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 \hskip -.6pt plus.3pt minus.2pt $\,$}
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\frenchspacing

%op\'erateurs math\'ematiques
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\def\dps{\displaystyle}
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\def\iff{\Leftrightarrow}
\def\frac#1#2{{#1\over #2}}
\let\dps\displaystyle
%\time %fonte utilis\'ee (d\'efinie plus haut)


\centerline{Ecole Polytechnique, option PC}
\medskip
\centerline{Deuxi\`eme \'epreuve, 1999. Corrig\'e}
\vskip 1.5cm
{\gr Premi\`ere partie.}
\smallskip
1. Si $P(x)=\dps \sum_{p=0}^n a_px^p$, il vient~:
$$L(P)=\int_{-1}^1 P(x) dx = \sum_{p=0}^n a_p\int_{-1}^1 x^p dx =
2\sum_{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {a_{2p}\over 2p+1}$$

L'application $L$ \'etant une forme lin\'eaire non nulle, son noyau est un
hyperplan de dimension $n$ (dim$(E)=n+1$), qui contient tous les
polyn\^omes impairs, ainsi que les polyn\^omes pairs v\'erifiant
$\dps \sum_{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {a_{2p}\over 2p+1}$. Par
exemple~:
\par
$\bullet\ $ si $n=2k : (x, x^3,\ldots, x^{2k-1}, 1-3x^2, 1-5x^4,\ldots,
1-(2k+1)x^{2k})$.
\par
$\bullet\ $ si $n=2k+1 : (x, x^3,\ldots, x^{2k+1}, 1-3x^2, 1-5x^4,\ldots,
1-(2k+1)x^{2k})$.
\medskip
2. a) Il s'agit du $i$-i\`eme polyn\^ome de Lagrange~:
$$P_i(x)=\prod_{j\neq i}{x-x_j\over x_i-x_j},\quad (\forall\ 0\le
i\le n)$$

b) On sait que la famille $(P_0,\ldots, P_n)$ forme une base de $E$.
Pour tout  $P\in E$, on a~:
$$P(x)=\sum_{i=0}^n P(x_i)P_i(x)$$
et
$$L(P)=\sum_{i=0}^n P(x_i)\int_{-1}^1P_i(x) dx =\sum_{i=0}^n\lambda_i
P(x_i)$$
Ainsi $\dps \lambda_i=\int_{-1}^1P_i(x), \quad (0\le i \le n)$.
\medskip
3. On suppose que pour tout $i, 0\le i \le n, x_{n-i}=-x_i$.
\par
$\bullet\ $ si $n=2k+1$, les points sont $(x_0,\ldots, x_k,
-x_k,\ldots, -x_0)$.
$$P_i(x)=\prod_{j=0, j\neq i}^{k}{(x-x_j)(x+x_j)\over
(x_i-x_j)(x_i+x_j)}\times {x+x_i\over 2x_i}$$
$$P_{n-i}(x)=\prod_{j=0, j\neq n-i}^{k}{(x-x_j)(x+x_j)\over
(x_i-x_j)(x_i+x_j)}\times {x-x_i\over 2x_{n-i}}$$

Ainsi~:
$$P_{i}(x)={N(x)(x+x_i)\over D},\quad P_{n-i}(x)={N(x)(x-x_i)\over
-D}$$
avec $\dps N(x)=\prod_{j=0,j\neq i}^k(x^2-x_i^2)$.
Donc, comme $N$ est pair~:
$$\lambda_i={1\over D}\int_{-1}^1 xN(x)dx +{x_i\over D}\int_{-1}^1
N(x)dx={x_i\over D}\int_{-1}^1 N(x) dx$$
et
$$\lambda_{n-i}=-{1\over D}\int_{-1}^1 xN(x)dx +{x_i\over
D}\int_{-1}^1 N(x)dx={x_i\over D}\int_{-1}^1 N(x) dx$$

