\def\nmat{{\bf N}}
\def\rmat{{\bf R}}
\def\cmat{{\bf C}}

\def\frac#1#2{\displaystyle {#1 \over #2} \, }
\def\sfrac#1#2{{\scriptstyle #1 \over \scriptstyle #2} \,}

\def\trait#1{\medskip \centerline{\hbox to #1 cm{\hrulefill}}\medskip}


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\input upsnum.tex
%--------------


%______________________________________________%
SESSION 1999
\bigskip

\centerline{\bf \'EPREUVE SP\'ECIFIQUE - FILI\`ERE TSI}
\bigskip

\centerline{\bf CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES}
\bigskip

\centerline{\bf MATH\'EMATIQUES 2}
\medskip

%______________________________________________%

\trait{17}

%______________________________________________%
\medskip
\centerline{\bf Partie I}
%______________________________________________%

\null \hskip-0,8truecm
{\bf 1.}%______________________%
\ Produit scalaire associ\'e \`a $A$

Avec $y_0 = y_{n+1} = 0$ et $A = [a_{i,j} ]_{1 \leq i,j \leq n}$
o\`u $a_{i,j} = \left| \matrix{
2 &{\rm si} \ i=j \hfill\cr
-1 &{\rm si} \ |i-j|=1 \cr
0 &{\rm sinon} \hfill \cr} \right.$,
la $i^{\grave eme}$ coordonn\'ee ($1 \leq i \leq n$) de $Ay$
est
\ $\displaystyle (Ay)_i = \sum_{j=1}^n a_{i,j} y_j
= a_{i,i-1} y_{i-1} + a_{i,i} y_i + a_{i,i+1} y_{i+1}
= -y_{i-1} + 2y_i - y_{i+1}$.

\medskip

Ainsi,
$\displaystyle {}^tyAy = {}^ty (Ay)
= \sum_{k=1}^n y_k (Ay)_k
= -\sum_{k=1}^n y_k y_{k-1} + 2 \sum_{k=1}^n (y_k)^2 - \sum_{k=1}^n y_k y_{k+1}$ ;
en changeant $k$ en $k+1$ dans la premi\`ere somme et dans l'un des
deux $\displaystyle \sum_{k=1}^n (y_k)^2$, et comme $y_0 =0$,
on a encore :

$\displaystyle {}^tyAy
= \sum_{k=0}^{n-1} \big((y_k)^2 - 2 y_k y_{k+1} + (y_{k+1})^2 \big) + (y_n)^2
= \sum_{k=0}^{n-1} (y_{k+1} - y_k)^2 + (y_{n+1} - y_n)^2
= \sum_{k=0}^n (y_{k+1} - y_k)^2$
puisque $y_{n+1}$ est nul.


\medskip

Consid\'erons l'application
$\varphi : \rmat^n \times \rmat^n \longrightarrow \rmat,
\ (X,Y) \longmapsto {}^tYAX$
et prenons $X, \, Y, \, X_1, \, X_2, \, Y_1, \, Y_2$ dans $\rmat^n$
et $\alpha_1, \, \alpha_2$ r\'eels , tous quelconques.

$\varphi(\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2,Y)
= {}^tYA(\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2)
= \alpha_1 {}^tYA X_1 + \alpha_2 {}^tYA X_2
= \alpha_1 \varphi(X_1,Y) + \alpha_2 \varphi(X_2,Y)$ ;
 la relation ${}^t(\alpha_1 Y_1 + \alpha_2 Y_2) = 
\alpha_1 {}^tY_1 + \alpha_2 {}^tY_2$ donne alors la bilin\'earit\'e de l'application
$\varphi$.

Comme la matrice $A$ est sym\'etrique et que ${}^tYAX$ est un nombre r\'eel,
$\varphi$ est une forme sym\'etrique :

$\varphi(Y,X) = {}^tXAY = {}^t ({}^tXAY)
= {}^tY {}^tAX = {}^tYAX = \varphi(X,Y)$.

Comme $\displaystyle \varphi(Y,Y)
= \sum_{k=0}^n (y_{k+1} - y_k)^2$,
\ $\varphi$ est positive et cette somme de r\'eels est nulle si, et seulement si, chaque terme l'est,
c'est-\`a-dire si, et seulement si, tous les $y_k$ valent $y_0 =0$, donc si $Y$ est nul :
$\varphi$ est d\'efinie.

En tout, $\varphi$ est un produit scalaire sur $\rmat^n$.


\null \hskip-0,8truecm
{\bf 2.}%______________________%
\ \'El\'ements propres de $A$

\null 
{\bf 2.1.}%______________________%
\ La matrice sym\'etrique r\'eelle $A$ admet $n$ valeurs propres r\'eelles
(compt\'ees avec leur ordre de multiplicit\'e),
etc... Ses sous-espaces propres sont deux \`a deux orthogonaux.

