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\begin{document}

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% Centrale MP 2 2000 - Methode de Jacobi
% donne en MP Arago mars 2001

\begin{center}
		\Large CCS 2000 \'Epreuve de math\'ematiques. \hfill Dur\'ee : 4 heures.
\end{center} \bigskip


\section{Une norme}

\subsection{}
Avec $A=(a_{i,j}), B=(b_{p,q})$ on trouve
$$
   Tr(AB) = \sum_i(\sum_k a_{i,k} b_{k,i}) = \sum_{i,j} a_{i,j} b_{j,i}
       = \sum_j ( \sum_k b_{j,k} a_{k,j} ) = Tr(BA)
$$

\subsection{}
\begin{itemize}
			\item 
   Par la question pr\'ec\'edente $\Phi$ est sym\'etrique.
   \item
   Par lin\'earit\'e de la trace, $\Phi$ est lin\'eaire (par exemple)
   \`a gauche, et par sym\'etrie aussi \`a droite.
   \item
   $Tr(A{}^t A) = \sum\limits_{i,j} a_{i,j}^2 = \|A\|^2$ est positif, et m\^eme strictement sauf
   si tous les coefficients sont nuls: donc $\Phi$ est d\'efinie positive.
\end{itemize}
C'est donc bien un produit scalaire (c'est LE produit
scalaire ``standard" dans la base canonique).
\subsection{}
L'inegalit\'e demand\'ee n'est autre que \textsc{Cauchy-Schwarz}:
$$
   \Bigl(\sum_{i=1}^n a_{i,i}\Bigr)^2 = (\Phi(I, A) )^2 \le
   \|I\|^2\times \|A\|^2 = n \times \sum_{1\le i,j\le n} a_{i,j}^2
$$
On a donc pour toute matrice  $|Tr(A)| \le \sqrt n \|A\|$. 

Or pour $A=I$ on a une \'egalit\'e,
donc la majoration est optimale ce qui signifie que $|||Tr||| = \sqrt n$.

\subsection{}
ATTENTION ! $\Omega$ est une isom\'etrie\dots de $\R^n$ euclidien dans lui-m\^eme,
et pas dans Mat$(n,\R)$. Il faut un calcul:
$$
    \|\Omega A\|^2 = Tr(\Omega A {}^t(\Omega A) ) =Tr(\Omega A {}^t A . {}^t\Omega)
    = Tr({}^t\Omega .\Omega A {}^t A ) = Tr(A {}^t A ) = \|A\|^2
$$
en utilisant la premi\`ere question, puis le fait que $\Omega$ est orthogonale.
\smallskip

Si $A$ est sym\'etrique alors 
${}^t B = {}^t({}^t \Omega A \Omega) =  {}^t \Omega{}^t A  {}^t({}^t \Omega)
= {}^t \Omega{}^t A \Omega = B$.

De plus, en appliquant la propri\'et\'e juste d\'emontr\'ee, on a
$\|A\|^2 = \|B\|^2$ ce qui est exactement la relation demand\'ee.

\section{Diagonalisation pour $n=2$}
\subsection{}
Il vient
$B = \begin{pmatrix} 
							a_{11} \cos^2 \h - 2 a_{12} \cos\h\sin\h + a_{22} \sin^2\h &
       a_{11} \sin\h\cos\h + a_{1,2} \cos2\h - a_{22} \sin\h\cos\h \\
        a_{11} \sin\h\cos\h + a_{1,2} \cos2\h - a_{22} \sin\h\cos\h &
        a_{11} \sin^2 \h - 2 a_{12} \cos\h\sin\h + a_{22} \cos^2\h
\end{pmatrix}$ (ouf !)
\subsection{}
Sans calculs (comme quoi il faut BIEN lire les \'enonc\'es) par la derni\`ere question
de la partie pr\'ec\'edente:
$$
 \sum_{i=1}^2 b_{i,i}^2 + 2 b^2_{2,1} = \|B\|^2 = \|A\|^2
 = \sum_{i=1}^2 a_{i,i}^2 + 2 a^2_{2,1}
$$
\subsection{}
$b_{2,1} = (a_{11} - a_{22}) \dfrac{\sin2\h}2 + a_{1,2} \cos2\h
 = 0$ pour:
\begin{itemize}
\item $a_{11} = a_{22}$ et $\h = \pi/4$, ou bien
\item $a_{11} \neq a_{22}$ et $(a_{2,2} - a_{1,1})\tan 2\h = 2 a_{2,1}$
ce qui d\'efinit bien un et un seul $\h$ dans l'intervalle prescrit.
\end{itemize}
$\h$ ne peut \^etre nul pusque l'on a exclu le cas $a_{1,2} = 0$.

