%M99ULMC.tex 24 mai 99 22h38 version 8 juin  99 16h47-18h03
\input liv.mac
\input upsnum.tex
%\centerline{\vbox{\hrule  depth 0pt width 80mm}}% trait partiel centr\'e
\def\titreimpair{\line{ {\fiverm d: M99ULMMC.tex \hskip 3mm}
{\bf 99 ENS ULM LYON
\hskip 3mm\Carre \hfil Mr VIDIANI Sp\'e MP1 CARNOT  \hskip 2mm\liond\ \vrule\  \folio}}  }

\def\titrepair{\line{\bf\folio  \hfill %{\fiverm  \ \ \  }   %Underfull hbox si  ce { mme vide mais avec fonte} pas mis
                                    % en fait line demande une ligne compl\`ete : il faut hfill
{\bf 99 ENS ULM LYON   :
\hskip 3mm\Carre Mr VIDIANI \hskip 2mm\liong}}  }
%\vskip -6mm\noindent{\fiverm (version \date\ : \heure )}   %\^U\^U\^U\^U\^U
\vskip-4mm
\hfill Lundi 17 MAI 1999 Lyc\'ee Carnot Dijon 08h30-14h30

{\it(Solution FEVRIER (Pasteur Neuilly -VIDIANI Carnot DIJON : I et II et \`a
partir de III a tap\'e la solution manuscrite de Fevrier : travail non
n\'egligeable pour la bourse = 11h23
(9h46 de frappe + 1h04 correction + 33' correction du source
ceci pour 7,5 pages \TeX)}

{\it NOTE SUR le contr\^ole et la bourse : Participant au contr\^ole \`a post\'eriori
depuis sa cr\'eation, pour trois probl\`emes chaque ann\'ee et \`a la bourse
d'\'echange \TeX\ depuis sa cr\'eation, sur ma suggestion et incitation en 1993, trouvant
anormal que les corrig\'es faits pour le contr\^ole, aient une diffusion quasi
confidentielle, alors qu'il pouvaient profiter \`a tout le monde favoriser
les \'echanges et inciter au travail en commun v\'eritable et constructif,
je remarque que depuis cette ann\'ee la r\'epartition n'a pas suivi les demandes
faites par les volontaires : (Il devrait \^etre conseill\'e au coll\`egue qui
se charge de la r\'epartition, dans le cas o\`u il ne peut satisfaire
les choix demand\'es, de prendre son t\'el\'ephone ou d'envoyer un message par courrier
\'electronique, pour voir si le volontaire accepte un autre choix et un autre
nombre, quand sa demande est modifi\'ee  ; en effet ce n'est pas la m\^eme chose
de s'engager \`a contr\^oler et faire des probl\`emes standards (Mines, Centrale,
CCP, E3A etc) et de plus associ\'e \`a un coll\`egue, que de faire un probl\`eme d'ENS ou ENSAE
de plus seul ! En effet vu la difficult\'e, l'originalit\'e de ces probl\`emes et leur longueur
il est tout a fait normal que le coll\`egue qui CHOISIT de controler
un tel probl\`eme, ne s'engage que pour UN seul ; Il est d'autre part anormal
que certains coll\`egues de grands lyc\'ee parisiens, s\^urs d'eux m\^emes et dominateurs,
qui ont dans leur classe prestigieuse, 20 \'el\`eves pr\'esentant cette cat\'egorie
de concours, ne participent pas au contr\^ole et \`a la bourse, pour cette sorte
de probl\`eme, dont ils sont d'ailleurs les premiers b\'en\'eficiaires !}

\cadreombre{\bf Note sur le probl\`eme} {\it Manque de progressivit\'e : d\`es le
d\'ebut des questions barrages :
in\'egalit\'e de gauche dans (1.b), question (1.d) (2.b.i) ;
L'\'enonc\'e manque d'un fil directeur synth\'etique : but de probl\`eme et objet pr\'ecis
de chaque partie ; les sujets des Mines et de l'X sont mieux structur\'es eux !
(pour parler comme MA) ; Au d\'ebut de la seconde partie, l'\'enonc\'e devrait
pr\'eciser que $n\geq 2$, sinon la matrice serait nulle ;
\leavevmode\danger\ Il est tout de m\^eme curieux que l'exercice 309 de la RMS
6 de f\'evrier 99 de l'ann\'ee 1998-1999, page 819 (exercice ENS) soit exactement la partie VI de ce probl\`eme,
et il est choquant que l'auteur du probl\`eme est ainsi d\'evoil\'e par avance
une partie de son sujet {\prover !} D'autant que cet exercice \'eloil\'e est
signal\'e particuli\`erement \`a l'attention des lecteurs, pour avoir sa solution
publi\'ee dans le num\'ero final de mai-juin 99 !}

Titre propos\'e : {\bf \'Etude des extrema de $\bf |<x,Tx>|$}. %(Fonction de Weingarten ?)


\leavevmode \cadrefin{ BIB} SPM 2 p 111-112.  Oral 309 de 1998, TMS 6 f\'evrier
1999 page 819, \'etoil\'e (donc cherch\'e par les lecteurs avant le concours) corrig\'e
dans la RMS de juin 99...

\leavevmode
\cadrefin{\vbox to 10mm {\hsize 30mm\leftskip 0mm\noindent\fiverm nom :
\hfill\vfill\noindent sp\'e MP1 carnot DIJON}}
\traitgras
\hfill\cadreepais{\bf Premi\`ere Partie}\hfill{}
\num{1.a} {\bf w(T) quand T est hermitien : } T, hermitien, admet une base propre
orthonorm\'ee et a ses valeurs propres r\'eelles, que nous ordonnons,
dans l'ordre croissant au sens large de leur valeurs absolues $|t_1|\leq ....\leq |t_n|$.

Sur une telle base $|<x,Tx>|=|t_1x_1^2+..+t_nx_n^2|\leq |t_n|(x_1^2+...x_n^2)
=|t_n|\ ||x||^2$.  L'\'egalit\'e \'etant atteinte pour $x=v_n$, on a
\cadrefin{Si T est hermitien : $\bf w(T)=||T||=Max(\hbox{\bf valeur absolue
des valeurs propres de T}$}
\trait
\num{1.b} {\bf Encadrer w(T) }

\carre\ D'apr\`es l'encadrement du produit scalaire (ce qui n'est autre que
l'in\'egalit\'e de SCHWARTZ), on a
: $|<x,Tx>\leq ||x||\ ||T(x)||\leq ||x|| ||T||||x||=||T||\ ||x||^2$,
d'o\`u l'in\'egalit\'e de droite.

On \'ecrit $T=H+iK$ avec H et K hermitiens. D'apr\`es (1.a) $||H||=w(H)$ et
$||K||=w(K)$.

On a $<Tx,x>=<Hx,x>+i<Kx,x>$ ; De plus grace au th\'eor\`eme spectral, {\it (voir
par exemple Dieudonn\'e I)}
pour les endomorphismes hermitiens $<Hx,x> $ et $<Kx,x>$ sont R\'EELS,
par cons\'equent \par\hfill$\cases{ |<Tx,x>|\geq |Re(<Tx,x>)|=|<Hx,x>|\cr
                        |<Tx,x>|\geq |Im(<Tx,x>)|=|<Kx,x>|\cr}$

Par passage au sup, sur la sph\`ere unit\'e on a $w(T)\geq ||H||$ et
$w(T)\geq ||K||$ et comme $T=H+iK$ on a $  ||T||\leq ||H||+||K||\leq 2w(T)$.

L'exemple de la question ult\'erieure (2.a) montrer que l'encadrement obtenu
est le meilleur possible.

\trait
\num{1.c} { \bf I-zT est inversible : }
Le r\'esultat est \'evident pour z=0 ; Si z non nul \'etait tel que I-zT ne soit
pas inversible, $t=\frac 1z$ serait une valeur propre, et pour
x vecteur t-propre, on aurait $|w(x)|=\displaystyle sup_{||x||=1}\ \ (|t|\ ||x||^2)=|t|>1$,
d'o\`u la contradiction et le r\'esultat.
\trait
\num{1.d} {\bf Formule \`a d\'emontrer : } Suivons les \'etapes indiqu\'ees par
l'\'enonc\'e :

Posons $f(x)=|<x,Tx>|$ ; f est une fonction continue
sur le compact $B(1)=\{x,||x||=1\}$. Son maximum r=w(T), est donc atteint
en un point $x_0$ de B(1).  Le nombre complexe $z=<x,Tx>=\rho e^{i\varphi}$,
avec $0\leq \rho\leq r$.

Si l'on pose $g(x,\theta)=|Re(e^{i\theta}<x,Tx>|=\rho|\cos(\varphi+\theta)|\leq r$, g est encore une fonction
continue sur le compact $B(1)\times [0,2\pi]$. Son maximum r est  atteint
pour le vecteur $x_0e^{-i\varphi_0}$, avec $<x_0,T x_0>=re^{i\varphi_0}$.

Les deux sup, co\"{\i}ncident, d'o\`u le r\'esultat de l'indication.