\null 
{\bf 2.2.}%______________________%
\ Par d\'efinition, un complexe $\lambda$ (r\'eel d'apr\`es 2.1.)
est valeur propre de $A$ si, et seulement si, il existe un \'el\'ement
non nul $U = [u_j]_{1 \leq j \leq n} \in \rmat^n$ tel que $AU = \lambda U$,
c'est-\`a-dire si, et seulement si, il existe une suite finie $(u_p), \ 0 \leq p \leq n+1$
de complexes (r\'eels) telle que :
$\left\{ \matrix{ u_0 = u_{n+1} = 0 \hfill \cr
\exists j \in \big[1,n \big], \ u_j \neq 0 \hfill \cr
\forall p \in \big[1,n \big], \ -u_{p-1} + 2u_p - u_{p+1}  = \lambda u_p \cr} \right.$
\ c'est-\`a-dire :
$\left\{ \matrix{ u_0 = u_{n+1} = 0 \hfill &&(1) \cr
\exists j \in \big[1,n \big], \ u_j \neq 0 \hfill &&(2)\cr
\forall p \in \big[1,n \big], \ u_{p+1} + (\lambda -2) u_p + u_{p-1} = 0 &&(3).\cr} \right.$


\null 
{\bf 2.3.}%______________________%
\ Soit $(3') : \ \forall p \in \nmat, \ u_{p+1} + (\lambda -2) u_p + u_{p-1} = 0$.
\ On recherche pour quels complexes $\lambda$ il existe une suite $(u_p)$
v\'erifiant simultan\'ement les trois conditions $(1), \, (2)$ et $(3') : \ \forall p \in \nmat, \ u_{p+1} + (\lambda -2) u_p + u_{p-1} = 0$.

On note $r_1$ et $r_2$ les solutions dans $\cmat$
de l'\'equation caract\'eristique $r^2 + (\lambda -2) r + 1 = 0$.

Remarquons d\'ej\`a que $r_1 r_2 =1$, donc que $r_1 \neq 0$ et $r_2 \neq 0$.

\null \qquad
{\bf a.}%______________________%
\ Si $r_1 = r_2$, il existe $(\alpha , \beta) \in \cmat^2$ tel que
$u_p = (\alpha p + \beta )(r_1)^p$, pour tout entier naturel $p$.

Le choix $p=0$ donne $u_0 = 0 = \beta$ (car $r_1 \neq 0$) ;
puis le choix $p=n+1$ donne $\alpha = 0$.
Ainsi, $u_p$ serait nul pour tout $p \in \nmat$,
ce que contredit $(2)$.

On ne peut donc avoir $r_1 = r_2$.
\ (Ce cas serait : $\lambda = 0, \ r_1 = r_2 =1$
ou $\lambda = 4, \ r_1 = r_2 =-1$.)

\null \qquad
{\bf b.}%______________________%
\ Ainsi, s'il existe une solution au probl\`eme pos\'e, $r_1 \neq r_2$.

Dans ce cas, il existe $(\alpha , \beta) \in \cmat^2$ tel que
$u_p = \alpha (r_1)^p + \beta (r_2)^p$, pour tout $p \in \nmat$.

Le choix $p=0$ donne $u_0 = 0 = \alpha + \beta$ (car $r_1 r_2 \neq 0$),
donc $u_p = \alpha \big( (r_1)^p - (r_2)^p \big)$ pour tout $p$,
o\`u $\alpha \neq 0$ car l'un au moins des $u_p$ n'est pas nul d'apr\`es (2).

Le choix $p=n+1$ donne $\alpha \big( (r_1)^{n+1} - (r_2)^{n+1} \big) =0$,
c'est-\`a-dire $\Big( \frac{r_1}{r_2} \Big)^{n+1} = 1$,
puisque $\alpha r_2 \neq 0$.

Comme, de plus, $r_1 r_2 =1$, on a finalement : $(r_1)^{2(n+1)} =1$.
Ainsi, $r_1$ et $r_2$ sont deux racines $2(n+1)^{i \grave emes}$ de l'unit\'e,
inverses (et conjugu\'ees) l'une de l'autre :
quitte \`a \'echanger $r_2$ et $r_1$,
il existe un entier $k$ dans $\big[0, n+1 \big]$ tel que
$r_1 = e^{^{\scriptstyle i \sfrac{2k\pi}{2(n+1)}}}
= e^{^{\scriptstyle i \sfrac{k\pi}{n+1}}}$
\ et $r_2 = (r_1)^{-1} = e^{^{\scriptstyle -i \sfrac{k\pi}{n+1}}}$.

Comme $r_2 = r_1$ si, et seulement si, $k =0$ ou $k = n+1$,
finalement, $k \in \big[1, n \big]$.

On en d\'eduit : $u_p = \alpha \big( e^{^{\scriptstyle i \sfrac{kp\pi}{n+1}}}
- e^{^{\scriptstyle -i \sfrac{kp\pi}{n+1}}} \big)
= 2i \alpha \sin \frac{kp\pi}{n+1}$ pour tout $p \in \nmat$ ;
autrement dit, $u_p$ est proportionnel \`a $\sin \frac{kp\pi}{n+1}$
puisque $2i \alpha \neq 0$ et puisque l'\'equation (3) est homog\`ene.

