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%% Enoncé recopié par J.Odoux
%% Jacques.Odoux@ac-grenoble.fr

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\begin{document}

\input upsnum.sty

\thispagestyle{plain}

\noindent{\large \'{E}COLE POLYTECHNIQUE}\hfill{\large FILI\`{E}RE} {\LARGE MP}

\bigskip

\noindent\medskip{\large CONCOURS D'ADMISSION 1999}

\begin{center}
{\Large PREMI\`{E}RE COMPOSITION DE MATH\'{E}MATIQUES}{\huge \bigskip}

(Dur\'{e}e : 4 heures)\bigskip

L'utilisation des calculatrices n'est pas autoris\'{e}e pour cette \'{e}preuve.\bigskip

* * *\bigskip
\end{center}

\textit{On attachera la plus grande importance \`{a} la clart\'{e}, \`{a} la
pr\'{e}cision et \`{a} la concision de la r\'{e}daction.\bigskip}

\begin{center}
* * *\textit{\bigskip}

\textbf{Notations}\bigskip
\end{center}

\noindent Pour toute fonction $f$ de deux variables r\'{e}elles $x$ et $y$, on
posera $\partial_{1}f=\dfrac{\partial f}{\partial x}$ et $\partial_{2}%
f=\dfrac{\partial f}{\partial y}$.

\noindent Par ailleurs on pose%

\begin{align*}
\Pi_{+}  & =\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}|y>0\}\\
\bar{\Pi}_{+}  & =\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}|y\geqslant0\}
\end{align*}

\bigskip Enfin on d\'{e}signe par $K$ la fonction sur $\Pi_{+}$ d\'{e}finie
par
\[
K(x,y)=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}
\]

\bigskip

\begin{center}
\textbf{Premi\`{e}re partie\bigskip}
\end{center}

\textbf{1.} Calculer $%
%TCIMACRO{\dint _{-\infty}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}}
%EndExpansion
K(x,y)\mathrm{d}x$.

\bigskip

\textbf{2.} Calculer $\partial_{1}K$, $\partial_{2}K$, $\partial_{1}%
^{2}K+\partial_{2}^{2}K$.

\bigskip

\textbf{3.} Montrer que, si $m$ et $n$ sont deux entiers $\geqslant0$,
$(\partial_{1}^{m}\partial_{2}^{n}K)(x,y)$ peut s'\'{e}crire sous la forme
$\dfrac{P_{m,n}(x,y)}{(x^{2}+y^{2})^{m+n+1}}$ o\`{u} $P_{m,n}$ est un
polyn\^{o}me dont le degr\'{e} par rapport \`{a} $x$ est major\'{e} par
$2(m+n)$.

\newpage

\begin{center}
\thispagestyle{plain}\textbf{Deuxi\`{e}me partie}\bigskip
\end{center}

Dans cette partie, la lettre $f$ d\'{e}signe une fonction complexe continue
born\'{e}e sur $\mathbb{R}$.

\bigskip

\textbf{4.} Montrer que, pour tout $(x,y)$ dans $\Pi_{+}$, la fonction
$t\mapsto f(t)K(x-t,y)$ est int\'{e}grable sur $\mathbb{R}$.

\bigskip

On notera $\Phi_{f}$ $(x,y)$ son int\'{e}grale.

\bigskip

\textbf{5.a)} Montrer que la fonction $\Phi_{f}$ ainsi d\'{e}finie sur
$\Pi_{+}$ est continue et born\'{e}e.

\bigskip

\textbf{b)} On d\'{e}signe par $E$ (resp. $F$) l'espace des fonctions
complexes continues born\'{e}es sur $\mathbb{R}$ (resp. sur $\Pi_{+}$) et on
le munit de la norme $\varphi\mapsto\left\|  \varphi\right\|  =\sup
\limits_{x\in\mathbb{R}}\left|  \varphi(x)\right|  $ (resp. $\sup
\limits_{(x,y)\in\Pi_{+}}\left|  \varphi(x,y)\right|  $).

V\'{e}rifier que l'application lin\'{e}aire $f\mapsto\Phi_{f}$ de $E$ dans $F$
est continue et pr\'{e}ciser sa norme.

\bigskip

\textbf{6.} Montrer que $\Phi_{f}$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$.
Calculer $\partial_{1}^{2}\Phi_{f}+\partial_{2}^{2}\Phi_{f}$.

\bigskip

\textbf{7.} Montrer que, pour tout r\'{e}el $a>0$, $\Phi_{f}$ est
uniform\'{e}ment continue sur le demi-plan $\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}$ $|$
$y\geqslant a\}$.