Comme $Re(e^{i\theta}z)=\frac 12\big(e^{i\theta}z+e^{-i\theta}\overline{z}\big)
=\frac 12(e^{i\theta}<x,Tx>+e^{-i\theta} <x,T^*x>)
=<x,\frac 12(e^{i\theta}T+e^{-i\theta}T^*)x>$, on a le r\'esultat annonc\'e
d'apr\`es la d\'efinition de la norme d'une application lin\'eaire (en l'occurence
$u \mapsto  \frac 12(e^{i\theta}T+e^{-i\theta}T^*)x$.

{\it(ce n'est pas fulgurant, mais l'\'enonc\'e n'avait qu'\`a \^etre plus g\'enial)}
\trait
\num{2.a} {\bf Calculer $\bf ||T||$ et $\bf w(T)$ : }
Avec des notations \'evidentes :
$|T(x)|=|x_1|\leq 1$ pour $|x_1|^2+|x_2|^2=||x||^2=1$, 1 est atteint pour $e_1$
donc \cadrefin{$\bf ||T||=1$}.

De m\^eme $w(x)=|x_1x_2|=|\frac {\sin(2t)}2|\leq \frac 12$ (atteint),
en posant par rel\`evement $|x_1-=\cos t,\ |x_2|=\sin t$.
Par suite \cadrefin{$\bf w(T)=\frac 12$}
\trait
\num{2.b.i} {$\bf T^*e_2=e_1$ \bf : }
$<T^* e_2,e_1>=<e_2,T e_1>=<e_2,e_2>=||e_2||^2=||e_1||^2=1$.

Sur une base suppos\'ee compl\'et\'ee orthonorm\'ee $(e_1,e'_2,...,e'_n)$,
on \'ecrit $T^*e_2=a_1e_1+...+a_ne'_n$ et $<T^*e_2,e_1>=\overline{a_1}=1$.

Or puisque $||T||=1$, $T^*$ ``n'augmente pas la norme" par cons\'equent
$||T^*(e_2)||^2=|a_1|^2+....+|a_n|^2\leq 1 ||e_2||^2=1$ ; donc toutes les autres
composantes de $T^* e_2$ sont nulles : $T^*e_2=e_1$.
\trait
\num{2.b.ii} {\bf $\bf Te_2=0$ : }

On va utiliser la m\^eme m\'ethode que celle utilis\'ee dans le pr\'eambule, les pr\'emices, les pr\'eliminaires du
th\'eor\`eme de d'ALEMBERT : $1+a_pz^p+o(z^p)$ n'a pas 1, comme extr\'emum
local en z=0, si $a_p\not=0$. {\it(Voir la fin du cours sur les s\'eries enti\`eres
ron\'eo)}

On a puisque $w(T)=\frac 12$,   $Sup_\theta ||e^{i\theta}T+e^{-i\theta}T^*||=1$ ;

On va calculer l'image de l'endomorphisme entre normes, pour $x=e_2$, et si
l'on trouve un $\theta$, pour lequel la valeur de la norme de l'image est $>1$
pour $Te_2$ non nul, il y aura contradiction.


On se place dans le plan, \'eventuellement arbitraire, si $Te_2$ est
colin\'eaire \`a $e_1$, et on compl\`ete $e_1$ par $V$ pour avoir une
base orthonorm\'ee de ce plan (voir figure).

$e^{2i\theta} Te_2+e_1$ a pour affixe dans cette base : $z=1+re^{2i\theta+\varphi}$ ;
Le choix $\theta=-\frac \varphi 2$, montre que $|z|=1+r>1$ pour ce choix,
si $r=||Te_2||\not=0$. Donc $Te_2=0$.

On fait exactement de m\^eme pour $T^*e_1$, en prenant cette fois $x=e_1$,
et utilisant le fait que $||e_2||=1$.
\trait
\num{2.b.iii} {\bf $\bf <e_1,e_2>=0$ : } $<e_1,e_2>=<e_1,Te_1>=<T^*e_1,e_1>
=_{\hbox{\fiverm (ii)}} <0,e_1>=0$.

L'espace engendr\'e par $e_1$ et $e_2$ r\'epond \`a la question pos\'ee.
{\it(Doit-on prouver l'existence de $e_1$, ou l'\'enonc\'e la consid\`ere-t-elle
comme \'evidente ?)} L'existence de $e_1$, semble-t-il admise r\'esulte imm\'ediatement
du fait que sur la sph\`ere unit\'e de $H$, qui est compacte (on est en dimension
finie), l'application $x\mapsto ||T(x)||$, continue, atteint sa borne
sup\'erieure $||T||=1$.
\traitgras
\hfill\cadreepais{\bf Deuxi\`eme Partie}\hfill{}

\num{1.a} {\bf \'El\'ements propres de $\bf A_n$ : }
On pose $D_n=det(A_n-tI)$ ; $D_1=-t,\ D_2=t^2-1$.
Le d\'eveloppement de $D_n$ par rapport \`a la premi\`ere colonne donne la
relation de r\'ecurrence : $D_n=-tD_{n-1}-D_{n-2}$ ; suite r\'ecurrence
lin\'eaire, dont l'\'equation caract\'eristique est $r^2+tr+1=0$, dont le
discriminant est $t^2-4$.

\carre\ si $|t|\leq 2$, on pose $t=2\cos\theta=\frac {\sin 2\theta}{\sin\theta}$ (le cas
$\theta=0$, se compl\'etant par continuit\'e).

On constate que $D_1 =-\frac {\sin 2\theta}{\sin\theta}$ et que
$D_2=t^2-1=4\cos^2\theta-1=+\frac {\sin 3\theta}{\sin\theta}$.

L'hypoth\`ese de r\'ecurrence vraie pour n=1, n=2
$D_n=(-1)^n\frac {\sin (n+1)\theta}{\sin\theta}$, se transf\`ere imm\'ediatement
grace \`a la relation de r\'ecurrence
: $D_{n+1}=-2\cos\theta (-1)^n\frac {\sin (n+1)\theta}{\sin\theta}
+(-1)^n\frac {\sin n\theta}{\sin\theta}
=(-1)^{n+1}\frac 1{\sin\theta}(2\cos\theta\sin (n+1)\theta-\sin n\theta)
=(-1)^{n+1}\frac 1{\sin\theta}(\sin(n+2)\theta)$.

\carre\ si $|t|\geq 2$, on pose $t=2\cosh\theta$, et le m\^eme raisonnement
ou le changement de $\theta$  en $i\theta$ donne
$D_n=D_n=(-1)^n\frac {\sinh (n+1)\theta}{\sinh\theta}$, qui n'a pas de z\'eros r\'eels.

Comme $D_n$ ne s'annule que pour $(n+1)\theta=k\pi$.

$A_n$ a donc n valeurs propres distinctes (utiliser la monotonie de $\cos$
sur $[0,\pi]$) qui sont \cadrefin{$\bf t_k=2\cos \frac {k\pi}{n+1}$}

   \centerline{\vbox{\hrule  depth 0pt width 80mm}}% trait partiel centr\'e

\Carre\
Comme les valeurs propres sont simples, chaque espace propre est de
dimension 1, c'est une droite vectorielle, dont il suffit de trouver un vecteur non
nul, que l'on cherche sous la forme indiqu\'ee.

$\theta$ \'etant \'egal \`a $\frac {k\pi}{n+1}$, on pose
$V=\pmatrix{\sin\theta\cr \sin 2\theta\ \cr \vdots \cr \sin n\theta\cr}$.

Alors $A_nV=\pmatrix{\sin2\theta\cr \sin \theta+\sin 3\theta \cr \vdots\cr
 \sin (n-1)\theta\cr}=
\pmatrix{2\cos\theta \sin\theta\cr 2\cos \theta\sin 2\theta \cr \vdots\cr
 \sin (n-1)\theta+ 0\cr}=
\pmatrix{2\cos\theta \sin\theta\cr 2\cos \theta\sin 2\theta \cr \vdots\cr
 \sin (n-1)\theta+\sin(n+1)\theta\cr}=2\cos\theta V$.
\trait
\num{1.b} {\bf Norme de $\bf A_n$ : }
D'apr\`es ce qu'on a remarqu\'e depuis le d\'ebut, puisque $A_n$  est hermitienne,
sa norme est le plus grand des modules des valeurs propres :
\cadrefin{$\bf ||A_n||=2\cos \frac \pi{n+1}$}
\trait
\num{2.a} {\bf Norme de $\bf S_n$ : }
$<x,S_nx>=|x_1|^2+...+|x_{n-1}|^2\leq |x_1^2|+...+|x_n^2|=||x||^2$
donc \cadrefin{$\bf ||S_n||=1$} puisque l'\'egalit\'e est atteinte pour $x_n=0$.
\trait
\num{2.b} {\bf Calculer  $\bf w(S_n)$ : }
u \'etant l'endomorphisme associ\'e \`a $e^{i\theta}S_n+e^{-i\theta}S^*_n$,
il est imm\'ediat de v\'erifier que si l'on prend comme nouvelle base $e'_1=
e^{-i\theta}e_1$, $e'_2=e_2$, $e'_3=e^{-i\theta}e_3$,....
$e'_n=e^{-i(n-2)\theta} e_n$,  que u a comme
matrice  $A_n$ sur cette nouvelle base.

