%           \'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I
%           º            CCP 99 TSI MATH 1          º
%           \`E\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I\'I
%
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%                  Macros Math\'ematiques.
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\centerline{\bf EXERCICE\ \the\eno .\quad (#1)}
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\centerline{\bf EXERCICE\quad\the\eno .}
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\def\question{\alno=96\advance\qno by1\medbreak
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\input epsf
\parindent=0pt
%-----------------------------------------------------
\titre{CCP\quad  99\quad  TSI\qquad  --\qquad   MATHEMATIQUES\quad  1}
%
\partie
%
\question\qquad 
Il s'agit de la limite de la fonction partielle pour $x$ fix\'e.

$\bullet$ Si $x=0$ : $\dst f(0,y)=\fr y/\pi\qquad\lim_{y\fld\pinf}f(0,y)=\pinf$ 

$\bullet$ Si $x\not=0$ : $\dst f(x,y)\ \Sim_{y\fld\pinf}\ \fr 1/{\pi x^2\,y}
\qquad\dst lim_{y\fld\pinf}f(x,y)=0$
% 
\question\alinea\qquad convergence de l'int\'egrale de $u$

$f$ est d\'efinie continue et positive sur $\R$ , l'intervalle est non born\'e en $\minf$. 

La nature de l'int\'egrale ne d\'epend pas de $x$.

$\dst f(t,y)\ \Sim_{t\fld\minf}\ \fr 1/{\pi y\, t^2}$ donc l'int\'egrale est
convergente et $u$ est d\'efinie. (r\`egle de comparaison avec l'int\'egrale de Riemann)

Une primitive en $t$ de $f$ est : $\fr1/\pi \atan(ty) \qquad
u(x,y)\ =\ \enc{[\fr1/\pi \atan(ty)}]_{t=\minf}^{t=x}\ =\ 
\fr1/\pi\atan(xy)+\fr1/2$

$\dst u(\pinf,y)=\lim_{x\fld\pinf}u(x,y)$ avec $y>0$ :
\result{ $u(\pinf,y)\ =\ 1$ }
%
\alinea\qquad de m\^eme :

\qquad\qquad\result{ $\tmat{x>0&\qquad&\dst\lim_{y\fld\pinf}u(x,y)\ =\ 1\cr
x=0&&\dst\lim_{y\fld\pinf}u(0,y)\ =\ \fr1/2\cr
x<0&&\dst\lim_{y\fld\pinf}u(x,y)\ =\ 0\cr}$ }
%
\alinea\qquad 
$u(x,10)\ =\ \fr1/\pi\atan(10\,x)+\fr1/2$

%
\question\alinea\qquad
La fonction de $t$ est d\'efinie continue sur $\R$, la convergence en chacune
des bornes est absolue puisque :\input epsf

\epsfysize=7cm  
\epsffile{M99PT1Fa.eps}


$\va{f(t,y)g(t)}\ \<=\ M_0\,\fr1/{\pi y\,t^2}$
%
\alinea\qquad
Par une majoration :

$\va{\Int_{\fr1/{\rac{y}}}^\pinf f(t,y)g(t)\d t}\<=
\Int_{\fr1/{\rac{y}}}^\pinf \va{f(t,y)g(t)}\d t$

\qquad$\<= M_0\Int_{\fr1/{\rac{y}}}^\pinf f(t,y)\d t\<=
\fr M_0/\pi\enc{[\atan(ty)}]_{\fr1/{\rac{y}}}^\pinf\<= 
M_0\enc{(\fr1/2-\fr\atan(\rac y)/\pi})$

Puis : $\dst\lim_{y\fld\pinf}M_0\enc{(\fr1/2-\fr\atan(\rac y)/\pi})\ =\ 0$

donc : $\dst\lim_{y\fld\pinf} 
\va{\Int_{\fr1/{\rac{y}}}^\pinf f(t,y)g(t)\d t}\ =\ 0\ $ qui permet de conclure.
%
\alinea\qquad
L'in\'egalit\'e des accroissements finis donne :

