%Format: ML-LaTeX2e
%Option: bigtex

% Jean-Luc QUEVA et Pascal TERRIEN
% Lyc\'ee Condorcet 25,rue Etienne Dolet 62300 LENS
% Mai 1999
% email : jl.queva@enst-bretagne.fr et pterrien@nordnet.fr

\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,graphicx,pstricks}
%\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{francais}
\def\og{``}\def\fg{''}
% tir\'e de a4wide.sty
\oddsidemargin  0.15 in     %   Left margin on odd-numbered pages.
\evensidemargin 0.35 in     %   Left margin on even-numbered pages.
\marginparwidth 1 in        %   Width of marginal notes.
\oddsidemargin 0.25 in      %   Note that \oddsidemargin = \evensidemargin
\evensidemargin 0.25 in
\marginparwidth 0.75 in
\textwidth 5.875 in 				% Width of text line.


\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%	Quelques macros
\newcommand{\MnunR}{\mathcal{M}_{n,1}(\R)}
\newcommand{\s}{(\mathcal{S}_\eps)}
\newcommand{\sig}{(\mathcal{S}_0)}
\newcommand{\dps}{\displaystyle}

\newcommand{\N}{\mathbf{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbf{R}}
\newcommand{\C}{\mathbf{C}}

\newcommand{\vc}[1]{\mathbf{#1}}
  % vecteur \'ecrit en gras
\newcommand{\bvc}[1]{\boldsymbol{#1}}
  % vecteur \'ecrit en gras, cas des grecs

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\beps}{\boldsymbol{\varepsilon}}

\newcommand{\somdir}{\mathop{\oplus}\nolimits}
\newcommand{\Somdir}{\mathop{\oplus}\limits}

\newcommand{\Intf}[3][]{#1\lbrack\!#1\lbrack#2,#3#1\rbrack\!#1\rbrack}
       %intervalle ferm\'e [|#2;#3|] pour les nombres entiers

\def\buildrel#1_#2^#3{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}^{#3}}}
	% d\'efinit une macro pour mettre #2 en dessous et #3 au dessus de #1
\newcommand{\equivalent}[1][n]{\buildrel{\sim}_{#1}^{}}
	% le signe "\'equivalent" avec un "n" dessous par d\'efaut

\newcommand{\esp}{1ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{NB}{Remarque}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% le truc de M. Quercia

\makeatletter
\font\@upstt=cmtt10
\def\ps@ups{\let\@mkboth\@gobbletwo
     \let\@oddhead\@empty\def\@oddfoot{\@upstt\hfil\@upstitle\ - page \thepage\ifodd\count0\hfill\fi}%
     \let\@evenhead\@empty\let\@evenfoot\@oddfoot
}
\edef\@upstitle{\jobname.tex}      % nom du fichier
\pagestyle{ups}
\ifx\numerodepage\undefined\count0=1\else\count0=\numerodepage\fi   % num\'ero de la premi\`ere page
\makeatother


\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\Large
Banque d'\'epreuves \textsf{E3A}\\
Concours \oldstylenums{1999}\\
Option : MP\\
MATH\'EMATIQUES 1\\
Dur\'ee : $3$ h\\
\normalsize
\textit{Divers exercices inint\'eressants.}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace*{\esp}
\begin{center}
	\hrulefill\\[2ex]
	\textsf{\large Exercice I.
		Surface et volume d'un t\'etra\`edre et d'un octa\`edre r\'eguliers}\\
	\hrulefill
\end{center}

	Le volume d'un prisme est donn\'ee par la formule $\frac13 B\times h$ o\`u $B$
d\'esigne la surface de la base et $h$ la hauteur du prisme.
\begin{enumerate}
	\item La base est un triangle \'equilat\'eral de c\^ot\'e $a$; sa surface vaut
$B=\frac{\sqrt{3}}4 a^2$. Le calcul de la hauteur peut s'effectuer de la fa\c{c}on
suivante : on consid\`ere la section du t\'etra\`edre par le plan bissecteur d'une des
ar\^etes; c'est un triangle isoc\`ele dont les longueurs des c\^ot\'es sont
respectivement : $a\frac{\sqrt{3}}2$, $a\frac{\sqrt{3}}2$ et $a$; sa surface vaut
$a\frac{\sqrt{3}}2\times h$ et aussi
$$
\sqrt{p(p-a\frac{\sqrt{3}}{2})(p-a\frac{\sqrt{3}}{2})(p-a)}=\frac{\sqrt{2}}{4}a^2
$$
o\`u $p$ d\'esigne le demi-p\'erim\`etre, soit $\frac{a}2(\sqrt{3}+1)$. Ainsi
$h=\sqrt{\frac23}a$, d'o\`u le volume $V$ du t\'etra\`edre :
\begin{center}
	\fbox{$\dps
		V=\frac13\,\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\,\sqrt{\frac23}a=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3
	$}
\end{center}

