\documentclass[10pt, a4paper]{article}

\def\R{\mathbf{R}}
\def\C{\mathbf{C}}
\def\Q{\mathbf{Q}}
\def\Z{\mathbf{Z}}
\def\N{\mathbf{N}}
\def\e{\mathrm{e}}
\def\sh{\mathrm{sh\,}}
\def\Tr{\mathrm{Tr\,}}
\def\ch{\mathrm{ch\,}}
\def\tth{\mathrm{th\,}}
\def\eg{\mathop{=}}
\def\eq{\mathop{\sim}}
\def\tend{\mathop{\to}}


\let\qa=\alpha
\let\qb=\beta
\let\qg=\gamma
\let\qd=\delta
\let\qe=\varepsilon
\let\ql=\lambda
\let\qm=\mu
\let\qp=\varphi
\let\qP=\Phi
\let\qs=\sigma
\let\qt=\theta
\let\dps=\displaystyle

\makeatletter\font\@upstt=cmtt10\def\ps@ups{\let\@mkboth\@gobbletwo
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\numerodepage\undefined\else\count0=\numerodepage\fi\makeatother



\begin{document}

\noindent
\textit{ Concours CCP 1999 - Fili\`ere PSI}\\

\noindent
\textbf{\Large Math\'ematiques 1 : corrig\'e.}
\smallskip
\hrule
%%%
%%%
%%% PREMIERE PARTIE
%%%
%%%
%%%
\section*{\centerline{PARTIE I.}}

\begin{itemize}
%%
%%  Question 1
%%
\item[I.1.1.] Lorsque $\qd = 0$, on cherche une solution 
particuli\`ere de $(E)$ sous la forme 
d'un polyn\^ome de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $2$. 
On en d\'eduit que les solutions r\'eelles de $(E)$ lorsque 
$\qd=0$ sont les applications de la forme  
$$
y : t \mapsto \qa t^2 + \qb t+(\qg -2\qa) + \ql\cos t + \qm \sin t
$$
o\`u $\ql$ et $\qm$ sont deux r\'eels arbitraires.
\item[I.1.2.] De m\^eme, lorsque $\qa =\qb =\qg =0$, on cherche une 
solution particuli\`ere de $(E)$ sous la forme $at\cos (t) + bt\sin (t)$ 
car $\sin t = \Im m(\e^{it})$ et que $i$ est racine d'ordre $1$ de
l'\'equation caract\'eristique $r^2+1$ associ\'ee \`a $(E)$. On trouve que 
les solutions r\'eelles de $(E)$ lorsque $\qa =\qb =\qg =0$ sont les 
applications de la forme : 
$$
y : t \mapsto \dps\frac{\qd}{2}t\sin t + \ql\cos t + \qm \sin t
$$
o\`u $\ql$ et $\qm$ sont deux r\'eels arbitraires.
\item[I.1.3.] D'apr\`es le principe de superposition, dans le cas 
g\'en\'eral, les solutions r\'eelles de $(E)$ sont les applications : 
$$
y : t \mapsto \qa t^2 + \qb t+(\qg -2\qa) 
+ \dps\frac{\qd}{2}t\sin t + \ql\cos t + \qm \sin t
$$
o\`u $\ql$ et $\qm$ sont deux r\'eels arbitraires.
%%
%%  Question 2
%%
\item[I.2.1.] $F$ est $2\pi$-p\'eriodique et sa restriction \`a 
$]-\pi, \pi[$ est paire, donc $F$ est paire et $\forall n \in \N, b_n(F)=0$.\\
$\forall n \in \N, a_n(F) = \dps\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\cos nt\ dt$ donc 
$a_0(F)= \frac{2\pi^2}{3}$ et pour $n\ge 1$, 
$$a_n(F)=\dps\frac{1}{\pi}\left[ \frac{t^2\sin nt}{n}+\frac{2t\cos nt}{n^2} - \frac{2\sin nt}{n^3} 
\right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{4(-1)^n}{n^2}$$
%
%
\item[I.2.2.] On a vu que $F$ est paire; par suite, 
l'\'egalit\'e $F(t)=t^2$ est valable pour tout r\'eel $t$ de $[-\pi ,\pi]$
donc la restriction de $F$ \`a $[-\pi , \pi]$ est de 
classe $\mathcal{C}^1$ et, par p\'eriodicit\'e, $F$ est de 
classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur $\R$ et continue sur $\R$. 
