%Format: ML-LaTeX2e
%Option: bigtex

% Jean-Luc QUEVA et Pascal TERRIEN
% Lyc\'ee Condorcet 25,rue Etienne Dolet 62300 LENS
% Mai 1999
% email : jl.queva@enst-bretagne.fr et pterrien@nordnet.fr

\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,pstricks}
%\usepackage{french}
\usepackage{francais}

% tir\'e de a4wide.sty
\oddsidemargin  0.15 in     %   Left margin on odd-numbered pages.
\evensidemargin 0.35 in     %   Left margin on even-numbered pages.
\marginparwidth 1 in        %   Width of marginal notes.
\oddsidemargin 0.25 in      %   Note that \oddsidemargin = \evensidemargin
\evensidemargin 0.25 in
\marginparwidth 0.75 in
\textwidth 5.875 in 				% Width of text line.

\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\setlength{\leftmargini}{0pt}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%	Quelques macros

%--------------------------------------------------
% Quelques raccourcis ...
%--------------------------------------------------

\newcommand{\dps}{\displaystyle}

% Les grecs ------------------------------
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\beps}{\boldsymbol{\varepsilon}}

\newcommand{\vphi}{\varphi}
\newcommand{\bphi}{\boldsymbol{\varphi}}

\newcommand{\la}{\lambda}

\newcommand{\bpi}{\boldsymbol{\pi}}
%----------------------------------------

\newcommand{\ra}{\frac}
  % rapport
  
\newcommand{\implique}{\;\Longrightarrow\;}


%----------------------------------------------------------
% Les in\'egalit\'es
%----------------------------------------------------------

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}

%--------------------------------------------------
% Ensembles, op\'erateurs ensemblistes, suites
%--------------------------------------------------

\newcommand{\union}{\mathop{\cup}\nolimits}
\newcommand{\inter}{\mathop{\cap}\nolimits}

\newcommand{\ens}[3][]{#1\{ #2\mathbin{/}\ #3 #1\}}
   % d\'efinit un ensemble { x / P(x) }

%--------------------------------------------------
% Les ensembles de nombres
%--------------------------------------------------

\newcommand{\R}{\mathbf{R}}
\newcommand{\C}{\mathbf{C}}

%--------------------------------------------------
% Nombres complexes
%--------------------------------------------------
\newcommand{\conjug}[1]{\overline{#1}}
  % conjuguaison
\newcommand{\IM}{\mathop{\Im\mathrm{m}}\nolimits}
  % partie imaginaire
\newcommand{\RE}{\mathop{\Re\mathrm{e}}\nolimits}
% partie r\'eelle

%--------------------------------------------------
% Limites
%--------------------------------------------------

\def\buildrel#1_#2^#3{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}^{#3}}}
	% d\'efinit une macro pour mettre #2 en dessous et #3 au dessus de #1
\newcommand{\tend}[1][n]{\buildrel{\longrightarrow}_{#1}^{}}
	% -> avec un "n" dessous par d\'efaut
\newcommand{\egal}[1][n]{\buildrel{=}_{#1}^{}}
	% le signe "=" avec un "n" dessous par d\'efaut

%--------------------------------------------------
% D\'eriv\'ee et int\'egrale
%--------------------------------------------------

\newcommand{\del}[2]{\ra{\partial#1}{\partial#2}}
	% d\'eriv\'ee partielle : del f/del x
\newcommand{\dd}[2]{\ra{d#1}{d#2}}


%--------------------------------------------------
% D\'efinition des vecteurs
%--------------------------------------------------

\newcommand{\vc}[1]{\mathbf{#1}}
  % vecteur \'ecrit en gras


%--------------------------------------------------
% Diverses normes
%--------------------------------------------------

\newcommand{\norme}[2][]% norme d'une fonction
{#1\lVert #2 #1\rVert}


%--------------------------------------------------
% Produit scalaire
%   JLQ le 29/06/98
%--------------------------------------------------

\newcommand{\scal}[3][]{#1\langle #2 \mathrel{#1\vert} #3 #1\rangle}
    % le produit scalaire
\newcommand{\Scal}[3][]{#1\langle \vc{#2} \mathrel{#1\vert} \vc{#3} #1\rangle}
    % le produit scalaire et des vecteurs \'ecrits en gras

%--------------------------------------------------
% Ecriture des intervalles
%--------------------------------------------------

\newcommand{\into}[3][]% intervalle ouvert ]#2;#3[
{\mathopen{#1]}#2,#3\mathclose{#1[}}
\newcommand{\intof}[3][]% intervalle ouvert-ferm\'e ]#2;#3]
{\mathopen{#1]}#2,#3 #1\rbrack}
\newcommand{\intfo}[3][]% intervalle ferm\'e-ouvert [#2;#3[
{#1\lbrack #2,#3 \mathclose{#1[}}
\newcommand{\intf}[3][]% intervalle ferm\'e [#2,#3]
{#1\lbrack  #2,#3 #1\rbrack}

\newcommand{\Intf}[3][]{#1\lbrack\!#1\lbrack#2,#3#1\rbrack\!#1\rbrack}
       %intervalle ferm\'e [|#2;#3|] pour les nombres entiers

%--------------------------------------------------
% Les fonctions, les espaces fonctionnels
%--------------------------------------------------

\newcommand{\oo}[2][]{\mathrm{o}#1(#2#1)}
  % notation de Landau

%--------------------------------------------------
% Les matrices,
%--------------------------------------------------

\newcommand{\mat}[1][B]{\mathcal{M}\mathrm{at}_{\mathcal{#1}}}
  % matrice Mat dans la base #1 (B)

\newcommand{\trans}{\mbox{${}^t\hspace{-1pt}$}}
  % transposition

\newcommand{\Mnp}[2][n,p]{\mathcal{M}_{#1}(#2)}

%--------------------------------------------------
% Espaces vectoriels
%--------------------------------------------------

\newcommand{\somdir}{\mathop{\oplus}\nolimits}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% le truc de M. Quercia

\makeatletter
\font\@upstt=cmtt10
\def\ps@ups{\let\@mkboth\@gobbletwo
     \let\@oddhead\@empty\def\@oddfoot{\@upstt\hfil\@upstitle\ - page \thepage\ifodd\count0\hfill\fi}%
     \let\@evenhead\@empty\let\@evenfoot\@oddfoot
}
\edef\@upstitle{\jobname.tex}      % nom du fichier
\pagestyle{ups}
\ifx\numerodepage\undefined\count0=1\else\count0=\numerodepage\fi   % num\'ero de la premi\`ere page
\makeatother


\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\Large
Concours \textsf{CCP} \oldstylenums{1999}\\
Option : PC\\
MATH\'EMATIQUES 1\\
Dur\'ee : $4$ h\\
\normalsize
\textit{Des syst\`emes autonomes comme en PSI ou en MP}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace{3ex}
\begin{center}
\hrulefill\\[2ex]
\textsf{\large
Partie I\\	Exemples de syst\`emes autonomes lin\'eaires
}\\
\hrulefill
\end{center}

Le th\'eor\`eme de Cauchy-Lipschitz, cas lin\'eaire, montre l'existence et l'unicit\'e
de la solution d\'efinie sur $\R$ du syst\`eme diff\'erentiel, autonome,
$\bphi'(t)=A\,\bphi(t)$, $\bphi(t_0)=\vc m_0$.

\begin{enumerate}
	\item La solution nulle convient, c'est donc \textbf{la} solution et le graphe
de $\bphi$ est r\'eduit \`a $\{(0,0)\}$.
\begin{center}
\fbox{$\dps
\mathcal{C}\bigl((0,0)\bigr)=\{(0,0)\}
$}
\end{center}

	\item
Le syst\`eme diff\'erentiel s'\'ecrit :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
	x'=\la x	\\	y'=\mu y	
\end{array}
\right.
\text{ avec les conditions initiales }
\left\{
\begin{array}{l}
	x(0)=x_0	\\	y(0)=y_0	
\end{array}
\right.
$$
et s'int\`egre en :
$$
\forall t\in\R,\ x(t)=x_0\exp(\la t),\ y(t)=y_0\exp(\mu t)
$$

\begin{description}
	\item[cas 1 :] $\mu<\la<0$.
	