\bigskip

\textbf{8.} Soit $x_{0}$ un r\'{e}el, $\varepsilon$ un r\'{e}el $>0$. Trouver
un r\'{e}el $\eta>0$ tel que%

\[
\forall(x,y)\in\Pi_{+},\qquad\left|  x-x_{0}\right|  <\eta,\quad
y<\eta\Rightarrow\left|  \Phi_{f}(x,y)-f(x_{0})\right|  <\varepsilon.
\]

On notera $\overline{\Phi_{f}}$ la fonction continue sur $\bar{\Pi}_{+}$
\'{e}gale \`{a} $\Phi_{f}$ sur $\Pi_{+}$ et telle que $\forall x\in
\mathbb{R},$ $\overline{\Phi_{f}}(x,0)=f(x)$.

\bigskip

\textbf{9.} On suppose $f$ uniform\'{e}ment continue.

\bigskip

\textbf{a)} Soit $\varepsilon$ un r\'{e}el $>0$. Trouver un r\'{e}el $\eta>0$
tel que%

\[
\forall(x,y)\in\Pi_{+},\;\forall x_{0}\in\mathbb{R},\;\left|  x-x_{0}\right|
<\eta,\;y\leqslant\eta\Longrightarrow\left|  \Phi_{f}(x,y)-f(x_{0})\right|
\leqslant\varepsilon\text{.}
\]

\bigskip

\textbf{b)} Montrer que la fonction $\overline{\Phi_{f}}$ est uniform\'{e}ment continue.\bigskip

\begin{center}
\textbf{Troisi\`{e}me partie}\bigskip
\end{center}

\textbf{10.} On prend ici pour $f$ la fonction $x\mapsto e^{i\alpha x}$ o\`{u}
$\alpha$ est un r\'{e}el $>0$ fix\'{e}.

\bigskip

\textbf{a)} Montrer qu'il existe une fonction $g$ telle que l'on ait $\Phi
_{f}(x,y)=f(x)g(y)$.

\bigskip

\textbf{b)} \'{E}crire une \'{e}quation diff\'{e}rentielle lin\'{e}aire du
second ordre satisfaite par $g$ et en d\'{e}duire explicitement $\Phi_{f}$.

\newpage

\thispagestyle{plain}\textbf{11.} On fixe un r\'{e}el $a>0$. Expliciter la
fonction $\psi$ sur $\mathbb{R}$ d\'{e}finie par%

\[
\psi(p)=\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{e^{ipx}}{x^{2}+a^{2}}\mathrm{d}%
x\text{,}
\]

puis la fonction $y\mapsto\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ipy}\psi(p)\mathrm{d}p$.

\bigskip

\textbf{12.} On note ici $f$ une fonction continue p\'{e}riodique de
p\'{e}riode $2\pi$ et $y_{0}$ un r\'{e}el $>0$.

On pose $h(x)=\Phi_{f}(x,y_{0})$.

\bigskip

\textbf{a)} V\'{e}rifier que $h$ est p\'{e}riodique de p\'{e}riode $2\pi$.

\bigskip

\textbf{b)} Exprimer les coefficients de Fourier de $h$ en fonction de ceux de
$f$. [On montrera d'abord que l'on a
\[
\widehat{h}(n)=\lim\limits_{A\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi
}e^{-inx}\left(  \int_{-A}^{A}f(x-t)K(t,y_{0})\mathrm{d}t\right)
\mathrm{d}x\text{.}
\]

\bigskip

\begin{center}
\textbf{Quatri\`{e}me partie}

\bigskip
\end{center}

On suppose ici que la fonction continue $f$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers
$\pm$ $\infty$.

\bigskip

\textbf{13.} Montrer que la fonction $\overline{\Phi}_{f}$ est uniform\'{e}%
ment continue.

\bigskip

\textbf{14.} Soit $\varepsilon$ un r\'{e}el $>$ 0 ; d\'{e}terminer des
r\'{e}els $a$ et $u$ tels que l'on ait $\left|  \overline{\Phi}_{f}%
(x,y)\right|  \leqslant\varepsilon$ pour tout point $(x,y)$ de $\bar{\Pi}_{+}$
satisfaisant $y\geqslant a$ ou $\left|  x\right|  \geqslant u$.

\bigskip

\textbf{15.} D\'{e}terminer la limite de $\overline{\Phi}_{f}(x,y)$ lorsque
$\left|  x\right|  +y$ tend vers l'infini.

\bigskip

\textbf{16.} On d\'{e}signe par $E_{0}$ le sous-espace vectoriel de $E$
form\'{e} des fonctions qui tendent vers 0 lorsque la variable tend vers $\pm$
$\infty$.

\bigskip

D\'{e}terminer la norme de l'application $f\mapsto\Phi_{f}$ de $E_{0}$ dans
$F$.

\bigskip

\begin{center}
*\qquad*

*
\end{center}
\end{document}

