\documentclass{article}
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\pagestyle{fancy}
\begin{document}

%Macros perso
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\segment}[2]{\left [ #1, #2 \right ]}
\newcommand{\bsup}[2]{\sup_{#1}\limits #2}
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3 d#4}}
\newcommand{\limite}[3]{\lim_{#1 \rightarrow #2} \limits #3}
\newcommand{\normedeux}[1]{N_{2} \left(#1 \right)}
\newcommand{\normeinf}[1]{N_{{\infty}} \left(#1 \right)}


%En-t{\^e}te
\rhead{{\'E}cole Polytechnique 1999, PC maths 2}
\lhead{page \thepage}
\cfoot{}

%Num{\'e}rotation des questions.
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\arabic{enumi}.}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\alph{enumii})}}


\begin{center}
\large{{\'E}COLE POLYTECHNIQUE}

\medskip
\large{{\'E}COLE SUP{\'E}RIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES}

\medskip
\large{CONCOURS D'ADMISSION 1999 \hspace{4 cm} FILI{\`E}RE \Huge{PC}}

\bigskip
\Large{DEUXI{\`E}ME COMPOSITION DE MATH{\'E}MATIQUES}\normalsize

(Dur{\'e}e : 3 heures)

\medskip
L'utilisation des calculatrices \textbf{est autoris{\'e}e} pour cette {\'e}preuve.

\bigskip
$\star \star \star$

\bigskip
\textit{On attachera la plus grande importance {\`a} la clart{\'e}, {\`a} la pr{\'e}cision et {\`a} la concision de la r{\'e}daction.}

\bigskip
$\star \star \star$
\end{center}

\bigskip
Le but de ce probl{\`e}me est l'{\'e}tude d'une forme lin{\'e}aire sur l'espace vectoriel des fonctions polynomiales r{\'e}elles.

\centerline{\textbf{Premi{\`e}re partie}}

\smallskip
On se fixe un entier $n\in\N$ et l'on d{\'e}signe par $E$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales r{\'e}elles de degr{\'e} inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $n$. On consid{\`e}re la forme lin{\'e}aire $L$ d{\'e}finie sur $E$ par
$$\forall\ P \in E,  L(P) = \integ{-1}{1}{P(x)}{x}.$$

\begin{enumerate}
\item D{\'e}terminer l'image par $L$ de la fonction polynomiale $P$ telle que $P(x) = \somme{p=0}{n}{a_p x^p}$.

D{\'e}terminer la dimension du noyau de $L$, puis une base de ce noyau.

\item On consid{\`e}re des nombres r{\'e}els $(x_i)_{0{\leq} i {\leq} n}$ tels que
$$-1 {\leq} x_0 < x_1 <{\dots}< x_i < x_{i+1} < {\dots} < x_n {\leq} 1.$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $i$, $0{\leq} i {\leq} n$, il existe une fonction polynomiale $P_i \in E$ telle que
\begin{center}
\begin{tabular}{lclcl}
&&$P_i(x_i) = 1$&&\\et &&$P_i(x_j) = 0$ & & pour $j {\neq} i$, $0 {\leq} j {\leq} n$.
\end{tabular}
\end{center}

\item Montrer qu'il existe une unique famille de nombres r{\'e}els$(\lambda_i)_{0{\leq} i {\leq} n}$ telle que
$$\forall\ P \in E, L(P )= \somme{i=0}{n}{\lambda_i P(x_i)}.$$
\end{enumerate}

\item On suppose que pour tout $i$, $0{\leq} i {\leq} n$, $x_{n-i} = -x_i$.
Montrer que $\lambda_{n-i} = \lambda_i$.
En d{\'e}duire que, si $n$ est pair, toute fonction polynomiale de degr{\'e} inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $n+1$ v{\'e}rifie
$$\integ{-1}{1}{P(x)}{x} = \somme{i=0}{n}{\lambda_i P(x_i)}.$$

\item Soit $f$ une fonction r{\'e}elle de classe $C^{n+1}$ sur l'intervalle $\segment{-1}{1}$.
\begin{enumerate}
\item On pose $M_{n+1}=  \bsup{x \in \segment{-1}{1}} \abs{f^{(n+1)}(x)}$, o{\`u} $f^{(n+1)}$ d{\'e}signe la d{\'e}riv{\'e}e $(n+1)$-i{\`e}me de $f$. D{\'e}terminer des r{\'e}els positifs $\alpha$ et $\beta$ tels que
$$\abs{\integ{-1}{1}{f(x)}{x} - \somme{i=0}{n}{\lambda_i f(x_i)}} {\leq} M_{n+1}(\alpha+\beta \somme{i=0}{n}{\abs{\lambda_i}})$$

o{\`u} les $(\lambda_i)_{0{\leq} i {\leq} n}$ sont les nombres r{\'e}els d{\'e}termin{\'e}s dans la question \textbf{2.}.