	Si $\vc m_0=(0,y_0)$, $\mathcal{C}(\vc m_0)$ est la demi-droite $\ens{(0,y_0\exp(\mu
t)}{t\in\R}=\{0\}\times\into0{+\infty}$ orient\'ee vers l'origine.

	Si $\vc m_0=(x_0,0)$, $\mathcal{C}(\vc m_0)$ est la demi-droite $\ens{(x_0\exp(\la t)}{t\in\R}=
\into0{+\infty}\times\{0\}$ orient\'ee vers l'origine.

	Si $\vc m_0=(x_0,y_0)$, alors $t=\bigl(\ln x(t)-\ln x_0\bigr)/\la$ et
$$
y(t)=y_0\exp\Bigl(\ra\mu\la \ln\ra{x(t)}{x_0}\Bigr)
=y_0\Bigl(\ra{x(t)}{x_0}\Bigr)^{\mu/\la}
$$
$\mathcal{C}(\vc m_0)$ est le graphe une fonction puissance d'exposant plus grand que 1,
orient\'ee vers l'origine.
%
\begin{figure}[!hbt]
\centering
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,6)
% les axes
\psline[linewidth=.015]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=.015]{->}(0,-1)(0,6)
% les courbes int\'egrales
\psline[linewidth=.05,arrowlength=3]{->}(0,5)(0,0.3)
\psline[linewidth=.05,arrowlength=3]{<-}(0.3,0)(5,0)
\pscurve[linewidth=.05,arrowlength=3]{<-}% la courbe int\'egrale y=(x^2)/5
(.7,.098)(.71,.1015)(.8,.128)(1,.2)(2,.8)(3.1623,2)(5,5)
% les conditions initiales
\qdisk(0,2){.1}\uput[180](0,2){$(0,y_0)$}
\qdisk(3.1623,2){.1}\uput[0](3.1623,2){$(x_0,y_0)$}
\qdisk(3.1623,0){.1}\uput[270](3.1623,0){$(x_0,0)$}
\end{pspicture}
\caption{Courbes int\'egrales, cas 1}
\end{figure}


	\item[cas 2 :] $\mu=\la<0$.

	$\mathcal{C}(\vc m_0)=\ens{\exp(\la t)(x_0,y_0)}{t\in\R}$ est la demi-droite
$O\vc m_0$ orient\'e vers l'origine, origine exclue.

\begin{figure}[!hbt]
\centering
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,6)
% les axes
\psline[linewidth=.015]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=.015]{->}(0,-1)(0,6)
% les courbes int\'egrales
\psline[linewidth=.05,arrowlength=3]{->}(0,5)(0,0.4)
\psline[linewidth=.05,arrowlength=3]{<-}(0.5,0)(5,0)
\psline[linewidth=.05,arrowlength=3]{<-}(.5,.4)(5,4)
% les conditions initiales
\qdisk(0,1.6){.1}\uput[180](0,1.6){$(0,y_0)$}
\qdisk(2,1.6){.1}\uput{.5}[0](2,1.6){$(x_0,y_0)$}
\qdisk(2,0){.1}\uput[270](2,0){$(x_0,0)$}
\end{pspicture}
\caption{Courbes int\'egrales, cas 2}
\end{figure}

	\item[cas 3 :] $\mu<0<\la$.
	
	Si $\vc m_0=(0,y_0)$, $\mathcal{C}(\vc m_0)$ est la demi-droite
$\ens{(0,y_0\exp(\mu t)}{t\in\R}=\{0\}\times\into0{+\infty}$ orient\'ee vers l'origine.

	Si $\vc m_0=(x_0,0)$, $\mathcal{C}(\vc m_0)$ est la demi-droite
$\ens{(x_0\exp(\la t)}{t\in\R}=\into0{+\infty}\times\{0\}$ orient\'ee vers $+\infty$.

	Si $\vc m_0=(x_0,y_0)$, alors $y(t)=y_0\bigl(x(t)/x_0\bigr)^{\mu/\la}$;
$\mathcal{C}(\vc m_0)$ est le graphe une fonction puissance d'exposant n\'egatif,
orient\'ee vers $(+\infty,0)$.

\begin{figure}[!hbt]
\centering
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,6)
% les axes
\psline[linewidth=.015]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=.015]{->}(0,-1)(0,6)
% les courbes int\'egrales
\psline[linewidth=.05,arrowlength=3]{->}(0,5)(0,0.3)
\psline[linewidth=.05,arrowlength=3]{->}(0.3,0)(5,0)
\pscurve[linewidth=.05,arrowlength=3]{->}% la courbe int\'egrale y=12.5/x^2
(1.581,5)(2,3.125)(3,1.389)(4,.7813)(5,.5)
% les conditions initiales
\qdisk(0,3.125){.1}\uput[180](0,3.125){$(0,y_0)$}
\qdisk(2,3.125){.1}\uput[0](2,3.125){$(x_0,y_0)$}
\qdisk(2,0){.1}\uput[270](2,0){$(x_0,0)$}
\end{pspicture}
\caption{Courbes int\'egrales, cas 3}
\end{figure}

\end{description}

	\item	Le syst\`eme diff\'erentiel s'\'ecrit :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
	x'=\la x + y	\\	y'=\la y	
\end{array}
\right.
\text{ avec les conditions initiales }
\left\{
\begin{array}{l}
	x(0)=x_0	\\	y(0)=y_0	
\end{array}
\right.
$$
et s'int\`egre en posant $x=z\exp\la t$ :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
	y=y_0\exp\la t	\\	x'-\la x=z'\exp\la t=y_0\exp\la t
\end{array}
\right.
\iff
\left\{
\begin{array}{l}
	x=(y_0t+x_0)\exp\la t	\\	y=y_0\exp\la t
\end{array}
\right.
$$

	Si $\vc m_0=(x_0,0)$,$\mathcal{C}(\vc m_0)$ est la demi-droite
$\ens{(x_0\exp(\la t)}{t\in\R}=\into0{+\infty}\times\{0\}$ orient\'ee vers l'origine.