	La hauteur s'obtient aussi en calculant les coordonn\'ees des sommets d'un
t\'etra\`edre. Les points $(\frac{\sqrt3}3 a,0,0)$, $(-\frac{\sqrt3}6 a,\frac12 a,0)$ et
$(-\frac{\sqrt3}6 a,-\frac12 a,0)$ sont les sommets d'un triangle \'equilat\'eral de
c\^ot\'es $a$. Le point $(0,0,h)$ est le quatri\`eme sommet du t\'etra\`edre et $h$ est
donn\'e par $h^2+(\frac{\sqrt3}3 a)^2=a^2$, soit $h^2=\frac23 a^2$.

	Les quatre faces d'un t\'etra\`edre sont des triangles \'equilat\'eraux de c\^ot\'es $a$.
La somme $S$ des aires des faces est :
\begin{center}
\fbox{$\dps
S=4\times\frac{\sqrt3}4 a^2=\sqrt3\, a^2
$}
\end{center}

	\item Les huit faces d'un octa\`edre r\'egulier sont des triangles \'equilat\'eraux et
donc la somme $S$ des aires des faces est :
\begin{center}
\fbox{$\dps
S=8\times\frac{\sqrt3}4 a^2=2\sqrt3\, a^2
$}
\end{center}

	Un octa\`edre r\'egulier est constitu\'e de deux prismes de base un carr\'e de c\^ot\'e
$a$ et de hauteur $h=\frac{\sqrt2}2\,a$, hauteur relative \`a l'hypoth\'enuse d'un
triangle rectangle isoc\`ele de c\^ot\'es respectifs $a$, $a$ et $a\sqrt2$. On obtient
le volume $V$ par :
\begin{center}
\fbox{$\dps
V=2\times\frac13\,a^2\,\frac{\sqrt2}2\,a=\frac{\sqrt2}3\,a^3
$}
\end{center}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace*{\esp}
\begin{center}
	\hrulefill\\[2ex]
	\textsf{\large Exercice II.
		Diagonalisation de deux matrices sym\'etriques }\\
	\hrulefill
\end{center}


\begin{enumerate}
	\item La matrice $U$ est une matrice sym\'etrique r\'eelle telle que $U^2=I_n$;
l'endomorphisme de $\R^n$ associ\'ee est une sym\'etrie orthogonale pour le produit
scalaire naturel; $U$ est diagonalisable, son spectre est $\{-1,1\}$, ses
sous-espaces vectoriels propres sont :
\begin{center}
\fbox{$\dps
\ker(U-I_n)=
\begin{cases}
\R(\vc e_1+\vc e_{2m})\somdir\R(\vc e_2+\vc e_{2m-1})\somdir\cdots
		\somdir\R(\vc e_{m}+\vc e_{m+1})
		&\text{ si $n=2m$;}																\\
\R(\vc e_1+\vc e_{2m+1})\somdir\R(\vc e_2+\vc e_{2m})\somdir\cdots
		\somdir\R(\vc e_{m}+\vc e_{m+2})\somdir\R\vc e_{m+1}
		&\text{ si $n=2m+1$}
\end{cases}
$}
\end{center}
et
\begin{center}
\fbox{$\dps
\ker(U+I_n)=
\begin{cases}
\R(\vc e_1-\vc e_{2m})\somdir\R(\vc e_2-\vc e_{2m-1})\somdir\cdots
		\somdir\R(\vc e_{m}-\vc e_{m+1})
		&\quad\text{si $n=2m$;}																\\
\R(\vc e_1-\vc e_{2m+1})\somdir\R(\vc e_2-\vc e_{2m})\somdir\cdots
		\somdir\R(\vc e_{m}-\vc e_{m+2})
		&\quad\text{si $n=2m+1$}
\end{cases}
$}
\end{center}
en notant $\vc e_1$, $\vc e_2$,\dots,$\vc e_n$ la base naturelle de $\R^n$.

	\item $A$ est une matrice sym\'etrique r\'eelle, $A$ est donc diagonalisable.

