\def\encadre[#1][#2]#3{\vbox{\hrule height #2\hbox{\vrule width #2\vbox spread#1{\vss\hbox
spread#1{\hss #3\hss}\vss}\vrule width #2}\hrule depth #2}}
\def\bo{\displaystyle}
\hfuzz=8pt
\font\grand=cmb10 scaled\magstep2

\input upsnum.tex

\centerline{\encadre[1pc][1pt]{\hbox{\grand ESTP-ENSAM-ECRIN-ARCHIMEDE}}}
\centerline{\bf Fili\`ere PC - dur\'ee : 3 heures}

\bigskip
\item{\bf Sujet 1}

\item{\bf 1)}
$\bo f'(x)=-{1 \over {2 \sqrt x}} e^{- \sqrt x}.$
La fonction $f$ d\'ecro\^\i t depuis $f(0)=1$ jusqu'\`a $\bo \lim_{+ \infty}{f}=0.$

\smallskip
\item{\bf 2)}
$\bo c_1=-{1 \over {2e}}, \quad f''(x)={1 \over
{4x}} \left( 1+{1 \over \sqrt x} \right) e^{-\sqrt x}, \quad c_2={1 \over {4e}}.$

\smallskip
\item{\bf 3)}
On v\'erifie l'\'equation propos\'ee,
puis la formule de Leibniz donne pour d\'eriv\'ee d'ordre $n$
:$$ 4xy^{(n+2)}(x)+(4n+2)y^{(n+1)}(x)-y^{(n)}(x)=0.$$
En particulier en $x=1$, avec $\bo f^{(n)}(1)=n!c_n, \quad
c_{n+2}=-{{2n+1} \over {2(n+2)}}c_{n+1}+{1 \over
{4(n+2)(n+1)}}c_n.$

\centerline{\encadre[1pc][1pt]{\hbox{$\bo \varphi
(n)=-{{2n+1} \over {2(n+2)}}$}} \quad
\encadre[1pc][1pt]{\hbox{$\bo \psi (n)={1 \over {4(n+2)(n+1)}}$}}}

\smallskip
\item{\bf 4)}
Par r\'ecurrence:

- $|c_n| \leq 1$ si $n$ est \'egal \`a 0 ou 1

- $n$ \'etant un entier sup\'erieur ou \'egal \`a 0, si on suppose que pour cet entier
$n$ et pour chaque indice $k \leq  n+1, |c_k| \leq 1$, alors
d'apr\`es la relation \'etablie \`a la question pr\'ec\'edente,

$\bo |c_{n+2}| \leq {{(4n+2)(n+1)+1} \over {4(n+2)(n+1)}} \leq
{{(4n+3)(n+1)} \over {(4n+8)(n+1)}} \leq 1.$

La suite $(c_n z^n)$ \'etant born\'ee si $z=1$, le rayon de
convergence $R$ de la s\'erie enti\`ere $\sum{c_n z^n}$ est
sup\'erieur ou \'egal \`a 1.

\smallskip
\item{\bf 5)}
Avec le changement de variable $x=t+1, f(x)=g(t), g$
est solution de l'\'equation diff\'erentielle lin\'eaire du
second ordre: $4(t+1)z''(t)+2z'(t)-z(t)=0.$ Sur l'intervalle
]-1,1[ o\`u celle-ci est \'equivalente \`a la forme r\'esolue
$\bo z''(t)=-{2 \over {4(t+1)}}z't)+{1 \over {4(t+1)}}z(t)$ dont les
coefficients sont continus, $g$ est l'unique solution du probl\`eme de Cauchy de conditions initiales $\bo z(0)={1 \over e},
z'(0)=-{1 \over {2e}}.$
Or la recherche des solutions d\'eveloppables en s\'erie
enti\`ere $\sum{a_n t^n}$ donne la relation de r\'ecurrence


$\forall n \geq 0, \quad
4(n+1)(n+2)a_{n+2}+2(n+1)(2n+1)a_{n+1}-a_n=0$, ce qui \'etablit :

- que le probl\`eme de Cauchy a au plus une solution
d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere

- que les coefficients $a_n$ co\"\i ncident avec les coefficients $c_n$
et, par cons\'equent, que la s\'erie enti\`ere obtenue a un rayon
de convergence sup\'erieur ou \'egal \`a 1 : le probl\`eme de
Cauchy a exactement une solution d\'eveloppable en s\'erie
enti\`ere sur ]-1,1[

- le probl\`eme de Cauchy admettant $g$ pour unique solution sur
]-1,1[, $g$ est somme de la s\'erie enti\`ere $\sum{c_n t^n}$ sur
cet intervalle.

