%% This document created by Scientific Word (R) Version 3.0
%% Corrigé rédigé par Martine Wetta (Champollion, Grenoble)
%% mwetta@ac-grenoble.fr
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\begin{document}
%
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%EndExpansion
\begin{center}
{\Large X 99 option PC : Math1\ \bigskip}
\textbf{Premi\`{e}re\ partie\ \bigskip}
\end{center}
\textbf{1.} Cons\'{e}quence de la continuit\'{e} de $q_{M}$ et de la
compacit\'{e} de $S$.\medskip
\textbf{2.} Si $(v_{1},v_{2},...,v_{n}) $ d\'{e}signe une base
orthonorm\'{e}e de $\mathbb{R}^{n}$ form\'{e}e de vecteurs propres de $M$,
respectivement associ\'{e}s \`{a} $(\lambda_{1},\lambda_{2}%
,...,\lambda_{n}) $, on peut \'{e}crire $q_{M}(x)
=\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i}X_{i}^{2}$ o\`{u} $x=\sum\limits_{i=1}%
^{n}X_{i}v_{i}$.
Pour tout $x$ \'{e}l\'{e}ment de $S$, on d\'{e}duit l'encadrement
$\lambda_{\min}(M) \leq q_{M}(x) \leq\lambda
_{\max}(M) $ sachant que $\left\| x\right\| ^{2}%
=\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}^{2}=1$.
De plus, le minorant $\lambda_{\min}(M) $ peut s'\'{e}crire
$q_{M}(v_{j}) $ o\`{u} $j$ est un indice tel que $\lambda_{\min
}(M) =\lambda_{j\text{ }}$, c'est donc la borne inf\'{e}rieure
$\alpha$. Le raisonnement est identique pour $\beta=\lambda_{\max}(%
M) $.\medskip
\textbf{3.} Les trois caract\'{e}risations demand\'{e}es, ici, sont des
r\'{e}sultats du cours : ils se red\'{e}montrent \textit{\'{e}ventuellement}
\`{a} l'aide de la question pr\'{e}c\'{e}dente.\medskip
\textbf{4. \ \ a)} Appelons $(e_{1},e_{2},...,e_{n}) $ la base
canonique de $\mathbb{R}^{n}$ et notons $D_{k}$ la k$^{i\grave{e}me}$
d\'{e}rivation partielle associ\'{e}e \`{a} cette base. En identifiant les
vecteurs de $\mathbb{R}^{n}$ \`{a} des vecteurs colonnes, nous pouvons
\'{e}crire : $q_{M}(x) =\trans{x}Mx$ o\`{u} $\trans{x}$ d\'{e}signe la
matrice transpos\'{e}e de $x$. Les th\'{e}or\`{e}mes de d\'{e}rivation d'une
application lin\'{e}aire ou bilin\'{e}aire en dimension finie fournissent :
$D_{k}(q_{M})(x) =\trans{D_{k}(x)}Mx+\trans{x}MD_{k}(x)$ o\`{u} $D_{k}(x) =\dfrac{\partial}{\partial x_{k}%
}(\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}) =e_{k}$.