Calculons $A^2$ en effectuant un produit par blocs :
$$
A^2=
\begin{pmatrix}
	U	&	I_n		\\	I_n	&	U
\end{pmatrix}^2
=
\begin{pmatrix}
	U^2+I_n^2	&	2U	\\	2U	&	U^2+I_n^2
\end{pmatrix}
=2
\begin{pmatrix}
	I_n	&	U	\\	U &	I_n
\end{pmatrix}
$$
De m\^eme, $A^3=4A$, ce qui montre que $X(X^2-4)$ est annulateur%
\footnote{$X(X^2-4)$ est un polyn\^ome scind\'e \`a racines simples, ce qui confirme
que $A$ est une matrice diagonalisable.}
de $A$; les valeurs propres de $A$ sont \`a chercher parmi les racines de ce polyn\^ome,
soit dans $\{-2,0,2\}$.

	On \'ecrit, par blocs, toute matrice colonne $X$ d'ordre $2n$ :
$X=\bigl(\begin{smallmatrix}
X_1	\\	X_2
\end{smallmatrix}\bigr)$
avec $X_1$ et $X_2$ deux matrices colonnes d'ordre $n$. La base naturelle de
$\R^{2n}$ est not\'ee $(\beps_1,\beps_2,\dots,\beps_{2n})$. Les sous-espaces
vectoriels propres de $A$ se d\'eterminent de la mani\`ere suivante :
\begin{align*}
A\,X=0
&	\iff
0=\begin{pmatrix}	U	&	I_n	\\	I_n	&	U	\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}	X_1	\\X_2	\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}	UX_1+X_2	\\	X_1+UX_2	\end{pmatrix}						\\
&	\iff
X_2=-UX_1	\text{ et }	-X_1=UX_2=-U^2X_1=-X_1																\\
&	\iff
X=\begin{pmatrix}	X_1	\\	-UX_1	\end{pmatrix}, X_1\in\MnunR
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{$\dps
\ker A=\R(\beps_1-\beps_{2n})\somdir\R(\beps_2-\beps_{2n-1})\somdir
\cdots\somdir\R(\beps_n-\beps_{n+1})
$}
\end{center}

\begin{align*}
(A-2
&	I_{2n})X=0 \iff
0=\begin{pmatrix}	U-2I_n	&	I_n	\\	I_n	&	U-2I_n	\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}	X_1	\\X_2	\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}	UX_1-2X_1+X_2	\\	X_1+UX_2-2X_2	\end{pmatrix}			\\
&	\iff	X_2=2X_1-UX_1																							\\
&	\qquad\text{ et }	-X_1=UX_2-2X_2=2UX_1-U^2X_1-4X_1+2UX_1=4UX_1-5X_1			\\
&	\iff
X_1=UX_1	\text{ et }	X_2=2X_1-UX_1=X_1																		\\
&	\iff
X=\begin{pmatrix}	X_1	\\	X_1	\end{pmatrix}, X_1\in\ker(U-I_n)
\end{align*}

\begin{center}
\fbox{$\dps
\ker A=
\begin{cases}
	\Somdir_{k=1}^m\R(\beps_k+\beps_{2m+1-k}+\beps_{2m+k}+\beps_{4m+1-k})
		&	\text{si $n=2m$}		\\[3ex]
	\Bigl(\,\Somdir_{k=1}^n\R(\beps_k+\beps_{2m+2-k}+\beps_{2m+1+k}+\beps_{4m+3-k})\Bigr)
		\Somdir\R(\beps_{m+1}+\beps_{3m+2})
		&	\text{si $n=2m+1$}		\\
\end{cases}
$}
\end{center}

\begin{align*}
(A+2
&I_{2n})X=0 \iff
0=\begin{pmatrix}	U+2I_n	&	I_n	\\	I_n	&	U+2I_n	\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}	X_1	\\X_2	\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}	UX_1+2X_1+X_2	\\	X_1+UX_2+2X_2	\end{pmatrix}				\\
&	\iff	X_2=-2X_1-UX_1																							\\
&\quad\text{ et }	-X_1=UX_2+2X_2=-2UX_1-U^2X_1-4X_1-2UX_1=-4UX_1-5X_1				\\
&	\iff	X_1=-UX_1	\text{ et }	X_2=-2X_1-UX_1=-X_1														\\
&	\iff
X=\begin{pmatrix}	X_1	\\	X_1	\end{pmatrix}, -X_1\in\ker(U+I_n)
\end{align*}

\begin{center}
\fbox{$\dps
\ker A=
\begin{cases}
	\Somdir_{k=1}^m\R(\beps_k-\beps_{2m+1-k}-\beps_{2m+k}+\beps_{4m+1-k})
		&	\text{si $n=2m$}		\\[3ex]
	\Somdir_{k=1}^n\R(\beps_k-\beps_{2m+2-k}-\beps_{2m+1+k}+\beps_{4m+3-k})
		&	\text{si $n=2m+1$}		\\
\end{cases}
$}
\end{center}