D'apr\`es le th\'eor\`eme de convergence normale de Dirichlet, la 
s\'erie de Fourier de $F$ converge normalement, donc simplement sur $\R$ et 
a pour somme $F$.
%%
%%  Question 3
%%
\item[I.3.1.] Posons pour $k$ entier naturel sup\'erieur ou \'egal \`a 2 et 
$t$ r\'eel, 
$$f_k(t)=\dps\frac{(-1)^k\cos (kt)}{k^2(k^2-1)}, 
g_k(t)=\dps\frac{(-1)^k\sin (kt)}{k(k^2-1)}, 
h_k(t)=\dps\frac{(-1)^k\cos (kt)}{(k^2-1)}$$ 
Alors $f_k$, $g_k$ et $h_k$ 
sont born\'ees sur $\R$ et 
$$N_\infty (f_k)=\dps\frac{1}{k^2(k^2-1)}, 
N_\infty (g_k)=\dps\frac{1}{k(k^2-1)}, 
N_\infty (h_k)=\dps\frac{1}{(k^2-1)}$$ 
Les trois s\'eries num\'eriques 
$\sum N_\infty(f_k)$, $\sum N_\infty(g_k)$ et $\sum N_\infty(h_k)$ sont 
donc convergentes car leur terme g\'en\'eral est domin\'e par 
$\dps\frac{1}{k^2}$ qui est le terme g\'en\'eral d'une s\'erie positive 
convergente. Les s\'eries de fonctions $\sum f_k$, $\sum g_k$, $\sum h_k$ 
sont donc normalement convergentes sur $\R$, donc leurs sommes $f, g, h$ 
sont d\'efinies sur $\R$.
%
%
\item[I.3.2.] Pour tout $k \in \N\setminus \{0, 1\}, f_k$ est de classe 
$\mathcal{C}^2$ sur $\R$. De plus $\sum f_k$ converge simplement car 
normalement sur $\R$, $\sum f'_k = \sum -g_k$  et $\sum f''_k = \sum -h_k$ 
convergent uniform\'ement car normalement sur $\R$ donc $f = \dps\sum\limits_{k=2}
^{+\infty}f_k$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\R$ et 
$$\forall t \in \R, f'(t) = \sum\limits_{k=2}^{+\infty}f'_k(t) = -g(t)
\mathrm{\ et\ }f''(t) = \sum\limits_{k=2}^{+\infty}f''_k(t) = -h(t)$$
%
%
\item[I.3.3.] $f'(0)=-g(0)=0$
%
%
\item[I.3.4.] $f''(\pi )=-h(\pi)=-\dps\sum\limits_{k=2}^{+\infty}
\frac{(-1)^k\cos (k\pi)}{k^2-1}=-\sum\limits_{k=2}^{+\infty}\frac{1}{k^2-1}$.\\
Comme 
$\dps\frac{-1}{k^2-1}=\frac{1}{2}\frac{1}{k+1} - \frac{1}{2}\frac{1}{k-1}$
 on a 
$$\sum_{k=2}^n\frac{-1}{k^2-1} = 
\dps\frac{1}{2}\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{k+1} - 
\frac{1}{2}\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{k-1}
=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}
-1-\frac{1}{2} \tend\limits_{n\to+\infty}-\frac{3}{4}
$$
d'o\`u 
$f''(\pi) = -\dps\frac{3}{4}$.
%
%
\item[I.3.5.] D'apr\`es I.3.2., pour tout r\'eel $t$, 
$$f''(t)+f(t)=\dps\sum\limits_{k=2}^{+\infty}
\frac{(-1)^k}{(k^2-1)k^2}\cos(kt) [1-k^2] = -\sum\limits_{k=2}^{+\infty}
\frac{(-1)^k\cos (kt)}{k^2}$$ 
D'apr\`es I.2 on a donc 
$$\forall t \in ]-\pi ,\pi], 
f''(t)+f(t)= -\frac{t^2}{4}+\frac{\pi^2}{12}-\cos t=
\qa t^2 + \qb t + \qg + \qd \cos t$$
avec $\qa = -\dps\frac{1}{4}, \qb = 0, \qg = \frac{\pi^2}{12}$ et $\qd = -1$.