Par sym\'{e}trie : $D_{k}(q_{M}) (x) =2(%
\trans{e_{k}}Mx) =2(e_{k}|Mx) $. De m\^{e}me, nous
obtenons : $D_{k}((c|x) ) =(c|e_{k})
$. Par lin\'{e}arit\'{e} de la d\'{e}rivation, nous d\'{e}duisons les
d\'{e}riv\'{e}es partielles : $D_{k}(f_{M}) (x)
=2(Mx+c|e_{k}) $. En cons\'{e}quence, $x$ est un point critique
de $f_{M}$ si et seulement si le vecteur $Mx+c$ est orthogonal \`{a} tous les
vecteurs $e_{k},$ $k=1...n$, c'est-\`{a}-dire si et seulement si $Mx+c$ est
nul (le produit scalaire est une forme bilin\'{e}aire non
d\'{e}g\'{e}n\'{e}r\'{e}e). L'inversibilit\'{e} de la matrice $M$ conduit
ensuite au r\'{e}sultat demand\'{e}.\medskip
\textbf{4. \ \ b)} $x$ d\'{e}signant un vecteur quelconque de $\mathbb{R}^{n}%
$, posons $h=x-x_{0\text{ }}$et notons $\varphi_{M}$ la forme polaire de
$q_{M} $.%
\[
f_{M}(x) -f_{M}(x_{0}) =q_{M}(%
x_{0}+h) -q_{M}(x_{0}) +2(c|h)
=2\varphi_{M}(x_{0},h) +q_{M}(h) +2(%
c|h) =q_{M}(h)
\]
car $\varphi_{M}(x_{0},h) =\trans{x_{0}}Mh=\trans{(Mx_{0})}h=-\trans{c}h=-(c|h) $. \ La forme quadratique
$q_{M}$ \'{e}tant d\'{e}finie positive, la fonction $f_{M}$ poss\`{e}de un
minimum global en $x_{0}$ ( c'est de plus un minimum strict ).\bigskip
\begin{center}
\textbf{Deuxi\`{e}me\ partie} \bigskip
\end{center}
\textbf{5. \ a)} Un r\'{e}el $x$ \'{e}tant fix\'{e}, nous \'{e}tudions les
variations de la fonction $g_{x}:y\rightarrow g_{x}(y)=ay^{2}+b(%
x-y) ^{2}$ de d\'{e}riv\'{e}e $g_{x}^{\prime}(y)=2[(%
a+b) y-bx] $. Le r\'{e}el $a+b$ \'{e}tant strictement positif,
la fonction $g_{x}$ admet un minimum en $y_{0}=\dfrac{bx}{a+b}$ dont la valeur
est $g_{x}(y_{0})=(a//b) x^{2}$. \medskip
\textbf{5. \ b)} La fonction $g_{x}$ ci-dessus \'{e}tant strictement monotone
sur chacun des intervalles $]-\infty,y_{0}]$ et $[%
y_{0},+\infty[$, on sait que $(a//b) x^{2}$ est un
minimum strict de $g_{x}$ ; en cons\'{e}quence, la relation $(%
a//b) x^{2}=ay_{0}^{2}+bz_{0}^{2}$ est v\'{e}rifi\'{e}e uniquement pour
le couple $(y_{0},z_{0}) $ o\`{u} $y_{0}=\dfrac{bx}{a+b}$ et
$z_{0}=x-y_{0}=\dfrac{ax}{a+b}.$
\textbf{5. \ c)} $a//b$ est la r\'{e}sistance \'{e}quivalente du circuit
comportant en parall\`{e}le les r\'{e}sistances $a$ et $b$. Si $x=y+z$ est
l'intensit\'{e} du courant principal, la loi d'Ohm s'\'{e}crit $U=ay=bz=$
$(a//b) x$ ce qui conduit \`{a} la seule r\'{e}partition
possible des intensit\'{e}s de courant : $y=y_{0}$ et $z=z_{0}$. De plus,