D'autre part, comme $r_1 + r_2 = 2 - \lambda$,
$\lambda = 2 - (r_1 + r_2) = 2 - 2 \cos \frac{k\pi}{n+1}
= 4 \sin^2 \frac{k\pi}{2(n+1)} = \lambda_k$.

Comme $k \in \big[1, n \big]$, les $n$ r\'eels $\frac{k\pi}{2(n+1)}
\in \Big] 0 , \frac{\pi}{2} \Big[$ sont distincts,
par cons\'equent, les $n$ valeurs de $\lambda_k$ aussi.

\trait{5}

Il reste \`a voir si les $u_p = \sin \frac{kp\pi}{n+1}, \ 0 \leq p \leq n+1$,
conviennent pour tout $k \in \big[1, n \big]$ :
(1) et (2) sont clairement v\'erifi\'ees. Comme :

\ - si $p=1, \ u_2 + (\lambda -2) u_1
= \sin \frac{2k\pi}{n+1} - 2 \cos \frac{k\pi}{n+1} \sin \frac{k\pi}{n+1}
= \sin \frac{2k\pi}{n+1} - \sin \frac{2k\pi}{n+1} = 0$

\ - si $1 < p < n, \ u_{p+1} + (\lambda -2) u_p + u_{p-1}
= \sin \frac{(p+1)k\pi}{n+1} - 2 \cos \frac{k\pi}{n+1} \sin \frac{pk\pi}{n+1}
+ \sin \frac{(p-1)k\pi}{n+1}$

c'est-\`a-dire
$u_{p+1} + (\lambda -2) u_p + u_{p-1}
= 2 \sin \frac{pk\pi}{n+1} \cos \frac{k\pi}{n+1}
- 2 \cos \frac{k\pi}{n+1} \sin \frac{pk\pi}{n+1}
= 0$

\ - si $p=n, \ (\lambda -2) u_n + u_{n-1}
= - 2 \cos \frac{k\pi}{n+1} \sin \frac{nk\pi}{n+1}
+ \sin \frac{(n-1)k\pi}{n+1}$

c'est-\`a-dire
$(\lambda -2) u_n + u_{n-1}
= -\sin \frac{(n+1)k\pi}{n+1} - \sin \frac{(n-1)k\pi}{n+1} + \sin \frac{(n-1)k\pi}{n+1}
= -\sin (k\pi) = 0$ ;

autrement dit, la condition (3) est \'egalement v\'erifi\'ee.


\trait{5}

Ainsi, on conna\^it $n$ valeurs propres,
c'est-\`a-dire toutes les valeurs propres de $A$,
et des vecteurs propres associ\'es.

Avec les notations de l'\'enonc\'e (\'echange des indices $p$ et $k$), concluons :
\ les valeurs propres de $A$ sont les $n$ r\'eels
$\lambda_p = 4 \sin^2 \frac{p\pi}{2(n+1)}, \ 1 \leq p \leq n$,
associ\'ees aux vecteurs propres
$v^{(p)} = \big[ \sin \frac{kp\pi}{n+1} \big]_{1 \leq k \leq n}$.


\null \hskip-0,8truecm
{\bf 3.}%______________________%
\ Diagonalisation de $A$


\null 
{\bf 3.1.}%______________________%
\ Consid\'erant tacitement que $p$ est toujours dans $\big[1, n \big]$,
pour $\theta = \frac{2p\pi}{n+1}, \ e^{i\theta} \neq 1$
puisque $p$ ne peut \^etre multiple de $n+1$.
Ainsi :
$1 + e^{i\theta} + e^{2i\theta} + \cdots + e^{ni\theta}
= \frac{1 - e^{i(n+1)\theta}}{1 - e^{i\theta}}
= \frac{1 - e^{2ip\pi}}{1 - e^{i\theta}}
= \frac{1 - 1}{1 - e^{i\theta}}
=0$.

(On peut aussi utiliser la nullit\'e de la somme des $n+1$ racines $(n+1)^{i \grave emes}$ de l'unit\'e.)

\null 
{\bf 3.2.}%______________________%
\ En particulier, la partie r\'eelle de la somme pr\'ec\'edente est nulle,
ce qui donne : $\displaystyle 1 + \sum_{k=1}^n \cos \frac{2kp\pi}{n+1} = 0$.

Ainsi, $\displaystyle \Big(\big| \big| v^{(p)} \big| \big|_2 \Big)^2
= \sum_{k=1}^n \sin^2 \frac{kp\pi}{n+1}
= \sum_{k=1}^n \frac{1}{2} \Big( 1 - \cos \frac{2kp\pi}{n+1} \Big)
= \frac{1}{2} \Big( n - \sum_{k=1}^n \cos \frac{2kp\pi}{n+1} \Big)
= \frac{1}{2} ( n +1)$.

D'o\`u : \ $\big| \big| v^{(p)} \big| \big|_2 = \sqrt{\frac{n+1}{2}}$.

