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% Centrale     Math 1 de l'an 2000
% Corrige de Luc Verschueren en LaTeX2e
% pour la bourse de l'UPS
% Remarques bienvenues au 78 Rue henri Revoil 30 000 Nimes
% ou Luc.Verschueren@wanadoo.fr
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\begin{document}


\section{Centrale \ \ MP \ Math 1 \ 2000\protect\bigskip}

{\large Partie I - La m\'{e}thode de Newton pour les polyn\^{o}mes r\'{e}els}%
\bigskip

$P$ \ est un \textbf{polyn\^{o}me} non constant donc $P\,^{\prime }$ n'est
pas identiquement nul : \ 

$\qquad \Omega =\left\{ x\in \mathbb{R}\text{ }\mid \text{ }P\,^{\prime
}(x)\neq 0\right\} $ \ est un ouvert de $\mathbb{R}$, succession finie
d'intervalles ouverts.

\noindent \textbf{I.A -} \ L'\'{e}quation de la tangente en $(x,P(x))$ au
graphe de $P$ \ est \ : \ $Y=P(x)+P\,^{\prime }(x).\left[ X-x\right] $

Pour \ $x\in \Omega $ , elle coupe l'axe des $x$ au point d'abscisse $X$ \
telle que : $P(x)+P\,^{\prime }(x).\left[ X-x\right] =0$

\qquad d'o\`{u} : \ \ $\forall x\in \Omega $ , \ $N_{P}(x)=x-\dfrac{P(x)}{%
P\,^{\prime }(x)}$

\noindent \textbf{I.B.1)} - $N_{P}$ \ fraction rationnelle, est de classe \ $%
C^{\infty }$ \ sur $\Omega $, et \ $N_{P}^{\,\prime }(x)=\dfrac{P\,^{\prime
\prime }(x)P(x)}{\left[ P\,^{\prime }(x)\right] ^{2}}$ \ sur $\Omega $

\noindent \textbf{I.B.2)} - Si \ $P(a)=0$ et $\ P\,^{\prime }(a)\neq 0$ , $a$
est un z\'{e}ro simple de $P,$ et on a : $\left\{ 
\begin{tabular}{l}
$N_{P}(a)=a$ \\ 
$N_{P}^{\,\prime }(a)=0$%
\end{tabular}
\right. $ \ 

$\qquad \qquad $\fbox{\ $\ a$ \ est un point fixe super attractif de $N_{P}$.%
}

Si $a$ est un z\'{e}ro d'ordre \ $p\geq 2$ \ de $P$, on peut factoriser
: \ $P(x)=\left[ x-a\right] ^{\,p}.Q(x)$ \ avec \ $Q\in \mathbb{R}\left[ X%
\right] $ \ et \ $Q(a)\neq 0$

\qquad ainsi : $\left\{ 
\begin{tabular}{l}
$P\,^{\prime }(x)=p\left[ x-a\right] ^{\,p-1}.Q(x)+\left[ x-a\right]
^{\,p}.Q\,^{\prime }(x)$ \\ 
$P\,^{\prime \prime }(x)=p(p-1)\left[ x-a\right] ^{\,p-2}.Q(x)+2p\left[ x-a%
\right] ^{\,p-1}.Q\,^{\prime }(x)+\left[ x-a\right] ^{\,p}.Q\,^{\prime
\prime }(x)$%
\end{tabular}
\right. $

\qquad d'o\`{u} : $\forall x\in \Omega $ , \ $N_{P}(x)=x-\dfrac{\left[ x-a%
\right] .Q(x)}{p.Q(x)+\left[ x-a\right] .Q\,^{\prime }(x)}$

$\qquad \qquad \qquad $et$\ \ N_{P}^{\,\prime }(x)=\dfrac{\left[
p(p-1).Q(x)+2p\left[ x-a\right] .Q\,^{\prime }(x)+\left[ x-a\right]
^{\,2}.Q\,^{\prime \prime }(x)\right] .\left( x-a\right) .Q(x)}{\left[
p.Q(x)+\left[ x-a\right] .Q\,^{\prime }(x)\right] ^{2}}$

Les deux fonctions ont une limite finies : $\left\{ 
\begin{tabular}{l}
$\lim\limits_{x\rightarrow a}N_{P}(x)=a$ \\ 
$\lim\limits_{x\rightarrow a}N_{P}^{\,\prime }(x)=\dfrac{p-1}{p}=1-\dfrac{1}{%
p}$%
\end{tabular}
\right. $ , $N_{P}$ \'{e}tant $C^{\infty }$ au voisinage de $a.$

$N_{P}$ est prolongeable par continuit\'{e} en $a,$ son prolongement par
continuit\'{e} est d\'{e}rivable en $a$, et m\^{e}me $C^{1}$ \ en $a.$

\qquad On le note encore $N_{P}$ :\ $N_{P}^{\,\prime }(a)=1-\dfrac{1}{p}$ \ 
\fbox{\ $\ a$ \ est un point fixe attractif de $N_{P}$ de multiplicateur \ $%
1-\dfrac{1}{p}$}

\noindent \textbf{I.C -} \ On a \ $\forall n\in \mathbb{N}\,\ ,\,\ \
x_{n}\in \Omega $ \ et \ $\ x_{n+1}=N_{P}(x_{n})$ \ \ Ainsi : $\forall n\in 
\mathbb{N}$ $\ \ \ P(x_{n})=P\,^{\prime }(x_{n}).\,[x_{n}-x_{n+1}]$

Si la suite est bien d\'{e}finie et tend vers $a$, en passant \`{a} la
limite, par continuit\'{e} de $P$ et $P\,^{\prime }$ \ $P(a)=0$

\noindent \textbf{I.D.1) -} Si on note encore $p$ l'ordre de $a$ comme
z\'{e}ro de $P$ : $N_{P}$ est $C^{1}$ au voisinage de $a$ et \ $%
N_{P}^{\,\prime }(a)=1-\dfrac{1}{p}$

Donc : \ $\exists \varepsilon >0\,\ ,\,\ \ \forall c\in \left[
\,a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right] \,\ \ \ \left| N_{P}^{\,\prime
}(c)\right| \leq 1-\dfrac{1}{2.p}<1$

$N_{P}$ \ est ainsi \textbf{strictement contractante} sur un \textbf{ferm%
\'{e}} de $\mathbb{R}$ complet, par le th\'{e}or\`{e}me du point fixe :

\qquad toutes les suites r\'{e}currentes pour $\ x_{0}=y\in \left[
\,a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right] $ convergent vers $a$ l'unique point
fixe de $N_{P}$

\qquad dans ce ferm\'{e}.

\noindent \textbf{I.D.2) -} L'ensemble form\'{e} des points dont la suite de
Newton par $P$ converge vers $a$ contient $\,\left[ a-\varepsilon
,a+\varepsilon \right] .$

D\'{e}finissons : $N^{\,+}(a)=\left\{ \,x\geq a\,\,\,/\,\,\,\ \forall
y\in \left[ a,x\right] \text{ ,\ \ la suite de Newton de }y\text{ par }P%
\text{ converge vers }a\right\} $

\qquad $N^{\,+}(a)$ est un \textbf{intervalle} contenant $a$. Soit \ $\beta
=\sup \left( N^{\,+}(a)\right) $

Si l'ensemble $N^{\,+}(a)$  est \textbf{born\'{e}}, $\beta \in \mathbb{R}$ \
et \ $\beta \geq a+\varepsilon $ \ 

\qquad \textbf{Supposons}  $\beta \in N^{\,+}(a),$ la suite de Newton de $%
\beta $ converge vers $a$ et il existe \ $n_{0}\in \mathbb{N}$ 

\qquad tel que $\ \beta _{n_{0}}=\left( N_{P}\right) ^{n_{0}}(\beta )\in %
\left] \,a-\dfrac{\varepsilon }{2},a+\dfrac{\varepsilon }{2}\right[ $, mais
alors $\left( N_{P}\right) ^{n_{0}}$ est continue au voisinage de $\beta $

\qquad et donc pour $y$ assez proche de $\beta $, et sup\'{e}rieur \`{a} $%
\beta ,$ $y_{n_{0}}=\left( N_{P}\right) ^{n_{0}}(y)\in \left]
\,a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right[ $

\qquad la suite converge donc ensuite vers $a$ , et il existerait des \'{e}l%
\'{e}ments de $N^{\,+}(a)$ strictement sup\'{e}rieur \`{a} $\beta $

Absurde : $N^{\,+}(a)=\left[ a,\beta \right[ $ \ \ \ Si \ $N^{\,+}(a)$ 
\textbf{n'est pas born\'{e} }\ alors : $N^{\,+}(a)=\left[ a,\infty \right[ $

De m\^{e}me \`{a} gauche de $a$ : 

\qquad \qquad \frame{\  le \textbf{bassin imm\'{e}diat} $I(a)=N^{\,-}(a)\cup
N^{\,+}(a)$ \ de $a$ est un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ }

\noindent \textbf{I.E.1) -} $P\,^{\prime \prime }$ ne s'annulle pas sur $%
\left] -\,\infty ,\xi \right[ $ , \textbf{supposons} \fbox{\ $P\,^{\prime
\prime }>0$ \ sur $\left] -\,\infty ,\xi \right[ $} \ \ 

\qquad alors \ $P\,^{\prime }$ \ croit strictement vers $0$ \ sur $\left]
-\,\infty ,\xi \right[ $ \ donc \ \fbox{\ $P\,^{\prime }<0$ \ sur $\left]
-\,\infty ,\xi \right[ $} \ \ \ et \ $P$ \ d\'{e}croit strictement \ de \ $%
+\,\infty $ \ 

\qquad jusqu'\`{a} \ $P(\xi )$ \ en passant par $P(a^{-})=0$ \ \ \fbox{\ $%
P\,>0$ \ sur $\left] -\,\infty ,a^{-}\right[ $} \ \ et \ \fbox{\ $P\,<0$ \ \
sur $\left] a^{-},\xi \right[ $}

Pour tout $\ x\in \left] -\,\infty ,\xi \right[ $ \ par Taylor-Lagrange, il
existe $c\in \left] a^{-},x\right[ $ \ tel que :

$\qquad \qquad P(a)=P(x)+\left[ a-x\right] P\,^{\prime }(x)+\dfrac{1}{2}%
\left[ a-x\right] ^{2}P\,^{\prime \prime }(c)$

$\qquad N_{P}(x)-a=x-a-\dfrac{P(x)}{P\,^{\prime }(x)}=\dfrac{P\,^{\prime }(x)%
\left[ x-a\right] -P(x)+P(a)}{P\,^{\prime }(x)}=\dfrac{P\,^{\prime \prime
}(c)\left[ x-a\right] ^{2}}{2.P\,^{\prime }(x)}<0$

Quelque soit le point de d\'{e}part \ $x_{0}\in \left] -\,\infty ,\xi \right[
$ ,\ le premier terme \ $x_{1}$ est dans $\left] -\,\infty ,a^{-}\right[ $,

\qquad et \fbox{\ les autres termes de la suite resteront major\'{e}s par \ $%
a^{-}$, la suite est bien d\'{e}finie.}

De plus $\forall x\in \left] -\,\infty ,a^{-}\right[ $ \ $\ \ N_{P}(x)=x-%
\dfrac{P(x)}{P\,^{\prime }(x)}>x$ \ et \ la suite est donc croissante \`{a}
partir de $x_{1}$.