\item On suppose que $f$ est de classe $C^{n+2}$ sur $\segment{-1}{1}$, que $n$ est pair et que les points  $(x_i)_{0{\leq} i {\leq} n}$ sont choisis tels que $x_{n-i} = -x_i$, $0{\leq} i {\leq} n$.

Modifier la majoration pr{\'e}c{\'e}dente en utilisant $M_{n+2}=  \bsup{x \in \segment{-1}{1}}{\abs{f^{(n+2)}(x)}}$.
\end{enumerate}

\item On suppose que $n = 4$ et l'on choisit

\centerline{$x_0 = -1$, $x_1 = -\dfrac{1}{2}$, $x_2 = 0$, $x_3 = \dfrac{1}{2}$, $x_4 = 1$.}
\begin{enumerate}
\item Calculer $\lambda_0$, $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$, $\lambda_4$.

\item En utilisant le r{\'e}sultat de la question \textbf{4.b)}, donner une majoration de $\abs{\integ{-1}{1}{e^{(x/4)^2}}{x} - \somme{i=0}{4}{\lambda_i e^{(x_i/4)^2}}}$, o{\`u} les $(\lambda_i)_{0{\leq} i {\leq} 4}$ sont les nombres r{\'e}els trouv{\'e}s en \textbf{a)}.
\end{enumerate}

\bigskip
\centerline{\textbf{Deuxi{\`e}me partie}}

\medskip
Les notations sont celles de la premi{\`e}re partie.

\item Soit $N$ une norme sur $E$. On pose
$$\mathcal{N}(L) = \bsup{P \in E, N(P) {\leq} 1}{\abs{L(P)}}.$$
\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence de $\mathcal{N}(L)$ et montrer qu'il existe $Q \in E$ tel que $N(Q)=1$ et $\abs{L(Q)} = \mathcal{N}(L)$.

\item Montrer que si $K$ est un nombre r{\'e}el positif tel que
$$\forall\ P \in E, \abs{L(P)} {\leq} K N(P),$$

alors $\mathcal{N}(L){\leq} K$.
Montrer que si, de plus, il existe $Q \in E$ tel que $N(Q) = 1$ et $\abs{L(Q)} = K$, alors $\mathcal{N}(L) = K$.
\end{enumerate}

\item Pour $P \in E$ tel que  $P(x) = \somme{p=0}{n}{a_p x^p}$, on pose

\centerline{$\normeinf{P} = \bsup{0{\leq} p {\leq} n}\abs{a_p}$ et $\normedeux{P} = \left(\somme{p=0}{n}{(a_p)^2}\right)^{1/2}$.}

Comparer les normes $N_{{\infty}}$ et $N_{2}$.

\item On d{\'e}signe par $\mathcal{N}_{{\infty}}(L)$ et $\mathcal{N}_2(L)$ les nombres $\mathcal{N}(L)$ d{\'e}finis {\`a} la question \textbf{6.}, quand on choisit pour $N$ respectivement $N_{\infty}$ et $N_2$.
\begin{enumerate}
\item Trouver $Q_{\infty} \in E$ tel que $\normeinf{Q_{\infty}} = 1$ et $\abs{L(Q_{\infty})} = \mathcal{N}_{\infty}(L)$.

\item Trouver $Q_2 \in E$ tel que $\normedeux{Q_2} = 1$ et $\abs{L(Q_2)} = \mathcal{N}_2(L)$.
\end{enumerate}

\bigskip
\centerline{\textbf{Troisi{\`e}me partie}}

\medskip
Soit $F$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales de degr{\'e} quelconque.

Pour $P \in F$ de degr{\'e} $d(P)$, d{\'e}finie par $P(x) = \somme{p=0}{d(P)}{a_p x^p}$, on pose

\centerline{$\normeinf{P} = \bsup{0{\leq} p {\leq} d(P)}{\abs{a_p}}$ et $\normedeux{P} = \left(\somme{p=0}{d(P)}{(a_p)^2}\right)^{1/2}$}

et l'on d{\'e}finit ainsi des normes sur $F$ [par convention $\normeinf{0} = \normedeux{0} = 0$].

\smallskip
Pour $P \in F$, on pose encore $L(P) = \integ{-1}{1}{P(x)}{x}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Trouver une suite $(P_k)_{k \in \N}$ d'{\'e}l{\'e}ments de $F$ telle que $\forall k \in \N,\normeinf{P_k} = 1$ et
$\limite{k}{+{\infty}}{L(P_k)} = +{\infty}$.

\item L'application $L$ est-elle continue ?
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\bsup{P \in F, \normedeux{P} {\leq} 1}{\abs{L(P)}}$ existe.
On d{\'e}signe ce nombre par $|||L|||$.

\item Existe-t-il une fonction polynomiale $Q \in F$ telle que $\normedeux{Q} = 1$ et $\abs{L(Q)} = |||L|||$ ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}