\null 
{\bf 3.3.}%______________________%
\ Comme $A$ admet $n$ valeurs propres distinctes
et que ses sous-espaces propres sont deux \`a deux orthogonaux,
la famille norm\'ee $\Big( \sqrt{\frac{2}{n+1}} v^{(p)} \Big)_{1 \leq p \leq n}$
est une base orthonormale de vecteurs propres de $A$.

Dans cette base, $A$ est diagonalis\'ee par la matrice de passage
$P = \sqrt{\frac{2}{n+1}} \Big[ \sin \frac{kp\pi}{n+1} \Big]_{1 \leq k,p \leq n}$
orthogonale et semblable \`a $P^{-1} A P = {}^tPAP = \Delta
= {\rm Diag} ( \lambda_1, \cdots, \lambda_n  )$
\ o\`u $\lambda_p = 4 \sin^2 \frac{p\pi}{2(n+1)} \cdotp$


\null 
{\bf 3.4.}%______________________%
\ En travaillant dans la nouvelle base ($X' = {}^tPX = [x'_k]_{1 \leq k \leq n}$),
pour $X \in \rmat^n$, on a :

$\displaystyle \varphi(X,Y)
= {}^tYAX = {}^tY (P \Delta {}^tP) X
= {}^t({}^tPY) \Delta ({}^tPX)
= {}^tY' \Delta X'
= \sum_{p=1}^n \lambda_p y'_p x'_p$
puisque $\Delta$ est diagonale.

Sous cette forme, comme les $\lambda_p$ sont strictement positifs,
on retrouve ais\'ement que $\varphi$ est un produit scalaire de $\rmat^n$.

%______________________________________________%
\vskip1cm
\centerline{\bf Partie II}
%______________________________________________%

\null

Pour $n=3$, on a :
$A = \left[ \matrix{2 &-1 &0 \cr  -1 &2 &-1 \cr  0 &-1 &2 \cr} \right],
\ D = \left[ \matrix{2 &0 &0 \cr  0 &2 &0 \cr  0 &0 &2 \cr} \right],
\ F = \left[ \matrix{0 &1 &0 \cr  0 &0 &1 \cr  0 &0 &0 \cr} \right],
\ E = {}^t F = \left[ \matrix{0 &0 &0 \cr  1 &0 &0 \cr  0 &1 &0 \cr} \right]
$
et
$D - E = \left[ \matrix{2 &0 &0 \cr  -1 &2 &0 \cr  0 &-1 &2 \cr} \right],
\ E + F = \left[ \matrix{0 &1 &0 \cr  1 &0 &1 \cr  0 &1 &0 \cr} \right]$.


\null \hskip-0,8truecm
{\bf 1.}%______________________%
\ La condition $(4) : \ X^{(0)} \in \rmat^3$
\ et $(D-E)X^{(k+1)} = FX^{(k)} + B$ \ donne :
$\left\{ \matrix{2 x_1^{(k+1)} = x_2^{(k)} + 2 \hfill \cr
-x_1^{(k+1)} + 2x_2^{(k+1)} = x_3^{(k)} + 2 \cr
-x_2^{(k+1)} + 2x_3^{(k+1)} = 2 \hfill \cr} \right.$
c'est-\`a-dire :
$(4') \ \left\{ \matrix{x_1^{(k+1)} = \frac{1}{2} x_2^{(k)} +1 \hfill \cr
x_2^{(k+1)} = \frac{1}{4} \big(x_2^{(k)} + 2 x_3^{(k)} +6 \big) \hfill \cr
x_3^{(k+1)} = \frac{1}{8} \big(x_2^{(k)} + 2 x_3^{(k)} +14 \big) \cr} \right.$

$(5) : \ Z^{(0)} = X^{(0)} \in \rmat^3$
\ et $DZ^{(k+1)} = (E+F)Z^{(k)} + B$ \ donne :
$\left\{ \matrix{2 z_1^{(k+1)} = z_2^{(k)} + 2 \hfill \cr
2 z_2^{(k+1)} = z_1^{(k)} + z_3^{(k)} + 2 \cr
2 z_3^{(k+1)} = z_2^{(k)} + 2 \hfill \cr} \right.$
c'est-\`a-dire
$(5') \ \left\{ \matrix{z_1^{(k+1)} = z_3^{(k+1)} = \frac{1}{2} z_2^{(k)} +1 \hfill \cr
z_2^{(k+1)} = \frac{1}{2} \big(z_1^{(k)} + z_3^{(k)} \big) + 1 \hfill \cr
} \right.$
\quad et l'on remplit ainsi de proche en proche les deux tableaux suivants :