$\va{g(t)-g(0)}\ \<=\ \va t M_1$

soit : $\va{f(t,y)(g(t)-g(0)}\ \<=\ \fr y/{\pi(1+y^2 t^2)}\va t M_1$

Soit la fonction auxiliaire : $\phy(u)=\fr u/{1+u^2}$ pour $u>0$

$\phy'(u)\ =\ \fr 1-u^2/{(1+u^2)^2}\qquad$ d'o\`u le tableau de variation :
$$\tab{\tv\ $#$\ \tv&\ $#$\ &\qquad $#$\qquad &\ $#$\ &\qquad $#$\qquad &\ $#$\ \tv\cr\trh
u&0&&1&&\pinf\cr\trh
\phy'(u)&&+&0&-&\ \cr\trh\phy(u)&0&\croit&\fr 1/2&\decr&0\cr\trh}$$
donc :\kern2cm  \result{ $\va{f(t,y)(g(t)-g(0)}\ \<=\ \fr M_1/{2\pi}$ }

Alors : $\va{\Int_{-\fr1/{\rac{y}}}^{\fr1/{\rac{y}}}f(t,y)(g(t)-g(0))\d t}
\ \<=\ \Int_{-\fr1/{\rac{y}}}^{\fr1/{\rac{y}}}\fr M_1/{2\pi}\ d t
\ \<=\ \fr M_1/{\pi}\fr1/{\rac{y}}$

et \qquad\result{ $\dst\lim_{y\fld\pinf} 
\Int_{-\fr1/{\rac{y}}}^{\fr1/{\rac{y}}}f(t,y)(g(t)-g(0))\d t\ =\ 0$ }

Par lin\'earit\'e : 
$\Int_{-\fr1/{\rac{y}}}^{\fr1/{\rac{y}}}f(t,y)(g(t)-g(0))\d t\ =\ 
\Int_{-\fr1/{\rac{y}}}^{\fr1/{\rac{y}}}f(t,y)g(t)\d t\ -\ 
g(0)\Int_{-\fr1/{\rac{y}}}^{\fr1/{\rac{y}}}f(t,y)\d t$

avec : $\Int_{-\fr1/{\rac{y}}}^{\fr1/{\rac{y}}}f(t,y)\d t\ =\ 
\fr 2/\pi\atan(\rac y)$\qquad de limite 1 $(y\fld\pinf)$

La limite d'une somme de fonctions de $y$ donne le r\'esultat
\qquad\result{ $\dst\lim_{y\fld\pinf} 
\Int_{-\fr1/{\rac{y}}}^{\fr1/{\rac{y}}}f(t,y)g(t)\d t\ =\ g(0)$ }
%
\alinea\qquad En utilisant la relation de Chasles et les r\'esultats pr\'ec\'edents

$$\Int_\minf^\pinf f(t,y)g(t)\d t\ =\ 
\Int_\minf^{-\fr1/{\rac{y}}}f(t,y)g(t)\d t\ +\ 
\Int_{-\fr1/{\rac{y}}}^{\fr1/{\rac{y}}}f(t,y)g(t)\d t\ =\ 
\Int_{\fr1/{\rac{y}}}^\pinf f(t,y)g(t)\d t$$

la premi\`ere int\'egrale se traite comme la troisi\`eme (I4b) \`a l'aide du 
changement de variable : $u\ =\ -t$.