	Si $\vc m_0=(0,y_0)$, $\mathcal{C}(\vc m_0)=\ens{y_0\exp\la t(t,1)}{t\in\R}$; $y/x=1/t$ et
$$
\begin{array}{|c|lcccccr|}
\hline
t	&	-\infty	&	&	0	&			&	1/(-\la)	&	&	+\infty	\\
\hline\hline
x	&	-\infty	&	\nearrow	&	0	&	\nearrow	&	y_0/(-\la e)	&	\searrow	&	0	\\
\hline
y	&	+\infty	&	\searrow	&	y_0	&	\searrow	&	y_0/e	&	\searrow	&	0	\\
\hline	
\end{array}
$$

\begin{figure}[!hbt]
\centering
\psset{yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-5,-.5)(5,2.5)
% les axes
\psline[linewidth=.015]{->}(-5,0)(5,0)
\psline[linewidth=.015]{->}(0,-.5)(0,2.5)
% les courbes int\'egrales
\psline[linewidth=.05,arrowlength=3]{<-}(0.3,0)(4.5,0)
\pscurve[linewidth=.05,arrowlength=3]{->}% la courbe int\'egrale
						%y(t)=exp(-.4*t), x(t)=t*y(t)
(-4.452, 2.226)(-1.492, 1.492)(0, 1)(.6703, .6703)(.8986, .4493)%
(.9036, .3012)(.8076, .2019)(.6765, .1353)(.5443, .09072)%
(.4257,.06081)(.3261, .04076)(.2459, .02732)(.1842,.01851)(.1832, .01832)
% les conditions initiales
\qdisk(0,1){.1}\uput{.5}[180](0,1){$(0,y_0)$}
\qdisk(2,0){.1}\uput[270](2,0){$(x_0,0)$}
\end{pspicture}
\psset{yunit=1cm}
\caption{Courbes int\'egrales}
\end{figure}


	\item
On pose $z=x+iy$; $z$ est une fonction (complexe) de classe $\mathcal{C}^1$ sur
$\R$ si, et seulement si, les fonctions (r\'eelles) $x$ et $y$ le sont. Int\'egrons
le syst\`eme diff\'erentiel pour $\vc m_0=(x_0,0)$, soit $z(0)=x_0$ :
\begin{align*}
\left.
\begin{array}{l}
	x'=\alpha x-\beta y	\\	y'=\beta x+\alpha y
\end{array}
\right\}
&	\iff
z'=(\alpha+i\beta)x+(-\beta+i\alpha)y=(\alpha+i\beta)(x+iy)=(\alpha+i\beta)z		\\
&	\iff
z=x+iy=z_0\exp(\alpha+i\beta)t=x_0(\exp\alpha t)(\exp i\beta t)
\end{align*}
Le changement de variable $\theta=\beta t$ permet d'\'ecrire :
$$
z\Bigl(\ra\theta\beta\Bigr)=(x_0\exp\ra\alpha\beta \theta)\exp i\theta
$$
ce qui donne une repr\'esentation de $\mathcal{C}(\vc m_0)$ en coordonn\'ees
polaires :
\begin{center}
\fbox{$\dps
\rho=x_0\exp\ra\alpha\beta\theta
$}
\end{center}
Si $\alpha=0$, $\mathcal{C}(\vc m_0)$ est le cercle de centre $O$ et de rayon
$x_0$ orient\'e dans le sens trigonom\'etrique; si
$\alpha<0$, la courbe int\'egrale est une spirale logarithmique de point limite
l'origine.

\begin{figure}[!hbt]
\centering
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
% les axes
\psline[linewidth=.015]{->}(-5,0)(5,0)
\psline[linewidth=.015]{->}(0,-5)(0,5)
% les courbes int\'egrales
\psarcn[linewidth=.05,arrowlength=3]{<-}{3}{45}{405}
\pscurve[linewidth=.03,arrowlength=3]{->}% 
	%la courbe int\'egrale rho(t)=3\exp(-.1*t)
(1.403, 4.743)(-.9915, 4.599)(-2.926, 3.387)(-3.987, 1.493)
(-4.011, -.5715)(-3.087, -2.306)(-1.524, -3.330)
(1.791, -2.790)(3., 0)(1.467, 2.284)(-1.022, 2.233)(-2.200, .3135)
(-1.314, -1.522)(.5163, -1.745)(1.581, -.4599)
(1.123, .9789)(-.1961, 1.334)(-1.112, .5028)
(-.9261, -.6003)(.004419, -.9987)(.7626, -.4848)
(.7419, .3435)(.1011,.7329)(-.5085, .4353)
% les conditions initiales
\qdisk(3,0){.1}\uput{.5}[315](3,0){$(x_0,0)$}
\end{pspicture}
\caption{Courbes int\'egrales}
\end{figure}

\end{enumerate}

 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{3ex}
\begin{center}
\hrulefill\\[2ex]
\textsf{\large Partie II\\ Endomorphisme dont l'espace ambiant est somme directe
de sous-espaces stables de dimension un ou deux}\\
\hrulefill
\end{center}


\begin{enumerate}
	\item
Si $B$ et $C$ sont deux matrices \`a coefficients complexes, on a l'\'egalit\'e
$\conjug{BC}=\conjug{B}\,\conjug{C}$; ainsi, puisque $A$ est une matrice \`a
coefficients r\'eels ($\conjug{A}=A$), il vient :
$$
AV=\la V\implique \conjug{A}\conjug{V}=A\conjug{V}=\conjug{\la}\,\conjug{V}
$$
D'autre part :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
	W_1=V+\conjug{V}	\\	W_2=iV-i\conjug{V}
\end{array}
\right.
\iff
\left\{
\begin{array}{l}
	W_1=V+\conjug{V}	\\	-iW_2=V-\conjug{V}
\end{array}
\right.
\iff
\left\{
\begin{array}{l}
	\dps V=\ra12(W_1-iW_2)	\\[2ex]	\dps\conjug{V}=\ra12(W_1+iW_2)
\end{array}
\right.
$$
\begin{align*}
AW_1
&=	AV+A\conjug{V}=\la V+\conjug{\la}\,\conjug{V}
			=\ra\la2(W_1-iW_2)+\ra{\conjug{\la}}2(W_1+iW_2)						\\
&=	\ra{\la+\conjug{\la}}2 W_1+\ra{\la-\conjug{\la}}{2i}W_2
			=\alpha W_1+\beta W_2																		\\
AW_2
&=	iAV-iA\conjug{V}=i\la V-i\conjug{\la}\,\conjug{V}
			=i\ra\la2(W_1-iW_2)-i\ra{\conjug{\la}}2(W_1+iW_2)						\\
&=	\ra{\conjug{\la}-\la}{2i} W_1+\ra{\la+\conjug{\la}}{2}W_2
			=-\beta W_1+\alpha W_2
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{$
AW_1=\alpha W_1+\beta W_2,\ AW_2=-\beta W_1+\alpha W_2
$}
\end{center}

	\item
Soient $\mathcal{B}=(\vc e_1,\vc e_2)$ une base de $E$, $A=\mat(L)$ la matrice
de $L$ relative \`a $\mathcal{B}$, $\alpha\pm i\beta$ ($\beta>0$) les racines
complexes du polyn\^ome caract\'eristique $\chi_L$ de $L$ ($\chi_L=\chi_A$) et
$V\in\Mnp[2,1]{\C}$ un vecteur propre de $A$ asoci\'e \`a $\alpha+i\beta$;
$\conjug{V}$ est un vecteur propre de $A$ associ\'e \`a $\alpha-i\beta$, la famille
$(V,\conjug{V})$ est une famille libre (les deux vecteurs propres sont associ\'es
\`a deux valeurs propres distinctes), et, puisque la matrice
$\bigl(\begin{smallmatrix}	1	&	i	\\	1&	-i
\end{smallmatrix}\bigr)$
de $(W_1,W_2)$ dans la base $(V,\conjug{V})$
est inversible, la famille $(W_1,W_2)$ est une famille libre de vecteurs
colonnes \textbf{r\'eels}.

