\documentstyle{article}

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\begin{document}
{\Large \bf
\begin{flushright} 
 Corrig\'e ENSAIT 99 \end{flushright} }

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf .I.}
\end{center}

\begin{itemize}
\item[{\sl 1.1- }] On a pour tout $x$ de $\R$, 
$|u_n(x)| \leq \displaystyle \frac{1}{2^n}$. Or la s\'erie de terme 
g\'en\'eral $\displaystyle \frac{1}{2^n}$ converge ce qui d\'emontre que 
la s\'erie de fonctions de terme g\'en\'eral $u_n(x)$ converge 
normalement sur $\R$.
\item[{\sl 1.2- }]
\begin{itemize}
\item[{\sl 1.2.1-}] On a $U(0)=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n}$ d'o\`u 
$U(0)=2$ et $U(\pi)=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left( 
-\frac{1}{2} \right)^n $ d'o\`u $U(\pi)= \displaystyle \frac{2}{3}$.
 \item[{\sl 1.2.2-}] Pour $x$ r\'eel, la s\'erie de terme g\'en\'eral 
 $\displaystyle \frac{e^{ix}}{2^n}$ converge car 
 $\displaystyle \left| \frac{e^{ix}}{2^n} \right| \leq \frac{1}{2^n}$. 
 
 Puisque $\displaystyle \frac{e^{ix}}{2} \neq 1$
 $\displaystyle \sum_{n=0}^{=\infty} \frac{e^{ix}}{2^n} = \frac{2}{2-e^{ix}} $.
 
 En prenant les parties r\'eelles de chaque membre de cette \'egalit\'e, on trouve
 $U(x)= \displaystyle 2 \frac{2-\cos x}{5-4\cos x}$.
 
 On retrouve bien les r\'esultats du {\sl 1.2.1-}.
\end{itemize}
\end{itemize}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf .II.}
\end{center}
\begin{itemize}
  \item[{\sl 2.1-}] On a pour tout $x$ de $\R$, 
$|v_n(x)| \leq \displaystyle a_n= \frac{1}{(2n)!}$. Or 
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=0$ donc la s\'erie de terme 
g\'en\'eral $a_n$ converge ce qui d\'emontre que 
  la s\'erie de fonctions de terme g\'en\'eral $v_n(x)$ converge 
  normalement sur $\R$. 
  \item[{\sl 2.2-}] D'apr\`es le d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de ch 
    rappel\'e dans le formulaire, pour tout $x$ r\'eel,  la s\'erie de terme g\'en\'eral 
 $\displaystyle \frac{e^{2inx}}{(2n)!}$ converge et sa somme est \'egale 
 $\ch(e^{ix})$. 
 
 Or $\ch(e^{ix})=\ch(\cos x)\ch(i\sin x)+\sh(\cos x)\sh(i\sin x)$ ce qui donne :
 
 $$\ch(e^{ix})=\ch(\cos x)\cos(\sin x)+i\sh(\cos x)\sin(\sin x)$$
 
 En prenant les parties r\'eelles, on trouve $V(x)=\ch(\cos x)\cos(\sin x)$
\item[{\sl 2.3-}] La fonction $v_n$ est de classe ${\cal C}^\infty$ sur $\R$ et 
pour tout entier naturel $p$, $\displaystyle v_n^{(p)}(x)=
\frac{(2n)^p}{(2n)!}\cos \left( 2nx+ p\frac{\pi}{2} \right)$.

Remarquons que pour tout r\'eel $x$, $|v_n^{(p)}(x)| \leq \displaystyle b_{n,p}$ avec
$\displaystyle b_{n,p}=\frac{(2n)^p}{(2n)!}$. Comme $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 
\frac{b_{n,p}}{b_{n+1,p}}=0$, on en d\'eduit qu'\`a $p$ fix\'e,
 $\displaystyle \sum b_{n,p}$ converge et que
la s\'erie de fonctions de terme g\'en\'eral $v_n^{(p)}(x)$ converge normalement sur $\R$.

