%M99ZMC.tex 10 aout 99 14h41 version 11 aout 99 14h39 (\'eclipse 12h20)
% Pour QUERCIA : code ligne 32
\input liv.mac
\let\cadrejoli\cadrefin

%\centerline{\vbox{\hrule  depth 0pt width 80mm}}% trait partiel centr\'e
\def\titreimpair{\line{ {\fiverm d: M99ZMC.tex \hskip 3mm}
{\bf INT Managent 99 4h
\hskip 3mm\Carre \hfil Mr VIDIANI Sp\'e MP1 CARNOT  \hskip 2mm\liond\ \vrule\
 \folio}}  }

\def\titrepair{\line{\bf\folio  \hfill %{\fiverm  \ \ \  }   %Underfull
% hbox si  ce { mme vide mais avec fonte} pas mis
                                    % en fait line demande une ligne
% compl\`ete : il faut hfill
{\bf INT Management 99  : Integrale et Matrices.
\hskip 3mm\Carre Mr VIDIANI \hskip 2mm\liong}}  }
%\vskip -6mm\noindent{\fiverm (version \date\ : \heure )}   %\^U\^U\^U\^U\^U
%\vskip4mm

{\it VIDIANI email~: 101702.425{\char 64}compuserve.com, Cidex 635 71490
 Saint jean de Tr\'ezy (D'apr\`es Vincenot~: tr\'ezir~: du latin trans-ire
 le bl\'e sort de terre...)}

{\it Signaler toute erreur (lapsus du \`a l'informatique, comme argumente
 l'{\gros A}dministration)
 et toute am\'elioration  (En  particulier pour (I.3.b) et (II.I.3.c))
 (il n'y a que ceux qui ne font rien qui ne font
 pas d'erreurs : les s\^urs d'eux m\^emes et dominateurs, de grands lyc\'ees
 p(h)arisiens, auraient du plus participer \`a la bourse pour que l'on puisse
 admirer leurs solutions g\'eniales ENS, X, EnSAE, Agreg....)
 Il ne faut pas prendre C.A. alias ``ZAT", comme pr\'etexte pour se
d\'emobiliser
 "Quand sur une personne on pr\'etend se r\'egler, c'est pas son beau cot\'e
 qu'il lui faut ressembler..."~; D'autre part c'est en faisant le probl\`eme
 qu'on s'aper\c{c}oit de l'endroit des difficult\'es, ce qui permet de ciseler
 une m\'ethode qui rende la solution ``fluide".}

%XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX       Code  SPECIAL BOURSE UPS
%XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

\catcode`\@=11\font\@upstt=cmtt10\footline={\@upstt\hfil\jobname.tex\ -
page
\the\count0\ifodd\count0\hfill\fi}\catcode64=\active\ifx\numerodepage\undef
ined
\else\count0=\numerodepage\fi

% XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX        J'avais pas ``vu"
% XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX    Quercia sera content cette fois !




\leavevmode
\cadrefin{\vbox to 10mm {\hsize 30mm\leftskip 0mm\noindent\fiverm nom :
\hfill\vfill\noindent sp\'e MP1 carnot DIJON}}
\traitgras
\hfill\cadrejoli{\bf PROBL\`EME I}\hfill{}
\num{1.a} {\bf $\bf h_x$ est int\'egrable : }
On sait {\it(\'etudier la fonction diff\'erence $t\mapsto t-\sin t$,
et la parit\'e)}, que $\frac {|\sin t|} {|t|}\leq 1$, {\it(On compl\`ete
par continuit\'e en t=0)} par cons\'equent
$|h(x,t)|\leq e^{-xt}$, dont l'int\'egrale converge sur $\R^+$ : par
domination
$h_x$ est bien int\'egrable sur $\R^+$, puisque la fonction dominante
l'est pour $x>0$.
\trait
\num{1.b} {\bf Limite en plus l'infini : }
$|F(x)|\leq \int_0^\infty e^{-xt}dt=\big[-\frac {e^{-xt}}x\big]=\frac 1x
\rightarrow 0$ ;
\trait
\num{1.c} {\bf F est $\bf C^1$ : } L'int\'egrale de la d\'eriv\'ee sous le signe
somme
est Normalement donc Uniform\'ement convergente sur $\varepsilon,+\infty[$
car
$|\dd {h(x,t)}x|=|e^{-xt}\sin t|\leq e^{-xt}\leq e^{-\varepsilon t}$ ;
Par le th\'eor\`eme de d\'erivation sous le signe int\'egral F est donc bien
$C^1$ sur $\R^+$.
{\it(On pourrait utiliser aussi Abel int\'egral Uniforme)}