\bigskip


\qquad
$\vbox{
\def\cc#1{\kern 0.5em#1\kern 0.1em\hfill}
\def\tvi{\vrule height 15pt depth 8pt width 0pt}
\offinterlineskip\halign{#&#      &\cc{#}               &\cc{#}   &\cc{#}                   &\cc{#}      &\cc{#}                    &\cc{#}      &\cc{#}                    &\cc{#}      &\cc{#}                      &#      \cr
\noalign{\hrule}
\tvi                    &\vrule   &\hfill $X^{(0)}$     &\vrule   &\hfill $X^{(1)}$         &\vrule      &\hfill $X^{(2)}$          &\vrule      &\hfill $X^{(3)}$          &\vrule      &\hfill $X^{(4)}$            &\vrule \cr
\noalign{\hrule}
\tvi                    &\vrule   &\hfill $4$           &\vrule   &\hfill $3$               &\vrule      &\hfill $\frac{13}{4}$     &\vrule      &\hfill $\frac{25}{8}$     &\vrule      &\hfill $\frac{49}{16}$      &\vrule \cr
\noalign{\hrule}
\tvi                    &\vrule   &\hfill $4$           &\vrule   &\hfill $\frac{9}{2}$     &\vrule      &\hfill $\frac{17}{4}$     &\vrule      &\hfill $\frac{33}{8}$     &\vrule      &\hfill $\frac{65}{16}$      &\vrule \cr
\noalign{\hrule}
\tvi                    &\vrule   &\hfill $4$           &\vrule   &\hfill $\frac{13}{4}$    &\vrule      &\hfill $\frac{25}{8}$     &\vrule      &\hfill $\frac{49}{16}$     &\vrule      &\hfill $\frac{97}{32}$     &\vrule \cr
\noalign{\hrule}
}}$
\hskip1cm
$\vbox{
\def\cc#1{\kern 0.5em#1\kern 0.1em\hfill}
\def\tvi{\vrule height 15pt depth 8pt width 0pt}
\offinterlineskip\halign{#&#      &\cc{#}               &\cc{#}   &\cc{#}               &\cc{#}      &\cc{#}                   &\cc{#}      &\cc{#}                  &\cc{#}      &\cc{#}                     &#      \cr
\noalign{\hrule}
\tvi                    &\vrule   &\hfill $Z^{(0)}$     &\vrule   &\hfill $Z^{(1)}$     &\vrule      &\hfill $Z^{(2)}$         &\vrule      &\hfill $Z^{(3)}$        &\vrule      &\hfill $Z^{(4)}$           &\vrule \cr
\noalign{\hrule}
\tvi                    &\vrule   &\hfill $4$           &\vrule   &\hfill $3$           &\vrule      &\hfill $\frac{7}{2}$     &\vrule      &\hfill $3$              &\vrule      &\hfill $\frac{13}{4}$      &\vrule \cr
\noalign{\hrule}
\tvi                    &\vrule   &\hfill $4$           &\vrule   &\hfill $5$           &\vrule      &\hfill $4$               &\vrule      &\hfill $\frac{9}{2}$    &\vrule      &\hfill $4$                 &\vrule \cr
\noalign{\hrule}
\tvi                    &\vrule   &\hfill $4$           &\vrule   &\hfill $3$           &\vrule      &\hfill $\frac{7}{2}$     &\vrule      &\hfill $3$              &\vrule      &\hfill $\frac{13}{4}$      &\vrule \cr
\noalign{\hrule}
}}$


\null \hskip-0,8truecm
{\bf 2.}%______________________%
\ \underbar{$1^{\grave ere}$ id\'ee} Le tableau des premiers $X^{(k)}$ semble indiquer que :

$x_1^{(k)} = \frac{3.2^k + 1}{2^k} = 3 + \frac{1}{2^k},
\ x_2^{(k)} = x_1^{(k)} + 1 = 4 + \frac{1}{2^k},
\ x_3^{(k)} = x_1^{(k+1)} = 3 + \frac{1}{2^{k+1}}$
pour $k \in \{ 2,3,4 \}$.

Un raisonnement par r\'ecurrence prouve alors que c'est vrai pour tout $k \geq 2$.

Par exemple, pour le calcul le plus compliqu\'e,
$x_3^{(k+1)} = \frac{1}{8} \big(x_2^{(k)} + 2 x_3^{(k)} +14 \big)
= \frac{1}{8} \Big( 4 + \frac{1}{2^k} + 6 + \frac{1}{2^k} +14 \Big)$

c'est-\`a-dire,
$x_3^{(k+1)} 
= 3 + \frac{1}{4} \times \frac{1}{2^k}
= 3 + \frac{1}{2^{k+2}} \cdotp$

\null \underbar{$2^{i\grave eme}$ id\'ee} Les deux derni\`eres lignes de $(4')$
donnent $x_2^{(k+1)} - 2x_3^{(k+1)} = -2$, c'est-\`a-dire
$x_2^{(k)} = 2x_3^{(k)} - 2$ (pour $k \geq 1$)~;
le report de ce r\'esultat dans la derni\`ere ligne de $(4')$ donne alors,
pour $k \geq 1$ :