On peut poser 
$F(A)= \dfrac12 \arctan \dfrac{2 a_{2,1}}{a_{2,2} - a_{1,1}}$
avec la convention $F = \pi/4$ quand $a_{11} = a_{22}$.

\subsection{}
$B$ \'etant sym\'etrique, si on a annul\'e un terme non diagonal c'est que $B$
 est diagonale, point. Comme $B$ est orthogonalement semblable \`a $A$ par
 d\'efinition de $B$, c'est que ses termes diagonaux sont les valeurs propres de $A$.
 
 \subsection{Exemple:}
 Pour $A = \dfrac15 
 \begin{pmatrix} 
						1 & 12 \\ 12 & -6
\end{pmatrix}$
il vient $F(A) = \dfrac12 \arctan \dfrac{24}{-6 - 1} = -\dfrac12 \arctan \dfrac{24}7$.

On en tire (plus rapide \`a la machine\dots) $\cos\h = \dfrac45$ et  $\sin\h = -\dfrac35$, 
d'o\`u peu apr\`es
\begin{eqnarray*}
   B &=& \dfrac15 
 \begin{pmatrix} 
							\cos^2 \h - 24 \cos\h\sin\h -6 \sin^2\h &
       0 \\
        0 &
        \sin^2 \h - 24 \cos\h\sin\h -6 \cos^2\h
  \end{pmatrix}\\
  &=& \dfrac15 
 \begin{pmatrix} 
							\dfrac{16}{25} + 24 \dfrac{12}{25} -6 \dfrac9{25} &
       0 \\
        0 &
        \dfrac9{25} - 24 \dfrac{12}{25} -6 \dfrac{16}{25}
  \end{pmatrix}
  = 
 \begin{pmatrix} 
							2 &
       0 \\
        0 &
       -3
  \end{pmatrix}
\end{eqnarray*}

ce que l'on aurait trouv\'e plus facilement avec le polyn\^ome caract\'eristique, certes.

\section{Quelques r\'esultats}
\subsection{}
Remarquons seulement que $\Omega$ est orthogonale (c'est une rotation plane, ou alors
on peut v\'erifier que les colonnes forment une base orthonormale). Donc les r\'esultats
de la fin de la partie I s'appliquent.
\subsection{Coefficients de $B$}
\subsubsection{}
Compte tenu de ce que les seules colonnes qui bougent sont celles de num\'eros $p$ et $q$,
$m_{i,j} = a_{i,j}$ est inchang\'e et
\begin{itemize}
   \item 
      $m_{i,p} = \cos\h\: a_{i,p} - \sin\h\: a_{i,q}$
   \item
     $m_{i,q} = \sin\h\: a_{i,p} + \cos\h\: a_{i,q}$
\end{itemize}
\subsubsection{}
Les seules lignes qui bougent sont celles de num\'eros $p$ et $q$.
Donc si $i,j$ ne prennent aucune de ces deux valeurs,
\begin{itemize}
   \item 
     $b_{i,j} = a_{i,j}$ est inchang\'e. Sinon on retombe progressivement sur le cas du II:
   \item Pour $i$ ``g\'en\'eral" on a encore 
      $b_{i,p} = \cos\h\: a_{i,p} - \sin\h\: a_{i,q}$
   \item
     $b_{i,q} = \sin\h\: a_{i,p} + \cos\h\: a_{i,q}$
   \item
     $b_{p,q} = b_{q,p} = 
        a_{p,p} \sin\h\cos\h + a_{p,q} \cos2\h - a_{q,q} \sin\h\cos\h$
   \item
     $b_{p,p} = 
        a_{p,p} \cos^2 \h - 2 a_{p,q} \cos\h\sin\h + a_{q,q} \sin^2\h$
   \item
     $b_{q,q} = 
        a_{p,p} \sin^2 \h - 2 a_{p,q} \cos\h\sin\h + a_{q,q} \cos^2\h$
\end{itemize}
\subsubsection{}
Pour ceux qui ne s'en doutaient pas (ce probl\`eme est vraiment bien guid\'e !)
on retrouve exactement les m\^emes relations qu'au II.

Donc la norme (des matrices extraites) est conserv\'ee, et\dots
\subsubsection{}
\dots il existe une et une seule valeur de $\h$ choisie dans
$]-\pi/4,\pi/4]\setminus\{0\}$ qui annule $b_{p,q}$.
%
C'est d\'emontr\'e au II !

\section{Un peu de topo}
\subsection{}
\subsubsection{}

Si la propri\'et\'e \'etait fausse, on aurait un rayon $\eps$ tel que pour toute valeur de $n$, il
existerait des indices $k$ plus grands que $n$ (bref, des indices arbitrairement grands)
tels que $x_k$ n'appartienne pas \`a la r\'eunion des boules centr\'es sur les
valeurs d'adh\'erence, et de rayon $\eps$ -- ouf.