l'\'{e}galit\'{e} $(a//b) x^{2}=ay_{0}^{2}+bz_{0}^{2}$ exprime
que la puissance dissip\'{e}e par le circuit est la somme des puissances
dissip\'{e}es dans chaque `` branche''.\medskip
\textbf{6. \ a)} Pour tout vecteur $x$ non nul, $q_{A+B}(x)
=q_{A}(x) +q_{B}(x) >0$. La matrice sym\'{e}trique
$A+B$ est donc inversible car d\'{e}finie positive.\allowbreak
La double \'{e}galit\'{e} $(A+B) ^{-1}(A+B)
=I_{n}=(A+B) (A+B) ^{-1}$ \ livre les relations :
$(A+B) ^{-1}A=-(A+B) ^{-1}B$ \ et \ $A(%
A+B) ^{-1}=-B(A+B) ^{-1}$ et en multipliant par $B$ \`{a}
droite ou \`{a} gauche, $B(A+B) ^{-1}A=-B(A+B)
^{-1}B=A(A+B) ^{-1}B$.\allowbreak
Si nous notons~: $M(A,B) =A(A+B) ^{-1}B$, nous
venons de d\'{e}montrer la sym\'{e}trie $M(A,B)=M(B,A)$. Il reste alors \`{a}
prouver que $M(A,B) =A-A(A+B) ^{-1}A$ \ \ ce qui
r\'{e}sulte de :%
\[
A[(A+B) ^{-1}B-I_{n}+(A+B) ^{-1}A]
=A[(A+B) ^{-1}(A+B)-I_{n}] =0_{n}.\medskip
\]
\textbf{6. \ b)} Soient $y$ et $z$ des vecteurs de $\mathbb{R}^{n}$ tels que
$y+z=x$. \allowbreak
De $q_{B}(z) =q_{B}(x-y) =q_{B}(x)
-2\varphi_{B}(x,y) +q_{B}(y) $, on d\'{e}duit la
relation~:
\[
q_{A}(y) +q_{B}(z) =q_{A+B}(y)
-2\varphi_{B}(x,y) +q_{B}(x) =q_{A+B}(%
y) -2(Bx|y) +q_{B}(x) =f_{C}(%
y)
\]
o\`{u} $f_{C}$ est la fonction d\'{e}finie au \textbf{4.} \`{a} partir de la
matrice sym\'{e}trique d\'{e}finie positive $C=A+B$, avec $c=-Bx$ et
$r=q_{B}(x) $. Or on sait d'apr\`{e}s cette question \textbf{4.}
que $f_{C}$ admet un point critique unique $y_{0}=-(A+B)
^{-1}c=(A+B) ^{-1}Bx$ et que $f_{C}(y_{0})$ est la borne
inf\'{e}rieure de $f_{C}$ sur $\mathbb{R}^{n}$. On en d\'{e}duit l'existence
de la borne inf\'{e}rieure: $J_{x}=\underset{y+z=x}{\inf}[q_{A}(%
y) +q_{B}(z)] =f_{C}(y_{0})$ \ et sa valeur
explicite~: $J_{x}=q_{A+B}(y_{0}) -2\varphi_{B}(%
x,y_{0}) +q_{B}(x) =-\varphi_{B}(x,y_{0})
+q_{B}(x) $ \ sachant que\smallskip\ $q_{A+B}(%
y_{0}) =\trans{y_{0}}(A+B)y_{0}=\trans{y_{0}}%
Bx=\varphi_{B}(x,y_{0}) $.\smallskip
Soit, finalement $J_{x}=-\trans{x}By_{0}+q_{B}(x) =-\trans
{x}B(A+B) ^{-1}Bx+q_{B}(x) =q_{M}(x)
$ o\`{u} $M=B-B(A+B) ^{-1}B$ est la matrice \'{e}tudi\'{e}e
\`{a} la question pr\'{e}c\'{e}dente.\medskip
\textbf{6. \ c) }Pour $n=1$, on peut \'{e}crire $A=a$ et $B=b$ o\`{u} $a,b$
sont des r\'{e}els positifs tels que $a+b>0$ et la matrice $M$ est la matrice
d'unique coefficient~: $a//b$.