\smallskip
$\bullet\ $ si $n=2k$, les points sont $(x_0,\ldots, x_{k-1},0,
-x_{k-1},\ldots,-x_0)$.
\par
En dehors du cas $0$~:
$$P_{i}(x)={N(x)(x+x_i)\over D},\quad P_{n-i}(x)={N(x)(x-x_i)\over
D}$$
avec $\dps N(x)=x\prod_{j=0,j\neq i}^k(x^2-x_i^2)$.
Donc, comme $N$ est impair~:
$$\lambda_i={1\over D}\int_{-1}^1 xN(x)dx +{x_i\over D}\int_{-1}^1
N(x)dx={1\over D}\int_{-1}^1 xN(x) dx$$
et
$$\lambda_{n-i}=-{1\over D}\int_{-1}^1 xN(x)dx +{x_i\over
D}\int_{-1}^1 N(x)dx={1\over D}\int_{-1}^1 x N(x) dx$$
Le cas $0$ est simple, puisqu'alors $P_{n/2}=P_{n-n/2}$.
\medskip
L'\'egalit\'e demand\'ee est v\'erifi\'ee dans le cas g\'en\'eral pour tout polyn\^ome
de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$. Par lin\'earit\'e de l'int\'egrale, il reste \`a le montrer
pour $P=x^{n+1}$. Mais, comme $n$ est pair~:
$$0=\int_{-1}^1x^{n+1}dx=\sum_{i=0}^{n/2}\lambda_i(x_i^{n+1}+(-x_i)^{n+1})$$
\medskip
Remarque : une autre solution (peut \^etre plus courte) consiste
\`a remplacer $k$ par $n-k$ et $x$ par $-x$ au lieu de
consid\'erer deux cas.
\medskip

4. a) Soit $P_f$ le polyn\^ome interpolateur de Lagrange de $f$ aux points
$(x_i)_{0\le i \le n}$. On a alors~:
$$P_f(x)=\sum_{i=0}^n f(x_i)P_i(x)\Rightarrow \int_{-1}^1P_f(x) dx =
\sum_{i=0}^n \lambda_i f(x_i)$$

Ecrivons une formule de Taylor Lagrange \`a l'ordre $n$ pour $f$.
Il existe $R_n$ tel que, pour tout $x\in [-1,1]$~:
$$f(x)=\sum_{k=0}^n{f^{(k)}(0)\over k!}x^k +R_n(x)x^{n+1}=P(x)+R_n(x)x^{n+1}$$
avec $\dps\sup_{x\in[-1,1]} |R_n(x)|\le {M_{n+1}\over (n+1)!}$ 

Donc, comme $P-P_f$ est un polyn\^ome de degr\'e $n$~:
$$\eqalign{
\left|\int_{-1}^1 f(x) dx -\sum_{i=0}^n\lambda_i f(x_i)\right|&\le
\left|\int_{-1}^1 (P(x)-P_f(x)) dx \right|+{M_{n+1}\over
(n+1)!}{2\over n+2}\cr
&\le\left|\sum_{i=0}^n\lambda_i(P(x_i)-P_f(x_i))\right|
+{M_{n+1}\over (n+1)!}{2\over n+2}\cr
&\le\left|\sum_{i=0}^n\lambda_i(f(x_i)-R_n(x)x_i^{n+1}-f(x_i))\right|
+{M_{n+1}\over (n+1)!}{2\over
n+2}\cr
&\le {M_{n+1}\over (n+1)!}\left(\sum_{i=0}^n|\lambda_i|+ {2\over
n+2}\right)\cr
}$$


b) Recommen\c{c}ons la m\^eme argumentation avec $f\in C^{n+2}$.
Il existe $R_{n+1}(x)$ tel que, pour tout $x\in [-1,1]$~:
$$f(x)=\sum_{k=0}^{n+1}{f^{(k)}(0)\over k!}x^k
+R_{n+1}(x)x^{n+2}=P(x)+a_{n+1}x^{n+1}+R_{n+1}(x)x^{n+2}$$
Donc, par la question 3.~:
$$\eqalign{
\left|\int_{-1}^1 f(x) dx -\sum_{i=0}^n\lambda_i f(x_i)\right|&\le
\left|\int_{-1}^1 (P(x)+a_{n+1}x^{n+1}-P_f(x)) dx
\right|+{M_{n+2}\over (n+2)!}{2\over n+3}\cr
&\le\left|\sum_{i=0}^n\lambda_i(P(x_i)-P_f(x_i)) 
\right|+{M_{n+2}\over (n+2)!}{2\over n+3}\cr
&\le\left|\sum_{i=0}^n\lambda_i(f(x_i)-R_{n+1}(x)x_i^{n+2}-f(x_i))
\right|+{M_{n+2}\over (n+2)!}{2\over
n+3}\cr
&\le {M_{n+2}\over (n+2)!}\left(\sum_{i=0}^n|\lambda_i|+ {2\over
n+3}\right)\cr
}$$