Par croissance major\'{e}e, \ $\forall x_{0}\in \left] -\,\infty ,\xi \right[
$ \ \ \ l\fbox{a suite converge vers une limite \ $\ell $\ }\ et on a $\
\ell \leq a^{-}$

\qquad et o\`{u} par continuit\'{e} : $N_{P}(\ell )=\ell $ . Avec \ I.C \ : $%
P(\ell )=0$ \ donc \ : \fbox{\ $\ell =a^{-}$}

Le bassin imm\'{e}diat de \ $a^{-}$ \ contient donc $\left] -\,\infty ,\xi %
\right[ $ \ mais ne peut contenir \ $\xi $ \ o\`{u} la suite n'est pas
d\'{e}finie.

\qquad \qquad donc :\fbox{ \ le bassin imm\'{e}diat de \ $a^{-}$ \ \'{e}gale
donc $\ \left] -\,\infty ,\xi \right[ $ } \ 

Il en est de m\^{e}me dans le cas \ $P\,^{\prime \prime }<0$ \ sur $\left]
-\,\infty ,\xi \right[ $

\noindent \textbf{I.E.2)}\ Le bassin imm\'{e}diat de $a$ est \`{a}
extr\'{e}mit\'{e}s r\'{e}elles : $I(a)=\left] \,\alpha ,\beta \right[ $\par

$\bullet $ \ Avec I.D.2) :$\ I(a)=\left\{ \,x\,\,\,/\,\,\,\ \forall y\in %
\left[ a,x\right] \text{,\ \ la suite de Newton de }y\text{ par }P\text{
converge vers }a\right\} $\par

Supposons que $x\in I(a)$ et que $N_{P}(x)\notin I(a)$ alors il existe $z$
dans $\left[ a,N_{P}(x)\right] $ tel que la suite de Newton de $z$ par $P$
ne converge pas vers $a$. Mais $z\in \left[ N_{P}(a),N_{P}(x)\right] $, donc
par le th\'{e}or\`{e}me des valeurs interm\'{e}diaires, il existe $y\in %
\left[ a,x\right] $ tel que $z=N_{P}(y)$. La suite de Newton de $y$ suit
alors celle de $z$, elle ne converge pas vers $a$. Contradiction sur $x\in
I(a)$.\par
\qquad Donc : \fbox{$N_{P}(\left] \,\alpha ,\beta \right[ )\subset \left]
\,\alpha ,\beta \right[ $}\par

\textit{Note} : si $\ y=N_{P}(x)$ \ la suite de Newton de $y=x_{1}$ \ est
obtenue par simple d\'{e}calage \`{a} partir de celle de $x$\par
\qquad $\forall n\in \mathbb{N\,}$,$\ \ y_{n}=x_{n+1}$ \ elle est donc
d\'{e}finie et convergente vers la m\^{e}me limite $a$.

$\bullet $ \ Si \ $P(\alpha )=0$ \ puisque \ $P(a)=0$ \ avec le
th\'{e}or\`{e}me de Rolle : \ $\exists \xi \in \left] \,\alpha ,a\right[
\subset \left] \,\alpha ,\beta \right[ $ tel que \ $P\,^{\prime }(\xi )=0$

\qquad La suite de Newton de $\xi $ n'est alors pas d\'{e}finie et cela
contredit la d\'{e}finition du bassin imm\'{e}diat.

\qquad De m\^{e}me si $\ P(\beta )=0$

Si \ $P\,^{\prime }(\alpha )=0$ , puisque \ $P(\alpha )\neq 0$\ \ , par
continuit\'{e} de $P$ et $P\,^{\prime }$ \ quand $x\rightarrow \alpha ^{+}$
\ \ $\left| \,N_{P}(x)\right| \rightarrow \infty $ \ 

\qquad l'abscisse du point d'intersection de la tangente avec $Ox$ \ part
\`{a} l'infini et donc $\ N_{P}(x)\notin \left] \,\alpha ,\beta \right[ $

\qquad De m\^{e}me si $\ P\,^{\prime }(\beta )=0$ \ \ \ \fbox{ainsi \ $%
P(\alpha )P\,^{\prime }(\alpha )P(\beta )P\,^{\prime }(\beta )\neq 0$}

$\bullet $ \ Il n'y a aucun autre z\'{e}ro de $P$ que $a$ \ sur $\left[
\,\alpha ,\beta \right] $ \ ( toujours avec Rolle ) \ et \ $P\,^{\prime }$
ne s'annule pas sur $\left[ \,\alpha ,\beta \right] $,

\qquad sauf peut-\^{e}tre en $a$ ( z\'{e}ro d'ordre \ $p\geq 2$ ), par
continuit\'{e} elle reste non nulle sur un voisinage de $\alpha $,

\qquad et sur un voisinage de \ $\beta $ .

\qquad Il existe alors $\ \eta >0$ \ tel que \ $N_{P}$\ soit $C^{1}$ ( au
moins ) sur un intervalle \ $\left] \alpha -\eta ,\beta +\eta \right[ $

\qquad \qquad avec un seul probl\`{e}me \'{e}ventuel en $a.$ \ Donc : \fbox{$%
N_{P}(\alpha )\in \left[ \,\alpha ,\beta \right] $} \ par continuit\'{e}.

\qquad Mais si \ $N_{P}(\alpha )\in \left] \,\alpha ,\beta \right[ $ , la
suite de Newton de $N_{P}(\alpha )$ serait bien d\'{e}finie et convergerait
vers $a$

\qquad celle de $\alpha $ \ aussi ( simple d\'{e}callage ) donc \ $\alpha
\in \left] \,\alpha ,\beta \right[ $ \ absurde . D'o\`{u} \ \ $N_{P}(\alpha
)=\alpha $ \ ou \ $\beta $

\qquad $N_{P}(\alpha )=\alpha $ \ en un point \ $\alpha $ \ o\`{u} $%
P\,^{\prime }(\alpha )\neq 0$ \ \ entrainerait \ $P(\alpha )=0$ \ qu'on a
exclu. \ \fbox{$N_{P}(\alpha )=\beta $}

De m\^{e}me \ \fbox{$N_{P}(\beta )=\alpha $} \ Les extr\'{e}mit\'{e}s du
bassin imm\'{e}diat d'un z\'{e}ro de \ $P$ \ constituent un $2$-cycle.

$\bullet $ \ Si ce $2$-cycle \'{e}tait attractif : en notant \ $%
M_{P}=N_{P}\circ N_{P}$ \ on aurait \ $M_{P}(\alpha )=\alpha $ \ et \ $%
M_{P}^{\,\prime }(\alpha )<1$

\qquad $M_{P}$ \ \'{e}tant $C^{1}$ au voisinage de $\alpha $, elle resterait
strictement contractante sur un $\left[ \alpha -\varepsilon ,\alpha
+\varepsilon \right] $ o\`{u} \ $\varepsilon >0$

\qquad Pour \ $x\in \left] \alpha ,\alpha +\varepsilon \right] $ \ la suite
extraite de la suite de Newton \ $\left( x_{2n}\right) _{n\in N}$
convergerait vers $\alpha $, ce qui contredit

\qquad la d\'{e}finition de \ $I(a)=\left] \,\alpha ,\beta \right[ $ \
puisque \ $x_{n}\rightarrow a$ . \fbox{\ Ce \ $2$-cycle ne peut \^{e}tre
attractif.}

\noindent \textbf{I.F -} \ On a : $\beta -\alpha =-\dfrac{P(\alpha )}{%
P\,^{\prime }(\alpha )}$ \ et \ $\alpha -\beta =-\dfrac{P(\beta )}{%
P\,^{\prime }(\beta )}$ \ avec $P(\alpha )P\,^{\prime }(\alpha )P(\beta
)P\,^{\prime }(\beta )\neq 0$

\qquad $\dfrac{P(\alpha )}{P\,^{\prime }(\alpha )}$ \ et \ $\dfrac{P(\beta )%
}{P\,^{\prime }(\beta )}$ \ sont de signes oppos\'{e}s, \fbox{$P(\alpha
)P\,^{\prime }(\alpha )P(\beta )P\,^{\prime }(\beta )<0$}

$N_{P}$\ est $C^{1}$ ( au moins ) sur un intervalle \ $\left] \alpha -\eta
,\beta +\eta \right[ $ \ et \ pour $x>\alpha $ \ \ $\dfrac{%
N_{P}(x)-N_{P}(\alpha )}{x-\alpha }=\dfrac{N_{P}(x)-\beta }{x-\alpha }<0$

\qquad par passage \`{a} la limite quand $x\rightarrow \alpha ^{+}$ \ on
assure : $N_{P}^{\,\prime }(\alpha )\leq 0.$ Mais \ $N_{P}^{\,\prime
}(\alpha )=0$ \ \ rendrait le $2$-cycle

