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\begin{document}


\lhead{ENSAIT 1999 A-Maths II}
\rhead{page \thepage}
\cfoot{}

%Num{\'e}rotation des questions
\renewcommand{\labelenumi}{}
\renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumi}. \arabic{enumii}.}
\renewcommand{\labelenumiii}{\arabic{enumi}. \arabic{enumii}. \arabic{enumiii}}

%Macros
\newcommand{\R}{\mathfrak{R}}
\newcommand{\ch}[1]{\,\mathrm{ch} #1}
\newcommand{\sh}[1]{\,\mathrm{sh} #1}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3 d#4}}



\begin{center}
Ecole Nationale Sup{\'e}rieure

\underline{des Arts et Industries Textiles}

\bigskip
{\Large \textbf{CONCOURS D'ENTREE A - 1999}}

\bigskip
{\Large \textbf{EPREUVE de MATHEMATIQUES I}}

\bigskip
{\large Dur{\'e}e 2 heures}

\bigskip
{\large (tous les candidats)}
\end{center}

\bigskip
\hrule

\bigskip
\begin{center}
Aucun r{\'e}sultat ne sera pris en compte s'il n'est accompagn{\'e} de calculs interm{\'e}diaires

\medskip
Les copies illisibles ou mal pr{\'e}sent{\'e}es seront p{\'e}nalis{\'e}es

\medskip
\framebox{L'usage des calculatrices est interdit}
\end{center}

\bigskip
\begin{center}\textbf{{\large Formulaire}}\end{center}

$\ch$ d{\'e}signe le cosinus hyperbolique, $\sh$ le sinus hyperbolique.

$\begin{array}{l}
\ch{(a+b)} = \ch{a} \ch{b} + \sh{a} \sh{b} \\
\sh{(a+b)} = \sh{a} \ch{b} + \sh{b} \ch{a}
\end{array}$
$a$ et $b$ r{\'e}els ou complexes.

$\ch{(i x)} = \cos{x}$ ; $\sh{(i x)} = i \sin{x}$, $x$ r{\'e}el

$\ch{(z)} = \somme{n=0}{+{\infty}}{\dfrac{z^{2n}}{(2n)!}}$ ; $\sh{(z)} = \somme{n=0}{+{\infty}}{\dfrac{z^{2n+1}}{(2 n + 1)!}}$, $z$ complexe

\bigskip
L'objet du probl{\`e}me est l'{\'e}tude de s{\'e}ries de fonctions de terme g{\'e}n{\'e}ral $a(n) \cos{(b(n) x)}$ o{\`u} $n$ est un entier naturel, $a(n)$, $b(n)$ des nombres r{\'e}els et $x$ une variable r{\'e}elle.

Les cinq parties sont ind{\'e}pendantes.

$\R$ d{\'e}signe l'ensemble dcs nombres r{\'e}els.

\bigskip
\begin{enumerate}
\item \begin{center}\textbf{{\Large I}}\end{center}

Soit $a(n) = \dfrac{1}{2^{n}}$, $b(n) = n$. On d{\'e}signe par $(S_{1})$ la s{\'e}rie de fonctions de terme g{\'e}n{\'e}ral $u_{n}(x) = \dfrac{1}{2^{n}} \cos{(n x)}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $(S_{1})$ converge normalement sur $\R$.

\item On pose $U(x) = \somme{n=0}{{\infty}}{u_{n}(x)}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $U(0)$, $U(\pi)$.
\item Calculer $U(x)$ et retrouver les r{\'e}sultats pr{\'e}c{\'e}dents. (On pourra utiliser le fait que $\cos{nx}$ est la partie r{\'e}elle de $e^{i n x}$).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\item \begin{center}\textbf{{\Large II}}\end{center}
Soit $a(n) = \dfrac{1}{(2n)!}$, $b(n) = 2n$. On d{\'e}signe par $(S_{2})$ la s{\'e}rie de fonctions de terme g{\'e}n{\'e}ral $v_{n}(x) = \dfrac{1}{(2n)!} \cos{(2nx)}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(S_{2})$ converge normalement sur $\R$.
\item On pose $V(x) = \somme{n=0}{{\infty}}{v_{n}(x)}$. Calculer $V(x)$
\item Montrer que, pour tout $p$ entier naturel, la fonction $V$ est de classe $\mathcal{C}^{p}$ sur $\R$ et que $V^{(p)}(x) = \somme{n=0}{{\infty}}{\dfrac{(2n)^{p}}{(2n)!} \cos{\left(2nx + p \dfrac{\pi}{2}\right)}}$.
\end{enumerate}

\bigskip
\item \begin{center}\textbf{{\Large III}}\end{center}
Soit $a_{n} = \dfrac{\alpha^{n}}{n}$ pour $n$ diff{\'e}rent de z{\'e}ro ; $b(n) = n$ o{\`u} $\alpha$ est un nombre r{\'e}el compris strictement entre $-1$ et $1$.

On d{\'e}signe par $(S_{3})$ la s{\'e}rie de fonctions de terme g{\'e}n{\'e}ral $w_{n}(x) = \dfrac{\alpha^{n}}{n} \cos{(nx)}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $(S_{3})$ converge normalement sur $\R$.
\item On pose $W(x) = \somme{n=1}{{\infty}}{w_{n}(x)}$. Montrer que la fonction $W$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R$ et calculer $W'(x)$.
\item En d{\'e}duire $W(x)$.
\item Calculer $\integ{-\pi}{\pi}{\ln{(1 - 2 \alpha \cos{x} + \alpha^{2})}}{x}$ ($\ln$ d{\'e}signe le logarithme n{\'e}p{\'e}rien).
\end{enumerate}

\bigskip
\item \begin{center}\textbf{{\Large IV}}\end{center}

Soit $a(n) = \dfrac{\alpha^{n}}{n!}$, $b(n) = n$ o{\`u} $\alpha$ est un nombre r{\'e}el.

On d{\'e}signe par $(S_{4})$ la s{\'e}rie de terme g{\'e}n{\'e}ral $t_{n}(x) = \dfrac{\alpha^{n}}{n!} \cos{(nx)}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $(S_{4})$ converge normalement sur $\R$.
\item On pose $T(x) = \somme{n=0}{{\infty}}{t_{n}(x)}$. Calculer $T(x)$.
\item Soit $\gamma$ un r{\'e}el non entier relatif, montrer que 
$$\integ{0}{2\pi}{e^{\cos{x}} \cos{(\gamma x)} \cos{(\sin{x})}}{x} = f(\gamma) \somme{n=0}{{\infty}}{\dfrac{1}{n! (n^{2} - \gamma^{2})}}$$

o{\`u} $f(\gamma)$ est une fonction que l'on d{\'e}terminera.
\end{enumerate}

\bigskip
\item \begin{center}\textbf{{\Large V}}\end{center}
Soit $a(n) = \dfrac{1}{(2n+1)^{4}}$, $b(n) = 2n + 1$. On d{\'e}signe par $(S_{5})$ la s{\'e}rie de fonctions de terme g{\'e}n{\'e}ral $s_{n}(x) = \dfrac{1}{(2n+1)^{4}} \cos{(2n+1)x}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(S_{5})$ converge normalement sur $\R$.
\item Montrer que pour $0 {\leq} x {\leq} \pi$, on a $\dfrac{1}{96}\pi (\pi - 2x) (\pi^{2} + 2\pi x - 2x^{2}) = \somme{n=0}{{\infty}}{s_{n}(x)}$

(on pourra utiliser un d{\'e}veloppement en s{\'e}rie de Fourier).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}