\centerline{\vbox{\hrule  depth 0pt width 80mm}}% trait partiel centr\'e

\carre\ {\bf Calcul de F'(x) : }

$F'(x)=-\int_0^\infty e^{-xt}\sin t dt=
-\int_0^\infty e^{-xt}\frac {e^{it}-e^{-it}}{2i}dt=
-\frac 1{2i} -\int_0^\infty (e^{t(-x+i)}-e^{t(-xt_i)})dt=
-\frac 1{2i}\big[\frac {e^{t(-x+i)}}{-x+i}-\frac
{e^{t(-x-i)}}{-x-i}\big]_0^{+\infty}
=-\frac 1{x^2+1}$ ;
\hfill\cadrefin{$\bf F'(x)=-\frac 1{x^2+1}$}
\trait
\num{1.d} {\bf Calculer F(x) :} En int\'egrant $F(x)=C-Artan x$ ;
Mais (1.b) donne $C=\frac \pi 2$, par cons\'equent
\cadrefin{$F(x)=Artan \frac 1x$}, prolongeable par $+\frac pi 2$ en $+0$.
\trait
\num{2.a} {\bf S\'erie divergente : }  On fait le changement de variable
$t=k\pi +u$  dans l'int\'egrale $u_k=\int_0^\pi \frac {\sin u}{k\pi +u}
\geq \int_0^\pi \frac {\sin u} {\pi(k+1)} du=\frac 2{(k+1)\pi}$ ;
$\sum u_k$ diverge car son terme g\'en\'eral est minor\'e par celui d'une s\'erie
Harmonique divergente.

$h_0$ n'est pas int\'egrable sur $\R^+$, (au sens nouveau programme
Absolument
convergente) car d'apr\`es un th\'eor\`eme du cours nous savons que la s\'erie
$\sum u_k$ et l'int\'egrale $\int_0^\infty |h_0(t)|dt$ sont de m\^eme nature.
\trait
\num{2.b} {\bf L admet une limite : } On acc\`el\`ere la convergence en
int\'egrant
par parties :

Au pr\'ealable on dit que $L(a)=L(1)+\int_1^a f(t)dt$ de fa\c{c}on \`a \'eviter
que l'int\'egration par parties, introduise une divergence en 0.
On int\'egre alors par parties la seconde int\'egrale  $G(a)=\int_1^a f(t)dt$ :
$\IPP{u=\frac 1t &du=-dt\frac 1{t^2}\cr dv=\sin t dt & v=-\cos t\cr}$.

$G(a)=-[\frac {\cos t} t]_1^a-\int_1^a \frac {\cos t}{t^2}dt$ et
la seconde int\'egrale tend vers une limite lorsque $a$ tend vers
plus l'infini, car  $\frac {|\cos t|}{t^2}\leq \frac 1{t^2}$, dont
l'int\'egrale
de Riemann avec $\alpha=2>1$ converge sur $[1,+\infty[$ ;

Par cons\'equent $L$ a bien une limite en $+\infty$.
\trait
\num{3.a} {\bf $\bf g_x$ d\'ecroissante positive : } Car produit de deux
fonctions d\'ecroissantes et positives $t\mapsto \frac 1t $ et
$t\mapsto e^{-xt}$. Quant \`a la majoration elle provient de ce que
\`a cause de la d\'ecroissance de $g_x$ $g_x(t)\leq g_x(a)=\frac 
{e^{-xa}}a\leq
\frac 1a$.
\trait
\num{3.b} {\bf Encadrement : } \danger\ {\it(Pas si \'evidente \`a trouver !)}
$t=a$ dans l'encadrement de $G(t)$ donne   $m\leq G(a)=0\leq M$.

D'apr\`es le th\'eor\`eme de la MOYENNE, puisque $g_x$ est de SIGNE CONSTANT,
on a : $\exists c\in [a,b]$ tel que $I=\int_a^b
g_x(t)g(t)dt=g_x(c)\int_a^bg(t)dt=
g_x(c)G(b)\leq_{\hbox{\fiverm car $\fiverm g_x(c)\geq 0$}}
g_x(c)M\leq_{\hbox{
\fiverm $g_x$ d\'ecro\^{\i}t}} g_x(a)M$.

