%% This document created by Scientific Word (R) Version 2.5
%% Starting shell: exam


\documentclass[a4paper,french,thmsa,notitlepage]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{sw20exmA}

%TCIDATA{TCIstyle=exam/exam.lat,exmA,sciword}

%TCIDATA{Created=Fri May 22 15:46:45 1998}
%TCIDATA{LastRevised=Thu May 27 10:43:06 1999}

\input{tcilatex}
\begin{document}
\input upsnum.sty %

\begin{center}
\textbf{ENSAIT}

CONCOURS D'ENTREE A-1999

EPREUVE de MATHEMATIQUES II

Dur\'{e}e 2 heures (tous les candidats)

\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_%
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

\textbf{Les copies illisibles ou mal pr\'{e}sent\'{e}es seront
p\'{e}nalis\'{e}es}

\fbox{\textbf{L'usage des calculatrices est interdit}}

$\mathcal{R}$ \underline{d\'{e}signe l'ensemble des nombres r\'{e}els}\ 
\end{center}

On note $\mathcal{R}_{n}\left[ X\right] $ l'espace vectoriel des
polyn\^{o}mes \`{a} coefficients r\'{e}els de degr\'{e} inf\'{e}rieur ou
\'{e}gal \`{a} $n,$

et $B=\left\{ 1,X,X^{2}...,X^{n}\right\} $ sa base canonique.

Etant donn\'{e} une famille de $\left( n+1\right) $ r\'{e}els distincts $%
a_{0}<a_{1}<a_{2}<...<a_{n}$ , on lui associe

les polynomes $L_{0},L_{1},L_{2}...L_{n}$ de $\mathcal{R}_{n}\left[ X\right] 
$ tels que :

\ \ \ $\forall j\in \left\{ 0,1,2,..n\right\} -\left\{ i\right\}
\;\;L_{i}(a_{j})=0$

\ \ \ et $L_{i}(a_{i})=1$

On note enfin $A$ la matrice carr\'{e}e dont les vecteurs colonnes sont les
composantes dans la base $B$ des vecteurs $L_{0},L_{1},L_{2},...L_{n}\;.$

\paragraph{I) On prend $\;n=2,\;a_{0}=0,\;a_{1}=1,\;a_{2}=2\;.$}

\ 

1) Donner $L_{0},L_{1},L_{2}$

Montrer que $\left\{ L_{0},L_{1},L_{2}\right\} \;$est une base de $\mathcal{R%
}_{2}\left[ X\right] \;.$

Quelles sont les les composantes d'un polynome $P$ de $\mathcal{R}_{2}\left[
X\right] $ dans cette base $\left\{ L_{0},L_{1},L_{2}\right\} \;?$

2) Former la matrice de changement de base de $B=\left\{ 1,X,X^{2}\right\} $
\`{a} $B^{\prime }=\left\{ L_{0},L_{1},L_{2}\right\} $

Montrer qu'elle est diagonalisable, qu'elle admet une valeur propre
enti\`{e}re, d\'{e}terminer l'espace propre associ\'{e}.

3) D\'{e}terminer les polynomes $P$ de $\mathcal{R}_{2}\left[ X\right] $
tels que

\ \ \ $P(X)=P(0)+P(1)X+P(2)X^{2}$

\paragraph{II) Retour au cas g\'{e}n\'{e}ral}

\ 

1) Montrer que $B^{\prime }=\left\{ L_{0},L_{1},L_{2}..L_{n}\right\} $ est
une base de $\mathcal{R}_{n}\left[ X\right] .$

Indiquer les composantes sur la base $B^{\prime }$ d'un polynome $P$
quelconque de $\mathcal{R}_{n}\left[ X\right] .$

2) Montrer que $A$ est inversible, calculer son inverse

3) Montrer que $\dsum\limits_{i=0}^{n}L_{i}=1.$

En d\'{e}duire que la somme des \'{e}l\'{e}ments de la premi\`{e}re ligne de 
$A$ est \'{e}gale \`{a} 1, et que la somme des \'{e}l\'{e}ments de toute
autre ligne de $A\;$est nulle.

\paragraph{III) Etude du cas \ \ a$_{0}=0$}

\ 

1) Montrer que la matrice $A$ admet $\lambda =1$ pour valeur propre.

2) Montrer qu'il existe des polynomes $P$ de $\mathcal{R}_{n}\left[ X\right]
\;,\;$diff\'{e}rents du polyn\^{o}me nul tels que : $P(X)=\dsum%
\limits_{i=0}^{n}P(a_{i})X^{i}$

\paragraph{IV) Etude du cas \ \ a$_{0}=1$}

\ 

Montrer que la somme des \'{e}l\'{e}ments de la premi\`{e}re colonne de $A$
est \'{e}gale \`{a} 1, et que la somme des \'{e}l\'{e}ments de toute autre
colonne de $A\;$est nulle.

\paragraph{V) Etude du cas $\;\;a_{0}=0,\;a_{1}=1,\;a_{2}=2,...\;\;\;%
\;a_{n}=n$}

\ 

On note dor\'{e}navant :

\ \ $L_{i,p}$ le polyn\^{o}me de $\mathcal{R}_{p}\left[ X\right] $ tel que

\ \ \ \ \ \ \ \ \ $\forall j\in \left\{ 0,1,..p\right\} -\left\{ i\right\}
\;\;L_{i,p}(j)=0$

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ et $L_{i,p}(i)=1$

\ \ \ \ Et on convient que $L_{0,0}=1$

\ 

1) Montrer que $B^{\prime \prime }=\left\{
L_{0,0},L_{1,1},L_{2,2}...,L_{n,n}\right\} $ est une base de $\mathcal{R}%
_{n}\left[ X\right] .$

Soit le polyn\^{o}me $P=\dsum\limits_{k=0}^{n}\left( -1\right) ^{k}L_{k,k}$\
,\ d\'{e}terminer ses racines.

2) a) Ecrire la matrice de changement de base de

\ \ \ \ $B^{\prime }=\left\{
L_{0,n}\;,\;L_{1,n}\;,\;L_{2,n}...\;,\;L_{n,n}\right\} $ \`{a} $B^{\prime
\prime }$

\ \ \ b) Montrer que l'on peut \'{e}crire la matrice $A$ comme le produit
d'une matrice triangulaire sup\'{e}rieure et d'une matrice triangulaire
inf\'{e}rieure.

\ \ \ c) Effectuer tous les calculs du V 2) b) pour $n=2,\;a_{0}=0,%
\;a_{1}=1,\;a_{2}=2$

\end{document}