%
%
\item[I.3.6.] D'apr\`es I.1., il existe $(\ql ,\qm) \in \R^2$ tel que 
$$\forall t \in ]-\pi, \pi], 
f(t) = \dps\frac{-t^2}{4} + \left(\frac{\pi^2}{12} + 
\frac{1}{2}\right)-\frac{t\sin t}{2} + \ql \cos t +\qm \sin t$$
Cette expression de $f$ valable en particulier sur $]-\pi , \pi[$ 
prouve que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur cet intervalle 
comme combinaison lin\'eaire de telles fonctions.En outre, 
$$\forall t \in ]-\pi, \pi[, f'''(t) + f'(t) = \dps -\frac{t}{2}+\sin t$$
%
%
\item[I.3.7.] D'apr\`es I.3.6 et par p\'eriodicit\'e, $f'''$ est d\'efinie en tout 
point de $\R \setminus \{\pi + 2k\pi, k \in \Z\}$. De plus, 
$$f'''(t) \tend\limits_{t \to \pi^-}f'(\pi)-\frac{\pi}{2}\mathrm{\ et\ }
f'''(t) \tend\limits_{t \to -\pi^+ \mathrm{\ ou\ }\pi+}f'(-\pi)+\frac{\pi}{2}=f'(\pi)+
\frac{\pi}{2}$$ 
Donc $f'''$ n'est pas continue en $\pi$ et $f$ n'est pas de classe 
$\mathcal{C}^3$ sur $\R$.
%
%
\item[I.3.8.] On a vu qu'il existe $(\ql ,\qm) \in \R^2$ tel que 
$$\forall t \in ]-\pi, \pi], f(t) = \dps\frac{-t^2}{4} + \left(\frac{\pi^2}{12} + 
\frac{1}{2}\right)-\frac{t\sin t}{2} + \ql \cos t +\qm \sin t$$ 
La parit\'e de 
$f$ impose $\qm=0$. Par d\'erivation, on a 
$$\forall t \in ]-\pi ,\pi], 
f''(t) = \dps -\frac{1}{2} - \cos t + \frac{t\sin t}{2} - \ql \cos t$$
De $f''(\pi) = 
-\dps\frac{3}{4}$, on d\'eduit alors $\ql = \dps\frac{5}{4}$. 
Finalement, $$\forall t \in ]-\pi , \pi], 
f(t) = \dps\frac{-t^2}{4} + \left(\frac{\pi^2}{12} + 
\frac{1}{2}\right)-\frac{t\sin t}{2}  -\frac{5}{4} \cos t$$
\end{itemize}
%%%
%%%
%%% DEUXIEME PARTIE
%%%
%%%
%%%
\section*{\centerline{PARTIE II.}}

\begin{itemize}
%%
%%  Question 1
%%
\item[II.1.] $\qp_1$ est bien \'el\'ement de $\mathcal{CM}(2\pi)$ donc 
poss\`ede des coefficients de Fourier. Par imparit\'e, on a 
$\forall n \in \N, a_n(\qp_1 )=0$ et
$$\forall n \in \N^*, b_n(\qp_1) = 
\dps\frac{2}{\pi}\int_0^\pi\pi\sin nt\ dt = 2\times\frac{(1-(-1)^n)}{n}$$
On en d\'eduit que $c_0(\qp_1) = \frac{a_0(\qp)}{2}=0$, et
$$\forall n \in \N^*, c_n(\qp_1)=\dps\frac{a_n(\qp_1)-ib_n(\qp_1)}{2}= 
\left\{\begin{array}{l}
0 \mathrm{\ si\ }n\mathrm{\ est\ pair}\\
\dps\frac{2}{in} \mathrm{\ sinon}
\end{array}
\right.$$ 
De plus, $\qp_1$ \'etant \`a valeurs r\'eelles, $c_n(\qp_1)$ et 
$c_{-n}(\qp_1)$ sont conjugu\'es. On a donc 
$S_{2n+1}(\qp_1) = 4\dps\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2k+1}$. Comme 
la s\'erie $\dps\sum\frac{1}{2k+1}$ est positive divergente, on a 
$(S_{2n+1}(\qp_1))$ est divergente donc $(S_n(\qp_1))$ est divergente.