Mais de cette infinit\'e de termes de la suite hors-les-boules, on pourrait extraire une sous-suite
convergente par le th\'eor\`eme de \textsc{Bolzano-Weierstrass}, puisque la suite
est born\'ee.

On aurait alors une nouvelle valeur d'adh\'erence, qui n'appartiendrait \`a aucune des
boules susdites. Par le crit\`ere de \textsc{Virenque}, c'est qu'on nous z'aurait menti quant
\`a la liste des valeurs d'adh\'erence: et donc notre hypoth\`ese de d\'epart est fausse, cqfd.
\subsubsection{}
Il est temps d'utiliser le choix (3) dans les hypoth\`eses. 

Choisissons $\eps$ tel que toutes les valeurs $a_\mu$ soient distantes de plus de $4\eps$
(strictement): $0<4\eps<\inf\limits_{\mu\neq \nu} \|a_\mu - a_\nu\|$.

Consid\'erons le $n_\eps$ que nous savons y associer gr\^ace \`a la question pr\'ec\'edente,
et soit $n'$ tel que pour $k\ge n'\ \|x_{k+1} - x_n\|<\eps$:
je dis que toute la suite reste dans une m\^eme boule, pour $k\ge n_0 = \max(n', n_\eps)$.

En effet, si on avait $x_k \in B(a_\mu, \eps)$ et $x_{k+1} \in B(a_\nu, \eps)$avec $\nu$ diff\'erent de
$\mu$, alors
$\|x_{k+1}-x_k\| \ge  \|a_\mu - a_\nu \| - 2\eps \ge 2\eps$
par l'in\'egalit\'e triangulaire ou un beau dessin ou un peu de bon sens:
or ceci contredit le choix de $\eps$.\smallskip


Or dans cette boule il y a une seule valeur d'adh\'erence, donc (par un argument similaire
\`a la question pr\'ec\'edente) la suite converge vers icelle, cqfd.

\section{Enfin, la m\'ethode !}

Notons que la condition d\'efinissant $\h$ est donn\'ee ici par l'\'enonc\'e, une prime
pour ceux qui savent lire\dots


\subsection{}
Le choix de $\h_k$ permet donc d'annuler le terme $a_{p,q}^{(k+1)}$ (ex $b_{p,q}$).

\subsection{}
\subsubsection{}
$\eps_k = \sum\limits_{i\neq j} (a_{i,j}^{(k)})^2 \leq \sum\limits_{i\neq j} |a_{p,q}^{(k)}|^2
 = n(n-1)|a_{p,q}^{(k)}|^2$ par d\'efinition de $p$ et $q$.
\subsubsection{}
On remplace les termes qui changent: (c'est plut\^ot III.B.2 qui sert, je trouve)
\begin{multline*}
   \eps_k - \eps_{k+1} = 
   \sum_{i\notin\{p,q\}} |a_{i,p}^{(k)}|^2 +
   \sum_{i\notin\{p,q\}} |a_{i,q}^{(k)}|^2 + 
   2 |a_{p,q}^{(k)}|^2 - 
   \sum_{i\notin\{p,q\}} |a_{i,p}^{(k+1)}|^2 -
   \sum_{i\notin\{p,q\}} |a_{i,q}^{(k+1)}|^2 - 
   2 |a_{p,q}^{(k+1)}|^2 \\
   =
   \sum_{i\notin\{p,q\}} (\cos\h\: a_{i,p}^{(k)} - \sin\h\: a_{i,q}^{(k)})^2 +
   \sum_{i\notin\{p,q\}} (\sin\h\: a_{i,p}^{(k)} + \cos\h\: a_{i,q}^{(k)})^2 +
   2 |a_{p,q}^{(k)}|^2 - 
    \sum_{i\notin\{p,q\}} |a_{i,p}^{(k)}|^2 
   = 2 |a_{p,q}^{(k)}|^2
\end{multline*}
\subsubsection{}
En utilisant les deux r\'esultats pr\'ec\'edents, il vient d'abord
$- 2|a_{p,q}^{(k)}|^2 \le -\dfrac2{n(n-1)} \eps_k$, puis
$$
    0 \le \eps_{k+1} = \eps_k - 2|a_{p,q}^{(k)}|^2 \le \eps_k \Bigl( 1 - \dfrac2{n(n-1)}\Bigr)
$$

Il en r\'esulte que $(\eps_k)_k$ est domin\'ee par une suite g\'eom\'etrique de raison $<1$, 
et donc tend vers 0.


Cela signifie que la suite de matrices $(B_k)$ tend vers 0 dans l'espace vectoriel norm\'e 
(Mat($\R, n), ||  \ �||)$.

