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\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}%
\def\dsum{\mathop{\displaystyle \sum }}%




\begin{document}
{\bf\Huge{e 3 a\\}}
\vskip1.5cm
{\bf Concours ESTP-ENSAM-\'ECRIN-ARCHIM\`EDE}
\vskip2cm
\centerline{\bf\large{\'Epreuve de MATH\'EMATIQUES $3$}}
\vskip1cm
\centerline{\bf{Fili\`ere MP}}
\vskip1cm
\centerline{\bf{dur\'ee 4 heures}}
\textbf{\thinspace \thinspace }

\bigskip

\medskip\ \ \

\medskip \ Les parties I et II sont ind\'{e}pendantes entre elles et du
reste du probl\`{e}me (\`{a} l'exception de la question III 4) .

\bigskip

%\section{\textbf{Partie I : \'{E}tude de \thinspace \thinspace \thinspace
%}$R_{n}=$\textbf{\ } $\stackrel{+\infty }{\underset{p=n+1}{\sum }}\dfrac{%
%\left( -1\right) ^{p}}{p},\,n\in \mathbb{N}$ . }
\section{\textbf{Partie I : \'{E}tude de \thinspace \thinspace \thinspace
}$R_{n}=$\textbf{\ } $\displaystyle\sum\limits^{+\infty }_{p=n+1}\dfrac{%
\left( -1\right) ^{p}}{p},\,n\in \mathbb{N}$ . }

\begin{enumerate}
\item

\begin{enumerate}
\item  Rappeler l'\'{e}nonc\'{e} d'un th\'{e}or\`{e}me (y compris
l'\'evaluation du reste ) permettant de montrer que la s\'{e}rie de terme
g\'{e}n\'{e}ral $\dfrac{\left( -1\right) ^{p}}{p}$ est \thinspace
convergente, o\`{u}\thinspace \thinspace $p\in \mathbb{N}^{\star }$ .

\item  \`{A} l'aide d'une suite g\'{e}om\'{e}trique montrer que\thinspace :

\[
\forall \,n\,\in \mathbb{N\,\,},\,\,R_{n}=\left( -1\right)
^{n+1}\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{1+x}dx\medspace.
\]
\end{enumerate}

\item

\begin{enumerate}
\item  Par int\'{e}gration par parties , montrer qu'il existe un entier $
\beta \in \mathbb{N}^{*}$ et un r\'{e}el $k$\ diff\'{e}rent de $0$ tel que :

\[
R_{n}=k\dfrac{\left( -1\right) ^{n+1}}{n^{\beta }}+\text{O}\left(
\dfrac{1}{n^{\beta +1}}\right)\medspace.
\]

\item  En d\'{e}duire la nature de la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral
$\,R_{n}$\medspace.
\end{enumerate}

\item  D\'{e}terminer la somme $\stackrel{+\infty }{\underset{n=0}{\sum
}}R_{n}\medspace .$
\end{enumerate}

\setcounter{enumi}{0}

\section{\textbf{Partie II : \'{E}tude de \thinspace \thinspace \thinspace
}$r_{n}=\displaystyle\sum\limits^{+\infty }_{p=n+1}\dfrac{\left( -1\right)
^{p}}{\protect\sqrt{p}},\,\,n\in \mathbb{N}$ .}

\begin{enumerate}
\item  On note, pour $\,n\in \mathbb{N}^{*},\,U_{n}=$
$\stackrel{n}{\underset{p=1}{\sum }}\dfrac{1}{\sqrt{p}}\medspace.$
\begin{enumerate}
\item  Montrer qu'il existe un r\'{e}el $L$ tel que :
\[
\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\left(
U_{n}-\int_{1}^{n}\dfrac{dx}{\sqrt{x}}\right) =L+2 \medspace.
\]
\item  Soit $\theta $ un r\'{e}el strictement sup\'{e}rieur \`{a}
$1.\,$Justifier l'existence de $\stackrel{+\infty }{\underset{p=n+1}{\sum
}}%
\dfrac{1}{p\,^{\theta }}$ et en trouver un \'{e}quivalent quand $n$ tend vers
l'infini\medspace .
\end{enumerate}

\item  On pose, pour $\,n\in \mathbb{N}^{*},$ $v_{n}=U_{n}-2\sqrt{n}-L\medspace .$

\begin{enumerate}
\item  \'{E}tudier la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $v_{n+1}-v_{n}$ et
en d\'{e}duire que $v_{n}\,$\'{e}quivaut \`{a} $\dfrac{1}{2\sqrt{n}}$
lorsque $n$ tend vers l'infini\medspace .

\item  D\'{e}terminer un \'{e}quivalent de $v_{n}-\dfrac{1}{2\sqrt{n}}$
lorsque $n$ tend vers l'infini ; en d\'{e}duire que $U_{n}$ est de la forme :

\[
U_{n}=A\sqrt{n}+B+\dfrac{C}{\sqrt{n}}+\text{O}\left( \dfrac{1}{n\sqrt{n}}
\right)\medspace.
\]
\end{enumerate}

\item

\begin{enumerate}
\item  Montrer qu'il existe un r\'{e}el $S$ tel que $\stackrel{+\infty
}{\underset{p=1}{\sum }}\dfrac{\left( -1\right) ^{p}}{\sqrt{p}}=S\medspace.$

\item Exprimer $r_{2n}$ en fonction de $S
$ et des sommes partielles $U_{n}$ et $U_{2n}$\medspace.