\textbf{Rem}~: l'\'{e}nonc\'{e} aurait d\^{u} demander l'unicit\'{e} de la
matrice $M=A//B$ (qui r\'{e}sulte de l'unicit\'{e}, dans une base donn\'{e}e,
de la matrice associ\'{e}e \`{a} une forme quadratique).\medskip
\textbf{7. \ a)} La sym\'{e}trie $A//B=B//A$ est d\'{e}montr\'{e}e au
\textbf{6.a)}.\medskip
\textbf{7. \ b)} La r\'{e}gularit\'{e} de $A$ permet les transformations
suivantes : $A+B=(I_{n}+BA^{-1}) A$ et $A//B=A(%
A+B) ^{-1}B=AA^{-1}(I_{n}+BA^{-1}) ^{-1}B=(%
I_{n}+BA^{-1}) ^{-1}B.\medskip$
\textbf{7. \ c)} $A$ et $B$ \'{e}tant inversibles, $(BA^{-1}%
+I_{n}) ^{-1}=[B(A^{-1}+B^{-1})]
^{-1}=(A^{-1}+B^{-1}) ^{-1}B^{-1}$: d'o\`{u} le r\'{e}sultat.\medskip
\textbf{8. \ a)} $A=diag(a_{i},i=1\ldots n)$ \ et $\ B=diag(b_{i},i=1\ldots
n)$ de coefficients $a_{i}$ et $b_{i}$ positifs tels que $a_{i}+b_{i}>0$.
Alors, $(A+B) ^{-1}=diag(1/(a_{i}+b_{i})
,i=1\ldots n)$ \ et, en cons\'{e}quence, $A//B=diag(a_{i}//b_{i},i=1\ldots n)$.\medskip
\textbf{8. b)} $A$ et $B$ commutent, donc $A$ et $B$ commutent avec
$(A+B)^{-1}$. Ainsi, $\ A//B=AB(A+B) ^{-1}=(A+B)
^{-1}AB$.\medskip
\textbf{9. \ }Soit $x$ un vecteur fix\'{e} de $\mathbb{R}^{n}$. On a
l'expression suivante~:
\[
q_{(A//B) //C}(x) =\underset{y+z=x}{\inf}[%
q_{A//B}(y) +q_{C}(z)] =\underset
{y+z=x}{\inf}[\underset{u+v=y}{\inf}[q_{A}(u)
+q_{B}(v)] +q_{C}(z)]
\]
c'est-\`{a}-dire $q_{(A//B) //C}(x) =\underset
{u+v+z=x}{\inf}[q_{A}(u) +q_{B}(v)
+q_{C}(z)] $. Cette derni\`{e}re expression montre le
r\^{o}le sym\'{e}trique de $A,B,C$ et par cons\'{e}quent, $\ q_{(%
A//B) //C}(x) =q_{(B//C) //A}(%
x) =q_{A//(B//C) }(x) $, pour tout vecteur
$x$. L'associativit\'{e} de $//$ en r\'{e}sulte, par unicit\'{e} de la matrice
$M=(A//B)//C$.\medskip
\textbf{10. \ }L'\'{e}tude du \textbf{6.b)} montre l'\textit{existence} de
$y_{0}=(A+B) ^{-1}Bx$ \ et $z=x-y_{0\text{ \ }}$v\'{e}rifiant
ces conditions.
En effet, on a vu que \ $\mathbf{(}\star\mathbf{)}~:$ $q_{A}(%
y_{0}) +q_{B}(z_{0}) =\underset{y\in\mathbb{R}^{n}}{\inf
}[f_{A+B}(y)] =((A//B)
x|x) $\ et il est clair que $Ay_{0}=(A//B)x$ et $Bz_{0}=Bx-By_{0}%
=(B-B(A+B) ^{-1}B) x=(A//B)
x\medskip.$
\textit{Unicit\'{e}~}: un couple $(y_{0},z_{0})$ v\'{e}rifiant les conditions
requises v\'{e}rifie n\'{e}cessairement la condition $(\ast)$ ci-dessus,
$y_{0}$ est donc l'unique point critique de la fonction $f_{A+B.}$ D'o\`{u}
l'unicit\'{e} de $y_{0}$ et de $z_{0}=x-y_{0}$.\medskip
\textbf{11.} \ \textit{Interpr\'{e}tations physiques :}
La question \textbf{9. }dit que la r\'{e}sistance g\'{e}n\'{e}ralis\'{e}e
\'{e}quivalente d'un r\'{e}seau mettant en parall\`{e}le trois r\'{e}sistances
g\'{e}n\'{e}ralis\'{e}es $A,B,C$ peut se calculer de mani\`{e}re associative
en groupant dans un ordre quelconque deux de ces r\'{e}sistances.