Montrons par r\'ecurrence sur $p$ la propri\'et\'e 
${\cal P}_p$ : "$V$ est de classe ${\cal C}^p$
 sur $\R$ et $V^{(p)}(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}
v_n^{(p)}(x)$".
\begin{itemize}
  \item ${\cal P}_0$ est vraie car toutes les fonctions $v_n$ sont continues sur $\R$ et
  $\displaystyle \sum v_n(x)$ converge normalement donc uniform\'ement sur $\R$.  
  \item Supposons ${\cal P}_p$ vraie.
  \item Alors $\displaystyle \sum v_n^{(p)}$ converge simplement en tout point de $\R$ et 
  $\displaystyle \sum  v_n^{(p+1)}$ converge uniform\'ement sur $\R$. Donc $V^{(p)}$ est d\'erivable sur $\R$ et
  pour tout $x$, $V^{(p+1)}(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} v_n^{(p+1)}(x)$. De plus
  $V^{(p+1)}$ est continue sur $\R$ comme somme d'une s\'erie de fonctions
  continues convergeant uniform\'ement.
\end{itemize}
\end{itemize}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf .III.}
\end{center}

\begin{itemize}
  \item[{\sl 3.1-}] Pour tout r\'eel $x$, $|w_n(x)| \leq c_n= \displaystyle \frac{|\alpha|^n}{n}$.
  Or $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{c_{n+1}}{c_n}=|\alpha|$. Donc la s\'erie
  $\displaystyle \sum c_n$ converge 
  (car $|\alpha|<1$) et la s\'erie de fonctions de terme g\'en\'eral $w_n(x)$ converge
  normalement sur $\R$.
  \item[{\sl 3.2-}] Toutes les fonctions $w_n$ sont d\'erivables sur $\R$ et $w'_n(x)=-\alpha^n
  \sin(nx)$. 
  
  Donc, pour tout r\'eel $x$, $|w_n(x)| \leq |\alpha|^{n}$. Comme $|\alpha| < 1$, la
  s\'erie de fonctions de terme g\'en\'eral $w'_n(x)$ converge normalement donc uniform\'ement sur
  $\R$. Comme de plus $\displaystyle \sum w_n(x)$ converge simplement en tout point de $\R$, 
  on en d\'eduit que $W$ est d\'erivable sur $\R$ et que $W'(x)=- \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}
  \alpha^{n}\sin(nx)$. De plus $W'$ est continue sur $\R$ comme somme d'une s\'erie de fonctions
  continues convergeant uniform\'ement.
  
  Pour $|\alpha|<1$, $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \alpha^{n}e^{inx}=
  \frac{\alpha e^{ix}}{1-\alpha e^{ix}}$.
  
  En prenant les parties imaginaires, on obtient $\qquad W'(x)=-\displaystyle 
  \frac{\alpha \sin x}{1-2\alpha\cos x +\alpha^2}$.
  \item[{\sl 3.3-}] En remarquant que pour tout $x$, $1-2\alpha\cos x +\alpha^2>0$, on d\'eduit de
  la question pr\'ec\'edente qu'il existe une constante $C$ telle que pour tout re\'el $x$,
  $W(x)=-\displaystyle \frac{1}{2}\ln(1-2\alpha\cos x +\alpha^2)+C$.
  
  Or $W(0)=\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\alpha^{n}}{n}=-
  \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{(-\alpha)^{n}}{n}=-\ln(1-\alpha)$.
  
