% Mines d'Albi, Al\`es, Douai, Nantes
% Epreuve sp\'ecifique 2000
% Saisie en TeX par Serge Bouju, MP Jacques Amyot, MELUN.
% Merci de me signaler les fautes de frappe : serge.bouju@wanadoo.fr
\frenchspacing
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\parindent7mm
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\def\rc{\smallskip}
\def\rrc{\medskip}
\noindent
{\twentybf CONCOURS COMMUN SUP 2000}
\medskip\noindent
{\fifteenbf DES \'ECOLES DES MINES D'ALBI, AL\`ES, DOUAI, NANTES}
\medskip
\hrule
\bigskip
\centerline{\vrule width1pt\vbox{\hsize=14 cm%
\hrule height1pt\bigskip
\centerline{\fifteenbf\'Epreuve sp\'ecifique de Math\'ematiques}
\smallskip
\centerline{\twelvebf(fili\`ere MPSI)}
\medskip
\centerline{\underbar{\bf Mardi 23 mai 2000 de 08h00 \`a 12h00}}
\bigskip\hrule height1pt}\vrule width1pt}
\bigskip
\noindent
{\bf Instructions g\'en\'erales :}
\bigskip\noindent
Les candidats sont invit\'es \`a porter une attention particuli\`ere \`a la r\'edaction : les copies illisibles ou mal pr\'esent\'ees
seront p\'enalis\'ees.
\bigskip
\bigskip
\centerline{\twelvebf PROBL\`EME D'ANALYSE}
\bigskip\noindent
\marge{\square}
$C^0(\R,\R)$ est la $\R$-alg\`ebre des fonctions continues de $\R$ dans $\R$.
\marge{\square}
L'objectif du probl\`eme est d'\'etudier les ensembles ${\cal E}$ et ${\cal F}$
suivants :
\rc
${\cal E}=\left\{f\in C^0(\R,\R)\mid\forall(x,y)\in\R^2,\ f(x+y)+f(x-y)=
2f(x)f(y)\right\}$.
\rc
${\cal F}$ est la partie constitu\'ee des \'el\'ements $f$ de ${\cal E}$ tels que :
\dmarge{$\bullet$}
$f$ n'est pas la fonction identiquement nulle.
\dmarge{$\bullet$}
$f$ s'annule au moins une fois sur $\R$.
\part{PARTIE I}
\ques1
Montrer que la fonction cosinus est dans l'ensemble ${\cal E}$.
\ques2
On note $\ch$ la fonction cosinus hyperbolique et $\sh$ la fonction
sinus hyperbolique. D\'emontrer la formule :
$\forall(x,y)\in\R^2,\ \ch(x+y)=\ch x\ch y+\sh x\sh y$.
\rc
En d\'eduire que la fonction $\ch$ est dans l'ensemble ${\cal E}$.
\ques3
Soit $f$ dans ${\cal E}$ ; montrer que pour tout r\'eel $\alpha$, la fonction
$f_\alpha$ de $\R$ dans $\R$ d\'efinie par :
$x\mapsto f_\alpha(x)=f(\alpha\,x)$ est dans ${\cal E}$.
\ques4
On fixe un \'el\'ement $f$ de ${\cal E}$.
\rc
En donnant \`a $x$ et \`a $y$ des valeurs particuli\`eres, prouver que :
\sques a
$f(0)$ vaut $0$ ou $1$.
\sques b
Si $f(0)=0$, alors $f$ est la fonction identiquement nulle.
\sques c
Si $f(0)=1$, alors $f$ est une fonction paire.
\part{PARTIE II}
\indent\indent{\bf A.}
On fixe ici un \'el\'ement $f$ de ${\cal E}$ tel que $f(0)=1$.
\ques1
Montrer que pour chaque r\'eel $r>0$, on a :
\sques a
$\forall x\in\R,\ \int_0^rf(x+y)dy=\int_x^{x+r}f(u)du$.
\sques b
$\forall x\in\R,\ 2f(x)\int_0^rf(y)dy=\int_x^{x+r}f(u)du+\int_{x-r}^xf(v)dv$.
\dques2
Montrer que l'on peut choisir $r>0$ de fa\c{c}on \`a rendre strictement positive
la constante $\int_0^rf(y)dy$.
\rc
{\it Dans la suite de ce {\bf2.}, on fixe un r\'eel $r>0$ qui v\'erifie :
$\int_0^rf(y)dy>0$.}
\sques b
En d\'eduire que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R$.
\sques c
Montrer alors que $f$ est en fait de classe $C^\infty$ sur $\R$.