\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace*{\esp}
\begin{center}
	\hrulefill\\[2ex]
	\textsf{\large Exercice III.
	Podaire d'une ellipse par rapport \`a un de ses sommets}\\
	\hrulefill
\end{center}

	L'ellipse $7^{-2}(x-7)^2+3^{-2}y^2=1$ admet la repr\'esentation param\'etrique :
$$
x=7+7\cos t, \quad y=3\sin t
$$
La tangente au point courant a pour \'equation :
$$
0=
\begin{vmatrix}
	x-7(1+\cos t)	&	-7\sin t	\\
	y-3\sin t	&	3\cos t
\end{vmatrix}
=(3\cos t)x+(7\sin t)y-21(1+\cos t)
$$
La projection orthogonale de $O$ sur la droite d'\'equation $ax+by=c$ est $(ta,tb)$
avec $c=a(ta)+b(tb)=t(a^2+b^2)$, soit :
$$
t=\frac{21(1+\cos t)}{9\cos^2 t+49\sin^2 t}
=\frac{42\cos^2\frac t2}{29-20\cos 2t}
$$
\begin{center}
\fbox{La podaire : $\dps
x=\frac{42\cos^2\frac t2}{29-20\cos 2t}3\cos t,
y=\frac{42\cos^2\frac t2}{29-20\cos 2t}7\sin t
$}
\end{center}

	Une autre possibilit\'e de param\'etrer l'ellipse est de couper par la droite
$y=tx$ : l'origine est un point de cette ellipse. Il vient :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
	9(x-7)^2+49y^2=441		\\
	y=tx
\end{array}
\right.
\iff
\left\{
\begin{array}{l}
	\dps x=\frac{126}{9+49t^2}\\[2ex]
	\dps y=\frac{126t}{9+49t^2}
\end{array}
\right.
$$
On retrouve un param\'etrage rationnelle de l'ellipse (l'origine est atteinte pour
$t=\infty$) et la podaire devient :
$$
x=126\frac{9-49t^2}{81+8\;722t^2+2\;401t^4},
y=12\;348\frac{t}{81+8\;722t^2+2\;401t^4}
$$

	Merci \`a Maple de s'occuper du trac\'e de la courbe!

\begin{figure}[!hbt]
\centering
\begin{pspicture}(0,0)(8,7)
%\psgrid
\rput(4,3.5){\includegraphics[width=.6\linewidth]{M99RM1Fa.eps}}
\rput(1,6.6){$\scriptstyle{y}$}
\rput(7.3,3.4){$\scriptstyle{x}$}
\rput(4,2){\scriptsize{ellipse}}
\rput(6.6,6){\scriptsize{podaire}}
\end{pspicture}
\caption{L'ellipse et sa podaire.}
\end{figure}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace*{\esp}
\begin{center}
	\hrulefill\\[2ex]
	\textsf{\large Exercice IV.
			Droites d'un c\^one, d'un H1 et d'un H2 }\\
	\hrulefill
\end{center}


\begin{enumerate}
	\item Si $B=(X,Y,Z)$ est un point de la surface $\sig$ ($XY+YZ+ZX=0$), la droite $OB$ est
trac\'ee sur $\sig$, car, pour tout $t\in\R$, $tXtY+tYtZ+tZtX=t^2(XY+YZ+ZX)=0$ et $(tX,tY,tZ)\in\sig$.