$x_3^{(k+1)} = \frac{1}{8} \big( 2x_3^{(k)} - 2 + 2 x_3^{(k)} +14 \big)
= \frac{1}{2} x_3^{(k)} + \frac{3}{2}$ ;
comme la suite constante $(3)_k$ est solution,
la suite $\big( x_3^{(k)} - 3  \big)$ est g\'eom\'etrique de raison $\frac{1}{2}$ ;
ainsi, $\forall k \geq 1, \ x_3^{(k)} - 3 = \frac{1}{2^{k-1}} \big( x_3^{(1)} - 3 \big)$,
c'est-\`a-dire
$x_3^{(k)} = 3 + \frac{1}{2^{k-1}} \Big( \frac{13}{4} - 3 \Big)
= 3 + \frac{1}{2^{k+1}} \cdotp$


Puis, pour $k \geq 1, \ x_2^{(k)} = 2x_3^{(k)} - 2 = 4 + \frac{1}{2^k}$
\ et, pour $k \geq 2, \ x_1^{(k)} = \frac{1}{2} x_2^{(k-1)} + 1 = 3 + \frac{1}{2^k}$
(car $k-1 \geq 1$).

On en d\'eduit imm\'ediatement : $\displaystyle \lim_{k \rightarrow +\infty} X^{(k)}
= \left[ \matrix{3 \cr  4 \cr  3 \cr} \right]$.

\null \hskip-0,8truecm
{\bf 3.}%______________________%
\ Notons d'abord que l'\'egalit\'e $z_1^{(0)} = 4 = z_3^{(0)}$,
les valeurs donn\'ees dans le tableau en $Z^{(k)}$ et les relations de r\'ecurrence $(5')$
donnent : $\forall k \in \nmat, \ z_1^{(k)} = z_3^{(k)}$
\`a l'aide d'un raisonnement par r\'ecurrence.

Autrement dit, on a :
$(5'') \ \left\{ \matrix{z_1^{(k+1)} = z_3^{(k+1)} = \frac{1}{2} z_2^{(k)} +1 \hfill \cr
z_2^{(k+1)} = z_1^{(k)} + 1 \hfill \cr
} \right.$
pour tout entier naturel $k$.

On en d\'eduit, pour tout $k, \ z_1^{(k+2)}
= \frac{1}{2} z_2^{(k+1)} +1
= \frac{1}{2} \big( z_1^{(k)} + 1 \big) +1$,
c'est-\`a-dire
$\ z_1^{(k+2)} - \frac{1}{2} z_1^{(k)} = \frac{3}{2} \cdotp$

Comme la suite constante $(3)_k$ est solution,
on regarde la suite $(u_k) = \big( z_1^{(k)} - 3  \big)$
qui v\'erifie la relation de r\'ecurrence $u_{k+2} - \frac{1}{2} u_{k} = 0$.
Avec $r^2 - \frac{1}{2} = 0$, on en d\'eduit qu'il existe deux constantes (r\'eelles) $\alpha$ et $\beta$
telles que $u_{k} = \alpha \Big( \frac{1}{\sqrt 2} \Big)^k + \beta \Big( \frac{-1}{\sqrt 2} \Big)^k$
pour tout entier $k$,
c'est-\`a-dire
$z_1^{(k)} = 3 + \alpha \Big( \frac{1}{\sqrt 2} \Big)^k + \beta \Big( \frac{-1}{\sqrt 2} \Big)^k$.

Puis $\left\{ \matrix{z_1^{(0)} = 4 = 3 + \alpha + \beta \hfill \cr
z_1^{(1)} = 3 = 3 + \frac{\alpha}{\sqrt 2} - \frac{\beta}{\sqrt 2} \cr} \right.$
\ donne $\alpha = \beta = \frac{1}{2}$
c'est-\`a-dire :
$z_1^{(k)} = 3 + \frac{1 + (-1)^k}{2(\sqrt 2)^k} = z_3^{(k)}$
pour tout $k \in \nmat$.

Puis $z_2^{(k)} = 2 \big( z_1^{(k+1)} -1 \big)
= 4 + \frac{1 + (-1)^{k+1}}{(\sqrt 2)^{k+1}}$
pour tout entier naturel $k$

On en d\'eduit imm\'ediatement : $\displaystyle \lim_{k \rightarrow +\infty} Z^{(k)}
= \left[ \matrix{3 \cr  4 \cr  3 \cr} \right]
= \lim_{k \rightarrow +\infty} X^{(k)} = u$.

En s\'eparant les cas :
$z_1^{(2k)} = z_3^{(2k)} = 3 + \frac{1}{2^k}, \ z_2^{(2k)} = 4$
\ et \ $z_1^{(2k+1)} = z_3^{(2k+1)} = 3, \ z_2^{(2k+1)} = 4+ \frac{1}{2^k}\cdotp$

\null \hskip-0,8truecm
{\bf 4.}%______________________%
\ On a vu que les deux suites vectorielles $(X^{(k)})$ et $(Z^{(k)})$
convergent vers la m\^eme limite $u$.

Comme $\det (A) = 4 \neq 0$, le syst\`eme $AX = B$ est de Cramer.
Comme le calcul donne $Au = B$, la limite commune des deux suites
est la solution $u = A^{-1}B$ du syst\`eme $AX = B$.