La question \textbf{10 } g\'{e}n\'{e}ralise \`{a} deux r\'{e}seaux d'ordre $n$
mont\'{e}s en parall\`{e}le l'interpr\'{e}tation physique du \textbf{5.c)}.\bigskip
\newpage
\begin{center}
\textbf{Troisi\`{e}me partie\medskip\bigskip}
\end{center}
\textbf{12. \ a)} La question \textbf{5.a) }permet d'\'{e}crire: $q_{A}(%
x) //q_{B}(x) =\underset{\lambda+\mu=1}{\inf}[%
q_{A}(x) \lambda^{2}+q_{B}(x) \mu^{2}] $ et
on sait cette borne inf\'{e}rieure atteinte pour un couple de r\'{e}els
$(\lambda_{0},\mu_{0}) $ \ tel que $\lambda_{0}+\mu_{0}=1$ (
d'ailleurs unique ). Posons $y_{0}=$ $\lambda_{0}x$ et $\ z_{0}=\mu_{0}x$.\allowbreak
Ces deux vecteurs de $\mathbb{R}^{n}$ v\'{e}rifient $y_{0}+\ z_{0}=x$ \ et
\[
q_{A}(y_{0}) +q_{B}(z_{0}) =q_{A}(x)
\lambda_{0}^{2}+q_{B}(x) \mu_{0}^{2}=q_{A}(x)
//q_{B}(x) .\smallskip
\]
En cons\'{e}quence, $q_{A}(x) //q_{B}(x)
\geq\underset{y+z=x}{\inf}[q_{A}(y) +q_{B}(%
z)] =q_{A//B}(x)$.\medskip
\textbf{12. \ b) }Les hypoth\`{e}ses de cette question assurent l'existence
des matrices :
\[
A//C,B//D,\text{ et }(A+B) //(C+D) .
\]
Soit $x$ un vecteur de $\mathbb{R}^{n}:$ il existe des vecteurs $y_{0}%
^{\prime}$ et $z_{0}^{\prime}$ tels que $\smallskip y_{0}^{\prime}+$
$z_{0}^{\prime}=x$ et
\[
([(A+B) //(C+D)] x|x)
=q_{A+B}(y_{0}^{\prime}) +q_{C+D}(z_{0}^{\prime})
=q_{A}(y_{0}^{\prime}) +q_{B}(y_{0}^{\prime})
+q_{C}(z_{0}^{\prime}) +q_{D}(z_{0}^{\prime})
\]
d'o\`{u} :\smallskip\
\[
([(A+B) //(C+D)] x|x)
\geq\underset{y+z=x}{\inf}[q_{A}(y) +q_{C}(%
z)] +\underset{y+z=x}{\inf}[q_{B}(y)
+q_{D}(z)] =((A//C) x|x)
+((B//D) x|x)
\]
\medskip
\textit{Interpr\'{e}tation physique : }
Consid\'{e}rons \ \textit{( faire un dessin )}: \smallskip
-- un r\'{e}seau n$%
%TCIMACRO{\UNICODE{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
1\ $o\`{u} sont mont\'{e}s \textit{en s\'{e}rie} les deux r\'{e}seaux ``$A$ et
$C$ en \textit{parall\`{e}le}'' puis ``$B$ et $D$ en \textit{parall\`{e}le}''.\smallskip
-- un r\'{e}seau n$%
%TCIMACRO{\UNICODE{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
2\ $o\`{u} sont mont\'{e}s \textit{en parall\`{e}le} les deux r\'{e}seaux
``$A$ et $B$ en \textit{s\'{e}rie}'' puis ``$C$ et $D$ en \textit{s\'{e}rie}''.\smallskip
Pour une intensit\'{e} de courant $x=I$ \ donn\'{e}e, la puissance
dissip\'{e}e dans le r\'{e}seau $n%
%TCIMACRO{\UNICODE{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
1$ est inf\'{e}rieure \`{a} celle dissip\'{e}e dans le r\'{e}seau $n%