	Soient $A=(x,y,z)$ et $B=(X,Y,Z)$ deux points distincts de $\sig$ et
distincts de l'origine. Le point $M=(1-t)A+tB=\bigl((1-t)x+tX,\dots\bigr)$ est
un point courant de la droite $AB$ ($t\in\R$). La droite $AB$ est trac\'ee sur
$\sig$ si, et seulement si, pour tout $t\in\R$ :
\begin{align*}
0
&=	\bigl((1-t)x+tX\bigr)\bigl((1-t)y+tY\bigr) +
			\bigl((1-t)y+tY\bigr)\bigl((1-t)z+tZ\bigr) +\cdots						\\
&=	\bigl((xy+XY-xY-yX)t^2+(xY+yX-2xy)t+xy\bigr) + \cdots						\\
&=	t^2\bigl((xy+yz+zx) - (xY+yX+yZ+zY+zX+xZ) + (XY+YZ+ZX)\bigr)		\\
&\qquad	+t\Bigl(-2(xy+yz+zx) + (xY+yX+yZ+zY+zX+xZ) \Bigr)						\\
&\qquad	+1(xy+yz+zx)																								\\
&\hspace*{-2em}\iff
\begin{cases}
	xy+yz+zx=0	&	\text{ : $A\in\sig$}		\\ 
	XY+YZ+ZX=0	&	\text{ : $B\in\sig$}		\\
	(y+z)X+(z+x)Y+(x+y)Z=0	&	\text{ : $B\in$ plan tangent en $A$ \`a $\sig$}
\end{cases}
\end{align*}

	L'un des trois nombres $(y+z)$, $(z+x)$ et $(x+y)$ est diff\'erent de 0
($A\neq O$), par exemple $(x+y)$; on tire $Z$ de la {\it troisi\`eme \'equation} que l'on
porte dans la {\it deuxi\`eme} qui devient :
$$
(z+x)Y^2+2zXY+(y+z)X^2=0
$$
Le discriminant r\'eduit du trin\^ome en la variable $Y$ vaut $\bigl(z^2-(z+x)(y+z)\bigr)X^2=-(xy+yz+zx)X^2=0$ et donc
$zX+(z+x)Y=0$. Ainsi le syst\`eme pr\'ec\'edent \'equivaut \`a :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
	xy+yz+zx=0			\\ 
	zX+(z+x)Y=0			\\
	(y+z)X+(z+x)Y+(x+y)Z=0		
\end{array}
\right.
$$
La droite $\big\{ \; zX+(z+x)Y=0$,	$(y+z)X+(z+x)Y+(x+y)Z=0\;\big\}$ est trac\'ee sur la surface,
c'est la droite $OA$.
\begin{center}
\fbox{
\parbox{.9\linewidth}{
Par tout point $A\in\sig$ distinct de $O$ passe une et une seule droite
trac\'ee sur $\sig$,\\ c'est la droite $OA$.
}
}
\end{center}

	On peut aussi proc\'eder de la fa\c{c}on suivante. L'\'equation $xy+yz+zx=0$ est
\'equivalente \`a $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2$, ce qui donne :
\begin{multline*}
XY+YZ+ZX=0																												\\
\iff	(x^2+y^2+z^2)(X^2+Y^2+Z^2)=\bigl((x+y+z)(X+Y+Z)\bigr)^2			\\
	=\bigl(xX+yY+zZ+(y+z)X+(z+x)Y+(x+y)Z\bigr)^2										\\
=(xX+yY+zZ)^2																											\\
\iff	0=(x^2+y^2+z^2)(X^2+Y^2+Z^2)-(xX+yY+zZ)^2										\\
=(xY-yX)^2+(yZ-zY)^2+(zX-xZ)^2																		\\
\iff	xY-yX=0\text{ et } yZ-zY=0\text{ et } zX-xZ=0
\end{multline*}
Les quatre plans $(y+z)X+(z+x)Y+(x+y)Z=0$, $xY-yX=0$, $yZ-zY=0$ et $zX-xZ=0$
appartiennent \`a un m\^eme faisceau (le v\'erifier), l'intersection est une droite :
la droite $OA$.
 
	\item On consid\`ere maintenant la surface $\s$ d'\'equation $xy+yz+zx=\eps$ avec
$\eps=\pm1$. Reprenant les m\^emes calculs, il vient pour tout $t\in\R$ :
\begin{align*}
\eps
&=	\bigl((1-t)x+tX\bigr)\bigl((1-t)y+tY\bigr) +
			\bigl((1-t)y+tY\bigr)\bigl((1-t)z+tZ\bigr) +\cdots						\\
&=	\bigl((xy+XY-xY-yX)t^2+(xY+yX-2xy)t+xy\bigr) + \cdots						\\
&=	t^2\bigl((xy+yz+zx) - (xY+yX+yZ+zY+zX+xZ) + (XY+YZ+ZX)\bigr)		\\
&\qquad	+t\Bigl(-2(xy+yz+zx) + (xY+yX+yZ+zY+zX+xZ) \Bigr)						\\
&\qquad	+1(xy+yz+zx)																								\\
&\hspace*{-2em}\iff
\begin{cases}
	xy+yz+zx=\eps	&	\text{ : $A\in\s$}		\\ 
	XY+YZ+ZX=\eps	&	\text{ : $B\in\s$}		\\
	(y+z)X+(z+x)Y+(x+y)Z=2\eps	&	\text{ : $B\in$ plan tangent en $A$ \`a $\s$}
\end{cases}
\end{align*}

