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\font\bbw=msbm10 % N, Z, D, Q, R, C, H, F \'eclair\'es, vide plus joli
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\begin{document}

\centerline{\bf \Large CORRIGE DU CONCOURS D'ADMISSION 1999}\bs

\centerline{\underline{\bf \Large ECOLE POLYTECHNIQUE}}\bs

\centerline{\bf \Large DEUXIEME COMPOSITION DE MATHEMATIQUES}\bs

\centerline{\bf \large FILIERE MP}\bs

\centerline{\large corrig\'e par Jean-Christophe Feauveau }\bs

\centerline{***}

\ \rl \ \rl 
\centerline{\bf  Premi\`ere Partie}

\be
\item
On sait que les suites r\'ecurrente r\'eelles du second ordre forment un $\R$-e.v. de dimension 2 dont on connait une base : $\pa{(x_0^n)_{n\in\N},(x_1^n)_{n\in\N}}$, o\`u $x_0$ et $x_1$ sont les racines (distinctes) de $X^2 - \alpha X - 1$. On trouve
$$x_0 = {\alpha + \sqrt{\alpha^2 + 4}\over 2}, \ \ x_0 = {\alpha - \sqrt{\alpha^2 + 4}\over 2}.$$
Il vient alors
$$\forall n\in \N, \ p_n = \pa{{\alpha\over 2} + {\alpha^2 + 2\over 2\sqrt{\alpha^2 + 4}}} \pa{{\alpha + \sqrt{\alpha^2 + 4}\over 2}}^n +
\pa{{\alpha\over 2} - {\alpha^2 + 2\over 2\sqrt{\alpha^2 + 4}}} \pa{{\alpha - \sqrt{\alpha^2 + 4}\over 2}}^n$$
et
$$\forall n\in \N, \ q_n = \pa{{1\over 2} + {\alpha\over 2\sqrt{\alpha^2 + 4}}} \pa{{\alpha + \sqrt{\alpha^2 + 4}\over 2}}^n +
\pa{{1\over 2} - {\alpha\over 2\sqrt{\alpha^2 + 4}}} \pa{{\alpha - \sqrt{\alpha^2 + 4}\over 2}}^n.$$

\item
Puisque $\abs{x_1} <\abs{x_0}$, il vient $\lambda = \ds {\alpha + \sqrt{\alpha^2 + 4} \over 2}$.

\item
Si $\lambda\in \Q$, on d\'eduit $\sqrt{\alpha^2 + 4} \in \Q$, et donc $\alpha^2 + 4$ est le carr\'e d'un entier, disons $n^2$. Il s'en suit $\alpha \ie n-1$, qui conduit imm\'ediatement \`a $n\ie 2$. Ceci est impossible puisque $\alpha > 0$.
\ \rl \ \rl 
\centerline{\bf  Deuxi\`eme Partie}\ \rl

\item
On rappelle que $I_x = \{P\in \Q[X] \ / \ P(x) = 0\}$ est un id\'eal de $\Q[X]$ qui est un anneau principal. Soit $P_x$ l'unique g\'en\'erateur normalis\'e de $I_x$. $P_x$ est irr\'eductible, sinon $x$ serait annul\'e par un polyn\^ome non nul de degr\'e strictement inf\'erieur \`a celui de $P_x$. Enfin, tout polyn\^ome normalis\'e annulant $x$ est un multiple de $P_x$. On en d\'eduit que $P_x$ est le seul qui soit irr\'eductible.

\item
\be
\item
Puisque $x\in {\cal E}$, $cx+d \dif 0$ et $T_g(x) = y$ est bien d\'efini. Par ailleurs, $x(cy-a) = dy - b \dif 0$, et donc $\ds x = \ds {dy - b\over cy - a}$. On en d\'eduit $y\in {\cal E}$.
\item
On montre facilement que $\forall (g,g')\in G^2$, $T_g\circ T_{g'} = T_{gg'}$. Il en r\'esulte que $T_g$ est une permutation de ${\cal E}$ et que $T_g^{-1} = T_{g^{-1}}$. Ainsi, l'application propos\'ee et un morphisme de groupes et son noyau est facilement $\{Id_{{\cal E}},-Id_{{\cal E}}\}$.
\ee

\item
On sait que $x\in {\cal E}$ entraine $T_g(x)\in {\cal E}$.