Deux matrices semblables ayant les m\^emes valeurs propres,
on a d'apr\`es (I.1.d) \cadrefin{$\bf w(S_n)=\cos \frac \pi{n+1}$}

\leavevmode\danger \ Si n=1, (I.1.b) est triste : les trois membres sont nul !

\centerline{\vbox{\hrule  depth 0pt width 80mm}}% trait partiel centr\'e

\carre\ {\bf Existence de $\bf x_0$ : }
D'apr\`es (I.1.d), et la remarque de (II.2.b) $w(S_n)$ n'est atteint que pour
le vecteur propre V associ\'e \`a la valeur propre de plus grand module de $A_n$.
Comme les valeurs propres sont simples, V est d\'efini \`a une constante
multiplicative non nulle pr\`es. Il suffit de poser $x_0=\frac V{||V||}$ ;
Comme on cherche les vecteurs de norme 1, la constante multiplicative doit \^etre
de module 1, cqfd
\traitgras
\hfill\cadreepais{\bf Troisi\`eme Partie}\hfill{}

\num{1.a} {\bf Majorer $\bf |\beta_{1,2}|$ : }
Compte tenu des d\'efinitions,  $\beta_{1,2}=\gamma_{1,2}+
\gamma_{2,3}+...+\gamma_{n-1,n}$.

Or, en notant toujours $(\varepsilon_1,...,\varepsilon_n)$, la base canonique de
$\C^n$ et $<,>$ le produit scalaire usuel sur $\C^n$, $\gamma_{i,j}=
<\varepsilon_i,\gamma \varepsilon_j>$, et l'in\'egalit\'e de CAUCHY-SCHWARZ, appliqu\'ee
\`a la forme quadratique hermitienne positive  $x\mapsto <x,\gamma x>$, de forme polaire
$(x,y)\mapsto <x,\gamma y>$, donne $|\gamma_{i,j}|^2
\leq <\varepsilon_i,\gamma\varepsilon_i><\varepsilon_j,\gamma\varepsilon_j>
=\gamma_{i,i}\gamma_{j,j}$. % L\`a Bravo F\'evrier, car ne n'\'etait pas \'evident !

On en d\'eduit \cadrefin{$\bf |\beta_{1,2}|\leq |\gamma_{1,2}|+...+
|\gamma_{n-1,n}|\leq (\gamma_{1,1}\gamma_{2,2})^{1\over 2}+...+
(\gamma_{n-1,n-1}\gamma_{n,n})^{1\over 2}$}
\trait
\num{1.b} {\bf En d\'eduire $\bf |\beta_{1,2}|\leq w(S_n)$ : }
Si $x\in \C^n,\ x=\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i\varepsilon_i,\ <x,S_nx>
=\sum_{i=1}^n \overline{x_i}x_{i-1}$.

Prenons $x_i=(\gamma_{i,i})^{1\over 2}$. Alors $<x,S_nx>=
(\gamma_{1,1}\gamma_{2,2})^{1\over 2}+...+
(\gamma_{n-1,n-1}\gamma_{n,n})^{1\over 2}$.

Mais aussi $||x||^2= \displaystyle\sum_{i=1}^n \gamma_{i,i}=
\sum_{i=1}^n (\beta_{i,i}-\beta_{i+1,i+1})=\beta_{1,1}=1$.

Donc $<x,S_nx>=|<x,S_nx>|\leq w(S_n)$ et par suite
\cadrefin{$\bf |\beta_{1,2}|\leq w(S_n)$}
\trait
\num{2} {\bf La matrice $\bf \gamma $ est positive : }
La d\'efinition de $\beta_{i,j}$ assure que $\overline{\beta_{i,j}}=\beta_{j,i}$,
donc aussi $\overline{\gamma_{i,j}}=\gamma_{j,i}$, et $\gamma$ est hermitienne.

Par ailleurs, soit $y=(y_1,...,y_n)\in\C^n $ :
$<y,\gamma y>=\displaystyle\sum_{i,j} \overline{y_i}\gamma_{i,j} y_j
=\sum_{i,j} \overline{y_i}\beta_{i,j} y_j-\sum_{i,j} \overline{y_i}\beta_{i+1,j+1} y_j$.
Or $\displaystyle \sum_{i,j} \overline{y_i}\beta_{i,j} y_j
=\sum_{i,j} \overline{y_i}<T^{i-1}x,T^{j-1}x> y_j
=<\sum_{i} y_iT^{i-1}x,\sum_{j} y_jT^{j-1}x>=||z||^2$ si
$z=\displaystyle\sum_i y_iT^{i-1}x$.

(Dans ce calcul les produits scalaires de la premi\`ere ligne sont dans $\C^n$
et ceux de la seconde sont dans $H$).

De m\^eme $\displaystyle\sum_{i,j} \overline{y_i}\beta_{i+1,j+1} y_j =
||z'||^2 $ o\`u $z'= \displaystyle\sum_i y_iT^ix=Tz$.

Comme $||T||=1$, $||Tz||\leq ||z||$, donc $<y,\gamma y> \geq 0$ et
{\bf $\bf \gamma$ est donc hermitienne positive.}

\carre \ {\bf $\bf w(T)\leq w(S_n)$ : } en fait nous sommes dans les hypoth\`eses du (1)
car non seulement $\gamma$ est positive, mais aussi $\beta_{1,1}=<x,x>=1$
et $\beta_{k,l}=0$, pour $k$ ou  $l$ $\geq n+1$ car $T^n=0$.

On en d\'eduit $|\beta_{1,2}|\leq w(S_n)$, c'est \`a dire $|<x,Tx>|\leq w(S_n)$.
Ceci vaut pour tout x de norme 1, donc \cadrefin{$\bf w(T)\leq w(S_n)$}
\trait
\num{3.a} {\bf Existence de $\bf T$ : } L'application $x\mapsto
|<x,Rx>|$, continue sur la sph\`ere unit\'e compacte de $H$, atteint sa borne sup\'erieure,
donc il existe $x\in H, \ ||x||=1$ tel que
$|<x,Rx>|=w(R)=w(S_n)$.

Il existe $\theta\in \R$ tel que $|<x,Rx>|=e^{i\theta}<x,Rx>$, et il suffit donc de prendre
$T=e^{i\theta}R$ pour avoir $<x,Tx>=w(S_n)$.

Remarquons que l'on a aussi $w(T)=w(R)(=w(S_n)),\ ||T||=1$ et $T^n=0$.
\trait
%15h36 reprise apr\`es karcher  qui m'a bien d\'etendu ! hein M CA DCD !
% W ne r\'epond aux zimails que de ceux qu' \geq
\num{3.b.i} {\bf \'Egalit\'e \`a montrer : }
$\displaystyle \sum_{j=1}^n \lambda_j<\eta_j,S_n\eta_j>=
\sum_{j=1}^n <\gamma \eta_j,S_n\eta_j>=\sum_{j=1}^n <\eta_j,\gamma S_n\eta_j>=
Trace(\gamma S_n)=Trace(S_n\gamma)$.

D'autre part $Tr(S_n\gamma)$ se calcule aussi dans la base canonique :
$Tr(S_n\gamma)=\displaystyle \sum_{i=1}^n <\varepsilon_i,S_n\gamma\varepsilon_i>=
\sum_{i=1}^n <S_n^*\varepsilon_i,\gamma \varepsilon_i>=\sum_{i=1}^n
<\varepsilon_{i-1},\gamma\varepsilon_i>=
\sum_{i=1}^n \gamma_{(i-1),i} =\beta_{1,2}=<x,Tx>=w(S_n)$.

Finalement on a prouv\'e que : \cadrefin{$\bf \displaystyle \sum_{j=1}^n
\lambda_j <\eta_j,S_n\eta_j>=Tr(S_n\gamma)=w(S_n)$}
\trait
\num{3.b.ii} {\bf calculer les valeurs propres : }
Comme $||\eta_j||=1$, on a pour tout $j\ |<\eta_j,S_n\eta_j>|\leq w(S_n)$.
L'in\'egalit\'e triangulaire donne donc : $w(S_n)=\displaystyle\sum_j\lambda_j
<\eta_j,S_n\eta_j>=|\sum_j\lambda_j<\eta_j,S_n\eta_j>|\leq\sum_j
\lambda_j|<\eta_j,S_n\eta_j>|\leq (\sum_j\lambda_j)w(S_n)$.

Mais $\displaystyle\sum_{j=1}^n\lambda_j=Tr(\gamma)=\sum_{i=1}^n\gamma_{i,i}
=\beta_{1,1}=<x,x>=1$, de sorte que les in\'egalit\'es pr\'ec\'edentes sont des \'egalit\'es :

\hskip 10mm \carre\ Dans l'in\'egalit\'e triangulaire, cela signifie que tous
les $\lambda_j<\eta_j,S_n\eta_j>$, non nuls ont le m\^eme argument que leur somme $w(S_n)$,
c'est \`a dire qu'ils sont tous r\'eels positifs. En particulier chaque fois que
$\lambda_j\not=0,\ <\eta_j,S_n\eta_j>\in \R_+$.