\bigskip
\item{\bf Sujet 2}

\item{\bf 1)}
 $\bo v_n={j \over \sqrt{3n-2}}+{j^2 \over
\sqrt{3n-1}}+{1 \over \sqrt n}, \quad {1 \over \sqrt{3n-2}}={1
\over \sqrt{3n}} \left( 1+{1 \over {3n}}+o(1/n) \right),$

$\bo {1
\over \sqrt
{3n-1}}={1 \over \sqrt {3n}}\left( 1+{1 \over {6n}}+o(1/n) \right)$, d'o\`u, puisque
$\bo 1+j+j^2=0, \quad v_n \sim {j \over {3 \sqrt 3 n^{3 \over
2}}} \left( 1+{j \over 2} \right).$

\centerline{\encadre[1pc][1pt]{\hbox{$\bo |v_n| \sim {1 \over {6n^{3 \over 2}}}$}}}

\smallskip
\item{\bf 2)}
 $V_p=U_{3p}.$ La suite $(V_p)$ est extraite de la
suite $(U_p).$
D'apr\`es la question pr\'ec\'edente, la s\'erie $\sum{v_n}$ est
absolument convergente, donc la suite $(V_p)$ est convergente. De
plus, $u_{3p+1}$ et $u_{3p+2}$ tendent vers 0 donc les suites
$(U_{3p}), (U_{3p+1}), (U_{3p+2})$ convergent vers la m\^eme
limite que la suite $(V_p).$ La s\'erie $\sum{u_n}$ converge et
$\bo \sum_{n=1}^{+\infty}{u_n}=\sum_{n=1}^{+\infty}{v_n}.$

\smallskip
\item{\bf 3)}
 La fonction $\bo {e^{-nt} \over \sqrt t}$ est
positive, continue sur $]0,+\infty[.$ Elle est \'equivalente en 0
\`a $\bo {1 \over \sqrt t}$ donc est int\'egrable sur ]0,1], et
n\'egligeable (si $n \geq 1$) devant $\bo {1 \over t^2}$ en $+\infty$, donc est
int\'egrable sur $[1,+\infty[. a_n $ est bien d\'efini.

Le changement de variable $nt=u^2$ donne $\bo a_n=\sqrt{\pi \over n}.$

\smallskip
\item{\bf 4)}
$\bo u_n={1 \over \sqrt \pi} a_n j^n, \hbox{ d'o\`u }
\sqrt \pi \sum_{k=n+1}^{n+N}{u_k}=\int_0^{+\infty}{{\left( je^{-t}
\right)^{n+1} \over \sqrt t}\left( {1-(je^{-t})^N} \over
{1-je^{-t}} \right) \,dt}=R'_{n,0}-R'_{n,N}$,

 avec
$\bo R'_{n,p}=\int_0^{+\infty}{{\left( je^{-t}
\right)^{n+p+1} \over {\sqrt t (1-je^{-t})}} \,dt}.$

Par l'in\'egalit\'e triangulaire, $\bo |R'_{n,N}| \leq
\int_0^{+\infty}{{e^{-t(n+N+1)} \over {\sqrt t|1-je^{-t}|}} \,dt}$

Or $|1-je^{-t}|=\sqrt{1+e^{-t}+e^{-2t}} \geq 1$ d'o\`u
$|R'_{n,N}| \leq a_{n+N+1} \to 0 \hbox { quand } N \to +\infty.$

$$R_n=\sum_{k=n}^{+\infty}{u_k}={1 \over \sqrt \pi}\int_0^{+\infty}{{\left( je^{-t}
\right)^{n+1} \over {\sqrt t (1-je^{-t})}} \,dt}$$

\item{\bf 5)}
Avec le changement de variable $\bo u=(n+1)t, \quad
|R_n|={1 \over \sqrt {(n+1) \pi}}\int_0^{+\infty}{{e^{-u} \over {\sqrt
u \left( 1-je^{-{u \over {n+1}}} \right) }} \,du}.$

Notons $\bo \varphi _n(u)={e^{-u} \over {\sqrt u \left( 1-je^{-{u \over
{n+1}}} \right)}}$ : nous pouvons lui appliquer le th\'eor\`eme de
convergence domin\'ee puique $\varphi _n$ est continue sur $]0,+\infty[$,
major\'ee uniform\'ement par rapport \`a $n$ selon $\bo
|\varphi _n(u)| \leq {e^{-u} \over \sqrt u}$, qui est
une fonction int\'egrable sur $]0,+\infty[$. La limite de
$\varphi _n(u)$ est $\bo \varphi (u)={e^{-u}  \over \sqrt u
(1-j)}$, qui est continue sur $]0,+\infty[$, donc $\bo
\int_0^{+\infty}{\varphi_n (u) \,du} \to \int_0^{+\infty}{\varphi
(u) \,du}={a_1 \over {1-j}} \hbox { quand } n \to +\infty.$ Finalement :

\centerline{\encadre[1pc][1pt]{\hbox{$\bo |R_n| \sim {1 \over \sqrt{3n}}$}}}

\bigskip
\item{\bf Sujet 3}

\item{\bf 1)}
Si $x \leq 0$, la s\'erie diverge grossi\`erement, et si
$x>0$, le terme g\'en\'eral (positif) est n\'egligeable devant
$\bo {1 \over n^2}$ donc la s\'erie converge.