$\qquad \left( \alpha ,\beta \right) $ super-attractif, ce qu'il n'est pas : 
\fbox{$\ N_{P}^{\,\prime }(\alpha )<0$} \ De m\^{e}me : $\dfrac{N_{P}(\beta
)-N_{P}(x)}{\beta -x}=\dfrac{\alpha -N_{P}(x)}{\beta -x}<0$

\qquad et \fbox{\ $N_{P}^{\,\prime }(\beta )<0$} \ D'o\`{u} : \fbox{$%
P(\alpha )P\,^{\prime \prime }(\alpha )P(\beta )P\,^{\prime \prime }(\beta
)>0$}

$\bullet $ \ \textbf{Premier cas} : si \ $P\,^{\prime }$ ne s'annulle pas
sur $\left[ \,\alpha ,\beta \right] $ \ ( elle ne pourrait s'annuller qu'en $%
\ a$ )

$\qquad P\,^{\prime }(\alpha )$ \ et $\ P\,^{\prime }(\beta )$ \ ont
m\^{e}me signe, $P\,^{\prime }(\alpha )P\,^{\prime }(\beta )>0$ \ d'o\`{u} \
\ $P(\alpha )P(\beta )<0$ \ et \ \fbox{\ $P\,^{\prime \prime }(\alpha
)P\,^{\prime \prime }(\beta )<0$}

\qquad il existe \fbox{\ $c\in \left] \alpha ,\beta \right[ $ \ o\`{u} \ $%
P\,^{\prime \prime }(c)=0$}

$\bullet $ \ \textbf{Second cas} : si \ $P\,^{\prime }$ s'annulle sur $\left[
\,\alpha ,\beta \right] $ elle ne s'annulle qu'en $\ a\,\ :$

$\qquad N_{P}^{\,\prime }(\alpha )<0$ \ alors que $N_{P}^{\,\prime }(a)=%
\dfrac{p-1}{p}>0$ \ il existe \fbox{\ $c\in \left] \alpha ,a\right[ $ \
o\`{u} \ $N_{P}^{\,\prime }(c)=0$ \ donc $P\,^{\prime \prime }(c)=0$}

I.G - \ $P$ admet $d=d%
%TCIMACRO{\UNICODE[m]{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
(P)$ racines r\'{e}elles distinctes ordonn\'{e}es : $\left( a_{k}\right)
_{1\leq k\leq d}$. Entre deux z\'{e}ros successifs de $P$ :

\qquad il existe un z\'{e}ro de $P\,^{\prime }$ qui admet donc $d-1$ racines
r\'{e}elles distinctes : $\left( \xi _{k}\right) _{1\leq k\leq
d-1} $ \ avec $\xi _{k}\in \left] a_{k},a_{k+1}\right[ $

\qquad de m\^{e}me \ $P\,^{\prime \prime }$ admet $d-2$ racines r\'{e}elles
distinctes : $\left( \zeta _{k}\right) _{1\leq k\leq d-2}$ \
o\`{u} \ \ $\zeta _{k}\in \left] \xi _{k},\xi _{k+1}\right[ $

Le bassin imm\'{e}diat de $a_{1}=a^{-}$ \ est $\left] -\infty ,\xi _{1}%
\right[ $ \ et ne contient pas de z\'{e}ros de $P\,^{\prime \prime }$, de
m\^{e}me celui de $a_{d}=a^{+}$

Pour \ $k\in \left\{ 1,\cdots ,d-2\right\} $ \ le bassin imm\'{e}diat de $%
a_{k+1}$ est de la forme $\left] \alpha _{k+1},\beta _{k+1}\right[ $ , ne
contient pas de racine de $P\,^{\prime }$

\qquad ( $P$ n'a pas de racines multiples ) mais contient une racine de $%
P\,^{\prime \prime }$ : \ \ $\zeta _{k}\in \left] \alpha _{k+1},\beta _{k+1}%
\right[ \subset \left] \xi _{k},\xi _{k+1}\right[ $

\qquad $\qquad \qquad \qquad $\fbox{$\ N_{P}$ \ attire tout z\'{e}ro $%
P\,^{\prime \prime }$ \ vers un z\'{e}ro de $P$}\bigskip

{\large Partie II - Etude alg\'{e}brique}\bigskip

\noindent \textbf{II.A -} \ Pour $d=1$ \ \ $N_{P}(X)=R(X)=-\dfrac{p_{1}}{%
p_{0}}$ \ pour \ $P(X)=p_{1}X+p_{0}$ \ et (*) n'est pas vraie : $d%
%TCIMACRO{\UNICODE[m]{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
(Q)=d-1$

On supposera donc \fbox{\ $d\geq 2$ }\ \ \ et \ $P(X)=p_{d}X^{\,d}+%
\cdots +p_{1}X+p_{0}$ \ 

\qquad ainsi le terme de plus haut degr\'{e} de \ $Q(X)=X\,P\,^{\prime
}(X)-P(X)$ \ vaut \ $(d-1)p_{d}X^{\,d}$ \ et \ $d%
%TCIMACRO{\UNICODE[m]{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
(Q)=d$

\qquad $S=P\,^{\prime }$ est de degr\'{e} \ $d%
%TCIMACRO{\UNICODE[m]{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
(S)=d-1$ \ 

$\qquad PGCD(Q,S)=PGCD(P,P\,^{\prime })=1$ \ puisque $P$ \ a \ $d$ racines
simples dans \ $\mathbb{C}$.

\qquad $R(z)=z$ \ et \ $R\,^{\prime }(z)=\dfrac{P(z)P\,^{\prime \prime }(z)}{%
\left[ P\,^{\prime }(z)\right] ^{2}}=0$ \ pour une racine de $P$ \ \ \ \fbox{%
\ $R$ \ v\'{e}rifie \ (*) }

\noindent \textbf{II.B -} \ Notons $\left( z_{k}\right) _{1\leq
k\leq d}$ \ les points fixes de $R$ \ et \ \ $P$ \ \ le polyn\^{o}me : 
\fbox{$P(X)=\prod\limits_{1\leq k\leq d}(X-z_{k})$}

La fraction rationnelle \ $R(X)-X=\dfrac{Q(X)-X.S(X)}{S(X)}$ \ s'annule sur
les $\left( z_{k}\right) _{1\leq k\leq d}$ \ distincts, son
num\'{e}rateur

\qquad aussi, et $d%
%TCIMACRO{\UNICODE[m]{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
(Q(X)-X.S(X))\leq d$ \ donc il existe \ $\lambda \in \mathbb{C}$ \ tel
que \fbox{$\ Q(X)-X.S(X)=\lambda .P(X)$}

\qquad et \fbox{\ $\lambda \neq 0$ }\ car sinon \ $PGCD(Q,S)=S$

Alors : $R(X)=X+\dfrac{\lambda .P(X)}{S(X)}$ \ et \ $R\,^{\prime
}(X)=1+\lambda .\dfrac{P\,^{\prime }(X)S(X)-S\,^{\prime }(X)P(X)}{\left[ S(X)%
\right] ^{2}}$ \ est nul sur les $\left( z_{k}\right) _{1\leq
k\leq d}$ \ 

\qquad $\lambda .\left[ P\,^{\prime }(X)S(X)-S\,^{\prime }(X)P(X)\right] +%
\left[ S(X)\right] ^{2}$est nul sur les $\left( z_{k}\right) _{1\leq
k\leq d}$ distincts, et dans \ $\mathbb{C}_{2d-2}\left[ X\right] $

\qquad C'est donc un multiple de $P(X)$, avec un quotient $U(X)$ dans \ $%
\mathbb{C}_{d-2}\left[ X\right] $

\qquad ainsi \ avec $Q-X.S=\lambda .P$ \ \ \ \ $\lambda .\left[ \lambda
.P\,^{\prime }S-S\,^{\prime }\left( Q-X.S\right) \right] +\lambda .S^{2}=U.%
\left[ Q-X.S\right] $

\qquad d'o\`{u} : $\left[ \lambda .S+\lambda ^{2}.P\,^{\prime }+\lambda
.X.S\,^{\prime }+X.U\right] S=\left[ U+\lambda .S\,^{\prime }\right] Q$ \ \
\ 

\qquad mais \ $PGCD(Q,S)=1$ \ donc \ $S$ de degr\'{e} $d-1$ divise $\left[
U+\lambda .S\,^{\prime }\right] $ \ de $\mathbb{C}_{d-2}\left[ X\right] $

\qquad \qquad d'o\`{u} : $U+\lambda .S\,^{\prime }=0$ \ et \ $\lambda
.S+\lambda ^{2}.P\,^{\prime }=0$ \ d'o\`{u} \ \fbox{\ $S=-\lambda
.P\,^{\prime }$}

Ainsi : \ \fbox{$R(X)=X+\dfrac{P(X)}{P\,^{\prime }(X)}$ \ \ pour \ $%
P(X)=\prod\limits_{1\leq k\leq d}(X-z_{k})$}

\noindent \textbf{II.C -} \ $a\neq 0$ \ la fonction r\'{e}ciproque de $T$ \
est d\'{e}finie sur \ C \ par \ $T^{\,-\,1}(z)=\dfrac{1}{a}\,z-\dfrac{b}{a}$\ c'est aussi une similitude.