\hskip 10mm \carre\ Dans la seconde in\'egalit\'e, l'\'egalit\'e signifie que lorsque
$\lambda_j\not=0,\ <\eta_j,S_n\eta_j>=w(S_n)$.
D'apr\`es le (II.2.b), ces $\eta_j$ sont tous colin\'eaires \`a $x_0$.
Comme les $\eta_j$ sont ind\'ependants, cela n'est possible que pour un seul
(au plus). Ainsi seul $\lambda_1$ peut \^etre non nul
(et il l'est, puisque $\displaystyle\sum_i\lambda_i=1$).

\cadrefin{\bf On a m\^eme $\bf \lambda_1=1$, et $\bf \eta_1$
est de la forme $\bf e^{i\alpha}x_0$ ; Les autres $\bf \lambda_i,\ i\geq 2$
sont nuls}
\trait
\num{3.b.iii} {\bf Calculer $\bf \beta_{i,j}$ : }
%arret 16h15 T3= 40' Temp cumul\'e de reprise depuis la partie III TC 1h55'
%reprise 4 17h08
La forme que  l'on vient d'obtenir pour la matrice de l'endomorphisme
$\gamma$ dans la base $(\eta_j)$, montre que $\gamma $ n'est autre que la
projection orthogonale, sur la droite $\C\eta_1=\C x_0$. Ceci permet le calcul
 des $\gamma_{i,j}$, coefficients de la matrice de $\gamma$ dans la base canonique %ta m\`ere !
$(\varepsilon_1,...,\varepsilon_n)$ en fonction des coordonn\'ees
$(\xi_1,...,\xi_n)$ % qui c'est ?
de $x_0$ dans cette m\^eme base, c'est \`a dire $\xi_i=<\varepsilon_i,x_0>$ ;
En effet $\gamma(\varepsilon_j)=<x_0,\varepsilon_j>x_0=\overline{\xi_j}x_0$,
d'o\`u, pour $1\leq i,j\leq n$ : $\gamma_{i,j}=<\varepsilon_i,\gamma(\varepsilon_j)>
=\overline{\xi_j}<\varepsilon_i,x_0>=\overline{\xi_j}\xi_i$.

Notons que si l'on convient que $\xi_k=0$, pour $k>n$, l'\'egalit\'e
$\gamma_{i,j}=\overline{\xi_j}\xi_i$ vaut alors pour tout $i,j\geq 1$.

Or compte tenu des d\'efinitions, $\beta_{i,j}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}
\gamma_{i+k,j+k}$ (somme t\'elescopique de premier terme
$\beta_{i,j}$  et de dernier terme nul).

Donc $\forall i,j\geq 1,\ \beta_{i,j}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}
\overline{\xi_{j+k}}\xi_{i+k}$.

D'autre part, $S_n^{i-1}x_0=\displaystyle\sum_{k=1}^n\xi_k\varepsilon_{k+i-1}$
si l'on convient $\varepsilon_k=0$ pour $k>n$.

\hskip 22.5mm $S_n^{i-1}x_0=\displaystyle\sum_{k=1}^n\xi_{k-i+1}\varepsilon_{k}$
si l'on convient $\xi_k=0$ pour $k\leq 0$.

Donc $<S_n^{i-1}x_0,S_n^{j-1}x_0>=\displaystyle\sum_{k=1}^n
\overline{\xi_{k-i+1}}\xi_{k-j+1}$, et en rempla\c{c}ant $ k $ par $n-k$ :

$<S_n^{i-1}x_0,S_n^{j-1}x_0>=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}
\overline{\xi_{n+1-k-i}}\xi_{n+1-k-j}$.

Il faut alors rappeler (II.2.b) que $x_0$ est vecteur propre de $A_n$
associ\'e \`a $\lambda_1$, c'est \`a dire proportionnel \`a

$(\sin \theta_1,\sin 2\theta_1,...,\sin n\theta_1)$ o\`u $\theta_1=\frac \pi{n+1}$,
de sorte que $\xi_{n+1-k}=\xi_k$, pour $ 1\leq k\leq n$, mais en fait pour
tout $k$ avec nos conventions $\xi_k=0$, pour $k\leq 0$ ou $k>n$.

Il en r\'esulte donc $<S_n^{i-1}x_0,S_n^{j-1}x_0>=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}
\overline{\xi_{k+i}}\xi_{k+j}$.

Enfin la proportionalit\'e de $x_0$ et du vecteur r\'eel
$(\sin \theta_1,\sin 2\theta_1,...,\sin n\theta_1)$,
 assure que les produits $\overline{\xi_{k+i}}\xi_{k+j}$ sont
r\'eels car de la forme $\mu\overline{\mu}\sin(k+i)\theta_1\sin (k+j)\theta_1$,
donc $<S_n^{i-1}x_0,S_n^{j-1}x_0>=\beta_{i,j}$.
\trait
\num{3.c}
{\bf $\bf dim(V_x)=n$ : }  %XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX T4=43' TC4=2h38
%R5 Karcher detente 18h59
Il s'agit donc de prouver que la famille $(x,Tx,...,T^{n-1}x)$ est libre.
Supposons que $t_1x+t_2Tx+.....t_nT^{n-1}x=0$, avec les $t_i$ non tous nuls
et soit k le premier indice tel que $t_k\not=0$.

En appliquant $T^{n-k}$ \`a l'\'egalit\'e, il vient $t_kT^{n-1}x=0$, d'o\`u
$T^{n-1}x=0$. Or $||T^{n-1}x||^2=\beta_{n,n}=||S_n^{n-1}x_0||^2$. On a d\'eja vu ci dessus que $x_0$ est
de la forme $x_0=\mu(\sin\theta_1,...\sin n\theta_1)$ avec $\mu\not=0$.
D'o\`u $S_n^{n-1}x_0=\mu(0,...,0,\sin\theta_1)\not=0$ ; cette contradiction
prouve que $(x,Tx,...,T^{n-1}x)$ est libre donc \cadrefin{$\bf dim(V_x)=n$}
\trait
\num{3.d} {\bf Existence de U isom\'etrie : }
En utilisant la base pr\'ec\'edente, on d\'efinit une application lin\'eaire $U : V_x\mapsto
\C^n$ en posant pour $k\in [0,n-1]$  $U(t^kx)=S_n^kx_0$.

$\bullet\ U$ est une isom\'etrie (lin\'eaire) car elle conserve le produit scalaire sur les \'el\'ements
de la base :
$\forall i,j\geq 1\ <UT^{i-1}x,UT^{j-1}x>=<S_n^{i-1}x_0,S_n^{j-1}x_0>=<T^{i-1}x,T^{j-1}x>$.

Par sesquilin\'earit\'e, elle conserve donc le produit scalaire, donc la norme et
les distances.

$\bullet\ U$ est par suite injective et donc bijective (les deux espaces
d'arriv\'ee et de d\'epart on m\^eme dimension finie).
\cadrefin{\bf U est une isom\'etrie lin\'eaire bijective}

\noindent \carre\ On a bien $UT_xU^{-1}=S_n$, c'est \`a dire $UT_x=S_nU$,
puisque pour tout \'el\'ement de la base $(x,Tx,...,T^{n-1}x)$, de $V_x$~:
$UT_x(T_x^kx)=U(T_x^{k+1}x)=S_n^{k+1}x_0$ (m\^eme si $k=n-1$
car $T_x^nx=0$ et $S_n^nx_0=0$)  et $S_nU(T_x^kx)=S_n(S_n^kx_0)=S_n^{k+1}x_0$.

Co\"{\i}ncidant sur une base $UT_xU^{-1}$ et $S_n$ sont \'egaux.
\trait

\num{3.e} {\bf Existence de l'isom\'etrie J : }
Puisque $T_x=e^{i\theta} R_x$, on a $UR_xU^{-1}=e^{-i\theta}S_n$.

Consid\'erons l'endomorphisme $Q$ de $\C^n$, d\'efini sur la base canonique
$(\varepsilon_k)$, par $Q\varepsilon_k=e^{ik\theta}\varepsilon_k$.

$Q $ est clairement un automorphisme unitaire, donc une isom\'etrie vectorielle, et pour tout k :
$QS_nQ^{-1}\varepsilon_k=QS_n(e^{-ik\theta}\varepsilon_k)=Q(e^{-ik\theta}
\varepsilon_{k+1})=e^{i\theta}\varepsilon_{k+1}$
(en convenant que $\varepsilon_{n+1}=0$), de sorte que
$QS_nQ^{-1}=e^{i\theta}S_n$, et donc $QUR_xU^{-1}Q^{-1}=S_n$ :
en prenant l'isom\'etrie compos\'ee $J=QU : V_x\mapsto \C^n$, on obtient
$JR_xJ^{-1}=S_n$.
\trait
\num{4} {\bf Ensemble des valeurs possibles de w(T) : }
%XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX T4=43' TC4=2h38 A5 18h29 T5=66' TC5= 3h42
% R6 20h47
On sait d\'eja avec le (III.2) que $w(T)\leq w(S_n)$ et avec le (I.1.b) que $w(T)\geq \frac 12$ ;
l'ensemble $\Omega$ cherch\'e est donc inclus dans $[\frac 12,w(S_n)]=[\frac 12,
\cos\frac \pi{n+1}]$.

