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\documentclass[a4paper,french,thmsa,notitlepage]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{sw20exmA}

%TCIDATA{TCIstyle=exam/exam.lat,exmA,sciword}

%TCIDATA{Created=Fri May 22 15:46:45 1998}
%TCIDATA{LastRevised=Thu May 27 08:22:30 1999}

\input{tcilatex}
\begin{document}

 \input upsnum.sty %

\begin{center}
\fbox{{\LARGE ENSAIT concours d'entr\'{e}e A math\'{e}matiques 2}}
\end{center}

\paragraph{I) $n=2,\;a_{0}=0,\;a_{1}=1,\;a_{2}=2$}

\ 

1) \fbox{$L_{0}=\QDOVERD. . {\left( X-1\right) \left( X-2\right)
}{2}\;;\;L_{1}=-X\left( X-2\right) \;;\;L_{2}=\QDOVERD. . {X\left(
X-1\right) }{2}$}

soit $a,b,c\in R\;,\;P=aL_{0}+bL_{1}+cL_{2}=0\;,\;P(0)=P(1)=P(2)=0$ donc $%
a=b=c=0$

$\left( L_{0},L_{1},L_{2}\right) $ est une famille libre de 3
\'{e}l\'{e}ments dans un espace vectoriel de dimension 3

\ \ \ \ \ \ \fbox{$\mathcal{B}^{\prime }\mathcal{=\;}\left(
L_{0},L_{1},L_{2}\right) $ est une base de $R_{2}\left[ X\right] $}

$\forall P\in R_{2}\left[ X\right] \;,\;P=\dsum\limits_{i=0}^{2}P(i)L_{i}$
donc \fbox{les composantes dans $\mathcal{B}^{\prime }$ de $P$ sont $\left(
P(0),P(1),P(2)\right) $}

2) La matrice de passage de $\mathcal{B}$ \`{a} $\mathcal{B}^{\prime }$ est $%
A$ avec\ \ $A=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\ 
-3/2 & 2 & -1/2 \\ 
1/2 & -1 & 1/2
\end{array}
\right) $

Le polynome caract\'{e}ristique de $A$ est \ \ $\chi _{A}\left( \lambda
\right) =\left| 
\begin{array}{rrr}
1-\lambda & 0 & 0 \\ 
-3/2 & 2-\lambda & -1/2 \\ 
1/2 & -1 & 1/2-\lambda
\end{array}
\right| =\left( 1-\lambda \right) \left( \lambda ^{2}-\dfrac{5}{2}\lambda +%
\dfrac{1}{2}\right) $

il admet 3 racines r\'{e}elles distinctes $1,\dfrac{5}{4}\pm \dfrac{\sqrt{17}%
}{4}$ donc $A$ est diagonalisable

1 est valeur propre enti\`{e}re et le sous-espace propre associ\'{e} est
engendr\'{e} par $\left[ 
\begin{array}{r}
1 \\ 
1 \\ 
-1
\end{array}
\right] $

3) Un polynome de $R_{2}\left[ X\right] $ est enti\`{e}rement
d\'{e}termin\'{e} par ses coordonn\'{e}es dans $\mathcal{B}^{\prime }$ ,
donc par $P(0),\;P(1),\;P(2)$

$P(X)=P(0)+P(1)X+P(2)X^{2}$ si et seulement si $P$ a les m\^{e}mes
coordonn\'{e}es dans $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}^{\prime }$

donc si et seulement si $\left[ 
\begin{array}{r}
P(0) \\ 
P(1) \\ 
P(2)
\end{array}
\right] =A\left[ 
\begin{array}{r}
P(0) \\ 
P(1) \\ 
P(2)
\end{array}
\right] $ soit si et seulement si $\left[ 
\begin{array}{r}
P(0) \\ 
P(1) \\ 
P(2)
\end{array}
\right] $ est un vecteur propre de $A$ associ\'{e} \`{a} la valeur propre 1

donc \fbox{$\left( P(X)=P(0)+P(1)X+P(2)X^{2}\right) \Leftrightarrow \left(
\exists k\in R\;,\;P(X)=k\left( 1+X-X^{2}\right) \right) $}