	Appelons $\vc w_1$ (resp. $\vc w_2$) le vecteur de $E$
dont la matrice relative \`a $\mathcal{B}$ est $W_1$ (resp. $W_2$); la famille
$\mathcal{C}=(\vc w_1,\vc w_2)$ est une famille libre maximale de $E$, donc une base, et :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
	AW_1=\alpha W_1+\beta W_2	\\	AW_2=-\beta W_1+\alpha W_2
\end{array}\right.
\iff
\left\{
\begin{array}{l}
	L(\vc w_1)=\alpha \vc w_1+\beta \vc w_2	\\
	L(\vc w_2)=-\beta \vc w_1+\alpha \vc w_2
\end{array}\right.
$$
soit :
$$
\mat[C](L)=
\begin{pmatrix}
	\alpha	&	-\beta	\\	\beta	&	\alpha
\end{pmatrix}
$$

	\item	
Si le polyn\^ome caract\'eristique de $L$ admet une racine r\'eelle $\la$, $\la$ est
valeur propre de $L$; la droite de $E$, dirig\'ee par un vecteur propre associ\'e \`a
$\la$, est une droite de $E$ stable par $L$.

	Sinon, le polyn\^ome caract\'eristique de $L$, polyn\^ome \`a coefficients r\'eels, ne
poss\`ede que des racines complexes qui sont conjugu\'ees deux \`a deux (dans ce cas,
$n$ est n\'ecessairement pair). Soit $\la=\alpha+i\beta$ ($\beta>0$) une telle
racine; en reprenant le raisonnement de la question pr\'ec\'edente, il existe une
famille libre $(\vc w_1,\vc w_2)$ telle que $L(\vc w_1)=\alpha\vc w_1+\beta\vc
w_2$ et $L(\vc w_2)=-\beta\vc w_1+\alpha\vc w_2$. Le plan $\R\vc w_1\somdir\R\vc
w_2$ est un plan (vectoriel) de $E$ stable par $L$.
\begin{center}
\fbox{
Il existe une droite ou un plan vectoriel de $E$ stable par $L$.
}
\end{center}

	\item

\begin{enumerate}
	\item
Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension $n=2$, $\mathcal{B}=(\vc e_1,\vc e_2)$
une base de $E$, $A=\bigl(\begin{smallmatrix} 0	&	1	\\	0	&	0	\end{smallmatrix}\bigr)$ et
$L$ l'endomorphisme de $E$ de matrice $A$ relativement \`a $\mathcal{B}$.
$0$ est la seule valeur propre de $L$; $\ker L$ est la droite vectorielle dirig\'ee
par $\vc e_1$; c'est l'unique droite vectorielle de $E$ stable par~$L$.
\begin{center}
\fbox{
L'endomorphisme de matrice $\begin{pmatrix} 0	&	1	\\	0	&	0	\end{pmatrix}$
ne v\'erifie pas la propri\'et\'e $(\mathcal{P})$.
}
\end{center}


	\item
Soient $L$ un endomorphisme diagonalisable et $\mathcal{B}$ une base de $E$
constitu\'ee de vecteurs propres de $L$. Si $E'$ est un sous-espace vectoriel
stable pour $L$, la restriction $L'$ de $L$ \`a $E'$ induit un endomorphisme qui
est encore diagonalisable. Soit $\mathcal{B}'$ une base de $E'$ constitu\'ee de vecteurs
propres de $L'$, donc de $L$; compl\'etons-la par $(n-\dim E')$ vecteurs de
$\mathcal{B}$ en une base de $E$. Le sous-espace vectoriel engendr\'e par ces
$(n-\dim E')$ vecteurs (propres) est un suppl\'ementaire de $E'$ stable par $L$.
\begin{center}
\fbox{
Tout endomorphisme diagonalisable v\'erifie la propri\'et\'e $(\mathcal{P})$.
}
\end{center}

	\item
Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension $n=2$,
$\mathcal{B}=(\vc e_1,\vc e_2)$ une base de $E$,
$A=\bigl(\begin{smallmatrix} \alpha	&	-\beta	\\	\beta	&	\alpha	\end{smallmatrix}\bigr)$
($\beta>0$) et $L$ l'endomorphisme de $E$ de matrice $A$ relativement \`a $\mathcal{B}$.
$L$ n'admet aucune valeur propre r\'eelle
($\chi_L(\la)=\chi_A(\la)=(\la-\alpha)^2+\beta^2$), donc aucun vecteur
propre; $E$ n'admet donc aucune droite vectorielle stable par $L$;
seuls $\{\vc O\}$ et $E$ sont stables par $L$ et $L$ v\'erifie la~propri\'et\'e~$(\mathcal{P})$.
\begin{center}
\fbox{
\parbox{.9\linewidth}
{
L'endomorphisme de matrice
$\bigl(\dps \begin{smallmatrix}	\alpha	&	-\beta	\\	\beta	&	\alpha	\end{smallmatrix}\bigr)$, $\beta>0$,
n'est pas diagonalisable et v\'erifie la~propri\'et\'e~$(\mathcal{P})$.
}
}
\end{center}
\end{enumerate}

	\item
\begin{enumerate}
	\item
	Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension $n=3$,
$\mathcal{B}=(\vc e_1,\vc e_2,\vc e_3)$ une base de $E$,
$A=\begin{pmatrix}	0&1&0	\\	0&0&1	\\	0&0&0 \end{pmatrix}$
et $L$ l'endomorphisme de $E$ de matrice $A$ relativement \`a $\mathcal{B}$.
$0$ est la seule valeur propre de $L$, $\ker L$ est la droite vectorielle $D$
dirig\'ee par $\vc e_1$; $D$ est donc l'unique droite stable par $L$. S'il existe
un plan vectoriel $P$ de $E$, suppl\'ementaire de $D$ et stable par $L$,
l'endomorphisme $L'$ de $P$ induit par $L$ admet la valeur propre $0$ car
$\chi_{L'}$ divise $\chi_L$ et donc $\chi_{L'}(\la)=(-\la)^2$. $P$ admet une
droite stable par $L'$, donc par $L$, autre que $D$, ce qui est impossible.

	\item
	Soient $L$ un endomorphisme de $E$ qui v\'erifie la propri\'et\'e $(\mathcal{Q})$ et
$E'$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $L$; il existe donc un
suppl\'ementaire $E''$ de $E'$ dans $E$ stable par $L$. 

	Soit $F'$ un sous-espace vectoriel de $E'$ stable par $L'$ l'endomorphisme
induit par $L$ sur $E'$, donc stable aussi par $L$; la somme $F'\somdir E''$ est
directe et stable par $L$, ce qui montre l'existence d'un suppl\'ementaire $G$ de
$F'\somdir E''$ dans $E$ stable par $L$.