{\it(Remarque : ici $n\geq 3$ ; si $n=2$, ce que l'on vient d'\'ecrire,
donne $\Omega=\{\frac 12\}$ et c'est compte tenu de
$w(S_2)=\frac 12$, le r\'esultat d\'eja  obtenu au (II.2))}.

Consid\'erons $S(t)$. Comme dans la question (II.2.b), on prouve que pour
tout $\theta\in\R$, $e^{i\theta}S_n(t)+e^{-i\theta}S_n(t)^*$, est semblable \`a
$S_n(t)+S_n(t)^*$ ; Il r\'esulte, avec la formule du (I.1.d), que
$w(S(t))=\frac 12||S_n(t)+S_n(t)^*||$. Or $S_n(t)+S_n(t)^*$ s'\'ecrit $B+tC$, o\`u
$B$ et $C$ sont des matrices constantes, de sorte que $w(S(t))=\frac 12||B+tC||$,
et par continuit\'e de la norme, l'application $t\mapsto w(S(t))$ est continue sur $[0,1]$.

Mais $S(1)=S_n$, donc $w(S(1))=w(S_n)$ et par ailleurs $w(S(0))=\frac 12$ (c'est le m\^eme calcul
que pour $\pmatrix{0&0\cr 1&0\cr}$, d\'eja effectu\'e en (I.2.a)).

Le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires assure donc que $w(S(t))$ prend toutes les valeurs
comprises entre $\frac 12$ et $w(S_n)$, et finalement on peut conclure
\cadrefin{$\bf \Omega=[\frac 12,\cos\frac \pi {n+1}]$}
\traitgras
\hfill\cadreepais{\bf Quatri\`eme Partie}\hfill{}
\num{1.a} {\bf Existence de g : }
Rappelons d'abord que les application $\theta\mapsto e^{ik\theta}$ sont lin\'eairement
ind\'ependantes, et l'\'ecriture de $f$ est donc unique.
L'\'egalit\'e $f(\theta)=\overline{f(\theta)}$ pour tout
$\theta$, impose donc que pour tout $k$, $\overline{f_k}=f_{-k}$.
Quitte \`a diminuer $n$, on peut donc supposer $f_{n-1}\not=0$ (avec toujours
$n\geq 2$, car le cas $n=1$ qui donne $f$ constante \'egale \`a $f_0$, est \'evident
en prenant $g`\equiv g_0=\sqrt{f_0}$).

Soit alors $P(z)$ le polyn\^ome : $z^{n-1}\displaystyle\sum_{k=-n+1}^{n-1} f_kz^k$,
qui est de degr\'e $2n-2$ et de valuation nulle et n'admet donc pas $0$ pour racine.
Calculons $\overline{z}^{2n-2}P(\frac 1{\overline{z}})$, en tenant compte de
$\overline{f_k}=f_{-k}$ :
$\overline{z}^{2n-2}P(\frac 1{\overline{z}})=\overline{z}^{n-1}
\displaystyle\sum_{k=-n+1}^{n-1} f_k\frac 1{\overline{z}^k}=
\overline{z}^{-n-1}\sum_{k=-n+1}^{n-1}\overline{f_{-k}}\overline{z}^{-k}
=\overline{P(z)} $ par changement de $k$ en $-k$.

Il appara\^{\i}t ainsi que $\alpha$ racine de $P$ ($\alpha\not=0
\Longleftrightarrow \frac 1{\overline{\alpha}}$ racine de $P$.

Plus pr\'ecis\'ement factorisons $P(z)$ : $P(z)=f_{n-1}\displaystyle
\prod_{\ell=1}^{2n-2}(z-\alpha_\ell)$ et l'\'egalit\'e pr\'ec\'edente s'\'ecrit
$f_{n-1} \displaystyle\prod_{\ell=1}^{2n-2}(1-\alpha_l\overline{z})=
\overline{f_{n-1}}\prod_{\ell=1}^{2n-2}(\overline{z}-\overline{\alpha_\ell})$,
ce qui montre qu'\`a une permutation pr\`es la liste des
$\overline{\alpha_\ell} $ et la liste des $\frac 1{\alpha_\ell}$, sont identiques,
et de m\^eme, en conjuguant pour la liste des $\alpha_\ell$ et celle des
$\frac 1{\overline{\alpha_\ell}}$ (et donc avec le m\^eme ordre de multiplicit\'e
lorsqu'il y a r\'ep\'etition). Comme $\alpha_\ell= \frac 1{\overline{\alpha_\ell}}
\Longleftrightarrow |\alpha_\ell| =1$,  ceci am\`ene \`a distinguer les racines de
module $\not=1$ (qu'on peut regrouper deux par deux) et les racines de module 1.
On obtient ainsi : $P(z)=f_{n-1}\displaystyle\prod_p(z-\beta_p)(z-\frac 1{\overline{\beta_p}})
\prod_q(z-\gamma_q)^{r_q}$, o\`u $|\beta_p|\not=1$ et $|\gamma_q|=1$, les $\gamma_q$ \'etant
deux \`a deux distincts, d'ordre de multiplicit\'e $r_q$, alors que les $\beta_p$
peuvent se r\'ep\'eter.

Revenons \`a $f(\theta)$ :

$f(\theta)=e^{-i(n-1)\theta}P(e^{i\theta})
=e^{-i(n-1)\theta} f_{n-1}\displaystyle\prod_p(e^{i\theta}-\beta_p)(e^{i\theta}-\frac 1{\overline{\beta_p}})
\prod_q(e^{i\theta}-\gamma_q)^{r_q}\in\R^+\ \forall\theta\in\R$.

Montrons que chaque $r_q$ est pair : $\gamma_q$, de module $1$,
s'\'ecrit $e^{i\omega}$, de sorte que $f(\theta)$ s'\'ecrit
$f(\theta)=(e^{i\theta}-e^{i\omega})^{r_q}h(\theta)$, o\`u $h$ est aussi un polyn\^ome
trigonom\'etrique, tel que $h(\omega)\not=0$.

Le calcul des d\'eriv\'ees successives de $f$ en $\omega$
montre que $f(\omega)=...=f^{(r_q-1)}(\omega)=0$ et
$f^{(r_q)}(\omega)\not=0$, de sorte qu'au voisinage de $\omega$,
$f(\theta)\sim f^{(r_q)}(\omega)(\omega-\theta)^{r_q}\frac 1{r_q!}$.

La condition $f(\theta)\geq 0$, exige donc $r_q$ pair : $r_q=2s_q$.

En mettant les $\frac  1{\overline{\beta_p}}$ en facteur dans l'expression de
$f(\theta)$, celle ci prend la forme :

\hfill
$f(\theta)=Ke^{-i(n-1)\theta}\displaystyle\prod_p(e^{i\theta}-\beta_p)
(e^{i\theta}\overline{\beta_p}-1)\prod_q(e^{i\theta}-\gamma_q)^{2s_q}$.

Comme $|e^{i\theta}-\beta_p|=|e^{-i\theta}-\overline{\beta_p}|
=|e^{i\theta}\overline{\beta_p}-1|$ et $f(\theta)=|f(\theta)|$,
car $f(\theta)\in\R^+$, il vient :
$f(\theta)=|f(\theta)|=|K|
\displaystyle .|\prod_p(e^{i\theta}-\beta_p)
\prod_q(e^{i\theta}-\gamma_q)^{s_q}|^2=|g(\theta)|^2$, o\`u
\cadrefin{$\bf g(\theta)=\sqrt{|K|}
\displaystyle\prod_p(e^{i\theta}-\beta_p)
\prod_q(e^{i\theta}-\gamma_q)^{s_q}$} et g est bien un polyn\^ome trigonom\'etrique de la forme
voulue.
\trait
%XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX T4=43' TC4=2h38 A5 18h29 T5=66' TC5= 3h42
% R6 20h47 A6=21h57 T6=1h10 TC6=4h52+8'=5h00. (pour trois pages et demi)
%R7 30 mai 7h53
\num{1.b} {\bf $\bf f_0>0 $ : }
$f(\theta)=\displaystyle |\sum_{k=0}^{n-1} g_ke^{ik\theta}|^2=
=\sum_{k=0}^{n-1} g_ke^{ik\theta}\sum_{\ell=0}^{n-1} \overline{g_\ell}e^{-i\ell\theta}$.

Par unicit\'e de l'\'ecriture de $f$, d\'eja signal\'ee, $f_0$ est le coefficient
constant de ce d\'eveloppement :
$f_0=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} g_k \overline{g_k}
=\sum_{k=0}^{n-1} |g_k|^2\geq 0$ et m\^eme $>0$, sinon $g$ serait identiquement
nulle et $f$ aussi.