\paragraph{II) Retour au cas g\'{e}n\'{e}ral}

\ 

1) Soit $\left( \lambda _{0},...\lambda _{k}\right) \in
R^{n+1},\;\;Q=\dsum\limits_{k=0}^{n}\lambda _{k}L_{k}=0\;,\;\forall k\in
\left\{ 0,..n\right\} \;\;,\;Q\left( a_{k}\right) =\lambda _{k}=0$

$\left( L_{k}\right) _{0\leq k\leq n}$ est une famille libre de $\left(
n+1\right) $ \'{e}l\'{e}ments dans un espace vectoriel de dimension $\left(
n+1\right) $ . C'est donc une base de $R_{n}\left[ X\right] $

$\forall P\in R_{n}\left[ X\right]
\;,\;P=\dsum\limits_{i=0}^{n}P(a_{i})L_{i} $ donc \fbox{les composantes dans 
$\mathcal{B}^{\prime }$ de $P$ sont $\left(
P(a_{0}),P(a_{1}),...P(a_{n})\right) $}

2) $A$ est la matrice de passage de $\mathcal{B}$ \`{a} $\mathcal{B}^{\prime
}$ , donc $A$ est inversible

$A^{-1}$ est la matrice de passage de $\mathcal{B}^{\prime }$ \`{a} $%
\mathcal{B}$ , d'apr\`{e}s 1) , $\forall j\in \left\{ 0,..n\right\}
\;,\;X^{j}=\dsum\limits_{i=0}^{n}a_{i}^{j}L_{i}$

donc\ \fbox{$A^{-1}=\left( m_{ij}\right) \Sb 0\leq i\leq n  \\ 0\leq j\leq n 
\endSb $ avec $m_{ij}=a_{i}^{j}\;\;$}\ $\;\;\;\;;\;\;\;\;A^{-1}=\left( 
\begin{array}{rrrrr}
1 & a_{0} & a_{0}^{2} & \cdots & a_{0}^{n} \\ 
\vdots &  &  &  &  \\ 
1 & a_{i} & a_{i}^{2} &  & a_{i}^{n} \\ 
\vdots &  &  &  &  \\ 
1 & a_{n} & a_{n}^{2} &  & a_{n}^{n}
\end{array}
\right) $

3) Soit $Q=\dsum\limits_{i=0}^{n}L_{i}-1\;,\;\forall j\in \left\{
0,..n\right\} \;,\;L_{i}(j)=\delta _{ij}$ donc $Q(j)=0$

$Q$ est un polynome de degr\'{e} inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} n, il a au
moins $(n+1)$ racines, il est donc nul

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \fbox{\ $\dsum\limits_{i=0}^{n}L_{i}=1$}

Les coordonn\'{e}es dans la base $\mathcal{B}$ de $\dsum%
\limits_{i=0}^{n}L_{i}$ sont donc $(1,0,..,0)$

donc la somme des \'{e}l\'{e}ments de la premi\`{e}re ligne de $A$ est
\'{e}gale \`{a} 1

\ \ \ \ \ et la somme des \'{e}l\'{e}ments de toute autre ligne est
\'{e}gale \`{a} 0

\paragraph{III) Etude du cas a$_{0}=0$}

\ 

1) La premi\`{e}re coordonn\'{e}e dans la base $\mathcal{B}$ de $L_{j}$ est $%
L_{j}(0)$ , donc la premi\`{e}re ligne de la matrice $A$ est $\left(
1,0,0,..,0\right) $

Le polynome caract\'{e}ristique de $A\;:\;\chi _{A}(\lambda )$ est donc
factorisable par $\left( 1-\lambda \right) $