	L'un des trois nombres $(y+z)$, $(z+x)$ et $(x+y)$ est diff\'erent de 0
($O\notin\s$), par exemple $(x+y)$; on tire $Z$ de la {\it troisi\`eme \'equation} que l'on
porte dans la {\it deuxi\`eme \'equation} qui devient :
$$
(z+x)Y^2+2(zX-\eps)Y+(y+z)X^2-2\eps X+\eps(x+y)=0
$$
Le discriminant r\'eduit du trin\^ome en la variable $Y$ se simplifie :
\begin{align*}
\Delta'
&=	(zX-\eps)^2-(z+x)\bigl((y+z)X^2-2\eps X+\eps(x+y)\bigr)			\\
&=	-(xy+yz+zx)X^2+2\eps xX+\eps^2-\eps(xy+yz+zx)\eps x^2				\\
&=	-\eps(X-x)^2
\end{align*}
Si $\eps=-1$, $(z+x)Y=-(zX+1)\pm(X-x)$ et donc, la condition $xy+yz+zx=-1$ \'etant 
assur\'ee, il vient :
\begin{multline*}
\left\{
\begin{array}{l}
	(y+z)X+(z+x)Y+(x+y)Z=-2		\\
	XY+YZ+ZX=-1
\end{array}
\right.
\iff																															\\
\left\{
\begin{array}{l}
	(y+z)X+(z+x)Y+(x+y)Z=-2		\\
	(z+x)Y=-(zX+1)+(X-x)
\end{array}
\right.
\text{ ou }
\left\{
\begin{array}{l}
	(y+z)X+(z+x)Y+(x+y)Z=-2		\\
	(z+x)Y=-(zX+1)-(X-x)
\end{array}
\right.
\end{multline*}
ce qui donne deux droites.
\begin{center}
\fbox{
\parbox{.9\linewidth}{
En chaque point de $\mathcal{S}_{-1}$ passent deux droites, et deux seulement,
trac\'ees sur la surface.
}
}
\end{center}

	Si $\eps=1$, le discriminant n'est jamais positif sauf pour $X=x$ et, dans ce
cas, il est nul. On trouve $Y=y$ et $Z=z$; ainsi $A=B$.
\begin{center}
\fbox{
Sur la surface $\mathcal{S}_{1}$ n'est trac\'ee aucune droite
}
\end{center}

\begin{NB}[Utilisation d'un logiciel]

	Le lecteur attentif aura remarqu\'e que la r\'esolution de l'\'equation du second
degr\'e en $Y$ ci-dessus impose $z+x\neq0$, sinon cette \'equation est du second
degr\'e en $X$ pourvu que $y+z\neq0$, d'o\`u l'\'etude de cas particuliers.
Un logiciel de calcul formel, Maple par
exemple, permet de factoriser l'\'equation sans aucune difficult\'e :
\begin{verbatim}
e:=-1:
eq1:=x*y+y*z+z*x-e:sol1:=solve(eq1,z):
eq2:=(y+z)*X+(z+x)*Y+(x+y)*Z-2*e:sol2:=solve(eq2,Z):
factor(subs(Z=sol2, z=sol1, X*Y+Y*Z+Z*X-e)); 
\end{verbatim}
$$
-\frac{(Xy-yX-x+Y-Yx)(Xy+y-X+x-Y-Yx)}{(y+x)^2}
$$
Et le tour est jou\'e!
\end{NB}

\begin{NB}[\'Equation r\'eduite des quadriques]