Remarque : la relation de similitude est une \textbf{relation
d'\'{e}quivalence} ( r\'{e}flexive, sym\'{e}trique et transitive )\medskip

Notons : $\mathcal{D}=\left\{ z\in \mathbb{C}\text{ }\mid \text{ }%
P\,^{\prime }(z)\neq 0\right\} $ \ c'est le domaine de d\'{e}finition de \ $%
N_{P}$ ( aux p\^{o}les multiples pr\`{e}s )

Le polyn\^{o}me \ $P\circ T$ \ est d\'{e}finie par \ $P\circ T\,(X)=P(a.X+b)$
\ et donc \ $\left( P\circ T\right) \,^{\prime }(X)=a.P\,^{\prime }(a.X+b)$

\qquad ainsi \ sur \ $\mathcal{D}\,^{\prime }=T^{\,-\,1}(\mathcal{D})$ \ 

$\qquad T\circ N_{P\,\circ T}(z)=a.\left[ z-\dfrac{P(a.z+b)}{a.P\,^{\prime
}(a.z+b)}\right] +b=\left( a.z+b\right) -\dfrac{P(a.z+b)}{P\,^{\prime
}(a.z+b)}=N_{P}(a.z+b)$

\qquad donc : $\ $\fbox{$\ T\circ N_{P\,\circ T}=N_{P\,}\circ T$ \ \ \
ainsi\ \ \ $N_{P\,\circ T}$ \ et \ $N_{P}$ \ sont semblables}

\noindent \textbf{II.D -} \ Remarquons que \fbox{\ $\forall \lambda \neq
0\,\ \ \ N_{\lambda .P}=N_{P}$}

$\bullet $ \ \ \ \ \ Pour \ $Q_{1}(X)=X^{2}$ \ \ on a : \ $N_{Q_{1}}(X)=%
\dfrac{X}{2}$ \ \ \ \ \ 

\qquad Pour \ $Q_{2}(X)=X^{2}-1=(X-1)(X+1)$ \ \ on a : \ $N_{Q_{2}}(X)=%
\dfrac{X}{2}+\dfrac{1}{2X}$

$\bullet $ \ Si $\ P$ \ est un polyn\^{o}me de degr\'{e} $2,$ $P(X)=\alpha
.X^{\,2}+\beta .X+\gamma $ \ \ \ o\`{u} $\alpha \neq 0$

\qquad il admet dans $\mathbb{C}$ $\left\{ 
\begin{tabular}{l}
premier cas : une racine double $z_{1}$ \ \ \ \ $P(X)=\alpha .(X-z_{1})^{2}$\\ 
second cas : deux racines distinctes \ $z_{1}$ et $z_{2}$ \ \ \ \ $%
P(X)=\alpha .(X-z_{1})(X-z_{2})$%
\end{tabular}
\right. $

\textbf{Dans le premier cas} : \ $T(z)=z+z_{1}$ est une similitude, et $%
P\circ T\,(X)=\alpha .Q_{1}(X)$

\qquad \fbox{$N_{P}$ \ est semblable \`{a} $\ N_{P\,\circ T}=N_{\alpha
.Q_{1}}=N_{Q_{1}}$} \ associ\'{e}e \`{a} la fraction rationnelle : $\dfrac{X%
}{2}$

\textbf{Dans le second cas} : \ on cherche \ $T$ \ qui envoie le couple $%
(1,-1)$ \ sur \ $(z_{1},z_{2})$ \ soit $\left\{ \begin{tabular}{l}
$a+b=z_{1}$ \\ 
$-a+b=z_{2}$%
\end{tabular}
\right. $

\qquad Si l'on prend : \fbox{$\ a=\dfrac{1}{2}\left[ z_{1}-z_{2}\right] $ \
et \ $b=\dfrac{1}{2}\left[ z_{1}+z_{2}\right] $ \ et \ $T(X)=a.X+b$}

\qquad alors : $P\circ T\,(X)\in \mathbb{C}_{2}\left[ X\right] $ , \ $P\circ
T\,(1)=P(z_{1})=0$ \ $P\circ T\,(-1)=P(z_{2})=0$

\qquad et son coefficient dominant vaut \ $\alpha .a^{2}\neq 0$ \ d'o\`{u} :
\ \fbox{$P\circ T\,(X)=\alpha .a^{2}.Q_{2}(X)$}

\qquad \fbox{$N_{P}$ \ est semblable \`{a} $\ N_{P\,\circ T}=N_{\alpha
.a^{2}.Q_{2}}=N_{Q_{2}}$} \ associ\'{e}e \`{a} la fraction rationnelle : $%
\dfrac{X}{2}+\dfrac{1}{2.X}\medskip $

\noindent \textbf{II.E -} \ Posons : \ $P(X)=\alpha .X^{\,3}+\beta
.X^{2}+\gamma .X+\delta $ \ \ \ o\`{u} $\alpha \neq 0$

\textbf{Premier cas} : \ $P$ admet une racine triple \ $z_{1}$ \ \ \ \ $%
P(X)=\alpha .(X-z_{1})^{3}$ \ 

$\qquad T(z)=z+z_{1}$ est une similitude, et $P\circ T\,(X)=\alpha X^{3}$

\qquad \fbox{$N_{P}$ \ est semblable \`{a} $\ N_{P\,\circ T}=N_{\alpha
.X^{3}}=N_{X^{3}}$\ associ\'{e}e \`{a} la fraction rationnelle : $\dfrac{2.X%
}{3}$}

\textbf{Deuxi\`{e}me cas} : \ $P$ admet une racine double \ $z_{1}$ et une
simple $z_{2}$ \ \ \ \ $P(X)=\alpha .(X-z_{1})^{2}(X-z_{2})$

\qquad On peut choisir \fbox{$\ a=\dfrac{1}{3}\left[ z_{1}-z_{2}\right] $ \
et \ $b=\dfrac{1}{3}\left[ 2.z_{1}+z_{2}\right] $ \ et \ $T(X)=a.X+b$} \
alors \ $T(1)=z_{1}$ \ 
\qquad et \ $T(-2)=z_{2}$ \ \ d'o\`{u} : \ $P\circ T\,(1)=0$ \ \ \ $P\circ
T\,(-2)=0$ \ \ \ et \ $\ \left( P\circ T\,\right) ^{\prime
}(1)=a.P\,^{\prime }(z_{1})=0$

\qquad d'o\`{u} : \ \fbox{$P\circ T\,(X)=\alpha .a^{3}.P_{-\,2}(X)=\alpha
.a^{3}.(X-1)^{2}(X+2)=\alpha .a^{3}.\left[ X^{\,3}-3.X+2\right] $}

\qquad \fbox{$N_{P}$ \ est semblable \`{a} $\ N_{P\,\circ T}=N_{\alpha
.a^{2}.P_{-2}}=N_{-\,2}$} \ \'{e}gale \`{a} $\ \dfrac{2.(X^{\,3}-1)}{%
3(X^{\,2}-1)}=\dfrac{2}{3}\left[ \dfrac{X^{\,2}+X+1}{X+1}\right]$
\textbf{Troisi\`{e}me cas} : $P$ admet trois racines simples :\ $z_{1}$, $%
z_{2}$ \ et \ $z_{3}$ \ 

Il n'y a pas de similitude appliquant les racines $\left(
1,u_{2},u_{3}\right) $ de $P_{m}$ \ sur les racines $\left(
z_{1},z_{2},z_{3}\right) $ \ de $P$

\qquad une similitude conserve les angles, et ces deux triangles n'ont pas,
a priori, les m\^{e}mes angles.

Cherchons brutalement s'il existe $\left( a,b,m,\lambda \right) \in \mathbb{C%
}^{4}$ \ tels que \ \ $P_{m}\circ T=\lambda .P$ \ \ \ ( $a\neq 0$ et $%
\lambda \neq 0$ )

\qquad $a^{3}X^{\,3}+3a^{2}b.X^{2}+\left[ 3ab^{2}+a(m-1)\right] .X+\left[
b^{3}+b(m-1)-m\right] =\lambda \left[ \alpha .X^{\,3}+\beta .X^{2}+\gamma
.X+\delta \right] $

\qquad d'o\`{u} : $\lambda =\dfrac{a^{3}}{\alpha }$ \ , \ $b=\dfrac{a\beta }{%
3\alpha }$ , \ $m=1+a^{2}\left[ \dfrac{3\alpha \gamma -\beta ^{2}}{3\alpha
^{2}}\right] $ \ avec les trois premi\`{e}res relations

\qquad dans la $4^{i\grave{e}me}\,\,$ $a$ doit v\'{e}rifier : $a^{3}\left[
27\alpha ^{2}\delta +2\beta ^{3}-9\alpha \beta \gamma \right] +9a^{2}\alpha %
\left[ 3\alpha \gamma -\beta ^{2}\right] +27\alpha ^{3}=0$

\qquad \qquad ce qui est possible car $\ \left[ 27\alpha ^{2}\delta +2\beta
^{3}-9\alpha \beta \gamma \right] $ \ et $\ \ \alpha \left[ 3\alpha \gamma
-\beta ^{2}\right] $ \ ne sont pas simultann\'{e}ment nuls

\qquad \qquad\ puisque l'unique racine de $P\,^{\prime \prime }$ qui vaut $%
\zeta =-\dfrac{\beta }{3\alpha }$ \ n'est pas racine de $P$ \ et $%
P\,^{\prime }$ simultann\'{e}ment.

On peut donc trouver \ $\left( a,b,m,\lambda \right) $ convenables \ ( $%
a\neq 0$ et $\lambda \neq 0$ ) \ et \fbox{\ $N_{P}$ \ est semblable \`{a} \ $%
N_{m}$}

\noindent \textbf{II.F -} \ Les suites r\'{e}currentes d\'{e}finies par $%
\left\{ 
\begin{tabular}{l}
$x_{0}=z\in \mathbb{C}$ \ \ \ donn\'{e} et \\ 
$\forall n\in \mathbb{N}$ $\ \ \ x_{n+1}=R(x_{n})$%
\end{tabular}
\right. $ de deux fractions rationnelles

\qquad $R$ \ et \ $S$ \ semblables, se correspondent par similitude :

\qquad \qquad si $\ \ \ \forall n\in \mathbb{N}\ \ \ y_{n}=T^{\,-\,1}(x_{n})$
\ \ \ \ alors $\ \ \ \ \ \ \forall n\in \mathbb{N}$ \ \ $y_{n+1}=T^{\,-\,1}%
\circ R\circ T\,(y_{n})=S(y_{n})$

Donc leur comportement dynamique : convergence, cycles, attractivit\'{e}
etc... \ se conservent.