	La projection $\bpi$ de $G\somdir F'$ sur $E'$
parall\`element \`a $E''$ est un isomorphisme (par le th\'eor\`eme
d'isomorphisme, la projection sur $E$ parall\`element \`a $E''$ 
induit un isomorphisme du suppl\'ementaire $G\somdir F'$
du noyau $E''$ dans $E$ sur l'image $E'$);
appelons $F''$ l'image de $G$ par $\bpi$.
Soit $\vc x\in F''\inter F'$; il existe $(\vc g,\vc e'')\in G\times E''$ tel que
$\vc x=\vc g+\vc e''$, donc $\vc x=\vc 0$ (la somme $G\somdir F'\somdir E''$ est
directe); $F''\inter F'=\{\vc 0\}$, la somme $F''\somdir F'$est directe et $F''$ est
un suppl\'ementaire de $F'$ dans $E'$ puisque $\dim F''=
\dim \bpi(G)=\dim G=\dim E'-\dim F'$.

	Montrons que $F''$ est stable par $L$. Soit $\vc f''\in F''$; il existe
$(\vc g,\vc e'')\in G\times E''$ tel que
$\vc x=\vc g+\vc e''$; on a $L(\vc g)\in G$ et $L(\vc e'')\in E''$ ($E''$ et $G$ sont
stables par $L$); puisque $L(\vc f'')=L(\vc g)+L(\vc e'')$, il vient
$$
\bpi\bigl(L(\vc f'')\bigr)=\bpi\bigl(L(\vc g)\bigr)+
\bpi\bigl(L(\vc e'')\bigr)
=\bpi\bigl(L(\vc g)\bigr)+\vc 0\in\bpi(G)=F''
$$
$F''$, stable par $L$, est donc stable par $L'$.
\begin{center}
\fbox{
\parbox{.9\linewidth}{
Si un endomorphisme $L$ v\'erifie la propri\'et\'e $(\mathcal{P})$, alors tout
endomorphisme induit par $L$ sur un sous-espace vectoriel stable, v\'erifie aussi
la propri\'et\'e $(\mathcal{P})$.
}}
\end{center}

	{\it Remarque (Autre m\'ethode pour v\'erifier $F''\somdir F'=E'$)} :
	La projection $\bpi$ de $G\somdir F'$ sur $E'$
parall\`element \`a $E''$ est un isomorphisme;
appelons $F''$ l'image de $G$ par $\bpi$.
On consid\`ere ${\cal{B}}''=\bigl(\vc e_1,\ldots ,\vc e_p\bigr)$ une base de $G$ et
${\cal{B}}'=\bigl(\vc e_{p+1},\ldots ,\vc e_q\bigr)$ une base de
$F'$;
Alors $\bpi\bigl({\cal{B}}''\cup {\cal{B}}'\bigr)
=\bigl(\vc \bpi(e_1),\ldots ,\vc \bpi(e_q)\bigr)
=\bigl(\vc \bpi(e_1),\ldots ,\vc \bpi(e_p),e_{p+1},\ldots ,e_q\bigr)
$ est une base de
$E'=\bpi\bigl(G\somdir F'\bigr)$. On en d\'eduit :
$$
E'=Vect\bigl(\vc \bpi(e_1),\ldots ,\vc \bpi(e_p)\bigr)\somdir 
Vect\bigl(e_{p+1},\ldots ,e_q\bigr)
=\bpi(G)\somdir F'=F''\somdir F'.
$$


	Montrons, par r\'ecurrence sur la dimension de $E$, que si un endomorphisme $L$
de $E$ v\'erifie la~propri\'et\'e $(\mathcal{P})$, il v\'erifie aussi la~propri\'et\'e
$(\mathcal{Q})$.

	La propri\'et\'e est vraie pour tout endomorphisme $L$ d'un $\R$-espace vecctoriel
$E$ de dimension~2 : $E$ est toujours stable par $L$.

	Supposons la propri\'et\'e vraie pour \emph{tout} $\R$-espace vectoriel de
dimension \emph{au plus} $n$ ($n\geq 2$). Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de
dimension $n\geq2$ et $L$ un endomorphisme de $E$ v\'erifiant la propri\'et\'e
$(\mathcal{P})$. 
Il existe alors un sous-espace $E'$ de dimension $1$ ou $2$
$L$-stable (voir \textbf{II\ 3.})
et un suppl\'ementaire $E''$ de $E'$ stables par $L$ (propri\'et\'e $(\mathcal{P})$).

	La restriction $L''$ de $L$ \`a $E''$ v\'erifie la
propri\'et\'e $(\mathcal{P})$, et, puisque $\dim E''=n$ ou $(n-1)$, $E''$ est somme
directe de sous-espaces stables de dimension $1$ ou $2$, et donc aussi
$E=E'\somdir E''$.
\begin{center}
\fbox{
La propri\'et\'e $(\mathcal{P})$ entra\^{\i}ne la propri\'et\'e $(\mathcal{Q})$.
}
\end{center}
\end{enumerate}


	\item
\begin{enumerate}
	\item
Appelons $\mathcal{B}=(\vc e_1,\vc e_2)$ une base de $E$; notons
$\mat(\vc x)=\bigl(\begin{smallmatrix} x_1	\\	x_2	\end{smallmatrix}\bigr)$ et
$\mat(\vc y)=\bigl(\begin{smallmatrix} y_1	\\	y_2	\end{smallmatrix}\bigr)$
les cooordonn\'ees de deux vecteurs $\vc x$ et $\vc y$ de $E$. Si la base $\mathcal{B}$ est
orthonormale, le produit scalaire s'\'ecrit :
$$
\Scal xy=\trans \mat(\vc x)\,\mat(\vc y)=x_1y_1+x_2y_2
$$
et une telle formule d\'efinit un produit scalaire sur $E$ pour lequel la base
$\mathcal{B}$ est une base orthonormale.
\begin{center}
\fbox{
Le produit scalaire $\Scal xy=\trans\mat(\vc x)\,\mat(\vc y)$ fait de
$\mathcal{B}$ une base ortonormale.
}
\end{center}

	\item
	Soient $\mathcal{B}$ une base de $E$ constitu\'ee de vecteurs propres de $L$,
$\scal{\ }{\ }$ le produit scalaire qui fait de $\mathcal{B}$ une base
orthonormale et
$D=\mat(L)=\bigl(\begin{smallmatrix}	\la&0	\\	0&\mu\end{smallmatrix}\bigr)$
($\la\leq\mu$) la matrice de $L$ relative \`a $\mathcal{B}$ ; alors,
pour tout $\vc v\in E$, on a :
$$
\scal[\big]{\vc v}{L(\vc v)}=\trans\mat(\vc v)\,\bigl(D\,\mat(\vc v)\bigr)=
\begin{pmatrix}	x_1	&	x_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}	\la	&	0	\\	0	&	\mu	\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}	x_1	\\	x_2\end{pmatrix}
=\la x_1^2+\mu x_2^2
$$
soit
$$
\mu\Scal vv=\mu(x_1^2+x_2^2)\leq
\scal[\big]{\vc v}{L(\vc v)}\leq
\la(x_1^2+x_ 2^2)=\la\Scal vv
$$

	\item
La valeur propre $\la$ est n\'ecessairement un valeur propre double. Soient $\vc
e_1$ un vecteur propre associ\'e \`a $\la$ et $\vc e'$ un vecteur (quelconque) non
colin\'eaire \`a $\vc e_1$. La matrice de $L$ relative \`a la base $(\vc e_1,\vc e')$
est triangulaire et vaut
$\bigl(\begin{smallmatrix}	\la	&	x	\\	0	&	\la	\end{smallmatrix}\bigr)$
puisque $\la$ est une valeur propre double;
$x\neq0$ puisque $L$ n'est pas diagonalisable, et, en posant
$\vc e_2=\ra\eps x\vc e'$, on obtient :
$$
L(\ra\eps x\vc e')=\ra\eps x L(\vc e')=\ra\eps x(x\vc e_1+\la\vc e')
=\eps\vc e_1+\la\bigl(\ra\eps x\vc e'\bigr)=\eps\vc e_1+\la\vc e_2
$$
La matrice de $L$ relative \`a la base $(\vc e_1,\vc e_2)$ est
$T=\begin{pmatrix}	\la	&	\eps	\\	0	&	\la	\end{pmatrix}$.