\null \hskip-0,8truecm
{\bf 5.}%______________________%
\ Avec $X^{(k)} - u = \frac{1}{2^{k+1}} \left[ \matrix{2 \cr  2 \cr  1 \cr} \right]$
pour $k \geq 2$, on a $\big| \big| X^{(k)} - u \big| \big|_\infty = \frac{1}{2^k} \cdotp$
Puis $\frac{1}{2^k} < 10^{-3}$ \'equivaut \`a $k \geq 10$.

Le plus petit entier naturel $p$ tel que $\big| \big| X^{(k)} - u \big| \big|_\infty < 10^{-3}$
est $p =10$.

\ Avec $Z^{(k)} - u = \frac{1}{2(\sqrt 2)^k}
\left[ \matrix{1 + (-1)^k \cr  \sqrt 2 \big(1 + (-1)^{k+1} \big) \cr  1 + (-1)^k \cr} \right]$
pour tout $k$, c'est-\`a-dire
$Z^{(2k)} - u = \frac{1}{2^k}
\left[ \matrix{1 \cr  0 \cr  1 \cr} \right]$
et $Z^{(2k+1)} - u = \frac{1}{2^k}
\left[ \matrix{0 \cr  1 \cr  0 \cr} \right]$,
on a : $\big| \big| Z^{(2k)} - u \big| \big|_\infty
= \big| \big| Z^{(2k+1)} - u \big| \big|_\infty = \frac{1}{2^k} \cdotp$
Chacune des deux normes est donc major\'ee par $10^{-3}$ pour $k \geq 10$,
autrement dit, le plus petit entier $q$ tel que
$\big| \big| Z^{(q)} - u \big| \big|_\infty < 10^{-3}$
est $q = 20$.

On peut donc penser que la suite $(X^{(k)})$ converge plus vite
(deux fois ?) que la suite  $(Z^{(k)})$ vers la solution du syst\`eme $AX = B$.

Cependant, il faut noter que
$\left[ \matrix{z_1^{(1)} \cr  z_2^{(0)} \cr  z_1^{(3)} \cr} \right]$
donne d\'ej\`a la solution exacte \ \dots \ de ce syst\`eme  particulier ?!

%______________________________________________%
\vskip1cm
\centerline{\bf Partie III}
%______________________________________________%


\null \hskip-0,8truecm
{\bf 1.}%______________________%
\ Avec $X_1 = \big[ x_i^{(1)} \big]_{1 \leq i \leq n}$
o\`u $x_i^{(1)} = \frac{i}{2} (n-i+1)$ et $n$ est pair,
on a :

\ - si $2 \leq i \leq n-1, \ (AX_1)_i
= -x_{i-1}^{(1)} + 2x_i^{(1)} - x_{i+1}^{(1)}
= \frac{1}{2} \big[ -(i-1)(n-i+2) + 2i(n-i+1) -(i+1)(n-i) \big]$

c'est-\`a-dire
$(AX_1)_i
= \frac{1}{2} \big[ (n-i+2) (-i+1+2i+i-1) -(i-1)+(i+1) \big] =1$

\ - si $i = 1, \ (AX_1)_1 = 2x_1^{(1)} - x_2^{(1)} = n - (n-1) = 1$

\ - si $i = n, \ (AX_1)_n = -x_{n-1}^{(1)} + 2x_n^{(1)} = - (n-1) + n = 1$.

Ainsi, $AX_1 = B_1$.


\medskip

Comme $f = \frac{k}{L} B_1$, chaque $f_i$ est strictement positif,
donc les n\oe uds se d\'eplacent tous dans le m\^eme sens, celui de chaque $f_i$.

Soit $g$ d\'efinie sur $[1,n]$ par $g(x) = \frac{x}{2} (n-x+1)$.
$g$ est d\'erivable, de nombre d\'eriv\'e $g'(x) = \frac{1}{2}(n+1-2x)$~;
ainsi $g$ est strictement croissante sur $\Big[ 1 , \frac{n+1}{2} \Big]$
et strictement d\'ecroissante sur $\Big[ \frac{n+1}{2} , n\Big]$.

Comme $n+1$ est impair, le plus grand d\'eplacement est
obtenu pour les deux n\oe uds $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2} +1$ du milieu et vaut~:
$|x_{n/2+1}^{(1)} | = |x_{n/2}^{(1)} | = g \Big( \frac{n}{2} \Big)
= \frac{1}{2}\frac{n}{2} \Big( \frac{n}{2} + 1 \Big)
= \frac{n(n+2)}{8} \cdotp$

\trait{5}

Avec $X_2 = \big[ x_i^{(2)} \big]_{1 \leq i \leq n}$
o\`u $x_{2i}^{(2)} = \frac{-i}{n+1}$
pour $1 \leq i \leq \frac{n}{2}$
\ et
\ $x_{2i+1}^{(2)} = \frac{n-2i}{2(n+1)}$
pour $0 \leq i \leq \frac{n}{2}-1$,\break
on a :

\ - si $i=0, \ (AX_2)_1 = 2x_1^{(2)} - x_2^{(2)}
= \frac{1}{2(n+1)} \big[ 2n - (-2) \big] = 1$