\centerline{ \encadre[1pc][1pt]{\hbox{${\cal E}=]0,+\infty[$}}}

\smallskip
\item{\bf 2)}
Si $x<y$, alors $\forall n \geq 1, e^{-x \sqrt
n}>e^{-y \sqrt n} \hbox { d'o\`u } f(x)>f(y).$

\smallskip
\item{\bf 3)}
La fonction $f$ \'etant d\'ecroissante et positive,
elle converge en $+\infty$, et sa limite est positive ou nulle.
La fonction $t \longmapsto e^{-x \sqrt t}$ est d\'ecroissante
d'o\`u l'encadrement : $\bo \int_1^{+\infty}{e^{-x \sqrt t} \,dt}
\leq f(x) \leq \int_0^{+\infty}{e^{-x \sqrt t} \,dt}.$

Par le changement de variable $\bo t={u^2 \over x^2}, u=x \sqrt t, \int{e^{-x
\sqrt t} \,dt}={1 \over x^2} \int{2ue^{-u} \,du}$, puis en
int\'egrant par parties : $\bo \int{e^{-x
\sqrt t} \,dt}={2 \over x^2}{(-1-x \sqrt t)e^{-x \sqrt t}}.$
On obtient ainsi la majoration : $f\bo (x) \leq {2 \over {x^2}}.$
$$\lim_{+\infty}{f}=0$$

\item{\bf 4)}
De m\^eme pour la minoration : $\bo f(x) \geq {{2(x+1)}
\over x^2}e^{-x}.$ Par encadrement :
$$f(x) \sim {2 \over x^2} \hbox { quand } x \to 0$$

\item{\bf 5)}
La s\'erie de fonctions continues $\sum{u_n}$ o\`u
$u_n(x)=e^{-x \sqrt n}$ converge normalement sur tout intervalle
$[a,+\infty[$ inclus dans $]0,+\infty[$, donc $f$ est continue
sur $]0,+\infty[.$

Chaque fonction $u_n$ est int\'egrable sur $[1,+\infty[$, et $\bo
I_n=\int_1^{+\infty}{u_n(x) \,dx}={e^{-\sqrt n} \over \sqrt n}.$
La s\'erie $\sum{I_n}$ est convergente par n\'egligeabilit\'e
devant $\bo {1 \over n^2}$, donc, d'apr\`es le th\'eor\`eme de
convergence monotone, la fonction $f$ est int\'egrable sur
$[1,+\infty[$ (ce qu'on
peut d\'eduire directement de l'\'equivalent de la question
pr\'ec\'edente) et $\bo \int_1^{+\infty}{f(x)
\,dx}=\sum_{n=1}^{+\infty}{e^{- \sqrt n} \over \sqrt n}.$

\bigskip
\item{\bf Sujet 4}

\item{\bf 1)}
La fonction $f$ est continue sur {\bf R}, mais pas
$C^1$ par morceaux car sa d\'eriv\'ee diverge en 0. Les
th\'eor\`emes de convergence (Dirichlet, normale) figurant au programme ne
s'appliqueront donc pas.

\smallskip
\item{\bf 2)}
La fonction \'etant paire,
 $b_n=0$, et (attention \`a
l'\'ecriture du coefficient: $a_0$ au lieu de $a_0/2$)

$\bo a_0={1 \over
\pi}\int_0^{\pi}{\sqrt x \,dx}={2 \over 3}\sqrt \pi.$

\centerline{\encadre[1pc][1pt]{\hbox{$b_n=0$}} \quad \encadre[1pc][1pt]{\hbox{$a_0={2 \over 3}\sqrt \pi$}}}

\smallskip
\item{\bf 3)}
La fonction $\bo h(t)={{(1-\cos(t^2))} \over {2 t^2}}$ est continue
sur $]0,+\infty[$ et prolongeable par continuit\'e en 0, par sa
limite $\bo h(0)=0.$ En int\'egrant par parties (o\`u $1-\cos
(t^2)$ est d\'eriv\'e en $2t \sin (t^2)$),

$\bo \int_0^x{{{1- \cos
(t^2)} \over {2t^2}} \,dt}=\left[ -{{1- \cos (t^2)} \over {2t}}
\right]_0^x+\int_0^x{\sin (t^2) \,dt}.$