	Appelons $\scal{\ }{\ }$ le produit scalaire de $E$ qui fait
$\mathcal{B}=(\vc e_1,\vc e_2)$ une base orthonormale; alors, pour tout $\vc v\in E$,
$$
\scal[\big]{\vc v}{L(\vc v)}=\trans\mat(\vc v)\,\bigl(D\,\mat(\vc v)\bigr)=
\begin{pmatrix}	x_1	&	x_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}	\la	&	\eps	\\	0	&	\mu	\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}	x_1	\\	x_2\end{pmatrix}
=\la x_1^2+\eps x_1x_2+\la x_2^2
$$
Or, $-(x_1^2+x_2^2)\leq 2x_1x_2\leq(x_1^2+x_2^2)$, ce qui donne :
\begin{center}
\fbox{$\dps
\bigl(\la-\ra\eps2\bigr)\norme{\vc v}^2=\bigl(\la-\ra\eps2\bigr)(x_1^2+x_2^2)\leq
\scal[\big]{\vc v}{L(\vc v)}\leq
\bigl(\la+\ra\eps2\bigr)(x_1^2+x_2^2)=\bigl(\la+\ra\eps2\bigr)\norme{\vc v}^2
$}
\end{center}
	
	\item
	Dans ce cas, il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ telle que
$\mat(L)=A=\bigl(
\begin{smallmatrix}	\alpha	&	-\beta	\\	\beta	&	\alpha	\end{smallmatrix}
\bigr)$ ($\beta>0$); appelons $\scal{\ }{\ }$ le produit scalaire de $E$ qui fait
$\mathcal{B}$ une base orthonormale; alors, pour tout $\vc v\in E$,
$$
\scal[\big]{\vc v}{L(\vc v)}=\trans\mat(\vc v)\,\bigl(A\,\mat(\vc v)\bigr)
=\alpha x_1^2-\beta x_1x_2+\beta x_1x_2+\alpha x_2^2
=\alpha(x_1^2+x_2^2)=\alpha\norme{\vc v}
$$

\end{enumerate}

	\item
	Soit $\eps>0$ tel que, pour toute racine r\'eelle ou complexe $\la$ du polyn\^ome
caract\'eristique $\chi_L$ de $L$ (il y en a au plus $n$ distinctes), on ait :
$$
a\leq\RE(\la)-\ra\eps2<\RE(\la)<\RE(\la)+\ra\eps2\leq b
$$
Puisque $L$ v\'erifie la propri\'et\'e $(\mathcal{Q})$, $E$ est somme directe de
sous-espaces de dimension 1 ou 2, stables par $L$. Il existe une base
$\mathcal{B}$ de $E$ telle la matrice $A$ de $L$ relative \`a $\mathcal{B}$ soit
une matrice diagonale par blocs de taille 1 ou 2, ces derniers du type
$\bigl(\begin{smallmatrix}	\la	&	\eps	\\	0	&	\la	\end{smallmatrix}\bigr)$ ou
$\bigl(\begin{smallmatrix}	\alpha	&	-\beta	\\	\beta	&	\alpha	\end{smallmatrix}\bigr)$:
$$
A=\mat(L)=
\begin{pmatrix}
	\begin{matrix}
		\la_i	&&	\\
		&	\ddots	&	\\
		&&\bigl(\begin{smallmatrix}	\la_j	&	\eps	\\	0	&	\la_j	\end{smallmatrix}\bigr)
	\end{matrix}
	&	0	\\
	0	&
	\begin{matrix}
		\ddots	&&	\\
		&\bigl(\begin{smallmatrix}	\alpha_k	&	-\beta_k		\\
					\beta_k	&	\alpha_k	\end{smallmatrix}\bigr)	&	\\
		&&	\ddots
	\end{matrix}
\end{pmatrix}
$$ 
En appelant $\scal{\ }{\ }$ le produit scalaire qui fait de $\mathcal{B}$ une
base orthonormale et en posant
$\trans\mat(\vc v)= (\dots, x_i,\dotsc, y_j,z_j,\dotsc, t_k,u_k,\dots)$, il
vient :
\begin{align*}
\scal[\big]{\vc v}{L(\vc v)}
&=	\trans\mat(\vc v)\,\bigl(A\,\mat(\vc v)\bigr)																							\\
&=	\sum_i \la_i x_i^2 + \sum_j\bigl(\la_j(y_j^2+z_j^2)+\eps y_j z_j\bigr) +
			\sum_k\alpha_k(t_k^2+u_k^2) 																						\\
&\leq	\sum_i \la_i x_i^2 + \sum_j(\la_j+\ra\eps2)(y_j^2+z_j^2) +
			\sum_k\alpha_k(t_k^2+u_k^2) 																						\\
&\leq	b\Bigl(\sum_i x_i^2 + \sum_j(y_l^2+z_j^2) + \sum_k(t_k^2+u_k^2)\Bigr)
			=b\Scal vv
\end{align*}
De m\^eme, on obtient la minoration :
\begin{align*}
\scal[\big]{\vc v}{L(\vc v)}
&=	\trans\mat(\vc v)\,A\,\mat(\vc v)																							\\
&=	\sum_i \la_i x_i^2 + \sum_j\bigl(\la_j(y_j^2+z_j^2)+\eps y_j z_j\bigr) +
			\sum_k\alpha_k(t_k^2+u_k^2) 																						\\
&\geq	\sum_i \la_i x_i^2 + \sum_j(\la_j-\ra\eps2)(y_j^2+z_j^2) +
			\sum_k\alpha_k(t_k^2+u_k^2) 																						\\
&\geq	a\Bigl(\sum_i x_i^2 + \sum_j(y_l^2+z_j^2) + \sum_k(t_k^2+u_k^2)\Bigr)
			=a\Scal vv
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{\parbox{.9\linewidth}{
Si $L$ v\'erifie la propri\'et\'e $(\mathcal{Q})$ et si, pour toute racine
r\'eelle ou complexe du polyn\^ome caract\'eristique de $L$, on a les in\'egalit\'es $a<\RE(\la)<b$, alors :
$$
\forall\vc v\in E,\
a\Scal vv\leq\scal[\big]{\vc v}{L(\vc v)}\leq b\Scal vv
$$
}}
\end{center}
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{3ex}
\begin{center}
\hrulefill\\[2ex]
\textsf{\large Partie III\\ Un cas de syst\`eme autonome non lin\'eaire}\\
\hrulefill
\end{center}