5. a) Puisque les calculatrices sont autoris\'ees, voici un programme,
\'ecrit pour la TI-89/92, qui calcule les polyn\^omes de Lagrange~:

{\tt\obeylines\obeyspaces
lagr(x,w)        (x : liste des points, w : variable)
Func
Local i,j,p,r
$\{\}\to$r
For j,1,dim(x)
1$\to$p
For i,1,dim(x)
If i$\neq$j Then
(w-x[i])/(x[j]-x[i])*p$\to$p
EndIf
EndFor
augment($\{$p$\}$,r)$\to$r
EndFor
r
EndFunc
}
\medskip
et $\int$({\tt lagr($\{$1,-1/2,0,1/2,1$\}$,x),x,-1,1)} donne~:
$(7/45,32/45,4/15, 32/45,7/45)$.

b) Il vient~:
$$\left|\int_{-1}^1e^{(x/4)^2}-\sum_{i=0}^4\lambda_ie^{(x_i/4)^2}\right|\le
{M_{6}\over 6!}\left(\sum_{i=0}^4|\lambda_i|+ {2\over 7}\right)= {16M_6\over 7\times 720}$$

Une \'etude rapide de la fonction $x\mapsto e^{(x/4)^2}$ donne
$M_6={10681e^{1/16}\over 262144}\approx 0.043$, soit une majoration
de l'ordre de $2\ 10^{-4}$. Ainsi, $\sum_{i=0}^4\lambda_ie^{(x_i/4)^2}\approx
2.04246168756$
n'est pas une trop mauvaise approximation de $\dps \int_{-1}^1 e^{(x/4)^2}
dx\approx 2.0424596851536$ donn\'e par la calculatrice.

\vskip 0.5cm
{\gr Deuxi\`eme partie}
\par
6. a) L'application $P\to |L(P)|$ est continue. La boule unit\'e
ferm\'ee $B$ d'un evn de dimension finie \'etant compacte, $\sup_{P\in B} |L(P)|$
existe et est atteint.