Si $x$ est alg\'ebrique, $y = T_g(x)$ v\'erifie $\ds P_x(T_{g^{-1}}(y)) = P_x\pa{{dy - b\over cy - a}} = 0$. En r\'eduisant au m\^eme d\'enominateur les mon\^omes, on en d\'eduit que $y$ est alg\'ebrique et $d_y \ie d_x$. Mais puisque $x = T_{g^{-1}}(y)$ on en d\'eduit aussi $d_x \ie d_y$ et enfin l'\'egalit\'e $d_{T_g(x)} = d_x$ pour tout $g\in G$.

\item
Soit $m\in \N^*$ tel que $m$ ne soit pas un carr\'e d'entier et $g = \ds \pmatrix{a & b\cr c & d\cr}\in G$. Soit $x = \sqrt{m}$.

De $\ds T_g(x) = {ax +b\over cx+d} = {(acm - bd) + (bc-ad)x \over c^2m-d^2}$ on d\'eduit
$$(T_g(x))^2 = {(acm-bd)^2 + m(bc-ac)^2\over (c^2m - d^2)^2} + {2(acm-bd)(bc-ad)x\over (c^2m - d^2)^2}.$$
Pour que cette quantit\'e soit un entier il faut que $acm -bd = 0$.

Dans ce cas, $\ds (T_g(x))^2 = {m\over (c^2m - d^2)^2}$ que l'on cherche entier.

L'\'egalit\'e $ad - bc = \pm 1$ montre que $a\wedge b = 1$ et $c\wedge d = 1$. Combin\'e avec $acm = db$ on en d\'eduit l'existence de $(k,l)\in \Z^2$ tel que $d = ka$ et $b = lc$.

Le cas $d = 0$ est \`a exclure car $\ds (T_g(x))^2 = {m\over c^4m^2}\noin \N$.

Si $b = 0$, alors $ad = \pm 1$ et $\ds (T_g(x))^2 = {m\over (c^2m - 1)^2} \in \N$ impose alors $c = 0$. Il vient alors $b = c = 0$, $a = \pm 1$ et $d = \pm 1$. Ce cas conduit \`a $T_g(x) = m$ et est licite (quatre solutions pour $g$).

Reste le cas $bd \dif 0$. Il vient $m = kl$ et par suite $\ds (T_g(x))^2 = {kl\over (c^2kl - k^2a^2)^2} = {l\over k(c^2l - ka^2)^2}$.

On se rapelle alors que $l\wedge k = 1$ et que la condition $T_g(x))^2 \in \N$ n'est possible que si $k=1$.

Il vient alors $l = m$, $a = d$ et $b = mc$. Enfin, $\ds (T_g(x))^2 = {m\over (c^2m - a^2)^2} = {m \over (cb - ad)^2} = m$.

Conclusion : dans tous les cas permis, la seule valeur que peut prendre $(T_g(x))^2$ est $m$. On en d\'eduit que les seules valeurs permises (et prises) par $T_g(x)$ sont $\pm m$.

N.B. : le dernier cas \'etudi\'e est tout \`a fait possible. On pourra par exemple prendre $m = 2$ et $\ds g = \pmatrix{1 & 2\cr 1 & 1\cr}$\ldots Bref\ldots



\ \rl \ \rl 
\centerline{\bf  Troisi\`eme Partie}\ \rl

\item
Les deux formules de r\'ecurrence s'obtiennent directement. Pour $n$ entier $\se 2$,
$$\pmatrix{p_n\cr q_n\cr} = A(u_0)\ldots A(u_{n-1})\pa{u_n\pmatrix{1\cr 0\cr} + \pmatrix{0\cr 1\cr}} = u_n\pmatrix{p_{n-1}\cr q_{n-1}} + A(u_0)\ldots A(u_{n-2})\pmatrix{1\cr 0\cr}.$$

Remarquons que ces formules impliquent la croissance des suites d'entiers $(p_n)$ et $(q_n)$, et m\^eme la stricte croissance de $(q_n)$ \`a partir de $n = 1$. En particulier, $\ds \lim_{n\to +\infty} q_n = +\infty$.