\begin{enumerate}
	\item
	Soit $N'$ une norme sur $E$; $E$ \'etant un espace vectoriel de dimension finie,
les normes $N$ et $N'$ sont \'equivalentes; il existe donc deux nombres r\'eels
strictement positifs $r$ et $s$, tels que $rN\leq N'\leq sN$. Ainsi :
$$
\forall\vc v\in E,\
\ra{rN\bigl(\vc f(\vc v)-L(\vc v)\bigr)}{sN(\vc v)}
\leq\ra{N'\bigl(\vc f(\vc v)-L(\vc v)\bigr)}{N'(\vc v)}
\leq\ra{sN\bigl(\vc f(\vc v)-L(\vc v)\bigr)}{rN(\vc v)}
$$
et le th\'eor\`eme d'encadrement montre que
$\dps\lim_{\vc v\to\vc 0}\ra{N'\bigl(\vc f(\vc v)-L(\vc v)\bigr)}{N'(\vc v)}=0$.
\begin{center}
\fbox{
La propri\'et\'e $(\mathcal{H}4)$ est v\'erifi\'ee pour toute norme de $E$.
}
\end{center}

	
	\item
	La propri\'et\'e $(\mathcal{H}4)$ s'\'ecrit encore :
$$
N\bigl(\vc f(\vc v)-L(\vc v)\bigr)
=N\bigl(\vc f(\vc v)-\vc f(\vc 0)-L(\vc v)\bigr)
\egal[\vc v\to\vc 0]\oo[\big]{N(\vc v)}
$$
ce qui montre que $\vc f$ est diff\'erentiable en $\vc v=\vc 0$ et que sa
diff\'erentielle vaut $L$.

	Voici maintenant une d\'emonstration dans l'esprit du programme.
Calculons les d\'eriv\'ees partielles
$\partial\vc f/\partial x_j(\vc 0)=
\lim_{t\to 0}\bigl(\vc f(\vc 0+t\beps_j)-\vc f(\vc 0)\bigr)/t$
de $\vc f$ en $\vc v=\vc 0$, $\beps_j$ \'etant le $\jmath$\ieme vecteur de la base
naturelle de $E=\R^n$ :
$$
\ra1t\bigl(\vc f(\vc 0+t\beps_j)-\vc f(\vc 0)\bigr) =	\ra1t\vc f(t\beps_j)
	=	\ra1t\bigl(\vc f(t\beps_j)-L(t\beps_j)\bigr)+L(\beps_j)
	\tend[\vc v\to \vc 0]L(\beps_j)
$$
car
$$
N\Bigl(\ra1t\bigl(\vc f(t\beps_j)-L(t\beps_j)\bigr)\Bigr)
=\ra{N\bigl(\vc f(t\beps_j)-L(t\beps_j)\bigr)}{N(t\beps_j)}N(\beps_j)
\tend[\vc v\to\vc 0]0
$$
La diff\'erentielle de $\vc f$ en $\vc v=\vc 0$ est l'application lin\'eaire :
$$
d\vc f(\vc 0) : \vc h\mapsto\sum_{j=1}^n h_j\del{\vc f}{x_j}(\vc 0)=
\sum_{j=1}^n h_jL(\beps_j)=L(\vc h)
$$
\begin{center}
\fbox{
La diff\'erentielle de $\vc f$ en $\vc 0$ est l'application lin\'eaire $L$.
}
\end{center}


	\item
\begin{enumerate}
	\item
	Puisque $\RE(\la)<0$ pour toutes les racines r\'eelles ou complexes $\la\in\chi_L$ du
polyn\^ome caract\'eristique de $L$ (hypoth\`ese $(\mathcal{H}3)$), il existe $\eta>0$ et
$b<0$ tel que $\max\ens{\RE(\la)}{\la\in\chi_L}<b<b+\eta<0$.

	Soit $\scal{\ }{\ }$ un produit scalaire tel que, pour tout
$\vc v\in E$, $\scal[\big]{\vc v}{L(\vc v)}\leq b\Scal vv$ (voir
\textbf{II\ 7.}). On note $\norme{\ }$ la norme associ\'ee \`a ce produit scalaire.
Alors, pour tout $\vc v\in E$, il vient, en utilisant l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz,
$$
\ra{\scal[\big]{\vc v}{\vc f(\vc v)}-\scal[\big]{\vc v}{L(\vc v)}}{\norme{\vc v}^2}
=	\ra{\scal[\big]{\vc v}{\vc f(\vc v)-L(\vc v)}}{\norme{\vc v}^2}
\leq	\ra{\norme{\vc v}{\norme[\big]{\vc f(\vc v)-L(\vc v)}}}{\norme{\vc v}^2}
	\tend[\vc v\to\vc 0]0
$$
ce qui montre l'existence de $\alpha>0$ tel que
$\scal[\big]{\vc v}{\vc f(\vc v)}-\scal[\big]{\vc v}{L(\vc v)}\leq\eta\norme{\vc v}^2$
d\`es que $\norme{\vc v}\leq\alpha$. Ainsi :
$$
\scal[\big]{\vc v}{\vc f(\vc v)}
\leq	\scal[\big]{\vc v}{L(\vc v)} + \eta\norme{\vc v}
\leq b\norme{\vc v}^2+\eta\norme{\vc v}^2
$$
En posant $c=-(b+\eta)$, on a le r\'esultat demand\'e.
\begin{center}
\fbox{$\dps
\exists\alpha>0,\ \exists c>0,\ \forall\vc v\in E,\
\norme{\vc v}\leq\alpha\implique\scal[\big]{\vc v}{L(\vc v)}\leq-c\norme{\vc v}^2
$}
\end{center}

	\item
	Soient $\vc v_0\in E$ tel que $\norme{\vc v_0}<\alpha$ et
$I=\ens{T\geq0}{\forall t\in\intf0T,\ \norme{\bphi(t)}\leq\norme{\vc
v_0}}$; par construction, $I$ est un intervalle non vide, ferm\'e en 0.

	Si $I$ est major\'e, posons $T_0=\sup I$; l'in\'egalit\'e
$\norme{\bphi(t)}\leq\norme{\vc v_0}$ vraie sur $\intfo0{T_0}$ est encore vraie
au point $T_0$ gr\^ace \`a un passage \`a la limite $t\uparrow T_0$ et la continuit\'e
de $\bphi$. Ainsi, pour tout~$t\in\intf0{T_0}$, il vient :
\begin{align*}
\psi'(t)
&=	\ra{d}{dt}\norme{\bphi(t)}^2=2\scal{\bphi'}{\bphi}(t)
		=2\scal[\big]{\vc f\bigl(\bphi(t)\bigr)}{\bphi(t)}					\\
&\leq	2(-c)\norme[\big]{\bphi(t)}^2=-2c\,\psi(t)<0\qquad
		\text{ car
				$\norme{\bphi(t)}\leq\norme{\vc v_0}<\alpha$}
\end{align*}
ce qui montre que $\psi'(T_0)<0$; il existe donc un voisinage de
$[T_0,T_0+\eps[$ de $T_0$ sur
lequel $\psi(t)\leq\psi(T_0)\leq\norme{\vc v_0}$, et $T_0+\eps/2\in I$, ce qui
est en contradiction avec $T_0=\sup I$. L'intervalle $I$ n'est donc pas major\'e
et $I=\intfo0{+\infty}$.
\begin{center}
\fbox{$\dps
\norme{\vc v_0}<\alpha\implique
\forall t\geq0,\ \norme{\bphi(t)}\leq\norme{\vc v_0}<\alpha
$}
\end{center}