\carre \ {$\bf |f_1|\leq f_0w(S_n) \ : $ }
De m\^eme $f_1$ est le coefficient de $e^{i\theta}$ :
    $f_1=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} g_k \overline{g_{k-1}}$,
et on remarque que si  $x=(g_0,...,g_{n-1})\in\C^{n},\ \overline{f_1}
=<x,S_nx>$, et aussi $f_0=<x,x>=||x||^2$.

Il en r\'esulte  $\frac {|f_1|}{f_0}=|<\frac x{||x||},S_n\frac x{||x||}>
\leq w(S_n) $ : donc \cadrefin{$\bf |f_1|\leq f_0w(S_n)$}

\carre\ {\bf $\bf w(S_n)$ meilleure constante : } D'apr\`es le (II.2.b),
il suffit de prendre $g(\theta)= \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}
\sin\big(\frac {(k+1)\pi}{n+1}\big) e^{ik\theta}$ et
$f(\theta)=|g(\theta)|^2$, pour avoir l'\'egalit\'e :
\cadrefin{\bf $\bf w(S_n)$ est donc la meilleure constante possible}
\trait
\num{2.a} {\bf Expression de X\ : } La nilpotence de  $e^{i\theta}T$ et de
$e^{-i\theta}T^*$ assure l'inversibilit\'e de $Id-e^{i\theta}T$, avec
$(Id-e^{i\theta}T)^{-1}=\displaystyle\sum_{k\geq 0}
e^{ik\theta}T^k$  et de m\^eme
$(Id-e^{-i\theta}T^*)^{-1}=\displaystyle\sum_{\ell\geq 0}
e^{-i\ell\theta}T^{*\ell}$. Ce sont des sommes finies puisque $T$, donc
aussi $T^*$ sont nilpotents.

Calculons ainsi $Y= (Id-e^{-i\theta}T^{*})^{-1}(Id-T^{*}T)(Id-e^{i\theta}T)^{-1}
=\displaystyle \sum_{k\geq 0} \sum_{\ell\geq 0} e^{i(k-\ell)\theta}
T^{*\ell}(Id-T^*T)T^k$.

En r\'ealit\'e, $k$ et $\ell$, ne varient qu'entre $0$ et $n-1$et $p=k-\ell$
ne varie qu'entre $-(n-1)$ et $n-1$, donc :
$Y=\displaystyle\sum_{p=-n+1}^{n-1} e^{ip\theta}
\sum_{\matrix{k-\ell=p\cr k\geq 0\ \ell\geq 0\cr}}
(T^{*\ell}T^k-T^{*\ell+1}T^{k+1})$.

Ces derni\`eres sommes sont t\'elescopiques, de dernier terme nul, de premier terme $T^p$
si $p>0$, $Id$ si $p=0$, $T^{*p}$ si $p<0$. Ainsi
$Y=Id+\displaystyle \sum_{p\geq 1} (e^{ip\theta}T^p+e^{-ip\theta}T^{*p})$,
c'est le r\'esultat demand\'e.
\trait
\num{2.b} {$\bf f_x(\theta)=<x,Xx>\ : $ }

D'une part %comme dirait F\'evrier
$<x,Xx>=<x,x+\displaystyle \sum_{p\geq 1} (e^{ip\theta}T^px+e^{-ip\theta}T^{*p}x)>
=1+ \sum_{p\geq 1} e^{ip\theta}<x,T^px>+e^{-ip\theta}<x,T^{*p}x>
=f_x(\theta)$ car $T^n=0$ et $<x,T^{*p}x>=<T^px,x>=f_{-p}$ pour $p\geq 1$

\carre \ {$\bf f_x(\theta)\geq 0\ :  $}
$<x,Xx>=<x,(Id-e^{-i\theta}T^{*})^{-1}(Id-T^{*}T)(Id-e^{i\theta}T)^{-1} x>
=_{\hbox{\fiverm car $\fiverm (U^*)^{-1}=(U^{-1})^*$}}\
<(Id-e^{+i\theta}T)^{-1}x,(Id-T^{*}T)(Id-e^{i\theta}T)^{-1} x>
=_{\hbox{\fiverm si l'on pose $\fiverm y=(Id-e^{+i\theta}T)^{-1}x$}}\ <y,(Id-T^*T)y>$

$=_{\hbox{\fiverm car $\fiverm <y,T^*Ty>=<Ty,Ty>$}} \ ||y||^2-||Ty||^2
\geq 0$, car $||T||\leq 1$.  Donc \cadrefin{$\bf f_x(\theta)\geq 0$\bf
\ pour tout $\bf \theta\in\R$}

\carre\ {\bf En d\'eduire que $\bf w(T)\leq w(S_n) $ : } Comme ici $f_0=1$ et
$f_1=<x,Tx>$, la question (i.b) donne $|<x,Tx>~|\leq w(S_n)$.

Ceci vaut pour tout $x$ de norme 1, donc \cadrefin{ $\bf w(T)\leq w(S_n) $}
\trait
\num{3.a} {\bf Calculer $\sigma=\displaystyle\sum_{r=0}^{n}f(\frac {2\pi\ r }{n+1})$ :}

%XXXXXXXXXXXXXXXXXX TC6=5h00 R7=30 mai 7h53 A7=9h27 T7=1h34 TC7=6h34 R8 9h41
 $\sigma=\displaystyle\sum_{k=-n+1}^{n-1}f_k\sum_{r=0}^n e^{i2k\pi\ r\over n+1}$ ;

Si $e^{i2k\pi\over n+1}\not=1,\ \displaystyle \sum_{r=0}^n \big(e^{i2k\pi\over n+1}\big)^r
=\frac {1-(e^{i2k\pi\over n+1})^{n+1}}{1-e^{i2k\pi\over n+1}}=0 $ ;

Si $e^{i2k\pi\over n+1}=1$, la somme vaut $n+1$.

Or  $e^{i2k\pi\over n+1}=1\Longleftrightarrow k$ multiple de $n+1$, ce qui
dans la somme $\sigma$ ne se produit que pour $k=0$. Donc
\cadrefin{$\bf \displaystyle\sum_{r=0}^{n}f(\frac {2\pi\ r }{n+1})=(n+1)f_0$\
\vrule\ \liond}
\trait
\num{3.b} {\bf Barycentres : }
Un calcul analogue au pr\'ec\'edent donne
$\displaystyle\sum_{r=0}^{n}f(\frac {2\pi\ r }{n+1})
e^{-i2\pi\ r\over n+1}=(n+1)f_1$, et plus g\'en\'eralement pour tout
$k\in [-n+1,n-1]$, $\displaystyle\sum_{r=0}^{n}f(\frac {2\pi\ r }{n+1})
e^{-i2k\ \pi\ r\over n+1}=(n+1)f_k$.

$\bullet\ $ Si on avait $f_0=0$, la positivit\'e des
$f(\frac {2\pi\ r }{n+1})$ entra\^{\i}nerait $\forall r=0..n,\
f(\frac {2\pi\ r }{n+1})=0$, d'o\`u, pour tout $k\in[-n+1,n-1]$, $f_k=0$, donc $f=0$,
ce qu'on exclut.

$\bullet\ $ donc $f_0\not=0$ et $\frac {f_1}{f_0}=\frac 1\sigma
\displaystyle\sum_{r=0}^{n}f(\frac {2\pi\ r }{n+1})
e^{-i2\pi\ r\over n+1}$, ce qui exprime $\frac {f_1}{f_0}$ comme barycentre
\`a coefficients positifs des $e^{-i2\pi\ r\over n+1},\ 0\leq r\leq n$.

\carre\ {\bf Il en est de m\^eme pour toutes les images par rotation : }
Pour tout $\alpha\in\R$, on peut introduire $\varphi_\alpha=f(\theta+\alpha)=
\displaystyle\sum_{k=-n+1}^{n-1} f_ke^{ik\alpha}e^{ik\theta}$ : c'est encore
un polyn\^ome trigonom\'etrique, positif comme $f$, avec le m\^eme $f_0$
et $f_1$  remplac\'e par $f_1e^{i\alpha}$.

Donc \cadrefin{\bf $\bf \frac {f_1e^{i\alpha}}{f_0}$ est aussi barycentre
\`a coefficients positifs des $e^{-i{2\pi\ r\over n+1}}$}
\trait
\num{3.c} {\bf Conclure : retrouver $\bf |\frac {f_1}{{f_0} }| \leq w(S_n) $ : }
On vient de prouver que le cercle de centre O et de rayon $|\frac {f_1}{{f_0} }| $,
est inclus dans l'enveloppe convexe des $e^{-i {2\pi\ r\over n+1}}$, qui
sont des racines $(n+1)$-i\`eme de l'unit\'e. Cette enveloppe convexe est un
polyg\^one r\'egulier \`a $n+1$ cot\'es inscrit dans le cercle unit\'e. Le cercle inscrit dans ce
polyg\^one a pour rayon $\cos \frac \pi {n+1}$ (c'est ``l'apoth\`eme", hauteur
des triangles isoc\`eles constitutifs du polyn\^one). On a donc
\cadrefin{$\bf |\frac {f_1}{{f_0} }| \leq  \cos \frac \pi {n+1}=w(S_n)$}

\traitgras
\hfill\cadreepais{\bf Cinqui\`eme Partie}\hfill{}
\num{1} {\bf Caract\'erisation de $\bf |a|\leq 1 $ : }
%XXXXXXXXXXXXXXXXXX  TC7=6h34 R8 9h41 A8=10h21 T8=40 TC8=7h14 R9 10h50

(i) implique (ii) : Si $|a|\leq 1$ et $|z|<1$, alors $|az|<1$, $Re(Az)<1$ et
$Re(1-az)\geq 0$.