La fonction $\bo -{{1- \cos (t^2)} \over {2t}}$ a pour limite 0 en 0,
d'o\`u : $\bo G(x)={{1- \cos (x^2)} \over {2x}}+\int_0^x{{{1- \cos
(t^2)} \over {2t^2}} \,dt}.$

La fonction $h$ continue est int\'egrable sur {\bf
R} car $\bo |h(t)| \leq {2 \over t^2}. \quad L=\lim_{+\infty}{G}$
existe donc et est \'egale \`a $\bo \int_0^{+\infty}{h(t) \,dt}.$

\smallskip
\item{\bf 4)}
$\bo a_n={2 \over \pi} \int_0^\pi{\cos (nx) \sqrt x
\,dx}.$

Avec le changement de variable $\bo nx=u^2, u=\sqrt {nx},a_n={4 \over
{\pi n ^{3 \over 2}}}\int_0^{\sqrt {n \pi}}{u^2 \cos (u^2) \,du}.$

En int\'egrant par parties (o\`u $u \cos (u^2)$ a pour primitive $\sin
(u^2) /2$) on obtient : $\bo a_n=-{2 \over {\pi n^{3 \over
2}}}G(\sqrt {n \pi}).$
\centerline{\encadre[1pc][1pt]{\hbox{$\bo a_n \sim -{1 \over \sqrt {2
\pi n^3}}$ quand $n \to +\infty$}}}

\smallskip
\item{\bf 5)}
Sous r\'eserve que $f$ soit \'egale \`a la somme de
sa s\'erie de Fourier, la valeur en 0 donnera : $\bo \sum_{n=0}^{+\infty}{a_n}=0.$

D'apr\`es la question pr\'ec\'edente, la s\'erie de Fourier
converge normalement, donc sa somme $S$ est continue, et ses
coefficients co\"\i ncident avec ceux de $f$. La fonction
continue $f-S$,
ayant tous ses coefficients de Fourier nuls, est la fonction nulle (d'apr\`es
le th\'eor\`eme de Parseval).

\bigskip
\item{\bf Sujet 5}

\item{\bf 1)}
Le th\'eor\`eme de Pythagore donne :
$|z_{n+1}|^2=|z_n|^2+1$, d'o\`u, \`a partir de $|z_0|=1,$

\centerline{\encadre[1pc][1pt]{\hbox{$\bo |z_n|=\sqrt {n+1}$}}}

\smallskip
\item{\bf 2)}
$\beta _n=\alpha_{n+1}-\alpha_n$ est un argument de $\bo
{z_{n+1} \over z_n}, \quad \tan (\beta_n)={1 \over |z_n|}={1
\over \sqrt {n+1}}$ et on peut choisir $\beta_n$ compris entre 0 et $\bo {\pi
\over 2}$. Partant de $\alpha_0=0$, on obtient un
argument de $z_n$ par $\bo \alpha_n=\sum_{k=0}^{n-1}{\beta_k}=\sum_{k=1}^n{\arctan {1 \over
\sqrt k}}.$

\item{\bf 3)}$\bo \sqrt {n-1}=\sqrt n \left( 1-{1 \over {2n}}-{1
\over {8n^2}}+o(1/n^2) \right), \quad \arctan \left(1 \over
\sqrt n \right)={1 \over \sqrt n}-{1 \over {3 n^{3 \over
2}}}+o(1/n^{3 \over 2}).$

$\bo u_n={7 \over {12 n^{3 \over 2}}}+o(1/n^{3 \over 2}).$

La s\'erie $\sum {u_n}$ est, \`a partir d'un certain rang, \`a
termes positifs, et converge.

\item{\bf 4)}$\bo \alpha_n=2 \sqrt n - \sum_{k=1}^n{u_k}=2 \sqrt
n - \sum _{k=1}^{+\infty}{u_k}+R_n$, o\`u $\bo R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}{u_k}.$

A partir d'un certain indice, $\bo u_k \leq {1 \over k^{3 \over
2}}$ d'apr\`es l'\'equivalent de la question 3. Pour $n$ assez
grand, $\bo 0 \leq R_n \leq \int_n^{+\infty}{{1 \over t^{3 \over 2}}
\,dt}={2 \over \sqrt n}.$

\item{\bf 5)}Avec la quantit\'e conjuqu\'ee, $\bo u_n={2 \over
{\sqrt n +\sqrt {n-1}}}- \arctan \left( 1 \over \sqrt n \right)
>{1 \over \sqrt n} -\arctan \left( 1 \over \sqrt n \right) >0,$ donc
$\bo C=\sum_{k=1}^{+\infty}{u_k} \geq u_1 > 0.$
\bye