%
%
\item[II.2.] Les applications $\qp$, $d_h : t \mapsto t+h$ et 
$g_h : t \mapsto t-h$ sont des applications continues de $\R$ dans $\R$ donc 
$\psi_h = \qp\circ d_h - \qp\circ g_h$ est continue sur $\R$. De plus, on 
v\'erifie facilement que $\qp$ \'etant $2\pi$-p\'eriodique, $\psi_h$ est 
\'egalement $2\pi$-p\'eriodique.
%
%
\item[II.3.] Pour tout entier $k$, 
\begin{eqnarray*}
c_k(\psi_h) & = & 
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\qp(t+h)\e^{-ikt}\ dt-\frac{1}{2\pi}
\int_{-\pi}^{\pi}\qp(t-h)\e^{-ikt}\ dt\\
&=& 
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi +h}^{\pi +h}\qp(u)\e^{-ik(u-h)}\ du-\frac{1}{2\pi}
\int_{-\pi -h}^{\pi -h}\qp(u)\e^{-ik(u+h)}\ du\\
&=& 
(\e^{ikh}-\e^{-ikh})c_k(\qp)\\
&=& 2i\sin (kh) c_k(\qp)
\end{eqnarray*}
%
%
\item[II.4.] $\psi_h$ est continue par morceaux (car continue) et 
$2\pi$-p\'eriodique donc d'apr\`es l'in\'egalit\'e de Bessel, on a 
$$
\forall n \in \N, \sum\limits_{k=-n}^n|c_k(\psi_h)|^2\le \frac{1}{2\pi}
\int_{-\pi}^{\pi}|\psi_h(t)|^2\ dt
$$
donc $\forall n \in \N$, 
$$
\sum\limits_{k=-n}^n\sin^2(kh) |c_k(\qp)|^2 
= \frac{1}{4}\sum\limits_{k=-n}^n|c_k(\psi_h)|^2\le \frac{1}{8\pi}
\int_{-\pi}^{\pi}|\psi_h(t)|^2\ dt
$$
d'o\`u le r\'esultat souhait\'e puisque $\psi_h$ est \`a valeurs r\'eelles.
\item[II.5.] Comme $\qp$ v\'erifie la condition $\mathcal{L}$, on a 
$$
\forall t \in \R, |\psi_h(t)| \le A_1 |2h|^s
$$
d'o\`u 
$$
\frac{1}{8\pi}\int_{-\pi}^\pi\psi_h^2(t)\ dt \le 4^{s-1}h^{2s}A_1^2
$$
ce qui fournit l'in\'egalit\'e souhait\'ee avec $A_2=4^{s-1}A_1^2$.
%
%
\item[II.6.1.] $H(p)$ est \'egal \`a deux fois le cardinal de 
$[\! [2^{p-1}, 2^p-1]\! ]$ soit $$H(p)=2(2^p-1-2^{p-1}+1)=2^p$$
%
%
\item[II.6.2.] Si $k \in I_p$, on a 
$$
\frac{\pi}{4} \le \frac{|k|\pi}{2^{p+1}}\le \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2^{p+1}}
\le \frac{\pi}{2}
$$
La fonction sinus est croissante sur $[0, \frac{\pi}{2}]$ et impaire d'o\`u 
$$
\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \frac{\pi}{4} \le \sin \frac{|k|\pi}{2^{p+1}} =
\left|\sin\left(\frac{k\pi}{2^{p+1}}\right)\right| 
$$ 
La croissance de $x \mapsto x^2$ sur $\R^+$ fournit alors l'in\'egalit\'e 
souhait\'ee.
