\documentclass{article}
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\begin{document}

%En-t{\^e}te
\lhead{e3a MP 1999, Maths 2}
\rhead{page \thepage}
\cfoot{}

%Macros perso
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\segment}[2]{\left [ #1, #2 \right ]}
\newcommand{\ouvgauche}[2]{\left ] #1, #2 \right ]}
\newcommand{\ouvdroite}[2]{\left [ #1, #2 \right [}
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}
\newcommand{\limite}[3]{\lim_{#1 \rightarrow #2} \limits #3}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3 d#4}}



%Num{\'e}rotation des questions
\renewcommand{\labelenumi}{\framebox{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumii}{(\arabic{enumi}\alph{enumii})}

\Large{Concours e3a}

\large Concours ESTP - ENSAM - ECRIN - ARCHIMEDE
\normalsize

\begin{center}
\large{{\'E}preuve de MATH{\'E}MATIQUES 2}

Fli{\`e}re MP

dur{\'e}e 3 heures
\normalsize
\end{center}

\bigskip
\hrule

\bigskip
\textit{Nota : les cinq sujets sont ind{\'e}pendants et peuvent {\^e}tre trait{\'e}s, {\`a} la rigueur, dans un ordre quelconque, sous r{\'e}serve d'indiquer \framebox{tr{\`e}s distinctement} leur num{\'e}ro. Leur $5${\`e}me question est, en g{\'e}n{\'e}ral, la plus difficile.}

\textit{Dans la r{\'e}daction des copies, les candidats sont pri{\'e}s de bien vouloir \framebox{encadrer} chacun des r{\'e}sultats correspondants aux {\'e}l{\'e}ments \framebox{encadr{\'e}s} dans les {\'e}nonc{\'e}s.}

\bigskip

\framebox{SUJET 1}

\medskip
Soit $f(x) = x^{x}$, $x$ r{\'e}el $> 0$. On peut noter $f^{(n)}(x)$, ou $\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}$, ou $D^{n}f$ pour la d{\'e}riv{\'e}e $n$-i{\`e}me de $f$.
\begin{enumerate}
\item Dresser un tableau de variations de $f$, et dessiner sa courbe repr{\'e}sentative.

\item On pose $c_{n} = \dfrac{f^{(n)}(1)}{n!}$. Calculer $c_{1}$ et $c_{2}$.

\item {\'E}tablir que $y = f(x)$ satisfait {\`a} l'{\'e}quation diff{\'e}rentielle $y ' = y \ln{x} + y$.

En d{\'e}duire la relation $c_{n-1} = \dfrac{1}{n+1}\left(c_{n} + \dfrac{c_{n-1}}{1} - \dfrac{c_{n-2}}{2} + \dfrac{c_{n-3}}{3} - \dfrac{c_{n-4}}{4} + {\dots}\right)$.

\item D{\'e}montrer que $\abs{c_{n}} {\leq} 1$. Qu'en d{\'e}duit-on pour le rayon de convergence $R$ de la s{\'e}rie $\somme{n{\geq}0}{}{c_{n}z^{n}}$ ?

\item Prouver que $f(x) = \somme{n{\geq}0}{}{c_{n}(x-1)^{n}}$ sur un intervalle $J$ ouvert que l'on pr{\'e}cisera.
\end{enumerate}

\bigskip
\framebox{SUJET 2}

\medskip
Soient $a_{n} = \dfrac{n!}{n^{n}}$, $I_{n} = \integ{0}{+{\infty}}{e^{-nt} t^{n}}{t}$, $L_{n}(s) = \integ{0}{+{\infty}}{e^{-st} t^{n}}{t}$ o{\`u} $n$ est entier ${\geq} 1$ et $s$ r{\'e}el $> 0$.

\begin{enumerate}
\item Calculer \framebox{$L_{n}(s)$}. Comparer alors $a_{n}$ et $I_{n}$.

\item D{\'e}terminer $\framebox{$\lambda$} = \limite{n}{+{\infty}}{\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}}$.

\item En d{\'e}duire le rayon de convergence \framebox{$R$} de $f(x) = \somme{n{\geq}1}{}{a_{n}x^{n}}$.

Cette s{\'e}rie enti{\`e}re converge-t-elle en $R$ ? Et en $-R$ ?

\item {\'E}tablir la relation $f(x) = \integ{0}{+{\infty}}{\dfrac{t x}{e^{t} - tx}}{t}$.

\item Dresser un tableau de variations de $f(x)$ en pr{\'e}cisant si les limites aux bornes sont finies ou non.
\end{enumerate}

\bigskip
\framebox{SUJET 3}

\medskip
Soit $f$ la fonction de la variable r{\'e}elle $x$ telle que $f(x) = \somme{n=1}{+{\infty}}{e^{-x\sqrt{n}}} = \somme{n=1}{+{\infty}}{u_{n}(x)}$.

\begin{enumerate}
\item Pr{\'e}ciser l'ensemble de d{\'e}finition \framebox{$\mathcal{E}$} de $f$.

\item Montrer que cette fonction est \textit{\textbf{strictement}} d{\'e}croissante .

\item D{\'e}terminer la limite de $f$ pour $x$ tendant vers $+{\infty}$.