%TCIMACRO{\UNICODE{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
2.\medskip$
\textbf{12. \ c)} -- \textit{1}$^{er}$\textit{cas :\ }supposons tous les
$\alpha_{i},i=1..k$ strictement positifs.\smallskip\smallskip
La matrice $A=diag(\alpha_{i},i=1..k)$ est alors d\'{e}finie positive et
$B=diag(\beta_{i},i=1..k)$ est positive. D'apr\`{e}s \textbf{8.a) \ }
$A//B=diag(\alpha_{i}//\beta_{i},i=1..k)$ \ et $\ \forall x=(%
x_{1},x_{2},...,x_{k}) \in\mathbb{R}^{k\text{ \ \ }}q_{A//B}(%
x) =\sum\limits_{i=1}^{k}(\alpha_{i}//\beta_{i})
x_{i}^{2}.$ En particulier, pour $x_{0}=(1,1,...,1) ,$ \`{a}
l'aide de l'in\'{e}galit\'{e} du \textbf{12 a) }:
\[
q_{A//B}(x_{0}) =\sum\limits_{i=1}^{k}(\alpha_{i}%
//\beta_{i}) \leq q_{A}(x_{0}) //q_{B}(%
x_{0}) =(\sum\limits_{i=1}^{k}\alpha_{i}) //(%
\sum\limits_{i=1}^{k}\beta_{i})
\]
\medskip
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -- 2$^{eme}$cas :\ \ l'un des $\alpha_{i},i=1..k$ au moins
est nul. \allowbreak
Appelons alors $J=\left\{ \ i\in\lbrack1..k]\ /\ \alpha_{i}\neq0\right\} .$
Remarquant que $\forall i\in\lbrack1..k]\quad(\alpha_{i}%
=0\Longrightarrow\alpha_{i}//\beta_{i}=0) $,\ nous pouvons d\'{e}duire
du 1$^{er}$cas :
\[
\sum\limits_{i=1}^{k}(\alpha_{i}//\beta_{i}) =\sum_{i\in
J}(\alpha_{i}//\beta_{i}) \leq(\sum_{i\in J}\alpha
_{i}) //(\sum_{i\in J}\beta_{i}) \leq(%
\sum\limits_{i=1}^{k}\alpha_{i}) //(\sum\limits_{i=1}^{k}%
\beta_{i})
\]
En effet: $0\leq b\leq b^{\prime}\ \ $et $\ a>0$ \ \ impliquent $a//b\leq
a//b^{\prime}$ (pour $b=0$ ou $b^{\prime}=0$, c'est \'{e}vident et pour $b>0$
et $b^{\prime}>0$, cela r\'{e}sulte de $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b^{\prime}}%
\leq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ )\medskip
\textbf{12. \ d) }Il s'agit de g\'{e}n\'{e}raliser l'in\'{e}galit\'{e} de la
question pr\'{e}c\'{e}dente \`{a} des matrices $\ A,B$ non n\'{e}cessairement
diagonales. \allowbreak
En utilisant les expressions suivantes des \'{e}l\'{e}ments diagonaux de
$A\ ,B\ ,C=A//B$ : $a_{ii}=q_{A}(e_{i})\quad,$ $b_{ii}=q_{B}(e_{i})\quad,\quad
c_{ii}=$ $q_{A//B}(e_{i})$\ , et les in\'{e}galit\'{e}s de \textbf{12a) }et
\textbf{12c), }nous d\'{e}duisons :
\[
Tr(A//B) =\sum\limits_{i=1}^{n}q_{A//B}(e_{i})\leq
\sum\limits_{i=1}^{n}[q_{A}(e_{i})//q_{B}(e_{i})] \leq[%
\sum\limits_{i=1}^{n}q_{A}(e_{i})] //[\sum\limits_{i=1}^{n}%
q_{B}(e_{i})] \leq Tr(A) //Tr(B) \ .