\ - si $1 \leq i \leq \frac{n}{2}-1,
\ (AX_2)_{2i+1} = -x_{2i}^{(2)} + 2x_{2i+1}^{(2)} - x_{2i+2}^{(2)}
= \frac{1}{2(n+1)} \big[ -(-2i) + 2(n-2i)-(-2i-2) \big] = 1$

\ - si $1 \leq i < \frac{n}{2}-1,
\ (AX_2)_{2i} = -x_{2i-1}^{(2)} + 2x_{2i}^{(2)} - x_{2i+1}^{(2)}
= \frac{1}{2(n+1)} \big[ -(n-2i+2) + 2(-2i)-(n-2i) \big] = -1$

\ - si $i = \frac{n}{2}-1, \ (AX_2)_n = -x_{n-1}^{(2)} + 2x_n^{(2)}
= \frac{1}{2(n+1)} \big[ -(2) + 2(-n) \big] = -1$.

Ainsi, $AX_2 = B_2$.

Cette fois, $f_{2i+1} >0$ et $f_{2i} <0$ ;
les n\oe uds d'indice impair se d\'eplacent dans le sens positif,
les autres dans le sens contraire.

Pour les n\oe uds d'indice impair, $| x_{2i+1}^{(2)} |$ est maximum pour
$n - 2i$ maximum, c'est-\`a-dire pour $i=0$ ;
c'est le premier n\oe ud et son d\'eplacement relatif est $\frac{n}{2(n+1)} \cdotp$

Pour les n\oe uds d'indice pair, $| x_{2i}^{(2)} |$ est maximum pour
$i$ maximum, c'est-\`a-dire pour $i= \frac{n}{2}$ ;
c'est le dernier n\oe ud et son d\'eplacement relatif est \'egalement $\frac{n}{2(n+1)} \cdotp$

Cette fois, ce sont les n\oe uds extremaux qui ont le plus grand d\'eplacement.


\null \hskip-0,8truecm
{\bf 2.} \ {\bf 2.1.}%______________________%
\ D'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede,
$\big| \big| X_1 \big| \big|_\infty = \frac{n(n+2)}{8},
\ \big| \big| X_2 \big| \big|_\infty = \frac{n}{2(n+1)} \cdotp$

Comme $r>0,
\ \big| \big| X_3 - X_1 \big| \big|_\infty
= \big| \big| rX_2 \big| \big|_\infty
= r\big| \big| X_2 \big| \big|_\infty$
et $\big| \big| X_4 - X_2 \big| \big|_\infty
= \big| \big| rX_1 \big| \big|_\infty
= r\big| \big| X_1 \big| \big|_\infty$.

$\big| \big| B_1 \big| \big|_\infty = 1
= \big| \big| B_2 \big| \big|_\infty$
et, comme avec les $X, \ \big| \big| B_3 - B_1 \big| \big|_\infty
= r \big| \big| B_2 \big| \big|_\infty = r
= \big| \big| B_4 - B_2 \big| \big|_\infty$.

D'o\`u :
$e(X_3) = \frac{\big| \big| X_3 - X_1 \big| \big|_\infty}{\big| \big| X_1 \big| \big|_\infty}
= \frac{4r}{(n+1)(n+2)},
\ e(X_4) = \frac{\big| \big| X_4 - X_2 \big| \big|_\infty}{\big| \big| X_2 \big| \big|_\infty}
= \frac{r(n+1)(n+2)}{4}$,

et $e(B_3) = \frac{\big| \big| B_3 - B_1 \big| \big|_\infty}{\big| \big| B_1 \big| \big|_\infty}
= r
= e(B_4) = \frac{\big| \big| B_4 - B_2 \big| \big|_\infty}{\big| \big| B_2 \big| \big|_\infty} \cdotp$

\null 
{\bf 2.2.}%______________________%
\ Les facteurs d'amplification d'erreur
$\frac{e(X_3)}{e(B_3)} = \frac{4}{(n+1)(n+2)}$
\ et \ $\frac{e(X_4)}{e(B_4)} = \frac{(n+1)(n+2)}{4}$
sont inverses l'un de l'autre.


\null 
{\bf 2.3.}%______________________%
\ Comme $n \geq 2, \ (n+1)(n+2) \geq 12$ et
le premier facteur d'amplification est strictement plus petit que 1.
Ainsi, la perturbation a tandence \`a diminuer.
Tous les $f_i$ \'etant positifs, le premier syst\`eme est stable.

En revanche, dans le second cas, les $f_i$ sont de signes altern\'es ;
le syst\`eme est donc instable. C'est conforme au facteur d'amplification
qui est strictement plus grand que 1.

%______________________________________________________________
\bigskip
\trait{2.1}\vskip-7pt
\centerline{Fin du corrig\'e}
%______________________________________________________________

\vskip1cm

\qquad
{\it D. Maillard} - $1^{\grave ere}$ ann\'ee TSI - Saint-Nazaire



\bye