\item Prouver que $f(x) \sim \dfrac{2}{x^{2}}$ pour $x$ tendant vers $0$. [On peut comparer $f$ {\`a} une int{\'e}grale.]

\item Soit $J = \integ{1}{+{\infty}}{f(x)}{x}$. D{\'e}montrer que $J$ \textit{\textbf{existe}} et que $J = \somme{n=1}{+{\infty}}{\dfrac{e^{-\sqrt{n}}}{\sqrt{n}}}$.
\end{enumerate}

\bigskip
\framebox{SUJET 4}

\medskip
On d{\'e}finit $f$, fonction \textit{\textbf{paire}} de p{\'e}riode $2 \pi$, par $f(x) = \sqrt{x}$ si $x \in \segment{0}{\pi}$.
\begin{enumerate}
\item Cette fonction est-elle $C^{1}$ par morceaux sur $\R$ ?

\item On cherche la s{\'e}rie de Fourier de $f$ , soit $a_{0} + \somme{n{\geq}1}{}{\left(a_{n} \cos{(nx)} + b_{n} \sin{(nx)}\right)}$. Calculer \framebox{$a_{0}$} et \framebox{$b_{0}$}.

\item Onpose $G(x) = \integ{0}{x}{\sin{(t^{2})}}{t}$. {\'E}tablir que $G(x) = \dfrac{1 -\cos{(x^{2})}}{2 x} + \integ{0}{x}{\dfrac{1 - \cos{(t^{2})}}{2 t^{2}}}{t}$.
En d{\'e}duire l'existence de $L = \limite{x}{+{\infty}}{G(x)}$. On admettra que $L = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$.

\item D{\'e}terminer alors une constante \framebox{$D$} telle que $a_{n} \sim D n^{-3/2}$.

\item D{\'e}montrer que $\somme{n=0}{+{\infty}}{a_{n}} = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip
\framebox{SUJET 5}

\medskip
\begin{tabular}{ll}
\begin{minipage}{11 cm}
Dans le plan complexe $\C$, on d{\'e}finit la suite de points $(z_{n})$ de la fa{\c c}on suivante : $z_{0} = 1$, et le triangle $0z_{n}z_{n+1}$ \textit{\textbf{rectangle}} en $z_{n}$, est orient{\'e} dans le \textit{\textbf{sens direct}}, avec $\abs{z_{n+1} - z_{n}} = 1$ [figure ci-contre].
La r{\'e}union des segments $\segment{z_{n}}{z_{n+1}}$ constitue donc une ligne polygonale infinie $L$ de forme spirale.

\end{minipage}
&

\begin{minipage}{5 cm}
\begin{center}
\begin{picture}(80,80)
\put(0,10){\line(1,0){80}}
\put(40,0){\line(0,1){80}}
\put(35,-10){$O$}
\put(70,0){$z_{0}$}
\put(70,10){\line(0,1){30}}
\put(75,40){$z_{1}$}
\put(40,10){\line(1,1){30}}
\put(70,40){\line(-1,1){22}}
\put(50,62){$z_{2}$}
\put(40,10){\line(1,5){10}}
\put(48,62){\line(-5,1){30}}
\put(15,72){$z_{3}$}
\put(40,10){\line(-1,3){20}}
\end{picture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item Calculer \framebox{$\abs{z_{n}}$}.

\item Montrer que le nombre r{\'e}el $\alpha_{n} = \somme{k=1}{n}{\arctan{\dfrac{1}{\sqrt{k}}}}$ est un argument possible pour le nombre complexe $z_{n}$, $n {\geq} 1$.

\item \begin{enumerate}
\item  D{\'e}terminer la \textit{\textbf{nature}} de la s{\'e}rie de terme g{\'e}n{\'e}ral $u_{n} = 2 \sqrt{n} - 2 \sqrt{n-1} - \arctan{(n^{-1/2})}$.
\item {\'E}tablir l'\textit{\textbf{existence}} d'une constante r{\'e}elle $C$ telle que $\alpha_{n} = 2 \sqrt{n} - C + O\left(n^{-1/2}\right)$.
\item D{\'e}montrer que cette constante $C$ est \textit{\textbf{strictement positive}}.
\end{enumerate}

\item On parcourt la ligne polygonale $L$ dans le sens direct {\`a} partir de $z_{0}$. Montrer que l'on rencontre la demi-droite $\R^{+} = \ouvdroite{0}{+{\infty}}$ en une
infinit{\'e} de points, que l'on appellera successivement $M_{0} (= z_{0})$, $M_{1}$, $M_{2}$, {\dots}, $M_{k}$, {\dots} L'unique ar{\^e}te de la ligne polygonale $L$ qui contient
le point $M_{k}$, $k {\geq} 1$, est d{\'e}sign{\'e}e par $\ouvgauche{z_{v(k)-1}}{z_{v(k)}}$. Montrer que $v_{k} \sim k^{2}\pi^{2}$ quand $k$ tend vers l'infini.

\item Plus pr{\'e}cis{\'e}ment, {\'e}tablir que $v(k) = k^{2} \pi^{2} + k C \pi + \beta(k)$ o{\`u} $\beta(k)$ d{\'e}signe une suite \textit{\textbf{born{\'e}e}}.
\end{enumerate}


\end{document}