	La fonction $\psi$ v\'erifie l'in\'equation diff\'erentielle
$\psi'(t)\leq-2c\,\psi(t)$ sur $\intfo0{+\infty}$, ce qui donne :
$$
\forall t\geq0,\
\ra{d}{dt}\Bigl(\psi(t)\exp(2ct)\Bigr)
=\bigl(\psi'(t)+2c\,\psi(t)\bigr)\exp(2ct)<0
$$
L'application $t\mapsto\psi(t)\exp(2c\,t)$ est donc strictement d\'ecroissante sur
$\intfo0{+\infty}$, d'o\`u :
$$
\forall t\geq0,\ \psi(t)\exp(2c\,t)<\psi(0)\exp0=\norme{\vc v_0}^2
$$
\begin{center}
\fbox{$\dps
\forall t\geq 0,\
\psi(t)=\norme{\bphi(t)}^2 < \norme{\vc v_0}^2\exp(-2c\,t)\text{ et }
\bphi(t)\tend[t\to+\infty]\vc 0
$}
\end{center}

\end{enumerate}

	\item
	L'application $\vc f$ s'\'ecrit :
$$
\vc f(x,y)=(-x-y,x-y)+(x^2+y^2)(x,y)
$$

\begin{enumerate}
	\item
	Soient $L(x,y)=(-x-y,x-y)$, $\scal{\ }{\ }$ le produit scalaire naturel de
$\R^2$, celui qui fait de la base naturelle de $\R^2$ une base orthonormale, et
$\norme{\ }$ la norme associ\'ee : $\norme{(x,y)}^2=x^2+y^2$. Ainsi,
$$
\ra{\norme[\big]{\vc f(x,y)-L(x,y)}}{\norme{(x,y)}}=x^2+y^2\tend[(x,y)\to\vc 0]0
$$
$L$ est un endomorphisme de $\R^2$, donc v\'erifie la propri\'et\'e $(\mathcal{Q})$;
sa matrice relative \`a la base naturelle de $\R^2$ est
$\bigl(\begin{smallmatrix}	-1	&	-1	\\	1	&	-1	\end{smallmatrix}\bigr)$; les
racines du polyn\^ome caract\'eristique de $L$ sont $-1\pm i$, leurs parties r\'eelles
vaut $-1<0$.
\begin{center}
\fbox{
$\vc f$ et $L$ v\'erifient les hypoth\`eses $(\mathcal{H})$.
}
\end{center}

	
	\item
	Les fonctions $\psi$ et $\xi$ sont des fonctions de classe $\mathcal{C}^1$
sur $\intfo0{+\infty}$, et, pour tout $\\t\in\intfo0{+\infty}$,
\begin{align*}
\psi'(t)
&=	2xx'+2yy'=2x\bigl(-x-y+x(x^2+y^2)\bigr)+\bigl(x-y+y(x^2+y^2)\bigr)		\\
&=	2(x^2+y^2)(x^2+y^2-1)=2\psi(t)\bigl(\psi(t)-1\bigr)										\\
\xi'(t)
&=	2\ra{\psi-1}{\psi}\ra{\psi'}{\psi^2}(t)=4\ra{\psi-1}{\psi^3}\psi(\psi-1)(t)=4\xi(t)
\end{align*}
L'\'equation diff\'erentielle $\xi'=4\xi$ s'int\`egre en :
$$
\xi(t)=\xi_0\exp 4t\quad
\text{ avec
$\xi_0=\xi(0)=\Bigl(\ra{\psi(0)-1}{\psi(0)}\Bigr)^2
=\Bigl(\ra{(x_0^2+y_0^2)-1}{x_0^2+y_0^2}\Bigr)^2$}
$$
	Si $\norme{\vc v_0}^2=x_0^2+y_0^2=1$, alors $\xi_0=0$ et $\psi(t)=1$ pour tout $t$.
\begin{center}
\fbox{$\dps
x_0^2+y_0^2=1\implique\forall t\in\intfo0{+\infty},\
\norme{\bphi(t)}^2=x^2(t)+y^2(t)=1
$}
\end{center}
	Si $\norme{\vc v_0}^2=x_0^2+y_0^2<1$, alors, pour tout $t\geq0$,
$$
\xi(t)=\Bigl(\ra{1-\psi(t)}{\psi(t)}\Bigr)^2
=\Bigl(\ra{1-(x_0^2+y_0^2)}{x_0^2+y_0^2}\exp2t\Bigr)^2
$$
Ainsi, $(1-\psi)/\psi$ est une fonction r\'eelle, continue, sans annulation sur
$\intfo0{+\infty}$, donc du signe de
$\bigl(1-\psi(0)\bigr)/\psi(0)>0$; il vient :
$$
\forall t\in\intfo0{+\infty},\
\ra{1-\psi(t)}{\psi(t)}=\ra{1-(x_0^2+y_0^2)}{x_0^2+y_0^2}\exp2t
$$
ce qui donne l'expression de $\psi(t)$.
\begin{center}
\fbox{$\dps
x_0^2+y_0^2<1\implique
\forall t\in\intfo0{+\infty},\
\psi(t)=x^2(t)+y^2(t)=\ra{x_0^2+y_0^2}{x_0^2+y_0^2+\bigl(1-(x_0^2+y_0^2)\bigr)\exp2t}
$}
\end{center}

	\item
	Reprenons les calculs pr\'ec\'edents; si $\norme{\vc v_0}^2=x_0^2+y_0^2>1$, alors,
pour tout $t\geq0$,
$$
\xi(t)=\Bigl(\ra{\psi(t)-1}{\psi(t)}\Bigr)^2
=\Bigl(\ra{(x_0^2+y_0^2)-1}{x_0^2+y_0^2}\exp2t\Bigr)^2
$$
De m\^eme, $(\psi-1)/\psi$ est une fonction r\'eelle, continue, sans annulation sur
$\intfo0{+\infty}$, donc du signe de
$\bigl(\psi(0)-1\bigr)/\psi(0)>0$; il vient :
\begin{align*}
\forall t\in\intfo0{+\infty},\
&	\ra{\psi(t)-1}{\psi(t)}=\ra{(x_0^2+y_0^2)-1}{x_0^2+y_0^2}\exp2t			\\
&\iff	\psi(t)=x^2(t)+y^2(t)=
				\ra{x_0^2+y_0^2}{x_0^2+y_0^2-(x_0^2+y_0^2-1)\exp2t}
\end{align*}
$\psi$ ne peut \^etre une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur
$\intfo0{+\infty}$ puisque son d\'enominateur s'annule.
\begin{center}
\fbox{\parbox{.9\linewidth}{
Il n'existe pas de fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\intfo0{+\infty}$
solution du syst\`eme $(\mathcal{S})$ lorsque~$x_0^2+y_0^2>1$.
}}
\end{center}

	
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}