%
%
\item[II.6.3.] Notons, pour $p \in \N^*$, $\mathcal{P}(p)$ la propri\'et\'e : 
$$
\forall (a_1,\ldots, a_{2^p}) \in \R^{2^p}, 
\left(\sum\limits_{i=1}^{2^p}a_i\right)^2 \le 
2^p\left(\sum\limits_{i=1}^{2^p}a_i^2\right)
$$ et montrons que $\mathcal{P}(p)$ est vraie pour tout $p \in \N^*$ par r\'ecurrence.\\
$\mathcal{P}(1)$ est vraie car si $(a_1, a_2) \in \R^2$, 
$$
2(a_1^2+a_2^2)-(a_1+a_2)^2 = a_1^2+a_2^2-2a_1a_2=(a_1-a_2)^2\ge 0
$$
Supposons $\mathcal{P}(p)$ pour un entier $p \ge 1$ et consid\'erons 
$(a_1, \ldots ,a_{2^{p+1}}) \in \R^{2^{p+1}}$. Alors en utilisant 
$\mathcal{P}(1)$ et $\mathcal{P}(p)$ successivement, on obtient : 
\begin{eqnarray*}
\left(\sum_{i=1}^{2^{p+1}}a_i\right)^2 = 
\left(\sum_{i=1}^{2^{p}}a_i + \sum_{i=2^p+1}^{2^{p+1}}a_i\right)^2 & \le & 
2\left(
\left(\sum_{i=1}^{2^{p}}a_i\right)^2 + 
\left(\sum_{i=2^p+1}^{2^{p+1}}a_i\right)^2
\right)\\
& \le & 2.2^p \left(
\sum_{i=1}^{2^{p}}a_i^2+\sum_{i=2^p+1}^{2^{p+1}}a_i^2
\right)
\end{eqnarray*}
ce qui \'etablit la propri\'et\'e \`a l'ordre $p+1$.\\
En appliquant la propri\'et\'e $\mathcal{P}(p)$ \`a la famille de 
r\'eels $(|c_k(\qp)|)_{k \in I_p}$,qui est bien de cardinal $2^p$, 
on obtient l'in\'egalit\'e demand\'ee.
%
%
\item[II.6.4.] On suppose $s>\dps\frac{1}{2}$, 
$$
\frac{(H(p))^{\frac{1}{2}}}{(2^{p+1})^s} = 
\frac{2^{\frac{p}{2}}}{2^{ps+s}} = 
\frac{1}{2^s}\left(\frac{1}{2^{s-\frac{1}{2}}}\right)^p
$$
est le terme g\'en\'eral d'une s\'erie g\'eom\'etrique de raison 
$\dps\frac{1}{2^{s-\frac{1}{2}}}$ qui est de module strictement inf\'erieur 
\`a 1 puisque $s>\dps\frac{1}{2}$ donc est convergente. La suite des 
sommes partielles de cette s\'erie est donc major\'ee par un r\'eel que 
nous noterons $M$ dans la suite de cette question.\\
Soit $n \in \N$. Comme $2^p \tend\limits_{p \to +\infty} +\infty$, il existe 
$p_0 \in \N$ tel que $2^{p_0}>n$. On a alors : 
\begin{eqnarray*}
S_n(\qp) &\le& S_{2^{p_0}-1}(\qp) = 
|c_0(\qp)| + \sum_{p=1}^{p_0}\sum_{k \in I_p}|c_k(\qp)|\\
&\le &
|c_0(\qp)| + \sum_{p=1}^{p_0}\sqrt{H(p)}\sqrt{\sum_{k\in I_p}|c_k(\qp)|^2}
\end{eqnarray*}
la derni\`ere in\'egalit\'e r\'esultant de II.6.3.\\
Or pour tout $p \in \N^*$, 
\begin{eqnarray*}
\sum_{k \in I_p}|c_k(\qp)|^2&\le& 
\sum_{k \in I_p}2\sin^2\left(\frac{k\pi}{2^{p+1}}\right)|c_k(\qp)|^2 
\mathrm{\ d'apr\grave{e}s\ II.6.2}\\
&\le &
\sum_{k =-2^p+1}^{2^p-1}
2\sin^2\left(\frac{k\pi}{2^{p+1}}\right)|c_k(\qp)|^2 
\mathrm{\ car\ }I_p \subset[\! [-2^p+1, 2^p-1] \!]\\
&\le &
2A_2\left(\frac{\pi}{2^{p+1}}\right)^{2s}
\mathrm{\ d'apr\grave{e}s\ II.5}
\end{eqnarray*}
D'o\`u 
$$
0 \le S_n(\qp) \le |c_0(\qp)| + \sqrt{2A_2}\pi^s
\left(\sum_{p=1}^{p_0}\frac{\sqrt{H(p)}}{(2^{p+1})^s}\right) \le 
|c_0(\qp)| + \sqrt{2A_2}\pi^sM
$$ 
$(S_n(\qp))$ est une suite croissante major\'ee donc est convergente.