  On en d\'eduit que $C=0$ et que $\qquad W(x)=-\displaystyle \frac{1}{2}\ln(1-2\alpha\cos x +\alpha^2)$.
    \item[{\sl 3.4-}] En rempla\c{c}ant $W$ par sa valeur :
    $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\ln(1-2\alpha\cos x +\alpha^2)dx= -2
    \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\alpha^{n}}{n}\cos(nx)dx$.
    Or puisque la s\'erie de fonctions converge uniform\'ement sur $\R$ donc sur $[-\pi,\pi]$,
    $$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\ln(1-2\alpha\cos x +\alpha^2)dx=
    \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\alpha^{n}}{n}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)dx =0$$
\end{itemize}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf .IV.}
\end{center}
\begin{itemize}
  \item[{\sl 4.1-}] Pour tout r\'eel $x$, $\displaystyle |t_n(x)| \leq \frac{|\alpha |^n}{n!}$.
  Or $\displaystyle \sum \frac{|\alpha |^n}{n!}$ converge. Donc la s\'erie de fonctions de terme
  g\'en\'eral $t_n(x)$ converge normalement sur $\R$.
  \item[{\sl 4.2-}] Pour tout r\'eel $x$, $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} 
  \frac{(\alpha e^{ix})^n}{n!}=e^{\alpha(\cos x+i\sin x)}$.
  En prenant les parties r\'eelles cela donne :
  $$T(x)=e^{\alpha \cos x}\cos(\alpha \sin x)$$
  \item[{\sl 4.3-}] Pour tout r\'eel $\gamma$, d'apr\`es la formule pr\'ec\'edente appliqu\'ee avec
  $\alpha=1$,
  $$ e^{\cos x}\cos(\sin x)\cos(\gamma x) = 
  \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\cos (nx) \cos(\gamma x)}{n!}$$
  d'o\`u 
  $$ e^{\cos x}\cos(\sin x)\cos(\gamma x)
   = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\cos ((n+\gamma)x)+\cos ((n-\gamma)x)}{2n!}$$
   Or cette derni\`ere s\'erie de fonctions converge normalement sur $\R$ donc uniform\'ement
   sur $[0,2\pi]$. Par cons\'equent :
   $$ \int_0^{2\pi} e^{\cos x}\cos(\sin x)\cos(\gamma x) dx =
   \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2n!} \int_0^{2\pi} (\cos ((n+\gamma)x)+\cos ((n-\gamma)x))dx$$
   soit apr\`es calculs (car pour tout $n$ entier, $n-\gamma \neq 0$ et $n+\gamma \neq 0$):
   $$ \int_0^{2\pi} e^{\cos x}\cos(\sin x)\cos(\gamma x) dx =
   -\gamma\sin(2\pi\gamma ) \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!(n^2-\gamma^2)}$$
\end{itemize}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf .V.}
\end{center}
\begin{itemize}
  \item[{\sl 5.1-}] Pour tout r\'eel $x$, $|s_n(x)| \leq \displaystyle a_n=\frac{1}{(2n+1)^4}$.
  Or pour tout $n$, $a_n \geq 0$ et  $a_n$, 
  lorsque $n$ tend vers $+\infty$, \'equivaut \`a $\displaystyle \frac{1}{16n^4}$ 
  qui est le terme g\'en\'eral d'une s\'erie convergente. Donc $\displaystyle \sum a_n$ converge 
  et la s\'erie de fonctions de terme g\'en\'eral $s_n(x)$ converge normalement sur $\R$.
  \item[{\sl 5.2-}] Soit $f$ la fonction paire, $2\pi$ p\'eriodique telle que pour tout $x$ de 
  $[0,\pi]$, $f(x)=\displaystyle \frac{1}{96}\pi ( \pi-2x)(\pi^2+2\pi x -2x^2)$.
  Cette fonction est continue sur $\R$ et de classe ${\cal C}^1$ par morceaux et paire. On a donc
  pour tout $x$ de $\R$, $f(x)=\displaystyle \frac{a_0(f)}{2}+
  \sum_{p=1}^{+\infty} a_p(f)\cos(px)$ avec $a_p(f)=\displaystyle \frac{2}{\pi} \int_0^\pi
  f(t)\cos (pt) dt$. 
  
  Il reste \`a calculer les coefficients $a_p$. Notons $g$ la restriction de $f$ \`a
  $[0,\pi]$. On a pour tout $x$ de $[0,\pi]$ :
  $$g'(x)=\frac{1}{8}(\pi x^2 -\pi^2 x) \qquad g''(x)=\frac{1}{4} \pi x - \frac{1}{8} \pi^2$$
  En faisant trois int\'egrations par parties, tous les crochets d'int\'egration s'annulant, 
  on obtient :
  $$a_p(f)=\frac{1}{2p^3}\int_0^\pi \sin (pt)dt = \frac{1-(-1)^p}{2p^4}$$
  Les coefficients $a_{2n}$ sont donc nuls ce qui donne :
  $$\frac{1}{96}\pi ( \pi-2x)(\pi^2+2\pi x -2x^2)=\sum_{n=1}^{+\infty} 
  \frac{1}{(2n+1)^4}\cos((2n+1)x)$$
\end{itemize}



\end{document}