Supposons que le sup soit atteint en $Q$ tel que $N(Q)<1$. Posons
$Q_1={Q\over N(Q)}$. Alors $N(Q_1)=1$ et~:
$$|L(Q_1)|={|L(Q)|\over N(Q)}={{\cal N}(L)\over N(Q)}>{\cal N}(L)$$
Contradiction.
\smallskip
b) Pour tout $P\in E : \dps {|L(P)|\over N(P)}\le K$. Par d\'efinition
du sup, ${\cal N}(L)\le K$. S'il existe $Q$ tel que $N(Q)=1$ et
$|L(Q)|=K$, alors le sup est atteint.
\medskip
7. Si $P(x)=\dps \sum_{p=0}^na_px^p$, alors~:
$$N_{\infty}(P)\le N_2(P))\le \sqrt{n+1}N_\infty(P)$$
On ne peut obtenir mieux. Pour $P(x)=x^p$, on a \'egalit\'e dans la
premi\`ere in\'egalit\'e, et pour $P(x)=\dps \sum_{p=0}^nx^p$, on a \'egalit\'e
dans la seconde in\'egalit\'e.
\medskip
8. a) Posons $\dps Q(x)=\sum_{p=0}^n a_px^p$. Alors~:
$$|L(Q)|=\left|2\sum_{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {a_{2p}\over
2p+1}\right|
\le \left(2\sum_{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {1\over
2p+1}\right)N_\infty(Q)$$
Ainsi ${\cal N}_{\infty}(L)\le \dps 2\sum_{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor}
{1\over 2p+1}$. On a \'egalit\'e avec $Q(x)=\dps \sum_{p=0}^nx^p$.
\smallskip
b) De m\^eme, en utilisant l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz~:
$$|L(Q)|=\left|2\sum_{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {a_{2p}\over
2p+1}\right|
\le 2\left(\sum_{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \left({1\over
2p+1}\right)^2\right)^{1/2}N_2(Q)$$
Ainsi ${\cal N}_{2}(L)\le \dps 2\left(\sum_{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor}
\left({1\over 2p+1}\right)^2\right)^{1/2}$. On a \'egalit\'e dans
l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz si et seulement si $a_{2p}=\dps
{\lambda\over 2p+1}$. Il reste \`a choisir $\lambda$ de fa\c{c}on \`a ce que
$\dps \sum_{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{|\lambda|^2\over (2p+1)^2}=1$ et
le polyn\^ome $Q(x)=\dps \sum_{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor} a_{2p}x^{2p}$.
\vskip 0.5cm
{\gr Troisi\`eme partie}
\par
9. a) Il suffit de prendre $P_k(x)=\dps \sum_{p=0}^k x^p$. On a
$N_\infty(P_k)=1$ et $|L(P_k)|=\dps\sum_{p=0}^{\lfloor
n/2\rfloor}{2\over 2p+1}\build\longrightarrow_{n\to\infty}^{}
\infty$.
\smallskip
b) L'application $L$ n'est pas continue puisqu'on a 
trouv\'e une suite de polyn\^omes $(P_k)$ sur la sph\`ere
unit\'e tels que $\dps\lim_{k\to +\infty}L(P_k)=\infty$. 

\medskip
10. a) En utilisant l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz, si
$P(x)=\dps \sum_{p=0}^{n}a_px^p$~:
$$\eqalign{
|L(P)|&= 2\left|\sum_{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{a_{2p}\over
2p+1}\right|\cr
&\le 2\left(\sum_{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_{2p}^2\right)^{1/2}
\left(\sum_{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\left({1\over
2p+1}\right)^2\right)^{1/2}\cr
&\le N_2(P){\pi\over \sqrt{2}}\cr
}$$
(on utilise $\dps \sum_{p=0}^{+\infty}{1\over (2p+1)^2}={\pi^2\over
8}$).
Ainsi $|||L|||$ existe et $|||L|||\le \dps{\pi\over \sqrt{2}}$.
\smallskip
b) Montrons que $|||L|||= \dps{\pi\over \sqrt{2}}$. Pour tout $n\in
\N^*$, on choisit $P_n(x)=\dps \sum_{p=0}^{\lfloor
n/2\rfloor}{\lambda_nx^{2p}\over {2p+1}}$ tel que $N_2(P_n)=1$. On a alors
\'egalit\'e dans l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz et~:
$$|L(P_n)|=2\left(\sum_{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\left({1\over
2p+1}\right)^2\right)^{1/2}\build\longrightarrow_{n\to\infty}^{} {\pi\over \sqrt{2}}$$

Supposons qu'il existe $Q(x)=\dps \sum_{p=0}^q a_px^p$ polyn\^ome tel
que $N_2(Q)=1$ et $|L(Q)|=|||L|||$. On a alors~:
$$\eqalign{
{\pi\over \sqrt{2}}&=|L(Q)|\le 2\left(\sum_{p=0}^{\lfloor
n/2\rfloor}a_{2p}^2\right)^{1/2}
\left(\sum_{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\left({1\over 2p+1}\right)^2\right)^{1/2}\cr
&\le N_2(Q){\pi\over \sqrt{2}}={\pi\over \sqrt{2}}\cr
}$$
On a donc \'egalit\'e dans toutes ces in\'egalit\'es. Donc $a_{2p}=\dps
{\lambda\over 2p+1}$ et
$${\pi\over \sqrt{2}}=2\left(\sum_{p=0}^{\lfloor q/2\rfloor}{1\over
(2p+1)^2}\right)^{1/2}$$
ce qui est impossible puisque $\dps {1\over (2p+1)^2}>0$.




\end


