%Options: KBD=ISO8859; FMT=VTEX; LANG=FRENCH; HYPHEN=.default;
%\input iso8859.cm
%\magnification=1200
%\baselineskip=14pt
\input upsnum.tex
\pretolerance=500  \tolerance=1000  \brokenpenalty=5000

\parindent=0cm


%d\'efinition des guillemets.
\def\og{\leavevmode
  \raise0.28ex\hbox{$\scriptscriptstyle\langle\!\langle$}\nobreak
 \hskip -.6pt plus.3pt minus.2pt $\,$}
\def\fg{$\!$\nobreak \hskip -.6pt plus.3pt minus.2pt
 \raise0.28ex\hbox{$\scriptscriptstyle\rangle\!\rangle$}\thinspace}

%d\'efinition de build
\def\build#1_#2^#3{\mathrel{
\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}^{#3}}}


%d\'efinition de la fonte Times de Vtex
%Attention, ces fontes ne sont pas standard.
%\font\tmsX=mvr10 charmap1
%\font\tmsVII=mvr10 at 7pt charmap 1
%\font\tmsV=mvr10 at 5pt charmap 1
%\newfam\tms
%\scriptscriptfont\tms=\tmsV
%\textfont\tms=\tmsX
%\scriptfont\tms=\tmsVII
%\def\time{\fam\tms\tmsX}
%\font\leg=mvr10  slant 350 charmap1
%\font\gr=mvr10  bold 1 charmap1
%\font\titrub=mvr10  scaled 1200 bold 1 charmap 1

%d\'efinition des lettres blackboard
\font\mat=msbm10 %scaled 1200
\def\R{\hbox{\mat R}\hskip -.05em}
\def\N{\hbox{\mat N}\hskip -.05em}
\def\C{\hbox{\mat C}\hskip -.05em}
\def\Q{\hbox{\mat Q}\hskip -.05em}
\def\Z{\hbox{\mat Z}\hskip -.05em}

\frenchspacing

%op\'erateurs math\'ematiques
\def\tan{\mathop{\rm tan}\nolimits}
\def\cotan{\mathop{\rm cotan}\nolimits}
\def\arctan{\mathop{\rm Arctan}\nolimits}
\def\arccotan{\mathop{\rm Arccotan}\nolimits}
\def\arccos{\mathop{\rm Arccos}\nolimits}
\def\arcsin{\mathop{\rm Arcsin}\nolimits}
\def\argth{\mathop{\rm Argth}\nolimits}
\def\argcoth{\mathop{\rm Argcoth}\nolimits}
\def\argch{\mathop{\rm Argch}\nolimits}
\def\argsh{\mathop{\rm Argsh}\nolimits}
\def\ln{\mathop{\rm ln}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\im{\mathop{\rm Im}\nolimits}      %image
\def\ker{\mathop{\rm Ker}\nolimits}    %noyau
\def\rg{\mathop{\rm rg}\nolimits}      %rang
\def\E{\mathop{\rm E}\nolimits}        % partie enti\`ere
\def\re{\mathop{\rm Re}\nolimits}      %partie r\'eelle
\def\succ{\mathop{\rm Succ}\nolimits}  %sucesseur
\def\emptyset{\mathchar"081F}          %ensemble vide
\def\dps{\displaystyle}
\def\underset#1_#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}
\def\iff{\Leftrightarrow}
\def\frac#1#2{{#1\over #2}}
\let\dps\displaystyle
%\time %fonte utilis\'ee (d\'efinie plus haut)


\centerline{Ecole Polytechnique, option PC}
\medskip
\centerline{Deuxi\`eme \'epreuve, 1999. \'Enonc\'e}
\vskip 1.5cm
\centerline{Premi\`ere partie.}
\smallskip
On se fixe un entier $n\in\N$ et l'on d\'esigne par $E$ l'espace
vectoriel des fonctions polynomiales r\'eelles de degr\'e inf\'erieur ou
\'egal \`a $n$. On consid\`ere la forme lin\'eaire $L$ d\'efinie sur $E$ par~:
$$\forall\ P \in \E,\quad L(P)=\int_{-1}^1 P(x) dx$$

1. D\'eterminer l'image par $L$ de la fonction polynomiale $P$ telle
que $\dps P(x)=\sum_{p=0}^n a_px^p$.
\smallskip
D\'eterminer la dimension du noyau de $L$, puis une base de ce noyau.
\medskip
2. On consid\`ere des nombres r\'eels $(x_i)_{0\le i \le n}$ tels que~:
$$-1\le x_0<x_1<\ldots< x_i<x_{i+1}<\ldots<x_n\le 1$$
a) Montrer que pour tout $i, 0\le i \le n$, il existe une fonction
polynomiale $P_i\in \E$ telle que~:
$$\left\{\matrix{ P_i(x_i)&=&1\hfill\cr
       P_i(x_j)&=&0,\quad \hbox{pour } j\neq i, 0\le j\le n\cr
           }\right.$$
b) Montrer qu'il existe une unique famille de nombres r\'eels
$(\lambda_i)_{0\le i \le n}$ telle que~:
$$\forall\ P\in E,\quad L(P)=\sum_{i=0}^n \lambda_iP(x_i)$$

3. On suppose que pour tout $i,0\le i \le n, x_{n-i}=-x_i$. Montrer
que
$\lambda_{n-i}=\lambda_i$. En d\'eduire que si $n$ est pair, toute
fonction polynomiale de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n+1$ v\'erifie~:
$$\int_{-1}^1P(x) dx= \sum_{i=0}^n \lambda_iP(x_i)$$