	\`A la forme quadratique $q : (x,y,z)\mapsto xy+yz+zx$ est associ\'ee la matrice
sym\'etrique
$$
\frac12
\begin{pmatrix}
	0&1&1	\\	1&0&1&	\\	1&1&0
\end{pmatrix}
$$
dont le polyn\^ome caract\'eristique est $(-\lambda+1)(-\lambda-\frac12)^2$. Dans un
rep\`ere orthonormal de vecteurs propres, la forme quadratique $q$ est r\'eduite :
$$
q(x,y,z)=-\frac12({x'}^2+{y'}^2)+{z'}^2
$$
$\sig : {z'}^2=({x'}^2+{y'}^2)/2$ est un c\^one de r\'evolution de sommet $O$;\\
$(\mathcal{S}_{-1}) : -({x'}^2+{y'}^2)/2+{z'}^2=-1$ est un hyperbolo\"{\i}de de
r\'evolution \`a une nappe;\\
$(\mathcal{S}_{-1}) : -({x'}^2+{y'}^2)/2+{z'}^2=1$ est un hyperbolo\"{\i}de de
r\'evolution \`a deux nappes.

La recherche des droites trac\'ees sur ces surfaces s'en trouve facilit\'ee et
devient une question de cours.
\end{NB}
\end{enumerate}
%\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace*{\esp}
\begin{center}
	\hrulefill\\[2ex]
	\textsf{\large Exercice V. Une \'equation entre polyn\^omes}\\
	\hrulefill
\end{center}

\begin{enumerate}

\item

On dispose de la d\'ecomposition en produit de facteurs premiers
dans $\C[X]$ : 
$$A^n+B^n=\dps \prod_{k=0}^{n-1}\big( A+\omega_k\, B\big)$$ 
avec $\omega_k=e^{i\, \pi/n+i\, 2k\pi/n}$ pour $k\in\Intf0{n-1}$.

Par des consid\'erations de degr\'es, on a donc $A^n+B^n$ polyn\^ome
constant si, et seulement si, $A+\omega_k\, B$ est constant pour
tout $k\in\Intf0{n-1}$, ce qui \'equivaut \`a $A$ et $B$ constantes
 complexes puisque $n\geq 2$.

\begin{center}
\fbox{
\parbox{.9\linewidth}{
$A^n+B^n$ est une constante complexe non nulle si, et seulement
si, $A$ et $B$ sont constants tel que $A^n+B^n\not=0$.
}
}
\end{center}

\item
On consid\`ere $P$ et $Q$ deux polyn\^omes non nuls dans $\C[X]$.

Soit $D$ un Plus Grand Diviseur Commun de $P$ et $Q$. Les
polyn\^omes $A$ et $B$ v\'erifiant $P=D\, A$ et $Q=D\, B$
 sont premiers entre eux.
 Alors :
\begin{equation*}
\begin{split}
P^n+Q^n=PQ 
&\iff D^n\, \big( A^n+B^n\big)=D^2\, (A\, B)\\
&\iff D^{n-2}\, \big(A^n+B^n\big)=A\, B.
\end{split}
\end{equation*}
Comme $A\big\vert D^{n-2}\, A^n+D^{n-2}\,B^n$ et
$A\big\vert D^{n-2}\, A^n$, on a donc 
$A\big\vert D^{n-2}\, B^n$, ce qui implique $A\big\vert D^{n-2}$
 puisque $A$ et $B$ sont premiers entre eux.

De m\^eme, on montre que $B\big\vert D^{n-2}$.

On en d\'eduit que $A\,B\big\vert D^{n-2}$ car $A$ et $B$ premiers entre
eux. Comme d'autre part, $D^{n-2}\big\vert A\, B$, on en d\'eduit $A\, B$ et $D^{n-2}$
associ\'es : il existe un complexe non nul $\mu$ tel que
$A\,B=\mu\,D^{n-2}$.

\begin{equation*}
\begin{split}
P^n+Q^n=PQ 
&\iff A^n+B^n=\mu \\
&\iff A \text{ et } B \text{ sont constants tel que }
A^n+B^n\not=0
\end{split}
\end{equation*}

Il existe donc $\lambda \in \C^{*}$  tel que 
$Q=\lambda \, P$ avec $ \lambda ^n+1\not= 0$ et :

\begin{equation*}
\begin{split}
P^n+Q^n=PQ 
&\iff (\lambda^n+1)\, P^n=\lambda \, P^2\\
&\iff (\lambda ^n+1)\, P^{n-2}=\lambda
\end{split}
\end{equation*}
Si $n=2$ alors :
\begin{equation*}
\begin{split}
P^2+Q^2=P\, Q 
&\iff (\lambda ^2+1)=\lambda\\
&\iff \lambda ^2-\lambda +1=0\\
&\iff \lambda \in \{-j,-j ^2\}\text{ avec $j=\exp(2i\pi/3)$}
\end{split}
\end{equation*}
\begin{center}
\fbox{$\dps
P^2+Q^2=PQ\iff Q=-jP\text{ ou }Q=-j^2P,\ P\in\C[X],\ j=\exp(2i\pi/3)
$}
\end{center}
\begin{center}
\fbox{$\dps
\forall n>2,\ P^n+Q^n=P\, Q 
\iff P \text{ et } Q \text{ constants avec } P^n+Q^n =P\, Q
$}
\end{center}