\ \ \ \ \fbox{$\lambda =1$ est valeur propre de $A$}

2) Soit $\varphi $ l'endomorphisme de $R_{n}\left[ X\right] \;$tel que $%
\forall j\in \left\{ 0,..n\right\} \;,\;\varphi \left( X^{j}\right) =L_{j}$

Dans la base $\mathcal{B}$ , $\varphi $ a pour matrice $A$ qui admet 1 comme
valeur propre

Il existe donc un polynome non nul de $R_{n}\left[ X\right] $ tel que $%
\varphi \left( P\right) =P$, donc

\ \ $\exists \left( b_{0},b_{1},..,b_{n}\right) \in R^{n+1}-\left\{ \left(
0,0,..,0\right) \right\}
\;,\;P=\dsum\limits_{i=0}^{n}b_{i}X^{i}=\dsum\limits_{i=0}^{n}b_{i}L_{i}$

Or si $P=\dsum\limits_{i=0}^{n}b_{i}L_{i}$ $\ $alors $b_{i}=P(a_{i})\;$donc\
\ \ \ \fbox{$\exists $ $P\in R_{n}\left[ X\right] \;,\;P\neq
0\;,\;P(X)=\dsum\limits_{i=0}^{n}P(a_{i})X^{i}$}

\paragraph{IV) Etude du cas a$_{0}=1$}

\ 

Si $\left( 
\begin{array}{r}
b_{0} \\ 
b_{1} \\ 
\vdots \\ 
\vdots \\ 
b_{n}
\end{array}
\right) $ est la $j^{i\grave{e}me}$ colonne de $A$ , $\
L_{j}=\dsum\limits_{i=0}^{n}b_{i}X^{i}\;$\ donc $L_{j}(1)=\dsum%
\limits_{i=0}^{n}b_{i}$

Comme $L_{0}(1)=1$ et $L_{j}(1)=0$ si $1\leq j\leq n$, la somme des
\'{e}l\'{e}ments de la premi\`{e}re colonne de $A$ est \'{e}gale \`{a} 1

\ \ \ \ \ et la somme des \'{e}l\'{e}ments de toute autre colonne est
\'{e}gale \`{a} 0

\paragraph{V) Etude du cas $a_{0}=0,\;a_{1}=1,\;a_{2}=2,...a_{n}=n$}

\ 

1) $L_{0,0}=1\;,\;\forall k\in \left\{ 1,..n\right\} \;,\;L_{k,k}=\QDOVERD.
. {\dprod\limits_{i=0}^{k-1}\left( X-i\right) }{k!}$ donc le degr\'{e} de $%
L_{k,k}$ est \'{e}gal \`{a} $k$

$\left( L_{0,0},L_{1,1},...,L_{n,n}\right) $ est une famille de polynomes
\`{a} degr\'{e}s \'{e}tag\'{e}s, c'est donc une famille libre de $(n+1)$
\'{e}l\'{e}ments, $\dim \left( R_{n}\left[ X\right] \right) =n+1$

donc $\;$\fbox{$\mathcal{B}^{\prime \prime }=\left(
L_{0,0},L_{1,1},...,L_{n,n}\right) $ est une base de $R_{n}\left[ X\right] $}

Si\ $j\in N\;,\;L_{k,k}(j)=C_{j}^{k}$ \ (\ en particulier $L_{k,k}(j)=0$ si $%
k>j\;)$

Soit $P=\dsum\limits_{k=0}^{n}\left( -1\right) ^{k}L_{k,k}$\ ,\ $\forall
j\in N\;,\;P(j)=\dsum\limits_{k=0}^{n}\left( -1\right)
^{k}C_{j}^{k}=\dsum\limits_{k=0}^{\min (n,j)}\left( -1\right) ^{k}C_{j}^{k}$