\end{itemize}
%%%
%%%
%%% TROISIEME PARTIE
%%%
%%%
%%%
\section*{\centerline{PARTIE III.}}

\begin{itemize}
%%
%%  Question 1
%%
\item[III.1.] $c_n(\qp_0) = \dps\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\qs \e^{-int}\ dt = 
\left\{\begin{array}{l}
0 \mathrm{\ si\ }n\not= 0\\
\qs \mathrm{\ sinon}
\end{array}
\right.
$\\
On en d\'eduit que $M_n(\qp_0) = \qs I_n$ poss\`ede comme unique valeur propre 
$\qs$.
%
%
\item[III.2.1.] $M_3(\qp_1) = \left(\begin{array}{ccc}
0 & 2i & 0\\
-2i & 0 & 2i\\
0 & -2i & 0
\end{array}
\right)
$
%
%
\item[III.2.2.] $\det (M_3(\qp_1)-XI_3) = X(-X^2+8)$ d'o\`u 
l'on d\'eduit que $M_3(\qp_1)$ admet trois valeurs propres simples 
\'egales \`a $0, 2\sqrt{2}, -2\sqrt{2}$.
%
%
\item[III.3.1.] Avec les notations de I.3., on a pour tout $k \in \Z$, 
$$
c_k( f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \left(
\sum\limits_{n=2}^{+\infty}u_n(t) \right)\ dt
$$
avec $u_n(t) = f_n(t)\e^{-ikt}$. Pour tout $n \ge 2, u_n$ est continue 
sur $\R$ et $N_\infty (u_n) = N_\infty (f_n)$ qui est le terme 
g\'en\'eral d'une s\'erie convergente. La s\'erie de fonctions $\sum u_n$ 
converge donc normalement sur $\R$ et \textit{a fortiori} uniform\'ement 
sur le segment $[0, 2\pi]$ donc par le th\'eor\`eme d'int\'egration pour les 
s\'eries de fonctions uniform\'ement convergentes sur un segment, on a 
$$
c_k( f) = \frac{1}{2\pi}
 \sum\limits_{n=2}^{+\infty}\left(\int_{-\pi}^\pi u_n(t) \ dt\right)
$$
Or 
$$
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \cos (nt) \e^{-ikt}\ dt = 
\frac{1}{2}(\qd_n^k+\qd_n^{-k})
$$
D'o\`u 
$$
c_k(f) = \left\{\begin{array}{l}
0 \mathrm{\ si\ }k \in \{-1,0,1\}\\
\frac{(-1)^k}{2k^2(k^2-1)} \mathrm{\ si\ }k \in \Z\setminus \{-1, 0,1\}
\end{array}
\right.
$$
%
%
\item[III.3.2.] 
$M_3(f) = \left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & \frac{1}{24}\\
0 & 0 & 0\\
\frac{1}{24} & 0 & 0
\end{array}
\right)
$ et $\det (M_3(f) - XI_3) = -X^3+\frac{1}{24}X$ donc 
$M_3(f)$ admet trois valeurs propres simples \'egales \`a 
$0, \frac{1}{24}, -\frac{1}{24}$.