Mais $G(b)\geq m$ donc $g_x(c)G(b)\geq g_x(c) m $ et comme $g_x(c)\leq
g_x(a)$ et
$m\leq 0$, on change le sens de l'in\'egalit\'e en multipliant par $m\leq 0$ :
$mg_x(c)\geq mg_x(a)$. C.q.f.d.
\trait
\num{3.c} {\bf Encadrements \`a d\'eduire : }
On applique la question pr\'ec\'edente avec $g=\sin$ alors $G(t)=-\cos t+\cos
a$
et $m=-2,\ M=2$. On fait tendre $b$ vers $+\infty$ et on prolonge les
in\'egalit\'es.
{\it(l'int\'egrale est convergente d'apr\`es (1.a))}. On utilise enfin la
majoration
de $g_x(a)$ prolong\'ee en a en (3.a)

Le second encadrement s'obient \`a partir du pr\'ec\'edent en utilisant CHASLES
: $\int_a^\infty=\int_0^\infty-\int_0^a=L^*-L(a)$.
\trait
\num{3.d} {\bf Majoration, valeur de $\bf L^*$ : }
$|F(x)-L^*|=|\int_0^\infty h(x,t)dt-\int_0^\infty h(0,t)dt|=
|\int_0^\infty\big[ h(x,t)- h(0,t)\big]dt|
\leq |\int_0^a\big[ h(x,t)- h(0,t)\big]dt|+|\int_a^\infty
[h(x,t)-h(0,t)]dt|
\leq |\int_0^a\big[ h(x,t)- h(0,t)\big]dt|+|\int_a^\infty
h(x,t)dt|+|\int_0^\infty h(0,t)dt|$.


Pour majorerla somme des deux derni\`eres int\'egrales on utilise l'encadrement
de (3.c), prolong\'e \'eventuellement pour la seconde en $x=0$.

\carre\ Enfin $a$ \'etant choisi assez grand pour que $\frac 4a<\varepsilon$,
x peut \^etre choisi suffisament proche de z\'ero, d'apr\`es la continuit\'e 
sousle signe
int\'egrale de $\int_0^a  \big[ h(x,t)- h(0,t)\big]dt$, pour que
celle ci soit  $<\varepsilon$.

On en d\'eduit que \cadrefin{$\bf L^*=F(0)=\frac \pi 2$}
\traitgras
\vfill
\leavevmode\hfill\transforme*{3 0 -5 3,70}{\bf INT  management pb 1 1999}
\transforme{3 0 0 3}{\bf INT  Management pb 1 1999}

\fondpage={\ps{chameau,\hsize,\vsize,-1 0 0 1,90}}
\eject
\hfill\cadrejoli{\bf PROBL\`EME II}\ \cadrefin{\bf Partie 1}\hfill{}

\num{1.a} {\bf Calculer $\bf SV_\alpha$ : }
On fait le produit ligne par colonne et on utilise
$\sin a+\sin b=2\sin (a+b)\cos (a-b)$
et on obtient :
$SV_\alpha=\pmatrix{2\cos\alpha \sin\alpha\cr\vdots\cr
2\cos\alpha \sin(n-1)\alpha\cr \sin(n-1)\alpha\cr}$.

\carre\ Pour la derni\`ere ligne on aimerait que
$\sin(n-1)\alpha=2\cos\alpha\sin n\alpha=\sin(n+1)\alpha+\sin(n-1)\alpha$.

Donc que $\sin(n+1)\alpha=0$ soit \cadrefin{$\bf \alpha=\frac {k\pi}{n+1}$
\bf k=1..n} (k=0 est la seule valeur \`a interdire pour que $V_\alpha$ ne
soit
pas nul). On a bien d'apr\`es la monotonie de $\cos$ sur $[0,\pi]$,
n valeurs propres dictinctes. $S$ est bien diagonalisable sur $\R$.
\trait
\num{1.b} {\bf \'El\'ements propres de S et B : }
D'apr\`es le calcul pr\'ec\'edent les valeurs propres de
$S$ sont \cadrefin{$\bf 2\cos \frac {k\pi}{n+1}$ \bf k=1..n\ \vrule\
\liond}

Prenant une base o\`u $S$  est diagonale, celles de B sont en \'evidence
dans la diagonale principale

\hfill
\cadrefin{$\bf 2-2\cos \frac {k\pi}{n+1}=4\sin^2
\frac {k\pi}{2(n+1)}$ \bf k=1..n\ \vrule\ \liong}

\carre\ B est invervsible puisqu'aucune de ses valeurs propres n'est nulle.
$B^{-1}$ est sym\'etrique comme $B$ puisque l'inverse de la transpos\'ee
est la transpos\'ee de l'inverse.
\trait
\num{3.c} {\bf Forme quadratique d\'efinie positive : }
Le plus simple est de remarquer que $B$ \'etant sym\'etrique r\'eelle, est
ortho-diagonalisable : sur une base propre orthonorm\'ee la forme
quadratique $^tVBV$ sera $\lambda_1(x'_1)^2+....+\lambda_n(x'_n)^2$ ;
Comme les valeurs propres sont strictement positives, la conclusion en
d\'ecoule.