La limite de cette somme de fonctions de $y$ donne le r\'esultat :
\result{ $\dst\lim_{y\fld\pinf}\Int_\minf^\pinf f(t,y)g(t)\d t\ =\ g(0)$ }
%
\question

Reprendre les calculs avec la fonction $\g(t)=g(x-t)$. On a : $\g(0)\ =\ g(x)$

$\g$ \'etant une fonction d\'efinie born\'ee \`a d\'eriv\'ee born\'ee comme $g$.\quad
\result{ $\dst\lim_{y\fld\pinf}\Int_\minf^\pinf f(t,y)g(t)\d t\ =\ g(x)$ }
 
%
\question

FAUX : INTEGRALE NON CONVERGENTE EN GENERAL (\'etude en 0).
%
\partie
%
\question\alinea\qquad
Par une integration par parties
$$h(x,y)\ =\ \Int_0^x \enc{(\fr1/\pi\atan(ty)+\fr1/2})\d t$$
$$h(x,y)\ =\ \fr x/\pi\atan(xy)-\fr1/{2\pi y}\ln(1+x^2y^2)+\fr x/2$$
%
\alinea

\qquad\qquad\result{ $\tmat{x>0&\qquad&\dst\lim_{y\fld\pinf}h(x,y)\ =\ x\cr
x=0&&\dst\lim_{y\fld\pinf}h(0,y)\ =\  0\cr
x<0&&\dst\lim_{y\fld\pinf}h(x,y)\ =\ 0\cr}$ }
%
\question

$\fr \dr h(x,y)/{\dr x}\ =\ u(x,y)$\qquad et\qquad $u(x,y)\ \>=\ 0$
%{
\question\alinea\qquad $x>0$\qquad en remarquant :\qquad 
$\atan\enc{(\fr1/{xy}})\ \Sim_{x\fld\pinf}\ \fr 1/{xy}$


En \'ecrivant : 
$h(x,y)\ =\  x\ -\ \fr x/\pi\atan\enc{(\fr1/{xy}})-\fr1/{2\pi y}\ln(1+x^2y^2)$

$h(x,y)\ =\  x\,\enc{(1-\fr 1/\pi\atan\enc{(\fr1/{xy}})-
\fr1/{2\pi xy}\ln(1+x^2y^2)})$

on obtient l'\'equivalence : \result{ $ h(x,y)\ \Sim_{x\fld\pinf}\ x$ }
%
%
\alinea\qquad Ici $x<0$

$h(x,y)=-x\atan(\fr1/{xy})-\fr1/{2\pi y}\enc{(2\ln \va x+2\ln y+\ln\enc{(1+\fr1/{x^2y^2}})})$

Donc $h(x,y)\ \dst\Sim_{x\fld\minf}\ -\fr\ln\va x/{\pi y}$\qquad 
(seul infiniment grand de la somme).
%
\alinea

\qquad\qquad\result{ $\dst\lim_{x\fld\pinf}h(x,y)\ =\ \pinf\qquad.\qquad
\lim_{x\fld\minf}h(x,y)\ =\ \minf$ }
%
\question\qquad
on a le tableau de variation de $x\fld h(x,y)\qquad(y>0)$
$$\tab{\tv\ $#$\ \tv&\ $#$\ &\qquad $#$\qquad &\ $#$\ &\qquad $#$\qquad &\ $#$\ \tv\cr\trh
x&\minf&&0&&\pinf\cr\trh
\fr \dr h(x,y)/{\dr x}&&+&&+&\ \cr\trh
h(x,y)&\minf&\croit&0&\croit&\pinf\cr\trh}$$

\epsfysize=7cm  
\epsffile{M99PT1Fb.eps}
%
\partie
%
\question\alinea\qquad
$F_n(x)\ =\ \fr n/{\pi(1+n^2x^2)}\,e^x\qquad{\rm paire}
\kern3cm F_n(0)\ =\ \fr n/\pi$
\medskip
\qquad\kern2cm\result{ $\dst\lim_{n\fld\pinf}F_n(x)\ =\ 0 {\rm pour} x\not=0\kern3cm%
\lim_{n\fld\pinf}F_n(0)\ =\ \pinf$ } 
%
\alinea\qquad
$F'_n(x)\ =\ \fr n\,e^x/{\pi(1+n^2x^2)^2}\enc{(n^2x^2-2n^2x+1})$