\sques d
Prouver l'existence d'une constante $c>0$ telle que :
$$\forall x\in\R,\ c\,f'(x)=f(x+r)-f(x-r).$$
\ques3
En d\'eduire l'existence d'une constante r\'eelle $\lambda$ telle que :
$$\forall x\in\R,\ f''(x)=\lambda\,f(x).$$
\bigskip
\indent\indent{\bf B.}
Conclusion
\ques1
R\'esoudre sur $\R$ l'\'equation diff\'erentielle $y''=\mu\,y$, en s\'eparant les
cas : $\mu>0$, $\mu<0$ et $\mu=0$.
\ques2
En d\'eduire tous les \'el\'ements de ${\cal E}$ en exploitant le {\bf I.4.}c.
\ques3
Donner tous les \'el\'ements de ${\cal F}$.
\part{PARTIE III}
On se propose d'\'etudier l'ensemble ${\cal F}$ par une m\'ethode diff\'erente.
\rc\noindent
{\it On pourra utiliser librement le r\'esultat suivant :}
\rc\indent\indent
{\it Si $a$ est un \'el\'ement fix\'e de $\R_+^*$ et si
$D_a=\left\{a{p\over2^q}\mid p\in\Z,q\in\N\right\}$,
\rc\indent\indent
tout r\'eel est limite d'une suite d'\'el\'ements de $D_a$.}
\rrc\noindent
Soit $f$ un \'el\'ement de ${\cal F}$. On pose $E=\left\{x>0\mid f(x)=0\right\}$.
\medskip
\indent\indent{\bf A.}
\ques1
Montrer que $f(0)=1$, et que $f$ s'annule au moins une fois sur $\R_+^*$.
\ques2
Montrer que $E$ admet une borne inf\'erieure que l'on note $a$.
\ques3
Prouver que $f(a)=0$ (on pourra raisonner par l'absurde). En d\'eduire que :
$a>0$.
\ques4
Montrer que : $\forall x\in\left[0,a\right[,\ f(x)>0$.
\medskip
\indent\indent{\bf B.}
On pose $\omega={\pi\over2a}$, et on note $g$ la fonction de $\R$ dans
$\R$ : $x\mapsto\cos(\omega\,x)$.
\dques1
Soit $q\in\N$ ; montrer que
$f\left(a\over2^q\right)+1=2\left[f\left(a\over2^{q+1}\right)\right]^2$.
\sques b
En d\'eduire, en raisonnant par r\'ecurrence sur $q$, que :
$$\forall q\in\N,\ f\left(a\over2^q\right)=g\left(a\over2^q\right).$$
\rc\noindent
{\it On d\'emontrerait de m\^eme le r\'esultat suivant que le candidat pourra
utiliser librement : }
\smallskip\indent\indent\indent
{\it si $q\in\N$ est fix\'e : $\forall p\in\N,\ f\left(p{a\over2^q}\right)=
g\left(p{a\over2^q}\right)$.}
\ques2
Prouver que : $\forall x\in D_a,\ f(x)=g(x)$.
\ques3
En d\'eduire que $f=g$.
\medskip
\indent\indent{\bf C.}
En d\'eduire tous les \'el\'ements de ${\cal F}$.
\bigskip
\medskip
\centerline{\twelvebf PROBL\`EME D'ALG\`EBRE}
\bigskip\noindent
{\bf Notations et objectifs} :
\marge{\square}
Soit $n$ un entier, $n\ge2$ ; on note $E={\cal M}_n(\R)$ la $\R$-alg\`ebre des
matrices carr\'ees d'ordre $n$ \`a coefficients r\'eels, et $E^*={\cal L}(E,\R)$
la $\R$ alg\`ebre des formes lin\'eaires sur $E$.
\marge{}
On rappelle que : $\dim(E)=\dim(E^*)$.
\marge{}
Les \'el\'ements de $E$ sont not\'es $M=(m_{i\,j})$, la matrice \'el\'ementaire
$E_{i\,j}$ est la matrice de $E$ dont les coefficients sont tous nuls
\`a l'exception de celui qui se trouve sur la $i$-\`eme ligne et sur la
$j$-\`eme colonne, qui vaut $1$.
\marge{}
Lorsque $A$ et $B$ sont des \'el\'ements de $E$, on note $A\mdot B$ leur produit.
\marge{}
Si $M\in E$, on note ${\rm vect}(M)$ le sous-espace vectoriel engendr\'e par $M$
\rc
\marge{\square}
L'objectif du probl\`eme est de montrer que chaque hyperplan vectoriel de $E$
poss\`ede au moins une matrice inversible.
\rc
\marge{\square}
Si $M=(m_{i\,j})\in E$, on note $T(M)$ le r\'eel $\sum_{k=1}^nm_{k\,k}$.
\marge{}
On d\'efinit ainsi une application $T$ de $E$ vers $\R$ : $M\mapsto T(M)$.
\marge{}
A chaque matrice $U$ de $E$, on associe :
\dmarge{$\bullet$}
L'application $T_U$ de $E$ vers $\R$ : $M\mapsto T_U(M)=T(U\mdot M)$.