%
%
\item[III.4.] Si $\qp$ est paire (resp.impaire), on a $\forall n \in \Z, 
c_n(\qp) = c_{-n}(\qp)$ (resp. $c_n(\qp) = -c_{-n}(\qp)$)donc 
$^t\! M_n(\qp)=M_n(\qp)$ (resp. $^t\! M_n(\qp)=-M_n(\qp)$)
%
%
\item[III.5.] On sait que $\dps\sum\limits_{r=1}^n\ql_r = 
\Tr (M_n(\qp))$ donc $$\dps\frac{1}{n}\sum\limits_{r=1}^n\ql_r = 
\frac{\Tr (M_n(\qp))}{n} = c_0(\qp ) = 
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\qp (t)\ dt$$
%
%
\item[III.6.1.] 
\begin{eqnarray*}
\int_{-\pi}^{\pi}\left|\sum_{k=1}^nz_k\e^{ikt}\right|^2\qp (t)\ dt
 & = & 
\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sum_{j=1}^n\overline{z_j}\e^{-ijt}\right)
\left(\sum_{k=1}^nz_k\e^{ikt}\right) \qp(t)\ dt\\
 & = & \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\overline{z_j}z_k\int_{-\pi}^\pi
\e^{i(k-j)t}\qp (t)\ dt\\
& = & \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\overline{z_j}z_k2\pi c_{j-k}(\qp)
\end{eqnarray*}
D'autre part, 
$$
\qt (n,\qp , Z) = \sum\limits_{j=1}^n\overline{z_j} (M_n(\qp)Z)_j = 
\sum\limits_{j=1}^n\overline{z_j}\left(
\sum\limits_{k=1}^nc_{j-k}(\qp) z_k\right)
$$
On en d\'eduit que 
$$
\qt (n,\qp ,Z) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\left|
\sum_{k=1}^nz_k\e^{ikt}\right|^2\qp (t)\ dt
$$
%
%
\item[III.6.2.] Soit $\ql$ une valeur propre de $M_n(\qp )$ et 
$Z \in \mathcal{M}_{n,1}(\C)$ un vecteur propre associ\'e. On a alors 
$^t\! \overline{Z}M_n(\qp) Z = \ql ^t\! \overline{Z}.Z$ c'est-\`a-dire 
$\qt (n,\qp ,Z) =\ql \dps\sum\limits_{k=1}^n|z_k|^2$. Or 
$\dps\sum\limits_{k=1}^n|z_k|^2 >0$ puisque $Z\not= 0$ en tant que vecteur 
propre d'o\`u 
$$
\ql = \frac{\dps\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\left|
\sum\limits_{k=1}^nz_k\e^{ikt}\right|^2\qp (t)\ dt}
{\sum\limits_{k=1}^n|z_k|^2}
$$
ce qui prouve que $\ql \in \R$ l'int\'egrale au num\'erateur \'etant r\'eelle 
puisque l'int\'egrande est \`a valeurs r\'eelles.
%
%
\item[III.6.3.] Si de plus $\qp (\R) \subset \R^+$, l'int\'egrale 
pr\'ec\'edente est \'el\'ement de $\R^+$ (int\'egrale d'une fonction 
positive sur le segment $[-\pi ,\pi]$) donc $\ql \in \R^+$.
\item[III.6.4.] Dans le cas particulier o\`u on prend $\qp = \qp_0$ 
introduite au III.1. pour $\qs = 1$, on a $M_n(\qp) = I_n$ donc 
tout vecteur non nul est vecteur propre de $M_n(\qp)$ pour la valeur propre 
$1$ donc $\forall Z \in \mathcal{M}_{n,1}(\C) \setminus \{ 0\}$, on a 
$$
1 = \frac{\dps\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\left|
\sum\limits_{k=1}^nz_k\e^{ikt}\right|^2\ dt}
{\sum\limits_{k=1}^n|z_k|^2}
$$
Soit maintenant $\qp \in \mathcal{CM}(2\pi )$ telle que 
$\qp (\R )\subset [a, b]$. Soit $\ql$ valeur propre de $M_n(\qp )$ dont 
on sait d\'ej\`a qu'elle est r\'eelle et $Z$ un vecteur propre associ\'e. 
On a alors 
\begin{eqnarray*}
a = \frac{\dps\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\left|
\sum\limits_{k=1}^nz_k\e^{ikt}\right|^2a\ dt}
{\sum\limits_{k=1}^n|z_k|^2}
&\le &
\ql = \frac{\dps\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\left|
\sum\limits_{k=1}^nz_k\e^{ikt}\right|^2\qp (t)\ dt}
{\sum\limits_{k=1}^n|z_k|^2}\\
&\le & b = \frac{\dps\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\left|
\sum\limits_{k=1}^nz_k\e^{ikt}\right|^2b\ dt}
{\sum\limits_{k=1}^n|z_k|^2}
\end{eqnarray*}
Donc le spectre de $M_n(\qp )$ est inclus dans $[a ,b]$.