\item
De $\ds r_n - r_{n-1} = {p_nq_{n-1} - p_{n-1}q_n\over q_nq_{n-1}}$ et $p_nq_{n-1} - p_{n-1}q_n = -(p_{n-1}q_{n-2} - p_{n-2}q_{n-1})$ pour $n \se 2$, on d\'eduit $\ds r_n - r_{n-1} = \ds (-1)^{n+1}{p_1q_0 - p_0q_1\over q_nq_{n-1}} = {(-1)^{n+1}\over q_nq_{n-1}}$ pour $n \in \N^*$.

\item
\be
\item
La s\'erie $\ds \sum (r_n - r_{n-1})$ est altern\'ee, de terme g\'en\'eral de module d\'ecroissant et de limite nulle : elle converge ; et ceci est \'equivalent \`a la convergence de la suite $(r_n)$.

\item
On sait contr\^oler le reste d'une s\'erie altern\'ee par le premier terme n\'eglig\'e,
$$\forall n\in \N, \ \ \abs{\sum_{k=n+1}^{+\infty}(r_{k} - r_{k-1})} = \abs{\lambda(u) - r_n} \ie {1\over q_nq_{n+1}}.$$
S'il existait $(a,b)\in \Z\times\N^*$ tel que $\lambda(u) = \ds {a\over b}$, alors $\ds \abs{aq_n - bp_n} \ie {b\over q_{n+1}}$. Cette derni\`ere quantit\'e serait plus petite que 1 \`a partir d'un certain rang et donc $r_n$ serait constant \`a partir de ce rang. Mais cela contredirait le fait que $r_{n} - r_{n+1}$ ne puisse s'annuler. Ainsi $\lambda(u)$ est irrationnel.

\item
A l'aide du contr\^ole du reste d'une s\'erie altern\'e par le premier terme n\'eglig\'e (contr\^ole strict puisque tous les termes sont non nuls). On d\'eduit que $0 < \lambda(u) - r_0 < \ds {1\over q_0q_1}$ et par suite $E(\lambda(u)) = r_0 = u_0$.
\ee
\ \rl \ \rl 
\centerline{\bf  Quatri\`eme Partie}\ \rl

\item
Si $x\in {\cal E}$, il est imm\'ediat (par r\'ecurrence) que $F^n(x)$ existe pour tout $n\in \N^*$. On peut d'ailleurs retrouver ce r\'esultat en faisant le lien avec la seconde partie.

Pour $y\in \R$, en posant $\ds g(y) = \pmatrix{0 & 1 \cr 1 & - E(y) \cr}\in G$, il vient $F(y) = T_{g(y)}(y)$. Ainsi, pour $x\in {\cal E}$, l'existence de $F^{n}(x)$ est assur\'ee pour tout $n$ d'apr\`es la question 5. (b).

Si \`a pr\'esent $x$ est rationnel. Pour $x \in \Z$, $F(x)$ n'est pas d\'efini. On suppose donc $x = \ds {a_0\over a_1}$, avec $a_0\in \Z^*$ et $a_1\in \N^*$.

On note $a_2$ le reste de la division euclidienne de $a_0$ par $a_1$. Pour $a_2 = 0$, $F(x)$ n'existe pas, pour $a_2 = 1$, $F(x)\in \Z$ et $F^2(x)$ n'existe pas, sinon $F(x) = \ds {a_1\over a_2}$ avec $2 \ie a_2 < a_1$.

On construit alors une suite $(a_n)$ en notant $a_{n+2}$ le reste de la division euclidienne de $a_n$ par $a_{n+1}$. Il est clair, puisque la suite d'entiers naturels $(a_n)$ est strictement d\'ecroissante jusqu'\`a ce que la valeur 0 soit atteinte, que $F^m(x)$ ne sera plus d\'efini \`a partir d'un certain rang $\ie a_1$.

\item
\be
\item
Il vient de suite $p_n = u_0p'_{n-1} + q'_{n-1}$ et $q_n = p'_{n-1}$.
\item
Puisque $\lambda(u)$ n'est pas un entier, on a donc $\ds \lim_{n\to +\infty} F(r_n) = F(\lambda(u))$. De $r_n = \ds {p_n\over q_n} = u_0 + {1\over r'_{n-1}}$ avec $u_0 = E(\lambda(u))$, on d\'eduit $F(\lambda(u)) = \lambda(u')$.

\item
La p\'eriodicit\'e de $u$ se traduit par l'existence de $k\in \N^*$ tel que $F^k(\lambda(u)) = \lambda(u)$.