Pour \'{e}tudier \textbf{tous les comportements dynamiques} des suites de
Newton des polyn\^{o}mes de $\mathbb{C}_{3}\left[ X\right] ,$

\qquad il suffit d'\'{e}tudier ceux des suites r\'{e}currentes associ\'{e}es
aux fonctions :

\qquad \fbox{$\ z\longmapsto \dfrac{z}{2}$ ,\ \ $z\longmapsto \dfrac{z}{2}+%
\dfrac{1}{2z}$ \ ,\ $z\longmapsto \dfrac{2z}{3}$ \ et pour \ $m\in C$ \ \ $%
z\longmapsto \dfrac{2\,z^{3}+m}{3\,z^{2}+m-1}$}\bigskip

{\large Partie III - Etude analytique du cas cubique r\'{e}el}\bigskip

\noindent \textbf{III.A.1) -} \ $z_{1}=1$ est racine apparente de $%
P_{m}(X)=(X-1)(X^{2}+X+m)$ qui aura donc trois racines

\qquad complexes distinctes, si et seulement si

\qquad ( $1$ n'est pas racine de $(X^{2}+X+m)$ ) et ( $(X^{2}+X+m)$\ n'a pas
de racine double \ )

\qquad si et seulement si \ \fbox{\ $\left( \text{ }m\neq -2\right) $ \ et $%
\ \left( m\neq \dfrac{1}{4}\right) $} \ 

\noindent \textbf{III.A.2)} - \ Pour \ $m>1$ \ la d\'{e}riv\'{e}e \ $%
P\,_{m}^{\prime }(x)=3.\,x^{2}+m-1$ \ reste strictement positive sur \ $%
\mathbb{R}$.

$P_{m}$ \ est donc \textbf{strictement croissante} sur $\mathbb{R}$ et ne
s'annule qu'une fois en \ $x=1.$ \ \ ( $1-4m<0$ )

$N_{m}$ est donc $C^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$ et \ $N_{m}^{\,\prime }(x)=%
\dfrac{P\,_{m}^{\prime \prime }(x)P_{m}(x)}{\left[ P\,_{m}^{\prime }(x)%
\right] ^{2}}=\dfrac{6\,x\,(x-1)(x^{2}+x+m)}{\left[ 3.\,x^{2}+m-1\right] ^{2}%
}$ \ du signe de $x(x-1)$

\begin{tabular}[t]{l}
D'o\`{u} le tableau de variations de $N_{m}^{\,}$ \ : \\ 
De plus \ $N_{m}^{\,}(x)-x=\dfrac{(1-x)(x^{2}+x+m)}{3.\,x^{2}+m-1}$ \\ 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ est du signe de $(1-x)$ \\ 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ et ne s'annule qu'en \ $x=1$%
\end{tabular}
\ \ \ 
\begin{tabular}[t]{|c|ccccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty $ &  & $0$ &  & $1$ &  & $\infty $ \\ \hline
$N_{m}^{\,\prime }(x)$ &  & $+$ & $0$ & $-$ & $0$ & $+$ &  \\ \hline
&  &  & $\dfrac{m}{m-1}$ &  &  &  & $\infty $ \\ 
$N_{m}^{\,}(x)$ &  & $\nearrow $ &  & $\searrow $ &  & $\nearrow $ &  \\ 
& $-\infty $ &  &  &  & $1$ &  &  \\ \hline
\end{tabular}

\qquad \fbox{$\ell =1$} est \textbf{la seule limite \'{e}ventuelle possible}
des suites de Newton de $P_{m}$ \ ( $N_{m}$ continue sur $\mathbb{R}$ )

L'intervalle \ $\left[ 1,\infty \right[ $ \ est \textbf{stable} :

\qquad si \ $x_{n_{0}}\in \left[ 1,\infty \right[ $ \ \ la suite \ $\left(
x_{n}\right) _{n\,\geq \,n_{0}}$ \ est alors d\'{e}croissante $\ (\
x_{n+1}-x_{n}=N_{m}^{\,}(x_{n})-x_{n}<0$ )

\qquad \qquad et minor\'{e}e par $1$ $\left( x_{n}\in \left[ 1,\infty \right[
\right) \Longrightarrow \left( x_{n+1}=N_{m}^{\,}(x_{n})\in \left[ 1,\infty %
\right[ \right) $. Elle converge vers $\ \ \ell =1$.

\qquad si \ $x=x_{0}\in \left] -\,\infty ,1\right[ $ \ la suite est d'abord
croissante ( $x_{n+1}-x_{n}=N_{m}^{\,}(x_{n})-x_{n}>0$ ) .

\qquad \qquad si elle reste major\'{e}e par $1,$ elle reste croissante et
major\'{e}e : elle converge vers $\ \ell =1$

\qquad \qquad si elle d\'{e}passe $1$ le raisonnemenr pr\'{e}c\'{e}dent
assure le m\^{e}me r\'{e}sultat.

\qquad \qquad \qquad \fbox{\ Pour tout $x\in \mathbb{R}$ \ la suite de
Newton de $x$ \ converge vers $\ \ell =1$}

\noindent \textbf{III.B.1) - }\ Le discriminant de $x^{2}+x+m$ \ vaut \ \ $%
1-4m$

$\bullet $ \ Si\ \ $m^{\prime }<\dfrac{1}{4}$ \ 

\qquad $x^{2}+x+m=0$ \ admet deux racines r\'{e}elles distinctes : \ $%
a_{m^{\prime }}\in \left] \dfrac{-1}{2},\infty \right[ $ et $b_{m^{\prime
}}\in \left] -\infty ,\dfrac{-1}{2}\right[ $

\qquad $\qquad \qquad $\fbox{$\ a_{m^{\prime }}=\dfrac{-1}{2}\left[ 1-\sqrt{%
1-4m^{\prime }}\right] $ et \ \ $b_{m^{\prime }}=\dfrac{-1}{2}\left[ 1+\sqrt{%
1-4m^{\prime }}\right] $} \ \ 

\qquad La seule qui puisse \^{e}tre \'{e}gale \`{a} $1$ est $\ \ \left( \
a_{m^{\prime }}=1\right) \Longleftrightarrow \left( 1-\sqrt{1-4m^{\prime }}%
=-2\right) \Longleftrightarrow \left( m^{\prime }=-2\right) $

Si \ $m^{\prime }<\dfrac{1}{4}$ \ \ et $\ \ m^{\prime }\neq -2$ \ : $\ P_{m} 
$ poss\`{e}de trois racines r\'{e}elles distinctes \ $1,a_{m^{\prime
}},b_{m^{\prime }}$

$\bullet $ \ Soit\ \ $m^{\prime }<0$ \ \ la fraction rationnelle : $%
N_{m^{\prime }}(z)=\dfrac{2\,z^{3}+m^{\prime }}{3\,z^{2}+m^{\prime }-1}$ \
est d\'{e}finie sur \ $\mathcal{D}_{m^{\prime }}=\mathbb{C}\setminus \left\{
x_{0}^{-},x_{0}^{+}\right\} $

\qquad avec \ $x_{0}^{+}=\sqrt{\dfrac{1-m^{\prime }}{3}}$ \ \ et \ $%
x_{0}^{-}=-x_{0}^{+}$ \ \ \ \ \ \ \ \ 

On cherche \ $a\neq 0$ , $b$ et \ $m\in \left] 0,\tfrac{1}{4}\right[ $\ \ \
tels que $\ $\textbf{(**)} \fbox{$\ \forall z\in D_{m^{\prime }}$ \ \ \ $%
a.N_{m^{\prime }}(z)+b=N_{m}(az+b)$}

La similitude doit d'abord conserver les\textbf{\ p\^{o}les} des deux
fractions rationnelles :

$\qquad \left. 
\begin{tabular}{l}
$\ \ \left( a\sqrt{\tfrac{1-m^{\prime }}{3}}+b=\sqrt{\tfrac{1-m}{3}}\text{ \
\ \ \ },\ -\,a\sqrt{\tfrac{1-m^{\prime }}{3}}+b=-\sqrt{\tfrac{1-m}{3}}%
\right) $ \\ 
ou $\left( a\sqrt{\tfrac{1-m^{\prime }}{3}}+b=-\sqrt{\tfrac{1-m}{3}}\ ,\ -\,a%
\sqrt{\tfrac{1-m^{\prime }}{3}}+b=\sqrt{\tfrac{1-m}{3}}\right) $%
\end{tabular}
\right\} $ d'o\`{u} $\left\{ 
\begin{tabular}{l}
\fbox{$b=0$} \\ 
\fbox{$a=\pm \sqrt{\dfrac{1-m}{1-m^{\prime }}}$}
\end{tabular}
\right. $\ 

\qquad Puis pour \ $z^{3}=-\dfrac{m^{\prime }}{2}$ \ : \ $a.N_{m^{\prime
}}(z)+b=0$ \ donc $\ \ 2\left( az\right) ^{3}+m=0$ \ \ d'o\`{u} : \fbox{\ $%
a^{3}=\dfrac{m\,}{m^{\prime }}$} \ \ et $\ a$ \ r\'{e}el.

\qquad ainsi : \ \fbox{$m=1+a^{2}m^{\prime }-a^{2}=a^{3}m^{\prime }$} \ sont
des conditions \textbf{n\'{e}cessaires}.

Or \textbf{(**)} \'{e}quivaut \`{a}\textbf{\ : }$a\left( \text{ }%
2\,X^{3}+m^{\prime }\right) \left( 3\,\left( aX\right) ^{2}+m-1\right)
=\left( 2\,\left( aX\right) ^{3}+m\right) \left( \text{ }3\,X^{2}+m^{\prime
}-1\right) $

\qquad donc \`{a} \ $2a(m-1)=2a^{3}(m^{\prime }-1)$ \ , \ $3a^{3}m^{\prime
}=3m$ \ et \ $am^{\prime }(m-1)=m(m^{\prime }-1)$

Nos conditions n\'{e}cessaires sont \textbf{suffisantes}.

On obtient : $a^{3}m^{\prime }+a^{2}(1-m^{\prime })-1=(a-1)(a^{2}m^{\prime
}+a+1)=0$ \ et \textbf{trois possibilit\'{e}s} pour \ $a$ :

$\qquad \bullet $ $\ a=1$ avec $b=0$ \ donne $m=m^{\prime }$ \ \textbf{sans
int\'{e}r\^{e}t}.