R\'eciproquement si on a (ii), si l'on avait $|a|>1$, $a$ s'\'ecrit
$a=\rho e^{i\theta}$, avec $\rho>1$ ; en prenant $z=\frac {e^{-i\theta}}{\sqrt{\rho}}$,
on a $|z|<1$ et $1-az=1-\sqrt{\rho}<0$ ; donc
\cadrefin{$\bf |a|\leq 1 \Longleftrightarrow (\forall z\in\C,\ |z|<1,\
on\ a\ Re(1-az)\geq0)$}
\trait
\num{2.a} {\bf Caract\'erisation de $\bf w(A)\leq 1$ : }
Posons $C=Id-\frac 12(zA+\overline{z}A^*)$. Alors pour tout $x$,
$<x,Cx>=||x||^2-\frac 12z<x,Ax>-\frac 12\overline{z}<x,A^*x> =
||x||^2-Re(z<x,Ax>)$, et si $||x||=1$, alors $<x,Cx>=1-Re(z<x,Ax>)$.

Avec le crit\`ere de la question (1) pr\'ec\'edente, on d\'eduit donc
que $C$ positif pour tout $z$ tel que $|z|<1\Longleftrightarrow
\forall x $ de norme 1\ \ $ |<x,Ax>|\leq 1\longleftrightarrow w(A)\leq 1$.
\trait
\num{2.b} {\bf Nouvelle caract\'erisation de $\bf w(A)\leq 1$ : }
%XXXXXXXXXXXXXXXXXX  TC8=7h14 R9 10h50 A9=11h12 T9= 22' TC9= 7h36 R10 11h46

$\bullet\ $ Si $w(A)\leq 1 $, on a vu au (I.1.c) que lorsque
$|z|<1$, $Id-zA$ est inversible.

Posons alors $D=(Id-zA)^{-1}+\big((Id-zA)^{-1}\big)^*$. Pour tout $x\in H$,
on obtient ici encore : $<x,Dx>=2Re<x,(Id-zA)^{-1}x>=_{\hbox{\fiverm si
$y=(Id-zA)^{-1}x$}}\ \ 2Re<(Id-zA)y,y>=2Re<y,(Id-zA)y>=<y,\big((Id-zA)+(Id-zA)^*\big)y>=2<y,Cy>$,
avec le m\^eme $C$ qu'au (a). Or $C$ est positif d'apr\`es le (a), donc $D$ est positif.

$\bullet\ $ R\'eciproquement, le calcul ci-dessus montre  que $D$ positif
implique $C$ positif, car $y=(Id-zA)^{-1}x$ d\'ecrit $H$, et d'apr\`es le (a),
$D$ positif implique $w(A)\leq 1$.
\trait
\num{3.a} {\bf Expression de $\bf (Id-z^nA^n)^{-1}$ :}
Notons $\omega_k=e^{2ik\pi\over n}$, les racines n-i\`eme de l'unit\'e, et posons
$X^n-1=(X-w_k)P_k(X)$.

La d\'ecomposition en \'el\'ements simples de $\frac 1{X^n-1}$ s'\'ecrit :
$\frac 1{X^n-1} =\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac {\alpha_k}{X-\omega_k}$ (1)
o\`u $\alpha_k=\frac 1{P_k(\omega_k)}$ ; de plus (cours de sup)
$P_k(\omega_k)=(X^n-1)'_{X=\omega_k}=n\omega_k^{n-1}$ et donc $\alpha_k=
\frac 1n\omega_k$.

En multipliant la d\'ecomposition (1) par  $X^n-1$, on obtient l'identit\'e polynomiale
\hfill
\cadrepoint{$1=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\frac 1n \omega_k P_k(X)$}.

Par morphisme, pour l'endomorphisme $zA$, il vient alors :
$Id=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\frac 1n\omega_k P_k(zA)$ (2)

Mais $1-X^n=(\omega_k-X)P_k(X)$ implique
$Id-z^nA^n=(\omega_k Id-zA)P_k(zA)$, d'o\`u puisque $Id-\overline{\omega_k}zA$
est inversible (car $w(\overline{\omega_k}A)=w(A)\leq 1$) :
$\omega_kP_k(zA)=(Id-\overline{\omega_k}zA)^{-1}(Id-z^nA^n)$,
et en rempla\c{c}ant dans (2) : $Id=\frac 1n \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}
(Id-\overline{\omega_k}zA)^{-1}(Id-z^nA^n)$ ; comme $\{\omega_k\}=\U_n=
\{\overline{\omega_k}\}$, cela prouve l'inversibilit\'e de $Id-z^nA^n$ et
$(Id-z^nA^n)^{-1}=\frac 1n \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}
(Id-\omega_kzA)^{-1}$.
\trait
\num{3.b} {\bf $\bf w(A^n)\leq 1 $ : }
%XXXXXXXXXXXXXXXXXX   TC9= 7h36 R10 11h46 A10=12h19 T10=23 TC10=7h59 R10=12h22
Puisque $w(A)\leq 1$ et $|\omega_k z|<1$, la formule ci dessus, jointe au (2.b),
montre que $(Id-z^nA^n)^{-1}+\big((Id-z^nA^n)^{-1}\big)^*$ est positif.
Comme $z^n$ d\'ecrit l'ensemble des nombres complexes de module $<1$ lorsque
$z$ le d\'ecrit lui m\^eme, le sens r\'eciproque de (2.b) donne $w(A^n)\leq 1$.
\trait
\num{3.c} {$\bf w(B^n)\leq (w(B)^n\ : $}
On remarque que pour tout $\rho\in\R^+$, $w(\rho B)=\rho w(B)$.

$\bullet\ $ Si $w(B)\not=0$, on prend $\rho=\frac 1{w(B)}$.

Alors $w(\rho B)=1$, donc selon (b) $w(\rho^n B^n)\leq 1$, c'est \`a dire
$w(B^n)\leq w(B)^n$.

$\bullet\ $ Si $w(B)=0$, on a pour tout $\rho\in\R_*^+$, $w(\rho B)=0\leq 1$,
donc $w(\rho^n B^n)\leq 1$, c'est \`a dire $w(B^n)\leq \frac 1{\rho^n}$
et donc $w(B^n)\leq 0=w(B)$. ( Le r\'esultat d\'ecoule aussi de (I.1.b), qui donne
B=0).


\traitgras
\hfill\cadreepais{\bf Sixi\`eme Partie}\hfill{}
\num{1} {\bf $\bf W(A)$ est inclus dans un triangle  : }

%XXXXXXXXXXXXXXXXXX   TC10=7h59 R11=2h22 A11=12h24 T11=10 TC11= 8h09 R12=15h16
Le triangle T de sommets $z_i$ est l'ensemble des barycentres \`a coefficients positifs
de $z_1,z_2,z_3$. Supposons d'abord que $A=\displaystyle\sum_{i=1}^3z_iA_i$,
avec les conditions voulues et soit, $x\in H$
avec $||x||=1$ : $<x,Ax>=\displaystyle\sum_{i=1}^3z_i<x,A_ix>$.
Or $<x,A_ix>\in \R+$, car $A_i$ positif, et
$\displaystyle\sum_{i=1}^3<x,A_ix>=<x,x>=1$, donc $<x,Ax>\in T$ et on a bien
$W(A)\subset= T$.

\Carre\ Inversement, supposons $W(A)\subset= T$ et supposons d'abord que $z_1,z_2,z_3$,
soient deux \`a deux distincts.

\leavevmode
\cadrepoint{\it Analyse}\  si $A=z_1A_1+z_2A_2+z_3A_3$ comme voulu, alors en prenant les adjoints :
 $A^*=\overline{z_1}A_1^*+\overline{z_2}A_2^*+\overline{z_3}A_3^*$,
de sorte qu'en tenant compte de $\overline{z_i}=\frac 1{z_i}, A_1, A_2, A_3$ sont
solutions du syst\`eme $\cases{ A_1+A_2+A_3=1\cr
                             z_1A_1+z_2A_2+z_3A_3=A\cr
                            \frac 1{z_1}A_1+\frac 1{z_2}A_2+\frac 1{z_3}A_3=A^*\cr}$

Aves les $z_i$ distincts, ce syst\`eme est de Cramer %Kramer contre Kramer
  (le d\'eterminant est ``presque" un Vandermonde), et admet donc une solution unique.