\dmarge{$\bullet$}
L'ensemble $H_U=\bigl\{M\in E\mid T(U\mdot M)=0\bigr\}$.
\part{PARTIE I : G\'en\'eralit\'es, exemples}
\ques1
Quelques propri\'et\'es.
\sques a
Montrer que $T$ est une application lin\'eaire.
\sques b
Pour $U\in E$, prouver que l'application $T_U$ est dans $E^*$.
\sques c
Soit $U\in E$ ; reconna\^{\i}tre $\Ker T_U$, et montrer que $H_U$ est un
sous-espace vectoriel de $E$.
\ques2
{\it Dans cette question seulement,}
on prend $n=2$, et on pose
$U=\pmatrix{1&1\cr 1&1\cr}$.
\sques a
Ecrire les quatre matrices \'el\'ementaires $E_{i\,j}$ ; que peut-on dire de 
la famille $(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})$ de \break$E={\cal M}_2(\R)$ ?
\sques b
Montrer que $H_U$ est l'ensemble des matrices de $E$ dont la somme des
quatre coefficients vaut $0$.
\sques c
Trouver une matrice $M$ de $E$ telle que $T(U\mdot M)\ne0$, et en d\'eduire la
dimension de $\Ima T_U$ puis la dimension de $H_U$.
\sques d
Montrer que $H_U$ poss\`ede une matrice inversible.
\marge{}
{\it La partie {\bf III} propose une g\'en\'eralisation de ce r\'esultat.}
\part{PARTIE II : Quelques r\'esultats utiles pour la suite}
\ques1
Soit $A=(a_{i\,j})$ et $B=(b_{i\,j})$ des \'el\'ements de $E$.
\sques a
Montrer que $T(A\mdot B)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{j\,i}b_{i\,j}$.
\sques b
En d\'eduire les identit\'es suivantes :
$$\eqalign{
(I_1)\quad&T({}^t\!A\mdot B)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{j\,i}b_{i\,j}.\cr
(I_2)\quad&T(B\mdot A)=T(A\mdot B)\cr}$$
\ques2
Soit $U$ dans $E$.
\sques a
Si $U$ est la matrice nulle, d\'eterminer $\dim H_U$.
\sques b
Si $U$ n'est pas la matrice nulle, montrer que l'on peut trouver un couple
d'entiers $(i_0,j_0)$ tel que\break
$T_U(E_{i_0j_0})\ne0$. En d\'eduire $\dim H_U$.
\ques3
Pour $(i,j)\in\bigl\{1,2,\dots,n\bigr\}^2$, on note $T_{i\,j}=T_{E_{j\,i}}$.
\sques a
Les indices $k$ et $l$ \'etant fix\'es, calculer $T_{i\,j}(E_{k\,l})$ en
utilisant $(I_1)$.
\sques b
En d\'eduire que les $n^2$ \'el\'ements $T_{i\,j}$ de $E^*$ permettent de d\'efinir
une base de $E^*$.
\ques4
Montrer que l'application $\varphi$ de $E$ vers $E^*$ : $U\mapsto\varphi(U)=T_U$
est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
\ques5
On consid\`ere un hyperplan vectoriel $H$ de $E$.
\sques a
Quelle est sa dimension ?
\sques b
Soit $A$ une matrice non nulle de $E$ qui n'appartient pas \`a $H$, montrer que :
$E=H\oplus{\rm vect}(A)$.
\sques c
Construire alors un \'el\'ement $l$ de $E^*$ tel que $H=\Ker l$.
\sques d
Prouver l'existence d'un \'el\'ement $U$ de $E$ tel que $H=H_U$.
\part{PARTIE III : Le r\'esultat g\'en\'eral}
Pour $1\le r\le n$, on note $R_r=\sum_{i=1}^rE_{i\,i}$.
\ques1
Soit $P=\pmatrix{
0&0&.&0&1\cr
1&.&.&.&0\cr
.&.&.&.&.\cr
0&.&.&.&0\cr
0&0&.&1&0\cr}$ c'est-\`a-dire $P=(p_{i\,j})$ avec
$\cases{
p_{i+1\,i}=1,& $1\le i\le n-1$\cr
p_{1\,n}=1&\cr
p_{i\,j}=0& ailleurs\cr}$.
\sques a
Montrer que $P$ est inversible.
\sques b
Prouver que $P$ appartient \`a l'hyperplan $H_{R_r}$.
\ques2
En d\'eduire que chaque hyperplan vectoriel $H$ de $E$ poss\`ede au moins une
matrice inversible. {\it Indication : lorsque $H=H_U$, avec $U$ de rang $r$,
on rappelle l'existence de matrices $S_1$ et $S_2$ inversibles telles que
$S_1\mdot U\mdot S_2=R_r$.}
\bye