\subsection{}
\subsubsection{}

 $\Delta = \lim D_{k_l}$ appartient 
au m\^eme espace vectoriel (ferm\'e) que tous les $D_{k_l}$, c'est \`a dire l'espace des matrices
diagonales .
\subsubsection{}
Par construction, le polyn\^ome caract\'eristique de $A$ reste \'egal \`a celui
de $A_k$. 

Or la (sous-)suite $B_{k_l}$ tend vers $0$, donc les coefficients du 
polyn\^ome caract\'eristique de $\Delta_{k_l}$, qui d\'ependent continuement
(ce sont des fonctions polyn\^omes)
des coefficients de la matrice, tendent vers ceux de $A_{k_l}$ qui sont
exactement ceux du polyn\^ome caract\'eristique de $A$.

\`A la limite, $A$ et $\Delta$ ont donc le m\^eme polyn\^ome caract\'eristique.
\subsubsection{}
$A$ et $\Delta$ ont donc les
m\^emes valeurs propres, avec les m\^emes multiplicit\'es.
%
Donc $\Delta$ est une des diagonalis\'ees de $A$, cqfd.
\subsection{}
\subsubsection{}
$\|D_k\| \le \|A_k\| + \| B_k\| \to \| A\|$
puisque $B_k \to 0$ et $\| A_k\| = \| A \|$.

Donc la suite $D_k$ est born\'ee. De plus,
en notant $a= a_{p,p}^{(k)}, b=a_{p,q}^{(k)}, c = a_{q,q}^{(k)},\h=\h_k$, on a
$$
    a_{p,p}^{(k+1)}=a \cos^2 \h - 2 b \cos\h\sin\h + c \sin^2\h
     = \dfrac{a+c}2 + \dfrac{a-c}2\cos2\h - b\sin2\h\ , \quad
     a_{q,q}^{(k+1)}=\dfrac{a+c}2 - \dfrac{a-c}2\cos2\h - b\sin2\h 
$$
Comme seuls deux termes diagonaux changent, compte tenu de ce que 
$\tan2\h = \dfrac{\sin2\h}{\cos2\h}=\dfrac{2b}{c-a}$ 
il vient
\begin{multline*}
   \|D_k - D_{k+1}\|^2 =  (a_{p,p}^{(k+1)} - a)^2 + (a_{q,q}^{(k+1)}-c)^2 =
   \bigl(\dfrac{a-c}2 (1-\cos2\h) + b\sin2\h\bigr)^2 + 
   \bigl(\dfrac{a-c}2 (1-\cos2\h) - b\sin2\h\bigr)^2 \\
   = \dfrac{(a-c)^2}2 (1- \cos2\h)^2 + 2b^2 \sin^22\h
   = 2b^2 \cos^22\h\bigl(\dfrac{(1- \cos2\h)^2}{\sin^2 2 h} + 1\bigr)
   = 2b^2 \cos^22\h\dfrac{2- 2\cos2\h}{\sin^2 2 h}
   = 2b^2 \dfrac{\cos^2 2\h}{\cos^2\h}
   = b^2 (4- \dfrac2{\cos^2\h}) 
\end{multline*}
et tout ceci est major\'e par $4b^2 \le 2\eps_k^2 \to 0$.
\subsubsection{}
Les trois hypoth\`eses de la partie IV sont v\'erifi\'ees, donc la suite $(D_k)$ converge.

Il en r\'esulte que 
$A_k = D_k $ (converge) $+ B_k$ (tend vers 0) converge vers la m\^eme limite, qui
est une des diagonalis\'ees de $A$.


\section{Exemple pour $n=3$}

Le gros coefficient est le 12 ($p=2, q=3$). On a sans calculs puisque la cotangente fut d\'ej\`a
rencontr\'ee en II.E.
$$
   \cotan 2\h_0 = -\dfrac7{24} \qquad \cos \h_0 = \dfrac45 \qquad \sin\h_0 = -\dfrac35
$$
%
Ce qui donne ensuite
$$
  A_1 = \begin{pmatrix}  15 & 5 & 0 \\ 5 & 15 & 0 \\ 0 & 0 & -10 \end{pmatrix}
  \qquad
  \theta_1 = \dfrac{\pi}4
  \qquad
  A_2 = \begin{pmatrix}  10 & 0 & 0 \\ 0 & 20 & 0 \\ 0 & 0 & -10 \end{pmatrix}
$$
Ce sont, \'evidemment, les valeurs propres de $A$.

Notons qu'en gardant trace des matrices de changement de base
$\Omega_k, k=0,1$, on peut m\^eme trouver la matrice de changement de base finale !

\end{document}