\leavevmode
\cadrepoint{\it Synth\`ese}\ Soit $A_1,A_2,A_3$ la solution unique pr\'ec\'edente.
On a d\'eja $\displaystyle\sum_{i=1}^3A_i=Id$ et
$\displaystyle\sum_{i=1}^3z_iA_i=A$ et il reste seulement \`a v\'eifier que les $A_i$ sont positifs.

$\bullet\ $ En prenant l'adjoint dans les \'equations, on constate que
$ A_1^*, A_2^*, A_3^*$ sont
solutions du m\^eme syst\`eme, donc par unicit\'e, $A_i^*=A_i$ et $A_i$ est hermitien.

$\bullet\ $ Pour $x\in H, \ ||x||=1$ : $ <x,Ax>=
\displaystyle\sum_{i=1}^3z_i<x,A_ix>$ et $<x,A_ix>\in \R$ car $A_i$ est hermitien
et $\displaystyle\sum_{i=1}^3<x,A_ix>=1$ car $\displaystyle\sum_{i=1}^3A_i=Id$.

Cela signifie que les $<x,A_ix>$ sont les coefficients barycentriques normalis\'es
de $<x,Ax>$ par rapport \`a $z_1,z_2,z_3$. Ces coefficients sont uniques car les
$z_i$, distincts et de norme 1, forment un vrai triangle. Comme $<x,Ax>\in T$,
ils sont positifs : $x,A_ix>\geq 0$ et ceci pour tout $x$ de norme $1$, donc par homog\'en\'eit\'e
 pour tout $x$. \cadrefin{\bf Les $\bf A_i$ sont bien positifs et le
r\'esulttat est \'etabli}.


\Carre\ Supposons encore $W(A)\subset= T$ et cette fois $z_1\not=z_2=z_3$.
$W(A)$ est donc inclus dans le segment $[z_1,z_2]$, c'est \`a dire que pour tout $x$ de norme $1$,
$<x,Ax>\in[z_1,z_2]$. Si  on pose $B=\frac {A-z_1Id}{z_2-z_1}$, on a
alors $<x,Bx>\in [0,1]$.

$B$ est alors hermitien, car si on \'ecrit $B=C+iD$, avec $C$ et $D$ hermitiens, alors
$<x,Dx>=0$ pour tout x de norme $1$, $D$ est alors hermitien positif
et n\'egatif donc nul. Avec de plus $<x,Bx>\in [0,1]$ B est positif.
De m\^eme puisque pour $||x||=1\ <x,(Id-B)x>\in [0,1]$, on a aussi
$Id-B$ positif. Or $B=\frac {A-z_1Id}{z_2-z_1}\Longrightarrow
A=(z_2-z_1)B+z_1Id=z_2B+z_1(Id-B)$, d'o\`u le r\'esultat voulu avec
\cadrepoint{$A_1=Id-B,\ A_2=B,\ A_3=0$}

\Carre\ Enfin si $z_1=z_2=z_3$, on a pour tout $x$ de norme $1$,
$<x,Ax>=z_1$, donc $<x,(A-z_1Id)x>=0$, de sorte que $A=z_1Id$ et on peut prendre
$A_1=Id,\ A_2=A_3=0$.
\trait
\num{2} {\bf Condition pour que $\bf ||B||\leq 1$ : }

%XXXXXXXXXXXXXXXXXX TC11= 8h09 R12=15h16 A12=16h05 T12=39 TC12=8h48 R13=16h33
Posons $C=\pmatrix{I & B^*\cr B & I \cr}$. Pour $X=\pmatrix{Y\cr Z\cr}$, colonne
de hauteur 2n, $X^*CX=Y^*Y+Z^*Z+2Re(Z^*BY)$, c'est \`a dire
$<X,CX>=<Y,Y>+<Z,Z>+2Re<Z,BY>$.

\noindent\hskip-10mm
$\cases{\bullet\ si\ ||B||\leq 1,\ |2Re<Z,BY>|\leq 2||Z||\ ||Y||
\leq ||Y||^2+||Z||^2,\ donc\ <X,CX>\geq 0\cr
\bullet \ si ||B||>1,\ il\ existe\ Y\not=0\ tel \ que\ ||BY||>||Y||.\
Prenons\ Z=-BY\ <X,CX>=||Y||^2+||BY||^2-2||BY||^2<0\cr}$

On a bien \cadrefin{$\bf ||B||\leq 1\Longleftrightarrow C\ positive$}
\trait
\num{3} {\bf $\bf ||A||\max(|z_i|)$ : }
Quitte \`a multiiplier par un r\'eel positif $\rho$, on peut
supposer que $max|z_i|=1$ (le cas o\`u les $z_i$ sont tous nuls est imm\'ediat
car alors $A=0$ d'apr\`es (I.1.b)), et quitte \`a agrandir le triangle, on peut supposer
$\forall i\ |z_i|=1$. Il s'agit alors de montrer que $||A||\leq 1$.

Le r\'esultat du la premi\`ere question, permet d'\'ecrire $A=z_1A_1+z_2A_2+z_3A_3$, $A_i$ hermitiens
positifs de somme $Id$.

Posons encore   $C=\pmatrix{I & A^*\cr A & I \cr}$. Avec $X=\pmatrix{ Y\cr Z\cr}$ :
$<X,CX>=||Y||^2+||Z||^2+2Re<Y,AZ>$, et $Re<Y,AZ>=Re(z_1<Y,A_1Z>)+
Re(z_2<Y,A_2Z>) +Re(z_3<Y,A_3Z>)$.

Or $A_i$ \'etant positif, $<Y+z_iZ,A_i(Y+z_iZ)>\geq 0$, c'est \`a dire
$<Y,A_iY>+<Z,A_iZ>  +2Re(z_i<Y,A_iZ>)\geq 0$ (On a regroup\'e
$z_i<A,A_iZ>$ et $\overline{z_i}<Z,A_iY>$ en tenant compte de
$<Z,A_iY>=<A_iZ,Y>=\overline{<Y,A_iZ>}$).

Et en additionnant ces trois in\'egalit\'es, on obtient puisque $\displaystyle
\sum_{i=1}^3A_i=Id$ : $<Y,Y>+<Z,Z>+2\displaystyle
\sum_{i=1}^3Re(z_i<Y,A_iZ>)\geq 0$., c'est \`a dire $<X,CX>\geq 0$.

$C$ \'etant positive, on a $||A||\leq 1$, ce qu'on voulait.
\trait
\num{4} {\bf $\bf ||T||^2\leq ||A||^2 + ||B||^2 $ : }

\hfill
\vbox{\hsize 140mm Soit $x\in H,\ ||x||=1$ : $<x,Tx>=<x,Ax>+i<x,Bx>$ ; Compte tenu des
hypoth\`eses, $<x,Ax>\in\R^+$, et $<x,Ax>\leq ||A||$ ; $<x,Bx>\in\R^+,\
<x,Bx>\leq ||B||$, de sorte que $W(T)$ est inclus dans le rectangle hachur\'e
$(O,||B||,||A||,z_2)$, ci contre,
{\it(o\`u l'on a pris $z_1=-||A||+i||B||,\ z_2=||A||+i||B||,\
z_3=||A||-i||B||$)}, et donc \`a fortiori dans le triangle $(z_1,z_2,z_3)$.}

Le (3) donne alors $||T||^2\leq max(|z_i|^2)=||A||^2 +||B||^2$.
\trait
\num{5} {\bf L'in\'egalit\'e est fausse avec A et B seulement suppos\'es hermitiens : }
Il suffit de trouver un contre exemple : prenons $A=\pmatrix{1 &0\cr 0 &-1\cr}$
et $ B=\pmatrix{0 &i\cr -i &0\cr}$, hermitiens avec $spectre(A)=spectre(B)=
\{1,-1\}$, donc $||A||=||B||=1$ :

$T=A+iB=\pmatrix{1 &-1\cr 1 &-1\cr}$ ; $T\pmatrix{1\cr -1\cr}=\pmatrix{ 2\cr 2\cr}$,
donc avec $X=\pmatrix{1\cr -1\cr}$, $\frac {||TX||}{||X||}=2$,
donc $||T||\geq 2$.
Ainsi $||T||^2\geq 4$ alors que $||A||^2+||B||^2=2<4$.
L'in\'egalit\'e est fausse {\it(remarque en fait $||T||=2$)}.



\traitgras
\vfill
\leavevmode\hfill\transforme*{3 0 -5 3,70}{\bf ENS ULM LYON 99}
\transforme{3 0 0 3}{\bf ENS ULM LYON 99}

\fondpage={\ps{lion,\hsize,\vsize,-1 0 0 1,90}}
\vfill\eject
\bye
%XXXXXXXXXXXXXXXXXX TC12=8h48 R13=16h33 A13=17h31 TC13=9h46
% mise au point des corrections des fautes de frappe apr\`es tirage papier :
% 18h35 relecture papier correction = 1h04 (hein ! All\`egre)
% +33' correction du source TC=11h23+ 1h16 des corrections des erreurs
% de frappe signal\'ees par Fevrier TC=12h39