\qquad $\bullet $ $\ a=\dfrac{-1}{2m^{\prime }}\left[ 1-\sqrt{1-4m^{\prime }}%
\right] =\dfrac{-2}{1+\sqrt{1-4m^{\prime }}}$ \ parcourt $\left] -\dfrac{1}{2%
},0\right[ $ \ quand \ \ $m^{\prime }$ $\in \left] -\infty ,-2\right[ $

\qquad \qquad et parcourt $\left] -1,-\dfrac{1}{2}\right[ $ \ quand \ \ $%
m^{\prime }$ $\in \left] -2,0\right[ $ \ et donne \ $m=1+a^{2}m^{\prime
}-a^{2}=-(a+a^{2})$

\qquad \qquad $-\left( a+a^{2}\right) $ de d\'{e}riv\'{e}e \ $-\left(
2a+1\right) $ \ est croissante sur $\left] -1,-\dfrac{1}{2}\right[ $ \ et\ \
d\'{e}croissante sur $\left] -\dfrac{1}{2},0\right[ $

\qquad \qquad donc $m$ \ croit de $0$ \`{a} \ $\dfrac{1}{4}$ puis
d\'{e}croit de \ $\dfrac{1}{4}$ \`{a} $0$ \ il reste dans $\left] 0,\dfrac{1%
}{4}\right[ $ \ donc \textbf{convient }

\qquad $\bullet $ \ $a=\dfrac{-1}{2m^{\prime }}\left[ 1+\sqrt{1-4m^{\prime }}%
\right] $ \ qu'on laisse inutile.

\qquad \fbox{Pour $m^{\prime }<0$ et $m^{\prime }\neq -2$ \ il existe $m\in %
\left] 0,\dfrac{1}{4}\right[ $ \ tel que \ $N_{m^{\prime }}$ soit semblable
\`{a} \ $N_{m}$}

\noindent \textbf{III.B.3) -} \ $m\in \left[ 0,\tfrac{1}{4}\right[ $ \ \ \ \
et $\ \ \ x_{0}^{+}=\sqrt{\tfrac{1-m}{3}}$ \ \ et \ $x_{0}^{-}=-x_{0}^{+}$ \
sont les racines de $P_{m}^{\,\prime }$ , et p\^{o}les de $N_{m}.$

Montrons d'abord :$\left( \text{ }b_{m}<x_{0}^{-}\right) \Longleftrightarrow
\left( \tfrac{-1}{2}\left[ 1+\sqrt{1-4m}\right] <-\sqrt{\tfrac{1-m}{3}}%
\right) $ qui \'{e}quivaut \`{a}

$\qquad \left( 2-4m+2\sqrt{1-4m}>\tfrac{4}{3}\left( 1-m\right) \right)
\Longleftrightarrow \left( \sqrt{1-4m}>\tfrac{1}{3}\left( 4m-1\right)
\right) $\ \ \ \textbf{vrai} $\ $

$\qquad $car $\ 4m-1<0$.

De plus $\left( m\in \left[ 0,\tfrac{1}{4}\right[ \right)
\Longleftrightarrow \left( \tfrac{1-m}{3}\in \left] \tfrac{1}{4},\tfrac{1}{3}%
\right] \right) \Longleftrightarrow \left( \sqrt{\tfrac{1-m}{3}}\in \left] 
\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right] \right) $

\qquad D'o\`{u} \ \fbox{ pour \ $m\in \left[ 0,\tfrac{1}{4}\right[ $ \ \ \ \
\ \ \ \ $-1<b_{m}<x_{0}^{-}<-\tfrac{1}{2}<a_{m}\leq 0<\tfrac{1}{2}%
<x_{0}^{+}<1$}

Alors : \ $P(x)=(x-1)(x-a_{m})(x-b_{m})$\ $\ $et$\ \ \ N\,_{m}^{\prime }(x)=%
\dfrac{P(x)P\,^{\prime \prime }(x)}{\left[ P\,^{\prime }(x)\right] ^{2}}=%
\dfrac{2x(x-1)(x-a_{m})(x-b_{m})}{3\,\left[ (x-x_{0}^{+})(x-x_{0}^{-})\right]
^{2}}$

d'o\`{u} : $N\,_{m}^{\prime \prime }(x)=\dfrac{P\,^{\prime \prime }(x)}{%
P\,^{\prime }(x)}+\dfrac{P(x)}{\left[ P\,^{\prime }(x)\right] ^{3}}\left[
P\,^{\prime }(x)P\,^{\prime \prime \prime }(x)-2\,\left[ P\,^{\prime \prime
}(x)\right] ^{2}\right] $ \ sur \ $\left] x_{0}^{-},x_{0}^{+}\right[ $

\qquad \qquad \qquad avec \ $P\,^{\prime }(x)P\,^{\prime \prime \prime
}(x)-2\,\left[ P\,^{\prime \prime }(x)\right] ^{2}=6\left[ 3x^{2}+m-1\right]
-72x^{2}=6\left[ \left( m-1\right) -9x^{2}\right] <0$

$\bullet $ \ sur $\left] x_{0}^{-},a_{m}\right[ $ \ \ $\ $\fbox{$%
N\,_{m}^{\prime }(x)<0$} \ \ et \ $\ P(x)>0$ , $P\,^{\prime }(x)<0$ , $%
P\,^{\prime \prime }(x)<0$ \ \ d'o\`{u} \ \fbox{$N\,_{m}^{\prime \prime
}(x)>0$}

$\bullet $ \ sur $\left] 0,x_{0}^{+}\right[ $ \ \ $\ $\fbox{$N\,_{m}^{\prime
}(x)<0$} \ \ et \ $\ P(x)<0$ , $P\,^{\prime }(x)<0$ , $P\,^{\prime \prime
}(x)>0$ \ \ d'o\`{u} \ \fbox{$N\,_{m}^{\prime \prime }(x)<0$}

\noindent \textbf{III.B.4) -} \ Etudions les \textbf{variations} de \ $%
x\longmapsto N_{m}(x)=\dfrac{2\,x^{3}+m}{3\,(x-x_{0}^{+})(x-x_{0}^{-})}$ \
fraction rationnelle

$\qquad \qquad N\,_{m}^{\prime }(x)=\dfrac{2x(x-1)(x-a_{m})(x-b_{m})}{3\,%
\left[ (x-x_{0}^{+})(x-x_{0}^{-})\right] ^{2}}$ \ \ \ et \ on a une
asymptote oblique : \ $y=\tfrac{2}{3}\,x$

\begin{tabular}{|c|ccccc||ccccccccccc||ccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty $ &  & $b_{m}$ &  & $x_{0}^{-}$ & $x_{0}^{-}$ &  & $x_{1}^{-}$
&  & $a_{m}$ &  & $0$ &  & $x_{1}^{+}$ &  & $x_{0}^{+}$ & $x_{0}^{+}$ &  & $%
1 $ &  & $\infty $ \\ \hline
$N\,_{m}^{\prime }$ &  & $+$ & $0$ & $-$ &  &  & $-$ &  & $-$ & $0$ & $+$ & $%
0$ & $-$ &  & $-$ &  &  & $-$ & $0$ & $+$ &  \\ \hline
&  &  &  &  &  & $\infty $ &  &  &  &  &  & $\tfrac{m}{m-1}$ &  &  &  &  & 
&  &  &  &  \\ 
&  &  & $b_{m}$ &  &  &  & $\searrow $ &  &  &  &  &  & $\searrow $ &  &  & 
& $\infty $ &  &  &  & $\infty $ \\ 
$N_{m}$ &  & $\nearrow $ &  & $\searrow $ &  &  &  & $x_{0}^{+}$ &  &  & $%
\nearrow $ &  &  & $x_{0}^{-}$ &  &  &  & $\searrow $ &  & $\nearrow $ &  \\ 
& $-\infty $ &  &  &  & $-\infty $ &  &  &  & $\searrow $ &  &  &  &  &  & $%
\searrow $ &  &  &  & $1$ &  &  \\ 
&  &  &  &  &  &  &  &  &  & $a_{m}$ &  &  &  &  &  & $-\infty $ &  &  &  & 
&  \\ \hline
\end{tabular}

Sur $\left] x_{0}^{-},a_{m}\right[ $ \ $\ N_{m}$ \ d\'{e}croit de $+\,\infty 
$ \ vers \ $a_{m}$ \ ( une racine de $P_{m}$ est un point fixe de $N_{m}$ )

\qquad elle prend donc une fois et une seule la valeur $x_{0}^{+}$ \ en un
point \ $x_{1}^{-}\in \left] x_{0}^{-},a_{m}\right[ $ \ \fbox{$%
N_{m}(x_{1}^{-})=x_{0}^{+}$}

Sur $\left] a_{m},0\right[ $ $\ \ N_{m}$ \ croit de \ $a_{m}$ \`{a} \ $%
\tfrac{m}{m-1}\geq a_{m}$. Puis sur $\left] 0,x_{0}^{+}\right[ $ \ $\
N_{m}$ \ d\'{e}croit de $\tfrac{m}{m-1}$ \ vers \ $-\,\infty $

\qquad elle prend donc une fois et une seule la valeur $x_{0}^{-}$ \ en un
point \ $x_{1}^{+}\in \left] 0,x_{0}^{+}\right[ $ \fbox{\ $%
N_{m}(x_{1}^{+})=x_{0}^{-}$}

Sur $\left] x_{1}^{-},x_{1}^{+}\right[ \subset \left] x_{0}^{-},x_{0}^{+}%
\right[ $ \ \ $N_{m}$ \ prend des valeurs dans $\left] x_{0}^{-},x_{0}^{+}%
\right[ $ \ 

\qquad donc \fbox{\ $M_{m}=N_{m}\circ N_{m}$ \ est bien d\'{e}finie et de
classe \ $C^{\infty }$ sur $\left] x_{1}^{-},x_{1}^{+}\right[ $}

\textbf{Par composition} : $\ M_{m}$ est de classe $\ C^{\infty }$ sur $%
\mathbb{R}\setminus \left\{ x_{0}^{-},x_{0}^{+},x_{1}^{-},x_{1}^{+}\right\} $
\ et $\ \ $\fbox{$M\,_{m}^{\prime }(x)=N\,_{m}^{\prime }(x)\times
N\,_{m}^{\prime }\left( N_{m}(x)\right) $}

\qquad qui s'annule donc aux z\'{e}ros de $N\,_{m}^{\prime }$ \ $\left\{
b_{m},a_{m},0,1\right\} $ \ \ et aux ant\'{e}c\'{e}dents par $N\,_{m}$ \ de
ces z\'{e}ros.