On peut aussi \'ecrire (confondant matrice uni \'el\'ement avec cet \'el\'ement)
$^tV BV= (x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+...+(x_{n-1}-x_n)^2+x_1^2$, qui n'est nul
que si $0=x_1=...=x_n$.
\trait
\num{2.a} {\bf Syst\`eme \'equivalent : }
On obtient le syst\`eme \'equivalent demand\'e en faisant les transformations
\'el\'ementaires  suivantes : on multiplie la ligne num\'ero k par k et
on lui ajoute la pr\'ec\'edente ; imm\'ediatement on a : \cadrefin{$\bf
Y'_j=jY_j$}
\trait
\num{2.b} {R\'ecurrence :}

On r\'esoud le syst\`eme $B'X=Y'_j$ en descendant, par une r\'ecurrence triviale,
puisque le syst\`eme est alors \'echelonn\'e.
\trait
\num{2.c} {\bf Compl\'eter par sym\'etrie : }
On vient de voir que $\beta_{i,j}=\frac {(n+1-i)j}{n+1}$ pour
i=1..n et i=1..i donc pour j=i..n et i=1..n ;
\cadrefin{$\bf \beta_{j,i}=\frac {(n+1-j)i}{n+1}$}
\trait
\num{2.d} {\bf Calculer $\bf \displaystyle\sum_{j=1}^n\beta_{i,j}$ : }
En scindant en deux :
$\displaystyle\sum_{j=1}^n\beta_{i,j}=
\sum_{j=1}^i \frac {(n+1-i)j}{n+1}+\sum_{j=i+1}^n \frac {(n+1-j)i}{n+1}
=\frac {n+1-i}{n+1}(1+...+i)+\frac i{n+1}(n-i+...+1)=
\frac {n+1-i}{n+1}\frac {i(i+1)}2+\frac i{n+1}\frac {(n-i)(n-i+1)}2=
\frac 1{2(n+1)}[(n+1-i)i(i+1)+i(n-1)(n+1)-i)]
=\frac {n+1-i}{2(n+1)}[i^2+i+in-i^2]=\frac {i(n+1-i)}2$.
\cadrefin{$\bf \displaystyle\sum_{j=1}^n\beta_{i,j}=\frac {i(n+1-i)}2$\
\vrule\ \liond}

\carre \ {\bf D\'eduction : } On \'etudie $h(x)=\frac {x(n+1-x)}2
=\frac 12 ((n+1)x-x^2)$ donc $2h'(x)=n+1-2x$ ; Un tableau de variation
trivial
montre que $h(x)$ est maximum en $x=\frac {n+1}2$ et donc
$||B^{-1}||\leq h(\frac  {n+1}2)=\frac {(n+1)^2}8$.
\trait
\num{3.a} {\bf A est inversible : }
On \'ecrit $A=B+diag(a_1-2,...,a_n-2)$ : la forme quadratique
associ\'ee \`a A est la somme de deux formes quadratiques positives et dont
l'une est d\'efinie positive, est donc aussi d\'efinie positive.

A est d\'efinie positive, donc non d\'eg\'en\'er\'ee, donc A est inversible
{\it(Revoyez donc votre cours sur les formes J-quadratiques, mon vieux !)}
\trait
\num{3.b} {\bf $\bf M_x$ est inversible : }
En effet pour la m\^eme raison que pr\'ec\'edemment car la forme quadratique
associ\'ee  \`a $M_x$ est $^tAV+x||V||^2$ est d\'efinie positive car $x>0$.

\centerline{\vbox{\hrule  depth 0pt width 80mm}}% trait partiel centr\'e

\carre \ Si $v_p<0$, la ligne num\'ero $p$ de $M_xV$ serait $<0$ car \'egale \`a
$\underbrace{2v_p-v_{p-1}-v_{p+1}}_{\leq 0}+\underbrace{(a_p-2)v_p}_{\leq
0}+
\underbrace{xv_p}_{<0}$.

\carre {$\bf W_{i,x}\geq 0$ \bf :} C'est le r\'esultat pr\'ec\'edent car
$M_x  W_{i,x}=Y_i\geq 0$.