Si $j\leq n\;,\;P(j)=\left( 1+\left( -1\right) \right) ^{j}= 
\begin{tabular}[t]{l}
$0$ si $1\leq j\leq n$ \\ 
1 si $j=0$%
\end{tabular}
\;$Donc \fbox{les racines de $P=\dsum\limits_{k=0}^{n}\left( -1\right)
^{k}L_{k,k}$ sont $1,2,...,n$}\ \ \ 

Remarque : $P=\QDOVERD. . {\left( -1\right)
^{n}}{n!}\dprod\limits_{i=1}^{n}\left( X-i\right) $

2)

\begin{quote}
a) Soit $P_{\mathcal{B}^{\prime }\rightarrow \mathcal{B}^{\prime \prime }}$
la matrice de passage de la base $\mathcal{B}^{\prime }\;$\`{a} la base $%
\mathcal{B}^{\prime \prime }$

$\forall j\in \left\{ 0,..n\right\}
\;,\;L_{j,j}=\dsum\limits_{i=0}^{n}L_{j,j}\left( i\right)
L_{i,n}=\dsum\limits_{i=0}^{n}C_{i}^{j}L_{i,n}\;$donc\ \ \ \fbox{$P_{%
\mathcal{B}^{\prime }\rightarrow \mathcal{B}^{\prime \prime }}=\left(
m_{ij}\right) \Sb 0\leq i\leq n  \\ 0\leq j\leq n  \endSb \;,\;$avec\ $%
m_{ij}=C_{i}^{j}$}

$P_{\mathcal{B}^{\prime }\rightarrow \mathcal{B}^{\prime \prime }}$ est donc
une matrice triangulaire inf\'{e}rieure

b) $A=P_{\mathcal{B}\rightarrow \mathcal{B}^{\prime }}=P_{\mathcal{B}%
\rightarrow \mathcal{B}^{\prime \prime }}\times P_{\mathcal{B}^{^{\prime
\prime }}\rightarrow \mathcal{B}^{\prime }}=P_{\mathcal{B}\rightarrow 
\mathcal{B}^{\prime \prime }}\times \left( P_{\mathcal{B}^{\prime
}\rightarrow \mathcal{B}^{\prime \prime }}\right) ^{-1}$

Comme, pour tout $k,$ le degr\'{e} de $L_{k,k}$ est \'{e}gal \`{a} $k,$ la
matrice $P_{\mathcal{B}\rightarrow \mathcal{B}^{\prime \prime }}$ est
triangulaire sup\'{e}rieure

La matrice inverse d'une matrice triangulaire inf\'{e}rieure \'{e}tant
triangulaire inf\'{e}rieure , $\left( P_{\mathcal{B}^{\prime }\rightarrow 
\mathcal{B}^{\prime \prime }}\right) ^{-1}$ est triangulaire inf\'{e}rieure

c) $n=2,\;a_{0}=0,\;a_{1}=1,\;a_{2}=2$

$P_{\mathcal{B}^{\prime }\rightarrow \mathcal{B}^{\prime \prime }}=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\ 
1 & 1 & 0 \\ 
1 & 2 & 1
\end{array}
\right) \;;\;\left( P_{\mathcal{B}^{\prime }\rightarrow \mathcal{B}^{\prime
\prime }}\right) ^{-1}$ =$P_{\mathcal{B}^{^{\prime \prime }}\rightarrow 
\mathcal{B}^{\prime }}=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\ 
-1 & 1 & 0 \\ 
1 & -2 & 1
\end{array}
\right) \;;\;P_{\mathcal{B}\rightarrow \mathcal{B}^{\prime \prime }}=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & -1/2 \\ 
0 & 0 & 1/2
\end{array}
\right) $

donc $\ \ \ $\fbox{$\ A=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\ 
-3/2 & 2 & -1/2 \\ 
1/2 & -1 & 1/2
\end{array}
\right) =\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & -1/2 \\ 
0 & 0 & 1/2
\end{array}
\right) \times \left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\ 
-1 & 1 & 0 \\ 
1 & -2 & 1
\end{array}
\right) $}
\end{quote}

\end{document}