\qquad $\bullet $ \ $N\,_{m}\left( \left] -\,\infty ,x_{0}^{-}\right[
\right) \subset \left] -\,\infty ,b_{m}\right] $ \ \ et \ $M\,_{m}^{\prime }$
\ ne s'annule sur $\left] -\,\infty ,x_{0}^{-}\right[ $ \ qu'en \ $b_{m}$

\qquad $\bullet $ \ $N\,_{m}\left( \left] x_{0}^{+},\infty \right[ \right)
\subset \left[ 1,\infty \right[ $\ \ et \ $M\,_{m}^{\prime }$ \ ne s'annule
sur $\left] x_{0}^{+},\infty \right[ $\ qu'en \ $1$

\qquad $\bullet $ \ Sur $\ \left] x_{0}^{-},x_{1}^{-}\right[ $ \ \ $M_{m}$ \
d\'{e}croit d'abord de \ $+\infty $ \ jusqu'\`{a} \ $1$ \ valeur prise une
seule fois par \ $N_{m}$ \ 

\qquad \qquad qui d\'{e}croit de $\infty $ \ \`{a} \ $x_{0}^{+}$ \ , puis \ $%
M_{m}$ \ croit vers $\infty $

\qquad $\bullet $ \ Sur $\ \left] x_{1}^{+},x_{0}^{+}\right[ $ \ \ $M_{m}$ \
croit d'abord de \ $-\,\infty $ \ jusqu'\`{a} \ $b_{m}$ \ valeur prise une
seule fois par \ $N_{m}$ \ 

\qquad \qquad qui d\'{e}croit de $x_{0}^{-}$ \ \`{a} \ $-\,\infty $ \ , puis
\ $M_{m}$ \ d\'{e}croit vers -$\,\infty $

\textbf{L'\'{e}nonc\'{e} semble limiter l'\'{e}tude} \`{a} $\left]
x_{1}^{-},x_{1}^{+}\right[ $ \ 

$\qquad \qquad \qquad $\fbox{$M\,_{m}^{\prime \prime }(x)=N\,_{m}^{\prime
\prime }(x)\times N\,_{m}^{\prime }\left( N_{m}(x)\right) +\left[
N\,_{m}^{\prime }(x)\right] ^{2}\times N\,_{m}^{\prime \prime }\left(
N_{m}(x)\right) $}

\qquad $\bullet $ \ Sur $\ \left] x_{1}^{-},a_{m}\right] $ \ \ $N_{m}$ \
d\'{e}croit strictement \ de $x_{0}^{+}$ \ jusqu'\`{a} \ $a_{m}$ et s'annule
une seule fois\ en $\ \xi ^{-}$

\qquad \qquad \fbox{$N_{m}(\xi ^{-})=0$ } \ et $\ \ M\,_{m}^{\prime }(\xi
^{-})=0$ \ car $N\,_{m}^{\prime }\left( N_{m}(\xi ^{-})\right)
=N\,_{m}^{\prime }\left( 0\right) =0$

\qquad Sur $\left] x_{1}^{-},\xi ^{-}\right[ $ \ \ $N_{m}$ \ d\'{e}croit
strictement \ de $x_{0}^{+}$ \ jusqu'\`{a} \ $0$ \ et $N\,_{m}^{\prime }$
est n\'{e}gative et \textbf{d\'{e}croit} sur $\left] 0,x_{0}^{+}\right[ $

\qquad \qquad $N\,_{m}^{\prime \prime }(x)>0$ ,\ $N\,_{m}^{\prime }\left(
N_{m}(x)\right) <0$ , $\left[ N\,_{m}^{\prime }(x)\right] ^{2}>0$ et $%
N\,_{m}^{\prime \prime }\left( N_{m}(x)\right) <0$ \ donc \fbox{\ $%
M\,_{m}^{\prime \prime }(x)<0$}

\qquad $\bullet $ \ Sur $\ \left] 0,x_{1}^{+}\right] $ \ \ $N_{m}$ \
d\'{e}croit strictement \ de $\tfrac{m}{m-1}$ \ jusqu'\`{a} \ $x_{0}^{-}$ \
et prend une fois la valeur $a_{m}$ en $\ \xi ^{+}$

\qquad \qquad \fbox{$N_{m}(\xi ^{+})=a_{m}$} \ et $\ \ M\,_{m}^{\prime }(\xi
^{+})=0$ \ car $N\,_{m}^{\prime }\left( N_{m}(\xi ^{+})\right)
=N\,_{m}^{\prime }\left( a_{m}\right) =0$

\qquad Sur $\left] \xi ^{+},x_{1}^{+}\right[ $ \ \ $N_{m}$ \ d\'{e}croit
strictement \ de $a_{m}$ \ jusqu'\`{a} \ $x_{0}^{-}$ \ et $N\,_{m}^{\prime }$
est n\'{e}gative et \textbf{croit} sur $\left] x_{0}^{-},a_{m}\right[ $

\qquad \qquad $N\,_{m}^{\prime \prime }(x)<0$ ,\ $N\,_{m}^{\prime }\left(
N_{m}(x)\right) <0$ , $\left[ N\,_{m}^{\prime }(x)\right] ^{2}>0$ et $%
N\,_{m}^{\prime \prime }\left( N_{m}(x)\right) >0$ \ donc \fbox{\ $%
M\,_{m}^{\prime \prime }(x)>0$}

\noindent \textbf{III.B.5) -} \ 
\begin{tabular}[t]{l}
Variations de $N_{m}$ \ sur $\left[ \xi ^{-},\xi ^{+}\right] $ : \\ 
\ \ \ \ et $\ \tfrac{m}{m-1}=1+\tfrac{1}{m-1}\in \left] -\,\tfrac{1}{3},0%
\right] $ \\ 
\ \ \ \ donc \ $N_{m}\left( \left[ \xi ^{-},\xi ^{+}\right] \right) =\left[
a_{m},0\right] $ \\ 
\ \ \ \ \ lui m\^{e}me \textbf{stable} par $N_{m}$%
\end{tabular}
\ \ \ \ 
\begin{tabular}[t]{|c|ccccccc|}
\hline
$x$ & $\xi ^{-}$ &  & $a_{m}$ &  & $0$ &  & $\xi ^{+}$ \\ \hline
$N\,_{m}^{\prime }$ &  & $-$ & $0$ & $+$ & $0$ & $-$ &  \\ \hline
& $0$ &  &  &  & $\tfrac{m}{m-1}$ &  &  \\ 
$N_{m}$ &  & $\searrow $ &  & $\nearrow $ &  & $\searrow $ &  \\ 
&  &  & $a_{m}$ &  &  &  & $a_{m}$ \\ \hline
\end{tabular}
\ \ 

Ensuite : $N_{m}(x)-x=-\,\dfrac{P(x)}{P\,^{\prime }(x)}<0$ \ \ sur $\left[
a_{m},0\right] $ \ donc la suite est \textbf{d\'{e}croissante}, pour $\
n\geq 1$

\qquad et \textbf{minor\'{e}e} par $a_{m}$, elle converge donc vers une
limite $\ell $ dans $\left[ a_{m},0\right] $ \ racine de $P_{m}$ \ \ \fbox{\ 
$\ell =a_{m}$}

\qquad \qquad ainsi \ : \fbox{\ $\left[ \xi ^{-},\xi ^{+}\right] \subset %
\left] \alpha (m),\beta (m)\right[ $}

\noindent \textbf{III.B.6) -} \ $x\in \left\{
x_{0}^{-},x_{0}^{+},x_{1}^{-},x_{1}^{+}\right\} $ \ ne d\'{e}finit pas une
suite de Newton pour $P_{m}$ \ 

\qquad ( de m\^{e}me qu'une infinit\'{e} d\'{e}nombrable d'autres valeurs
initiales interdites )

$1^{er}$ cas : Si \ $x>x_{0}^{+}$ \ alors \ $1\leq N_{m}(x)$ et \ $%
\forall n\in \mathbb{N}^{\ast }$ \ \ $\ 1\leq N_{m}(x_{n})$ \ d'o\`{u}
\ $x_{n+1}-x_{n}=-\,\dfrac{P(x_{n})}{P\,^{\prime }(x_{n})}<0$

\qquad \qquad la suite est d\'{e}croissante et minor\'{e}e : \textbf{elle
converge} vers $1$

$2^{\grave{e}me}$ cas : \ $x<x_{0}^{-}$ \ alors \ $N_{m}(x)\leq b_{m}$
et \ $\forall n\in \mathbb{N}^{\ast }$ \ \ $\ N_{m}(x_{n})\leq b_{m}$ \
d'o\`{u} \ $x_{n+1}-x_{n}=-\,\dfrac{P(x_{n})}{P\,^{\prime }(x_{n})}>0$

\qquad \qquad la suite est croissante et major\'{e}e : \textbf{elle converge}
vers $b_{m}$

$3^{\grave{e}me}$ cas : \ $x\in \left] x_{0}^{-},x_{1}^{-}\right[ $ \ alors
\ $x_{1}>x_{0}^{+}$ \ et on est ramen\'{e} au $1^{er}$ cas

$4^{\grave{e}me}$ cas : \ $x\in \left] x_{1}^{+},x_{0}^{+}\right[ $ \ alors
\ $x_{1}<x_{0}^{-}$ \ et on est ramen\'{e} au $2^{\acute{e}me}$ cas

$5^{\grave{e}me}$ cas : \fbox{\ Dans $\left] x_{1}^{-},x_{1}^{+}\right[ $ }\
\ \ 

\qquad Il n'y a pas de $2$-cycle dans $\left[ \xi ^{-},\xi ^{+}\right] $ ,
o\`{u} les suites \textbf{convergent} vers $a_{m}.$

\qquad $\left( \alpha (m),\beta (m)\right) $ \ est un $2$-cycle de $N_{m}$ \
et donc $x_{1}^{-}<\alpha (m)<\xi ^{-}<\xi ^{+}<\beta (m)<x_{1}^{+}$

\qquad \qquad si $x\in \left] \alpha (m),\beta (m)\right[ $ \ la suite 
\textbf{converge} vers \ $a_{m}$

