+x^{2})}{2x^{2}}$}.\text{\ }%
\]
\item[ c.] Pour $u\geq0,$ \ $1+u^{2}>u^{2},\;$donc $\dfrac{u^{\alpha-1}%
}{1+u^{2}}0$
et $\alpha>2$ :\newline $T_{\alpha}(f)(x)=\dfrac{1}{x^{\alpha}}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}}
%EndExpansion
\dfrac{u^{\alpha-1}}{1+u^{2}}du\leq$ $\dfrac{1}{x^{\alpha}}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}}
%EndExpansion
u^{\alpha-3}du=\dfrac{1}{(\alpha-2)x^{2}}..$%
\[
\fbox{$\forall x>0$\ \ \ \ $T_\alpha(f)(x)\leq\dfrac{1}{(\alpha-2)x^{2}} $.}\;
\]
\item Si $0<\alpha<2$ , et $x>1$ , on peut majorer $%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}}
%EndExpansion
\dfrac{u^{\alpha-1}}{1+u^{2}}du$ par :\newline $%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}}
%EndExpansion
\dfrac{u^{\alpha-1}}{1+u^{2}}du\leq%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{1}}
%EndExpansion
u^{\alpha-1}du+%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{1}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{1}^{x}}
%EndExpansion
u^{\alpha-3}du=\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1-x^{\alpha-2}}{2-\alpha}\leq\dfrac
{1}{\alpha}+\dfrac{1}{2-\alpha}=A_{\alpha}$ .\newline Quand $x\in\left]
0,1\right[ ,$ il suffit de consid\'{e}rer $%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}}
%EndExpansion
\dfrac{u^{\alpha-1}}{1+u^{2}}du\leq%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}}
%EndExpansion
u^{\alpha-1}du=\dfrac{x^{\alpha}}{\alpha}\leq\dfrac{1}{\alpha}\leq A_{\alpha}$
.
\[
\fbox{$\forall x>0\ \ \ \ T_\alpha(f)(x)\leq\dfrac{A_\alpha}{x^{\alpha}}$.}%
\]
\item On sait que $\forall x>0\ \ \ \ T_{\alpha}(f)(x)\geq0$ , alors par
encadrement, on voit que pour $\alpha>0$ et $\alpha\neq2$ , $\lim
\limits_{x\rightarrow+\infty}T_{\alpha}(f)(x)=0$ .\newline On a calcul\'{e},
pour $\alpha=2,$ $T_{2}(x)=\dfrac{\ln(1+x^{2})}{2x^{2}}$ , qui tend aussi vers
$+\infty$ quand $x\rightarrow+\infty$ .\newline On trouve , conform\'{e}ment
\`{a} $I-4%
%TCIMACRO{\UNICODE{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
.b.$ , puisque ici $l=0$ :
\[
\fbox{$\forall\alpha>0\;\;\;\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} T_\alpha(f)(x)=0$}%
\]
\end{enumerate}
\item[ II-2$%
%TCIMACRO{\UNICODE{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
)$] \underline{Propri\'{e}t\'{e}s de la fonction $T_{\alpha}(f)$} :
\begin{enumerate}
\item Pour $x>0,\;$ $x^{2}T_{\alpha+2}(f)(x)+T_{\alpha}(f)(x)=\dfrac
{1}{x^{\alpha}}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}}
%EndExpansion
\dfrac{u^{\alpha+1}+u^{\alpha-1}}{1+u^{2}}du=\dfrac{1}{x^{\alpha}}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}}
%EndExpansion
u^{\alpha-1}du=\dfrac{1}{\alpha}.$%
\[
\fbox{$\forall x>0,\;\;\;x^{2}T_\alpha+2(f)(x)+T_\alpha(f)(x)=\dfrac{1}%
{\alpha}$}%
\]
Comme $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}T_{\alpha}(f)(x)=0,$ il vient
$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^{2}T_{\alpha+2}(f)(x)=\dfrac{1}{\alpha}$
.En rempla\c{c}ant $\alpha+2$ par $\alpha$ , on a la formule :
\[
\fbox{$\forall\alpha>2\;\;\;\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} x^{2}%
T_\alpha(f)(x)=\dfrac{1}{\alpha-2}$}%
\]
\newline Pour $\alpha=2,$ $\;x^{2}T_{2}(x)=\dfrac{\ln(1+x^{2})}{2}$ tend vers
$+\infty$ et pour $0<\alpha<2,$ on peut minorer\newline $x^{2}T_{\alpha
}(f)(x)\geq x^{2-\alpha}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{1}}
%EndExpansion
\dfrac{u^{\alpha-1}}{1+u^{2}}du,$ du moins quand $x>1.$%
\[
\fbox{$\forall\alpha\in\left] 0,2\right] $\ \ \ $\lim\limits_{x\rightarrow
+\infty} x^{2}T_\alpha(f)(x)=+\infty$}%
\]
\item Il nous faut d\'{e}composer la fraction rationnelle en \'{e}l\'{e}ments
simples .\newline $1+t^{3}=(1+t)(t+j)(t+j^{2})=(1+t)(1-t+t^{2})$
,\newline .$\dfrac{1}{1+t^{3}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1+t}+\dfrac{-\dfrac{t}%
{3}+\dfrac{2}{3}}{t^{2}-t+1}=\dfrac{1}{1+t}-\dfrac{1}{6}\dfrac{2t-1}%
{t^{2}-t+1}+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{t^{2}-t+1}$\newline Pour calculer une
primitive de la derni\`{e}re fraction il nous faut mettre sous forme canonique
\newline $t^{2}-t+1=(t-\dfrac{1}{2})^{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\left(
1+\left( \dfrac{2t-1}{\sqrt{3}}\right) ^{2}\right) $\newline $%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{a}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{a}}