\item  En d\'{e}duire qu'\,il existe deux r\'{e}els $a$ et $b$ que l'on
d\'{e}terminera, tels que :
\[
r_{2n}=a+\dfrac{b}{\sqrt{n}}+\text{O}\left(
\dfrac{1}{n\sqrt{n}}\right)\medspace.
\]
Exprimer $S$ en fonction de $L$ et d\'{e}terminer la nature
de la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $r_{n}$\medspace.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\setcounter{enumi}{0}

\section{\textbf{Partie III\thinspace : \'{E}tude de \thinspace \thinspace
\thinspace }$q_{n}\left( x\right) =$ $\displaystyle\sum\limits^{+\infty }_{p=n+1}\dfrac{\left( -1\right) ^{p}}{p^{x}},\,x\in
\left] 0,+\infty \right[
,\,n\in \mathbb{N}$ .}

On rappelle que la fonction gamma est d\'{e}finie par,$\,\,\forall x\in $
$\left] 0,+\infty \right[ ,$\[\,\Gamma \left( x\right) =\int_{0}^{+\infty
}t^{x-1}e^{-t}dt
\medspace.\]


\begin{enumerate}
\item  Montrer que $\forall x\in \left] 0,+\infty \right[ ,\forall p\in
\mathbb{N}^{*},$\[\dfrac{1}{p^{x}}=\dfrac{1}{\Gamma \left( x\right)
}\int_{0}^{+\infty
}t^{x-1}e^{-pt}dt\,\medspace.
\]

\item  V\'{e}rifier que $q_{n}$ est d\'{e}fini pour tout $n\in
\mathbb{N}\,\medspace,\medspace $ puis montrer que\medspace:

\[
q_{n}\left( x\right) =\dfrac{\left( -1\right) ^{n+1}}{\Gamma \left( x\right)
}\int_{0}^{+\infty }\dfrac{t^{x-1}e^{-\left( n+1\right)
t}}{1+e^{-t}}dt\,\medspace.
\]

\item  En d\'{e}duire que la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $q_{n}\left(
x\right) \,$ converge\medspace, et mettre sa somme sous forme
int\'{e}grale\medspace.

\item  Retrouver le r\'{e}sultat de la question I$\,3)\medspace.$
\end{enumerate}

\setcounter{enumi}{0}

\section{\textbf{Partie IV\thinspace :\thinspace \'{E}tude de \thinspace
}$x_{n}=$\textbf{\ }$\displaystyle\sum\limits^{+\infty }_{p=n+1}\left(
-1\right) ^{p}f\left( p\right) ,\,n\in \mathbb{N}$\medspace .}
Soit $f$ : $\mathbb{R}_{+}^{*}\longrightarrow \mathbb{R}$ convexe , décroissante
sur $\left]0,+\infty \right[$ , de limite nulle en $+\infty$\medspace .

\begin{enumerate}
\item

\begin{enumerate}
\item  Donner un exemple d'une telle fonction $f$\medspace.

\item  Montrer que $x_{n}$ est d\'{e}fini pour tout $n\in \mathbb{N}\medspace.$
\end{enumerate}

\item  Montrer que :
\[
\forall n\in \mathbb{N}\:,\quad 2x_{n}-\left( -1\right) ^{n+1}f\left(
n+1\right) =\displaystyle\sum\limits^{+\infty }_{p=n+1}\left( -1\right)
^{p}\,\biggl(
f\left( p\right) -f\left( p+1\right) \biggr)
\]
et en d\'{e}duire que la série $\sum x_{n}$ est convergente .

\item  On suppose de plus que $f\left( p\right) $ est \'{e}quivalent \`{a}
$f\left( p+1\right) \,$lorsque $p$ tend vers l'infini\medspace.
D\'{e}terminer un
\'{e}quivalent de $x_{n}$ lorsque $n$ tend vers l'infini\medspace.
\end{enumerate}

\setcounter{enumi}{0}

\section{\textbf{Partie V:\thinspace \'{E}tude de }$q_{0}\left( x\right).$}

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $q_{0}\,\,\,$est continue sur $\left] 0,+\infty
\right[\medspace.$

\item  Montrer que $q_{0}$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\left]
0,+\infty \right[\medspace.$\,\'Enoncer avec précision le théorème utilisé.

\item  D\'{e}terminer $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }q_{0}\left(
x\right)\medspace.$

\item  D\'{e}duire \thinspace du IV 2) \thinspace que $q_{0}\,$ admet un
prolongement continu \`{a}\thinspace $\left[ 0,+\infty \right[ \,\,$encore
noté  $q_{0}$\medspace.

\item

\begin{enumerate}
\item  Montrer que :
\[
\forall x\in \left[ 0,+\infty \right[\: ,\,\quad q_{0}\left( x\right)
=q_{0}\left( 0\right)
+\dfrac{x}{2}\stackrel{}{\underset{p=1}{\stackrel{+\infty }{\sum }}\left(
-1\right) ^{p}\int_{p}^{p+1}\dfrac{dt}{t^{x+1}}}\medspace.
\]

\item  En d\'{e}duire que $q_{0}$ est d\'{e}rivable en $0$ et d\'{e}terminer
$q_{0}^{\prime }\left( 0\right) $ en fonction de \textbf{\ } $\stackrel{+\infty
}{\underset{p=1}{\sum }}\left( -1\right) ^{p}\ln \left(
1+\dfrac{1}{p}\right) $\medspace.
\end{enumerate}
\item  Déterminer\:\:$\stackrel{+\infty
}{\underset{p=1}{\sum }}\left( -1\right) ^{p}\ln \left( 1+\dfrac{1}{p}
\right) $\medspace.
\end{enumerate}

\setcounter{enumi}{0}



\end{document}