\qquad Rappellons que ce cycle ne peut \^{e}tre attractif ( question \textbf{%
I.E.2)} ) \ donc $\left\{ 
\begin{tabular}{l}
$M\,_{m}^{\prime }(\alpha (m))\geq 1$ \\ 
$M\,_{m}^{\prime }(\beta (m))\geq 1$%
\end{tabular}
\right. $

\qquad S'il y avait un autre \ $2$-cycle de $N_{m}$ : \ $(x,y)$ \ on aurait
: $x_{1}^{-}<x<\alpha (m)<\beta (m)<y<x_{1}^{+}$

\qquad $\qquad x$ \ est un point fixe de \ $M_{m}$ \ et $\left\{ 
\begin{tabular}{l}
$M_{m}(x)=x$ \\ 
$M_{m}(\alpha (m))=\alpha (m)$%
\end{tabular}
\right. $ $\ x<\alpha (m)$ avec le th\'{e}or\`{e}me

\qquad \qquad des valeurs interm\'{e}diaires sur $\left] x,\alpha (m)\right[ 
$, entrainerait : $\exists c\in \left] x,\alpha (m)\right[ $ \ tel que \ $%
M\,_{m}^{\prime }(c)=1$

\qquad \qquad ce qui contredirait la stricte d\'{e}croissance assur\'{e}e en
\ \textbf{III.B.4)}

\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \fbox{\ Il n'y a pas d'autre $2$-cycle
pour $N_{m}$}\medskip

\noindent \textbf{III.B.7) - }\ Pour \fbox{\ $m=0$} \ alors \ $a_{m}=0$, \ $%
N_{0}(x)=\dfrac{2x^{3}}{3x^{2}-1}$ \ est impaire donc \ $M_{0}$ \ est aussi
impaire.

Si \ $\alpha (0)\neq -\beta (0)$ \ alors : $N_{0}(-\alpha (0))=-\beta (0)$ \
assurerait l'existence d'un autre \ $2$-cycle pour $N_{0}$

Ceci est exclu,\ donc \ \fbox{$\alpha (0)=-\beta (0)$}

Ainsi \ $\alpha \neq a_{m}=0$ \ \ \ entraine $\ \left( N_{0}(\alpha )=\dfrac{%
2\alpha ^{3}}{3\alpha ^{2}-1}=-\alpha \right) \Longrightarrow \left( \alpha
^{2}=\dfrac{1}{5}\right) $ \ d'o\`{u} \ \fbox{$\alpha (0)=-\dfrac{1}{\sqrt{5}%
}$}

\noindent \textbf{III.B.8) - }\ Pour $F(m,x)=M_{m}(x)-x$ \ On a une fraction
rationnelle de d\'{e}nominateur :

$D(m,x)=(3x^{2}+m-1)\left[ 3\left( 2x^{3}+m)^{2}+(m-1)(3x^{2}+m-1\right) ^{2}%
\right] $

$\qquad F$ \ est $\ C^{\infty }$ \ sur l'ouvert $\Omega $ de $\mathbb{R}^{2}$
\ des points o\`{u} $\ D(m,x)\neq 0$

\qquad \qquad \qquad \fbox{ \ \ Notons \ $U_{0}=\left( 0,-\,\tfrac{1}{\sqrt{5%
}}\right) $ alors $\ U_{0}\in \Omega $ \ et $F\left( 0,-\,\tfrac{1}{\sqrt{5}}%
\right) =0$}

$G(m)=F\left( m,-\,\tfrac{1}{\sqrt{5}}+u\,m\right) $ est par composition \ $%
C^{\infty }$ au voisinage de $0$, on peut appliquer Taylor-Young,

\qquad et l'\'{e}nonc\'{e} nous en donne un d\'{e}veloppement limit\'{e},
par unicit\'{e} : \ $G\,^{\prime }(0)=35\,u+\dfrac{25-7\,\sqrt{5}}{2}$

\qquad Ceci pour tout $u$ fix\'{e}. \ \ \ \ Mais $\ \ G\,^{\prime }(m)=%
\dfrac{\partial \,F}{\partial \,m}\left( m,-\,\tfrac{1}{\sqrt{5}}%
+u\,m\right) +u\,\dfrac{\partial \,F}{\partial \,x}\left( m,-\,\tfrac{1}{%
\sqrt{5}}+u\,m\right) $

$\qquad G\,^{\prime }(0)=\dfrac{\partial \,F}{\partial \,m}\left(
U_{0}\right) +u\,\dfrac{\partial \,F}{\partial \,x}\left( U_{0}\right) $ par
\'{e}galit\'{e} comme fonction de $u$, on obtient :

\qquad \qquad \qquad \fbox{$\dfrac{\partial \,F}{\partial \,m}\left(
U_{0}\right) =\tfrac{25-7\,\sqrt{5}}{2}$ $\ \ \ \ \ \ \,\dfrac{\partial \,F}{%
\partial \,x}\left( U_{0}\right) =35$}

\textbf{Le th\'{e}or\`{e}me des fonctions implicites} s'applique donc en $%
U_{0}=\left( 0,-\,\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right) $ et assure l'existence

\qquad d'une fonction $g$ \ d\'{e}finie et $C^{1}$ sur un $\left]
-\varepsilon ,\varepsilon \right[ $ \ avec $\varepsilon >0$ ,\ telle que au
voisinage $V$ \ de $U_{0}$

\qquad \qquad \fbox{$\left( F(m,x)=0\right) \Longleftrightarrow \left(
x=g(m)\right) $}

\qquad Or \ $\left( F(m,x)=0\right) \Longleftrightarrow \left(
M_{m}(x)=x\right) $ \ ce qui correspond \ soit \`{a} \ $(x,N_{m}(x))$ \ $2$%
-cycle de $N_{m}$

\qquad \qquad soit \`{a} \ $x$ point fixe de $N_{m}$

\qquad $\qquad H(m,x)=N_{m}(x)-x=-\,\dfrac{x^{3}+(m-1)x-m}{3x^{2}+m-1}$ \
vaut $\ H(U_{0})=-\,\tfrac{1}{\sqrt{5}}\dfrac{1-\tfrac{1}{5}}{\tfrac{3}{5}-1}%
>0$

\qquad \qquad et reste strictement positive au voisinage de $U_{0}$ .

\qquad \qquad Donc $x$ n'est pas point fixe de $N_{m}$, et \ \fbox{$x=\alpha
(m)$} \ le plus petit \'{e}l\'{e}ment du cycle.

$\alpha $ est donc fonction $C^{1}$ de $m$ au voisinage de \ $0$, et avec le
th\'{e}or\`{e}me des fonctions implicites

\qquad $\alpha \,^{\prime }(0)=-\,\left[ \dfrac{\dfrac{\partial \,F}{%
\partial \,m}\left( U_{0}\right) }{\dfrac{\partial \,F}{\partial \,x}\left(
U_{0}\right) }\right] $ $\ $Par Taylor-Young $\ $\fbox{$\alpha (m)=-\dfrac{1%
}{\sqrt{5}}+\dfrac{7\sqrt{5}-25}{70}\,m+o(m)$}

\noindent \textbf{III.C.1) - }\ $0$ \ est $2$-p\'{e}riodique \ si et
seulement si \ \fbox{$M_{m}(0)=0$ \ et \ $N_{m}(0)\neq 0$}

Ce qui \'{e}quivaut \`{a} $\ \ 2m^{3}+m(m-1)^{3}=0$ \ et \ $m\neq 0$ \ \ \
Notons \ $h(m)=2m^{2}+(m-1)^{3}$

Alors \ \ $h\,^{\prime }(m)=4m+3(m-1)^{2}=3m^{2}-2m+3$ \ reste positif sur $%
\mathbb{R}$ \ \ \ \ \ $h\,^{\prime }(m)>0$

La fonction polyn\^{o}me du troisi\`{e}me degr\'{e} s'annule donc une fois
et une seule sur $\mathbb{R}$,

\qquad \fbox{\ Il existe un seul $m_{0}\in \mathbb{R}$ \ tel que $0$ \ soit $%
2$-p\'{e}riodique pour $N_{m}$}\smallskip

$h(0)=-1$ \ et \ $h(1)=2$ \ donc \fbox{\ $m_{0}\in \left] 0,1\right[ $} et
on peut continuer par \textbf{dichotomie}.

\noindent \textbf{III.C.2) - }\ $M\,_{m_{0}}^{\prime
}(0)=N\,_{m_{0}}^{\prime }(0)\times N\,_{m_{0}}^{\prime }(N\,_{m_{0}}(0))=0$
\ car le premier terme est nul

Et \ $F(m_{0},0)=M_{m}(0)-0=0$ \ \ pour \ $(m_{0},0)\in \Omega $

$\qquad \dfrac{\partial \,F}{\partial \,x}(m_{0},0)=M\,_{m_{0}}^{\prime
}(0)-1=-1\neq 0$ \ On peut appliquer le th\'{e}orme de Fonctions implicites.

Il existe une fonction $\varphi $ \ d\'{e}finie et \ $C^{1}$ au voisinage de 
$m_{0}$ telle que :

$\qquad \left( M_{m}(x)=x\right) \Longleftrightarrow \left( x=\varphi
(m)\right) $ \ \ et \ $\varphi (m_{0})=0$

$\qquad N_{m_{0}}(0)\neq 0$ \ et par continuit\'{e} : $N_{m}(\varphi \left(
m\right) )\neq 0$ \ au voisinage de \ $m_{0}$

\qquad $M\,_{m}^{\prime }(\varphi \left( m\right) )$ est nul en $\ m_{0}$ \
donc reste strictement inf\'{e}rieur \`{a} $1$ au voisinage de $m_{0}$

\qquad \qquad \fbox{%
\begin{tabular}{l}
Ainsi il existe \ $\eta >0$ \ tel que \ si \ $\left| m-m_{0}\right| <\eta $
\ alors \ $N_{m}$ admet un $2$-cycle $(x,N_{m}(x))$ \\ 
avec \ $x=\varphi (m)$ \ attractif, et qui attire \ $0$ et ses
it\'{e}r\'{e}s successifs.
\end{tabular}
}

\end{document}