%EndExpansion
\dfrac{1}{1+t^{3}}dt=\dfrac{1}{3}\left[ \ln(1+t)\right] _{0}^{a}-\dfrac
{1}{6}\left[ \ln(t^{2}-t+1)\right] _{0}^{a}+\dfrac{2}{3}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{a}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{a}}
%EndExpansion
\dfrac{dt}{1+\left( \dfrac{2t-1}{\sqrt{3}}\right) ^{2}}=\dfrac{1}{6}%
\ln\dfrac{(1+a)^{2}}{1-a+a^{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left[ \arctan\dfrac
{2t-1}{\sqrt{3}}\right] _{0}^{a}$%
\[
\fbox{$%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_0^{a}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_0^{a}}
%EndExpansion
\dfrac{1}{1+t^{3}}dt=\dfrac{1}{6}\ln\dfrac{(a+1)^{2}}{1-a+a^{2}}$+$\dfrac
{1}{\sqrt{3}}$($\arctan\dfrac{2a-1}{\sqrt{3}}$+$\arctan\dfrac{1}{\sqrt{3}}$)}%
\]
\item Effectuons le changement de variable $u=t^{\tfrac{3}{2}}$ dans
l'int\'{e}grale $T_{\tfrac{2}{3}}(f)$ :\newline $T_{\tfrac{2}{3}}(f)(x)$
$=\dfrac{1}{x^{\tfrac{2}{3}}}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{x}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}}
%EndExpansion
\dfrac{du}{u\tfrac{1}{3}(1+u^{2})}=\dfrac{1}{x^{\tfrac{2}{3}}}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{x^{\tfrac{2}{3}}}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x^{\tfrac{2}{3}}}}
%EndExpansion
\dfrac{\dfrac{3}{2}t^{\tfrac{1}{2}}dt}{t^{\tfrac{1}{2}}(1+t^{3})}$ ; pour
$x=\dfrac{1}{2\sqrt{2}},\;x^{2}=\dfrac{1}{8}\;$et $x^{\tfrac{2}{3}}=\dfrac
{1}{2}$ ;\newline $T_{\tfrac{2}{3}}(f)(\dfrac{1}{2\sqrt{2}})=3%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{\tfrac{1}{2}}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{\tfrac{1}{2}}}
%EndExpansion
\dfrac{1}{1+t^{3}}dt=3\left[ \dfrac{1}{6}\ln\dfrac{(\dfrac{3}{2})^{2}}%
{\dfrac{3}{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\dfrac{\pi}{6}\right] $ :
\[
\fbox{$T_{\tfrac{2}{3}}(f)(\dfrac{1}{2\sqrt{2}})=\dfrac{1}{2}\ln3+\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}$}%
\]
\end{enumerate}
\item[ II-3$%
%TCIMACRO{\UNICODE{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
$)] \underline{Calcul de sommes de s\'{e}ries} :
\begin{enumerate}
\item Pour $x\neq0$ ,appliquons le crit\`{e}re de d'Alembert \`{a} la
s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral\ $u_{n}=(-1)^{n}\dfrac{x^{2n}}{2n+\alpha} $
:\newline $\left| \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\right| =\dfrac{2n+\alpha}%
{2n+\alpha+2}\left| x^{2}\right| \rightarrow\left| x^{2}\right| $ . La
s\'{e}rie converge pour $\left| x\right| <1$ et diverge pour $\left|
x\right| >1\;:$%
\[
\fbox{$R=1$}%
\]
Une s\'{e}rie enti\`{e}re se d\'{e}rive terme \`{a} terme dans son intervalle
de convergence :\newline $\forall x\in\left] -1,1\right[ \;\;S^{\prime}(x)=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}}
%EndExpansion
(-1)^{n}\dfrac{2n}{2n+\alpha}x^{2n-1}\;\;$et\ \ $xS^{\prime}(x)+\alpha S(x)=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}}
%EndExpansion
(-1)^{n}(\dfrac{2n}{2n+\alpha}+\dfrac{\alpha}{2n+\alpha})x^{2n}.$\newline On
reconna\^{i}t la s\'{e}rie g\'{e}om\'{e}trique :\ $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}}
%EndExpansion
(-x^{2})^{n}=\dfrac{1}{1+x^{2}}.$\newline $S$ est solution sur $\left]
-1,1\right[ $ de $E_{\alpha,f}$ et est aussi continue au point $0$
D'apr\`{e}s la question I$2%
%TCIMACRO{\UNICODE{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
)$ on obtient :
\[
\fbox{$\forall x\in\left[ 0,1\right[ \;S(x)=T_\alpha(f)(x)$}%
\]
\item On nous fait calculer $S(\dfrac{1}{2\sqrt{2}})\;$avec $\alpha=\dfrac
{2}{3}\;$:$\;\;S(\dfrac{1}{2\sqrt{2}})=$ $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}}
%EndExpansion
(-1)^{n}\dfrac{3}{6n+2}\dfrac{1}{8^{n}}.$\newline Comme $\dfrac{1}{2\sqrt{2}%
}\in\left[ 0,1\right[ ,$on utise les r\'{e}sultats num\'{e}riques qui
pr\'{e}c\`{e}dent\ :\ \newline $S(\dfrac{1}{2\sqrt{2}})=T_{\tfrac{2}{3}%
}(f)(\dfrac{1}{2\sqrt{2}})=\dfrac{1}{2}\ln3+\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}.$%
\[
\fbox{$%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{n=0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\dfrac{(-1)^{n}}{8^{n}(3n+1)}=\dfrac{1}{3}\ln3+\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}$}%
\]
\newline
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}