%
%
\item[III.7.1.] Rappelons que comme $\qp$ est \`a valeurs r\'eelles on a 
$\forall n \in \Z, c_{-n} = \overline{c_n}$. D'o\`u 
$$
\Tr ((M_n(\qp))^2 = 
\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\qm_{j,k}\qm_{k,j} = 
\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^nc_{j-k}c_{k-j} = 
\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n|c_{j-k}|^2
$$
On en d\'eduit que 
$$
\Tr ((M_n(\qp))^2 = n|c_0|^2 + 2\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)|c_k|^2
$$
\item[III.7.2.] On sait qu'il existe $P \in \mathcal{GL}_n(\C )$ telle que 
$P^{-1}M_n(\qp )P = \left(\begin{array}{cccc}
\ql_1 & \times& \cdots &\times\\
0 & \ddots & \ddots &\vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots &\times \\
0 & \cdots& 0 &\ql_n
\end{array}
\right)$. On a dans ces conditions 
$P^{-1}M_n(\qp )^2P = \left(\begin{array}{cccc}
\ql_1^2 & \times& \cdots &\times\\
0 & \ddots & \ddots &\vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots &\times \\
0 & \cdots& 0 &\ql_n^2
\end{array}
\right)$. On en d\'eduit que 
$$
\frac{1}{n}\sum_{r=1}^n\ql_r^2 = 
\frac{1}{n}\Tr ((M_n(\qp)^2) = |c_0|^2 + 
2\sum_{k=1}^{n-1}\left(1 - \frac{k}{n}\right)|c_k|^2
$$
\item[III.7.3.] Posons pour $n \in \N$, $S_n = \dps\sum\limits_{k=1}^n u_k$, 
$B_n = \dps\sum\limits_{k=1}^n ku_k$ et 
$S= \dps\sum\limits_{k=1}^{+\infty} u_k$.\\
Montrons que $(\dps\frac{B_n}{n})$ converge vers 0.\\
Soit $\qe >0$. Comme $(S_n)$ converge vers $S$, il existe $n_0$ tel que 
$$\forall n \ge n_0, |S-S_n| = S - S_n \le \dps\frac{\qe}{2}$$
Soit $n \ge n_0$. On a alors 
$$
0 \le \frac{B_n}{n} = \frac{B_{n_0}}{n}+\sum_{k=n_0+1}^{n}
\frac{k}{n}u_k \le \frac{B_{n_0}}{n}+(S-S_{n_0}) \le \frac{B_{n_0}}{n} + 
\frac{\qe}{2}
$$
Or $\dps\frac{B_{n_0}}{n} \tend\limits_{n \to +\infty} 0$ donc 
il existe $n_1 \in \N$ tel que pour $n \ge n_1, 
0 \le \dps\frac{B_{n_0}}{n} \le \frac{\qe}{2}$. Dans ces conditions, on a 
$$
\forall n \ge \max (n_0, n_1), 0 \le \frac{B_n}{n} \le \qe
$$
ce qui ach\`eve de prouver le r\'esultat annonc\'e.
\item[III.7.4.] D'apr\`es III.7.2., 
$$
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\ql_r^2 = 
|c_0|^2 + 2\sum_{k=1}^{n-1}|c_k|^2 - 2\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n}|c_k|^2
$$
Or $\qp \in \mathcal{CM}(2\pi )$ donc v\'erifie la formule de Parseval, \`a 
savoir 
$$
|c_0|^2 + 2\sum_{k=1}^{n-1}|c_k|^2 \tend\limits_{n \to +\infty} 
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\qp^2(t)\ dt
$$
et comme la s\'erie $\sum|c_k|^2$ est convergente, d'apr\`es III.7.3., 
$$
\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n}|c_k|^2 \tend\limits_{n \to +\infty} 0
$$
On en d\'eduit que 
$$
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\ql_r^2  \tend\limits_{n \to +\infty}
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\qp^2(t)\ dt
$$
\end{itemize}
\end{document}