Pour $n>1$ l'\'equation $n^2x^2-2n^2x+1=0$ poss\`ede deux racines r\'eelles. 
$(\De'=n^2(n^2-1)\quad>0.)$
\medskip
\qquad\kern3cm\result{ $x_n\ =\ 1-\rac{1-\fr1/{n^2}}\qquad.\qquad
y_n\ =\ 1+\rac{1-\fr1/{n^2}}$ }
%
\alinea\qquad 
Par des d\'eveloppements limit\'es :

\qquad\qquad\result{ $x_n\ \sim\ \fr1/{2n^2}\qquad.\qquad y_n\ \sim\ 2$ }
\alinea
\epsfysize=8cm  
\epsffile{M99PT1Fc.eps}
%
\question\alinea\qquad
Equation lin\'eaire r\'esolue par m\'ethode de variation de la constante.

Int\'egrale g\'en\'erale : $y(x)\ =\ k\,e^x+\fr e^x/\pi\atan(nx)$
\qquad$(k$ constante arbitraire)
\medskip
et :\qquad \result{ $G_n(x)\ =\ e^x\enc{(\fr1/2+\fr1/\pi\atan(nx)})$ }
%
\alinea\qquad

\qquad\qquad\result{ $\tmat{x>0&\qquad&\dst\lim_{n\fld\pinf}G_n(x)\ =\ e^x\cr
x=0&&\dst\lim_{n\fld\pinf}G_n(0)\ =\ \fr 1/2\cr
x<0&&\dst\lim_{n\fld\pinf}G_n(x)\ =\ 0\cr}$ }

La fonction limite est discontinue en 0.
%
\question\alinea\qquad
Equation lin\'eaire r\'esolue par m\'ethode de variation de la constante.
Solutions de la forme : $y(x)\ =\ \phy(x)\,e^x$

$\phy$ \'etant solution de : $\phy'\ =\ \fr n\,e^{-x}/{\pi(1+n^2x^2)}$
\medskip
soit :\qquad\result{ $H_n(x)\ =\ e^x\enc{(\fr1/2\ +\ \Int_0^x f(t,n)e^{-t}\d t})$ }
%
\alinea\qquad$(x>0)$

En \'ecrivant : $\atan(nx)=\Int_0^x \fr nt \d t/{1+n^2t^2}$

$G_n(x)-H_n(x)\ =\ \fr\ e^x/\pi\Int_0^x \fr n(1-e^{-t})/{1+n^2t^2}\d t
\ =\ \fr\ e^x/\pi\Int_0^{nx} \fr (1-e^{-\fr u/n})/{1+u^2}\d u$

par le changement de variable : $u\ =\ nt$
%
\alinea\qquad
Par \'etude de la fonction auxiliaire : $\psi(u)\ =\ 1-e^\fr - u/n-\fr u/n$
\result{ $0\ \<=\ \fr 1-e^{\fr-u/n}/u\ \<=\ \fr 1/n$ }

Donc : $0\ \<=\ \Int_0^{nx} \fr u/{1+u^2}\,\fr (1-e^{-\fr u/n})/u\d u\ \<=
\ \fr 1/n\Int_0^{nx} \fr u/{1+u^2}\d u\ \<=\ \fr 1/{2n}\ln(1+n^2x^2)$

enfin, pour $x>0$  : $\dst\lim_{n\fld\pinf}\fr1/{2n}\ln(1+n^2x^2)\ =\ 0$ 
\quad car :\quad$\fr\ln(1+n^2x^2)/{2n}\ \sim\ \fr\ln n/n$

$0\ \<=\ G_n(x)-H_n(x)\ \<=\ \fr e^x/\pi\fr\ln(1+n^2x^2)/{2n}$
\medskip
\quad\kern4cm\result{ $\dst\lim_{n\fld\pinf}G_n(x)-H_n(x)\ =\ 0$ }
\medskip
On en d\'eduit, pour $x>0$ : 
$\dst\lim_{n\fld\pinf}H_n(x)\ =\ \lim_{n\fld\pinf}G_n(x)\ =\ e^x$
%
\question\alinea\qquad
Equation lin\'eaire r\'esolue par m\'ethode de variation de la constante :
$y\ =\ \phy\,e^x$.