\]
\medskip
\textbf{13. \ a) }Soit un vecteur $x\in\mathbb{R}^{n}\backslash\left\{
0\right\} $ tel que $Ax=\lambda x$ et $Bx=\mu x$ . Il est clair que $(%
A+B) x=(\lambda+\mu) x$ avec $\lambda+\mu>0$ (puisque
$A+B$ est d\'{e}finie positive) donc $(A+B) ^{-1}x=(%
\lambda+\mu) ^{-1}x$ .\allowbreak
Par suite, $\ (A//B) x=A(A+B) ^{-1}Bx=A(%
A+B) ^{-1}\mu x=A(\lambda+\mu) ^{-1}\mu x=(%
\lambda//\mu) x$.\medskip
\textbf{13. \ b) }Soit $x_{0}$ un vecteur propre \textit{unitaire} de $A//B$
associ\'{e} \`{a} sa plus petite valeur propre $\lambda_{\min}(%
A//B) $. On sait (voir question \textbf{2.}) que $\lambda_{\min}(%
A//B) =q_{A//B}(x_{0})$ et, par cons\'{e}quent, qu'il existe des
vecteurs $y_{0},z_{0}$ de $\mathbb{R}^{n}$ tels que $\ y_{0}+z_{0}=x_{0}$ et
\smallskip$\lambda_{\min}(A//B) =q_{A}(y_{0})
+q_{B}(z_{0}) $. \allowbreak On en d\'{e}duit que $\lambda
_{\min}(A//B) \geq\lambda_{\min}(A) \left\|
y_{0}\right\| ^{2}+\lambda_{\min}(B) \left\| z_{0}\right\|
^{2}$, puis par l'in\'{e}galit\'{e} \smallskip de Cauchy-Schwarz,
$\lambda_{\min}(A//B) \geq\lambda_{\min}(A)
\alpha_{0}^{2}+\lambda_{\min}(B) \beta_{0}^{2}$ o\`{u}
$\alpha_{0}=(y_{0}|x_{0}) $ \ et $\beta_{0}=(z_{0}%
|x_{0}) $.
\[
\text{Or \ \ }\alpha_{0}+\beta_{0}=(y_{0}+z_{0}|x_{0}) =(%
x_{0}|x_{0}) =1~et\ ~\lambda_{\min}(A) //\lambda_{\min
}(B) =\underset{\alpha+\beta=1}{\inf}\left[ \lambda_{\min
}(A) \alpha^{2}+\lambda_{\min}(B) \beta
^{2}\right] .\smallskip
\]
En conclusion, \ $\lambda_{\min}(A//B) \geq\lambda_{\min}(%
A) \alpha_{0}^{2}+\lambda_{\min}(B) \beta_{0}^{2}%
\geq\lambda_{\min}(A) //\lambda_{\min}(B)
.\medskip$
\textbf{13. \ c) }La r\'{e}ponse est \textit{affirmative }car, pour
$A=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & 0\\
0 & 2
\end{array}
\right] $ \ et $B=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
2 & 0\\
0 & 1
\end{array}
\right] $, on obtient : $A//B=\left[
\begin{array}
[c]{cc}%
1//2 & 0\\
0 & 2//1
\end{array}
\right] ~$o\`{u}~$1//2=2//1=\dfrac{2}{3}~$donc$~\lambda_{\min}(%
A//B) =\dfrac{2}{3}>\lambda_{\min}(A) //\lambda_{\min
}(B) =1//1=\dfrac{1}{2}.$
\end{document}