\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace*{\esp}
\begin{center}
	\hrulefill\\[2ex]
	\textsf{\large Exercice VI.	Quelques calculs}\\
	\hrulefill
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
$\dps \frac{\sin 2\, \alpha}{\sin
\alpha}
=\frac{2\, \sin  \alpha\, \cos \alpha}{\sin \alpha}=2\, \cos
\alpha$.

\item
Comme $c_k=\dps \cos \frac{\pi}{2^{k+2}}
=\frac{1}{2}\,\frac{\sin (\pi/2^{k+1})}{\sin (\pi/2^{k+2})}$, il
vient par \og t\'elescopage multiplicatif \fg{} :
$$
P_n=\dps \prod_{k=0}^n c_k
	=\Big( \frac{1}{2}\Big)^{n+1}\prod_{k=0}^n \frac{\sin (\pi/2^{k+1})}{\sin (\pi/2^{k+2})}
	=\frac{1}{2^{n+1}}\frac{\sin (\pi/2)}{\sin( \pi/2^{n+2})}
	=\frac{1}{2^{n+1}}\frac{1}{\sin (\pi/2^{n+2})}.
$$
On a $c_0=\dps \cos \frac{\pi}{2^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$
 et $c_{k+1}=\dps \cos \frac{\pi}{2^{k+3}}
=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\, c_k}$ de part la relation
trigonom\'etrique $\cos ^2x=\dps \frac{1}{2}\, (1+\cos 2x)$, donc :
\begin{equation*}
\begin{split}
P_3
&=c_0\times c_1\times c_2 \times c_3\\
&=\sqrt{\frac{1}{2}} \times 
\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}} \times 
\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}}}
\times 
\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}}}}\\
&=\frac{1}{2^4}\,\frac{1}{\sin \pi/2^5}.
\end{split}
\end{equation*}

\item
$\dps \frac{1}{\tan \alpha}-\frac{2}{\tan 2\,\alpha}
=\frac{1}{\tan \alpha}-2\, \frac{1-\tan ^2\alpha}{2\, \tan \alpha}
=\frac{1}{\tan \alpha} -\frac{1-\tan ^2\alpha }{\tan \alpha}
=\tan \alpha$.

\item
Comme on a :
$$
t_k=\dps \frac{1}{2 ^k}\, \tan \frac{\pi}{2 ^{k+1}}
=\frac{1}{2 ^k}\, \Big( \frac{1}{\tan (\pi/2 ^{k+2})}-\frac{2}{\tan (\pi/2 ^{k+1})} \Big)
=\frac{2^{-k}}{\tan (\pi/2 ^{k+2})}-\frac{2^{-k+1}}{\tan (\pi/2^{k+1})}
$$
 il vient par 
\og t\'elescopage additif \fg \, :
\begin{equation*}
\begin{split}
S_n&=\dps \sum_{k=0}^n t_k
	=t_0+\sum_{k=1}^n \Big( \frac{1}{2 ^k\,\tan (\pi/2 ^{k+2})}-
		\frac{1}{2^{k-1}\,\tan (\pi/2^{k+1})} \Big)																			\\
&=\tan \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2 ^n\,\tan (\pi/2 ^{n+2})}
	-\frac{1}{\tan(\pi/4)}
	=\frac{1}{2 ^n\,\tan (\pi/2 ^{n+2})}.
\end{split}
\end{equation*}

\item\hspace{\fill}
\fbox{$\dps
P_n \equivalent \dps \frac{1}{2 ^{n+1}}\, \frac{1}{\pi/2^{n+2}}=\frac{2}{\pi}
$}
\hspace{\stretch{.3}} et \hspace{\stretch{.5}}
\fbox{$\dps
S_n\equivalent \dps \frac{1}{2 ^{n}}\,\frac{1}{\pi/2^{n+2}}=\frac{4}{\pi}
$}
\hspace*{\fill}
\end{enumerate}


\end{document}