4. Soit $f$ une fonction r\'eelle de classe $C^{n+1}$ sur l'intervalle
$[-1,1]$.
\par
a) On pose $M_{n+1}=\dps \sup_{x\in [-1,1]} |f^{(n+1)}(x)|$, o\`u $f^{(n+1)}$ d\'esigne la
d\'eriv\'ee $(n+1)$-i\`eme de $f$. D\'eterminer des r\'eels positifs $\alpha$ et
$\beta$ tels que~:
$$\left|\int_{-1}^1 f(x) dx-\sum_{i=0}^n\lambda_if(x_i)\right|\le
M_{n+1}(\alpha+\beta\sum_{i=0}^n|\lambda_i|)$$
o\`u les $(\lambda_i)_{0\le i \le n}$ sont les nombres r\'eels d\'etermin\'es
dans la question 2.
\smallskip
b) On suppose que $f$ est de classe $C^{n+2}$ sur $[-1,1]$., que $n$
est pair et que les points  $(x_i)_{0\le i \le n}$ sont choisis tels
que $x_{n-i}=-x_i,0\le i \le n$.
\par
Modifier la majoration pr\'ec\'edente en utilisant
$M_{n+2}=\dps \sup_{x\in [-1,1]} |f^{(n+2)}(x)|$
\medskip
5. On suppose que $n=4$ et l'on choisit
$$x_0=-1,\ x_1=-{1\over 2},\ x_2=0,\ x_3 ={1\over 2},\ x_4=1$$
a) Calculer $\lambda_0, \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4$.
\par
b) En utilisant le r\'esultat de la question 4.b), donner une
majoration de $\dps
\left|\int_{-1}^1e^{{(x/4)}^2}dx-\sum_{i=0}^4\lambda_ie^{{(x_i/4)}^2}\right|$,
o\`u les $(\lambda_i)_{0\le i \le 4}$ sont les nombres r\'eels trouv\'es en
a).
\vskip 1cm
\centerline{Deuxi\`eme partie}
\smallskip
Les notations sont celles de la premi\`ere partie.
\smallskip
6. Soit $N$ une norme sur $E$. On pose~:
$${\cal N}(L)=\sup_{P\in E, N(P)\le 1} |L(P)|$$

a) Justifier l'existence de ${\cal N}(L)$ et montrer qu'il existe
$Q\in E$ tel que $N(Q)=1$ et $|L(Q)|={\cal N}(L)$.
\smallskip
b) Montrer que si $K$ est un nombre r\'eel positif tel que~:
$$\forall\ P\in E,\quad |L(P)|\le KN(P)$$
alors ${\cal N}(L)\le K$. Montrer que si, de plus, il existe
$Q\in E$ tel que $N(Q)=1$ et $|L(Q)|=K$, alors ${\cal N}(L)=K$.
\medskip
7. Pour $P\in E$ tel que  $\dps P(x)=\sum_{p=0}^n a_px^p$, on pose~:
$$N_{\infty}(P)=\sup_{0\le p \le n}|a_p| \quad \hbox{et}\quad
N_2(P)=\left(\sum_{p=0}^n(a_p)^2\right)^{1/2}$$
Comparer les normes $N_{\infty}$ et $N_2$.
\medskip
8. On d\'esigne par ${\cal N}_\infty(L)$ et ${\cal N}_2(L)$ les nombres
${\cal N}(L)$ d\'efinis \`a la question 6., quand on choisit pour $N$
respectivement $N_\infty$ et $N_2$.
\par
a) Trouver $Q_\infty\in E$ tel que $N_\infty(Q_\infty)=1$
et $|L(Q_\infty)|={\cal N}_\infty(L)$.
\par
b) Trouver $Q_2\in E$ tel que $N_2(Q_2)=1$
et $|L(Q_2)|={\cal N}_2(L)$.
\vskip 1cm
\centerline{Troisi\`eme partie}
\smallskip
Soit $F$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales de degr\'e
quelconque.
\par
Pour $P\in F$ de degr\'e $d(P)$, d\'efinie par
$\dps P(x)=\sum_{p=0}^{d(P)} a_px^p$, on pose~:
$$N_{\infty}(P)=\sup_{0\le p \le d(P)}|a_p| \quad \hbox{et}\quad
N_2(P)=\left(\sum_{p=0}^{d(P)}(a_p)^2\right)^{1/2}$$
et l'on d\'efinit ainsi des normes sur $F$ (par convention
$N_\infty(0)=N_2(0)=0$).
\smallskip
Pour $P\in F$, on pose encore $\dps L(P)=\int_{-1}^1 P(x) dx$.
\smallskip
9. a) Trouver une suite $(P_k)_{k\ge 0}$ d'\'el\'ements de $F$ telle que
pour tout $k\in \N, N_\infty(P_k)=1$ et
\par  $\dps \lim_{k\to +\infty}L(P_k)=+\infty$.
\smallskip
b) L'application $L$ est-elle continue~?
\medskip
10. a) Montrer que $\dps \sup_{P\in F, N_2(P)\le 1} |L(P)|$ existe. On
d\'esigne ce nombre par $|||L|||$.
\smallskip
b) Existe-t-il une fonction polynomiale $Q\in F$ telle que $N_2(Q)=1$
et $|L(Q)|=|||L|||$~?









\end