Avec la notation $\forall y\in \R$, $\ds g(y) = \pmatrix{0 & 1 \cr 1 & - E(y) \cr}\in G$, l'\'egalit\'e s'\'ecrit alors
$$F^k(\lambda(u)) = T_{g(F^{k-1}(\lambda(u)))} \circ \ldots \circ T_{g(\lambda(u))}(\lambda(u)) = \lambda(u).$$
D'o\`u l'existence de $g\in G$ tel que $T_g(\lambda(u) = \lambda(u)$. Il est facile de constater que $g$ diff\`ere de $\pm I_2$, et par cons\'equent $\lambda$ est racine d'un polyn\^ome du second degr\'e \`a coefficients rationnels (le premier degr\'e est exclu car $\lambda(u) \in {\cal E}$). Il vient donc $d_{\lambda(u)} = 2$.

\item
Le r\'esultat persiste si on suppose que $u$ est p\'eriodique \`a partir d'un certain rang $n_0$.

En effet, si on pose $u^{(n_0)}_{n} = u_{n_0 + n}$, on obtient $\ds \pmatrix{p_n\cr q_n\cr} = A(u_0)\ldots A(u_{n_0 -1})\pmatrix{p^{(n_0)}_{n-n_0}\cr q^{(n_0)}_{n-n_0}\cr}$ en g\'en\'eralisant les notations des questions pr\'ec\'edentes. La suite $u^{(n_0)}$ est p\'eriodique et donc $\lambda(u^{(n_0)})$ est alg\'ebrique de degr\'e 2. Or il existe $g\in G$ tel que $r^{(n_0)}_{n-n_0} = T_g(r_n)$ pour tout $n\se n_0$. Le caract\`ere alg\'ebrique de $\lambda(u)$ s'en d\'eduit et $d_{\lambda(u)} = 2$.
\ee
\ \rl \ \rl 
\centerline{\bf  Cinqui\`eme Partie}\ \rl

\item
\be
\item
Si $(z,z')\in (\R-\Z)^2$ v\'erifie $E(z) = E(z')$, il vient $z' - z = -(F(z') - F(z))(z - E(z))(z' - E(z'))$.
On en d\'eduit,
$$\forall n\in \N, \ \ F^n(y) - F^n(x) = -(F^{n+1}(y) - F^{n+1}(x))(F^n(x) - E(F^n(x)))(F^n(y) - E(F^n(y)))$$
et par suite l'\'egalit\'e annonc\'ee par r\'ecurrence.

\item
Pour $\eps > 0$, on pose $A_{\eps} = \{n \ / \ F^n(x) - E(F^n(x)) > 1 - \eps \ \ {\rm et} \ \ F^n(y) - E(F^n(y)) > 1 - \eps\}$.

Si $A_{\eps}$ est non vide, il existe $n\in \N$ tel que $\abs{F^n(x) - F^n(y)} < \eps$. Il en r\'esulte $\abs{x-y} < \eps$ d'apr\`es l'\'egalit\'e de la question (a).

Sinon la m\^eme \'egalit\'e conduit directement \`a $x = y$.

Dans tous les cas, $\abs{x-y} < \eps$ et donc $x = y$.
\ee

\item
Notons $u^{(k)}$ la suite d\'efinie par $u^{(n)}_k = u_{n+k}$, pour $k\in \N$. De la question 12. (b) on d\'eduit par une r\'ecurrence imm\'ediate $F^n(\lambda(u)) = \lambda(u^{(n)})$. On applique alors la question 10. (c) pour obtenir
$$\forall n\in \N, \ \ E(F^n(\lambda(u)) = E(\lambda(u^{(n)})) = u^{(n)}_0 = u_n.$$

On en d\'eduit que n\'ecessairement $u = (E(F^n(x)))_{n\in\N}$. Il y a {\it unicit\'e} de la suite $u$.

R\'eciproquement, pour $u = (E(F^n(x)))_{n\in\N}$, $\lambda(u)$ est un irrationnel qui v\'erifie pr\'ecis\'ement $E(F^n(x)) = E(F^n(\lambda))$ pour tout entier $n$. On d\'eduit de la question pr\'ec\'edente que $\lambda(u) = x$, ce qui assure {\it l'existence} de la suite $u$.
\ee
\ \rl \ \rl \centerline{* \ *}\ \\  \centerline{*}
\ed