\carre\ Toutes les colonnes  $M_x^{-1}$  \'etant positives, elle est
positive.
\trait
\num{3.c} {\bf $\bf A^{-1}\geq 0 $ : }

En effet $M_x^{-1} =\frac {com^t(A=xI)}{det M_x}\rightarrow
\frac {com ^tA}{det A}=A^{-1}$ par continuit\'e du d\'eterminant (la prise
de comatrice utilise les mineurs donc le d\'eterminant) et le prolongement
des
in\'egalit\'es larges fait que $A^{-1}\geq 0$.
\trait


\num{4.a} {\bf Produit de deux matrices positives : }
Si $C=AB$, le principe LICO puisque $c_i^j=\displaystyle\sum{k=1}^n
a_i^kb_k^j\geq 0$
donne $C\geq 0$.
\trait
\num{4.b} {$\bf B^{-1}-A^{-1}\geq 0 $ \bf : }
L'astuce ``j'ai rien chang\'e" de l'\'enonc\'e, permet de dire que cette
diff\'erence
est le produit  de trois matrices positives, donc est positive.
\trait
\num{4.c} {\bf Comparaison des normes : }
D'apr\`es (3.c) $A^{-1}\geq 0$ et d'apr\`es (4.b) $0\leq \alpha_{i,j}\leq
\beta_{i,j}$ : En sommant par ligne on a bien l'in\'egalit\'e demand\'ee.
\traitgras

\hfill\cadrejoli{\bf PROBL\`EME II}\ \cadrefin{\bf Partie 2}\hfill{}

\num{1} {\bf Calculer $\varphi"(x_i) $ : }

\noindent Taylor-Lagrange \`a l'ordre 4 donne : $\cases{
varphi(x_i+h)=\varphi(x_i)+h\varphi'(x_i)+\frac {h^2}2\varphi"(x_i)+\frac
{h^3}6\varphi'''
(x_i)+\frac {h^4}{24}\varphi^{(4)}(x_i+\theta h)\cr
varphi(x_i-h)=\varphi(x_i)-h\varphi'(x_i)+\frac {h^2}2\varphi"(x_i)-\frac
{h^3}6\varphi'''
(x_i)+\frac {h^4}{24}\varphi^{(4)}(x_i+\theta' h)\cr}$.

En combinant on a bien ce qui est annonc\'e.
\trait
\num{2.a} {\bf V\'erification : } Il suffit d'\'ecrire et de tenir compte
de l'\'equation diff\'errentielle.
\trait
\num{2.b} {\bf V\'erification : } On remplace la premi\`ere colonne du second
membre
de l'\'egalit\'e (2.a) par $A_h U$ et on multiplie les deux membres par
$A_h^{-1}$.
\trait
\num{2.c} {\bf Maximum \`a obtenir : } On utilise (I.4.c) et (I.2.d) et
96=8.12.

La m\'ethode est int\'er\'essante, mais le probl\`eme est dans la pratique
de majorer avec finesse $\varphi^{(4)}$.
\trait
\num{3.a} {\bf Exprimer $\phi $ : } $\varphi"=-1$, donc
$\varphi'(x)=-x+a$ et $\varphi(x)=-\frac {x^2}2+ax+b$.
Les conditions aux limites donnent $b=0$ et $a=\frac 12$ par suite
\cadrefin{$\bf \varphi(x)=-\frac 12 x^2+\frac x2$}
\trait
\num{3.b} {\bf Pr\'ecisions : } Les $c_i$  sont nuls donc $a_i=2$ $A=B$.
Le vecteur propos\'e est nul car les $K_i$ sont nuls car $\varphi$ \'etant
du second degr\'e a un d\'eriv\'ee quatri\`eme nulle.
\trait
\num{3.c} {\bf Colonnes de $\bf B^{-1}$ : }
D'apr\`es le calcul fait en (I.2.d) on constate que la ligne
num\'ero i de  $B^{-1}\pmatrix{1\cr 1\cr\vdots\cr 1\cr}$ est
$(n+1)^2\varphi(\frac i{n+1})=(n+1)^2\varphi_i$.

Or une simple \'etude prouve que le maximum de $\varphi$ est $\frac 18$
obtenu pour
$x=\frac 12$.

\traitgras
\vfill
\leavevmode\hfill\transforme*{3 0 -5 3,70}{\bf INT  management pb 2 1999}
\transforme{3 0 0 3}{\bf INT  management pb 2 1999}

\fondpage={\ps{lion,\hsize,\vsize,-1 0 0 1,90}}
\vfill\eject
\bye