On a : $\phy''\ =\ \fr n/\pi\fr1/{1+n^2x^2}$

$\phy'\ =\ \fr1/\pi\atan(nx)+k$\qquad et \qquad $k=\fr1/2$

$\phy\ =\ \fr1/\pi\enc{(x\atan(nx)-\fr1/{2n}\ln(1+n^2x^2)})+\fr x/2$

\result{ $K_n(x)\ =\ \fr e^x/\pi\enc{(x\atan(nx)-\fr1/{2n}\ln(1+n^2x^2)})+\fr x/2e^x$ } 
%
\alinea

\qquad\qquad\result{ $\tmat{x>0&\qquad&\dst\lim_{n\fld\pinf}K_n(x)\ =\ x\,e^x\cr
x=0&&\dst\lim_{n\fld\pinf}K_n(0)\ =\ 0\cr
x<0&&\dst\lim_{n\fld\pinf}K_n(x)\ =\ 0\cr}$ }
%
\partie
%
\question\qquad
La fonction de $t$ est d\'efinie continue sur $\R^+$, la convergence 
est absolue puisque :

$\va{\sin\enc{(\fr t/y})e^{-xt}}\ \<=\ e^{-xt}$ dont l'int\'egrale converge en 
$\pinf$.
%
\question\alinea\qquad
$$L_1(x)\ =\ \Int_0^\pinf\sin t\,e^{-xt}\d t$$
On utilise le th\'eor\`eme de cours en remarquant que la fonction int\'egr\'ee
est continue sur $[a,\pinf[\times\R^+$ et que :

$\va{\sin(t)e^{-xt}}\ \<=\ e^{-at}{\rm\ sur\ } [a,\pinf[$ 
domination par une fonction dont l'int\'egrale converge.
%
\alinea\qquad
Pour $x>0$ fix\'e il suffit de choisir $a$ tel que : $0<a<x$ et d'utiliser
la question pr\'ec\'edente.
%
\alinea\qquad
M\^eme th\'eor\`eme utlis\'e d'abord sur $[a\pinf[\quad,a>0$ puisque :
$$\fr \dr \sin t\,e^{-xt}/{\dr x}\ =\ -t\sin t\,e^{-xt}$$
est une fonction d\'efinie continue  et :
$$\va{\fr\dr/{\dr x}(\sin(t)e^{-xt})}\ \<=\ (-t\sin(t)e^{-at}$$
dont l'int\'egrale est convergente.
%
\question\alinea
On cherche une primitive de la forme $(a\cos t+b\sin t)e^{-xt}$. On trouve :
\qquad\qquad\result{ $L_1(x)\ =\ \fr1/{\pi(1+x^2)}$ }

$L_1$ est d\'efinie continue et d\'erivable sur $]0,\pinf[$
%
\alinea\qquad
Avec ce r\'esultat on peut poser : $L_1(0)\ =\ \fr 1/\pi\qquad l'_1(0)\ =\ 0$
%
\question

Le changement de variable $t=uy$ pour $y>0$ ou $t=-uy$ pour $y<0$
donne :
$$ L(x,y)\ =\ y\,L_1(xy)\ =\ f(x,y) {\rm\ si\  } x>0\qquad {\rm ou}$$  
$$ L(x,y)\ =\ y\,L_1(-xy)\ =\ y\,L_1(xy)\ =\ f(x,y){\rm\ si\  }x<0 $$
\Trait
\end



