%Format: ML-LaTeX2e
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\begin{document}
\input upsnum.sty
\bigskip
%\maketitle

\centerline{{\bf  { \Large Concours Centrale-Sup\'elec  2000}}}
\vskip 6mm
\centerline{{\bf  { \large  Maths 2 - PC}}}

\bigskip
%\centerline{ Correcteur: Cr\'epy Pierre}
\vskip 1cm


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{ Partie I - Propri\'et\'es de la transform\'ee de Legendre.}
%
Pour $f:I\rightarrow {\bf R}$ et $p\in {\bf R}$ on d\'esigne par $d_p$ la fonction
$x\in I  \rightarrow px-f(x)$.

\noindent
On note $J(f)=\{ p\in {\bf R} \, / \, d_p \mbox{ major\'ee sur } I \}$ et on 
appelle 
{\it transform\'ee de  Legendre} de $f$, la fonction $g$ ( not\'ee  ${\cal L}(f)$ )
d\'efinie par 
$$
\forall p \in J(f), \quad g(p)=\sup_{x\in I} d_p(x).
$$
 
\begin{itemize}
\item[{\bf I.A -}]{\bf  Exemples} 

\item[I.A.1)] 
Soit $f(x)=kx^2$ avec $k>0$ et $I={\bf R}$. 

La fonction $d_p$
 a pour d\'eriv\'ee $d_p'(x)=p-2kx$, d'o\`u son tableau de variations 

\medskip
\centerline{
\begin{tabular}{c|ccccc}
  $x$     &$-\infty$&          &$\frac{p}{2k}$ &           &$+\infty$\\
\hline\hline
$d_p'(x)$ &         &      +   &        0       &      -    &       \\
\hline
          &         &          &$\frac{p^2}{4k}$&          &        \\ 
$d_p$     &         &$\nearrow$&                &$\searrow$ &          \\ 
          &$-\infty$&          &                &           & $-\infty$
\end{tabular}
}

\medskip
Il en r\'esulte que  $J(f)={\bf R}$ et ${\cal L}(f): p \rightarrow \dfrac{p^2}{4k}$

%
\begin{figure}[h]
 \hspace*{5cm}
 \epsfclipon
 \epsfxsize=7cm \epsffile{m00cp2fa.ps}
 \caption[1]{\textit{graphe de ${\cal L}(f)$}}
\end{figure}

\item[I.A.2)] 
Soit $f(x)=e^x$ et $I={\bf R}$.

Pour $p<0$, on a $\dlim_{x\rightarrow -\infty}d_p(x)=+\infty$.

Pour $p=0$, on a $\dsup_{x\in {\bf R}} d_p(x) = 
\dlim_{x\rightarrow -\infty}d_p(x)=0$.

Pour $p>0$, on a $d_p'(x)=p-e^x$, d'o\`u le tableau de variations de $d_p$ 

\medskip
\centerline{
\begin{tabular}{c|ccccc}
  $x$     &$-\infty$&          &$\ln(p)$ &           &$+\infty$ \\
\hline\hline
$d_p'(x)$   &         &      +   &        0       &      -    &       \\
\hline
          &         &          & $p \ln(p)-p$&          & \\ 
$d_p$       &         &$\nearrow$&                &$\searrow$ &          \\ 
          &$-\infty$&          &                &           & $-\infty$
\end{tabular}
}

\medskip
Il en r\'esulte que  $J(f)={\bf R}^+$ et   
${\cal L}(f): p \longrightarrow \left\{ 
\begin{array}{ll}
  0       & \mbox{ si } p=0 \\
p\ln(p)-p & \mbox{ si } p>0 
\end{array}\right.
$

%
\begin{figure}[h]
 \hspace*{5cm}
 \epsfclipon
 \epsfxsize=7cm \epsffile{m00cp2fb.ps}
 \caption[2]{\textit{graphe de ${\cal L}(f)$}}
\end{figure}

\item[I.A.3)] 
Soit $f(x)=\mbox{Arctan}(x)$ et $I={\bf R}$.

On a $\dlim_{x\rightarrow -\infty}d(x)=+\infty$ si $p<0$ et
 $\dlim_{x\rightarrow +\infty}d(x)=+\infty$ si $p>0$.

Il en r\'esulte que  $J(f)=\{0\}$ et ${\cal L}(f)(0)=
\dsup_{x\in {\bf R}}\left( -\mbox{Arctan}(x) \right) =\dfrac{\pi}{2}$.
  
%
\item[{\bf I.B -}]{\bf  Etude g\'en\'erale } 

Soit $f:I\rightarrow {\bf R}$ tel que $J(f)\neq \emptyset$. 

\item[I.B.1)] 
Pour $a$ et $b$ dans $J(f)$ et $t\in[0,1]$, on a
$d_{ta+(1-t)b}(x)=t d_a(x) + (1-t) d_b(x)$, ainsi la fonction $d_{ta+(1-t)b}$
est major\'ee sur $I$ et donc  $ta+(1-t)\in J(f)$.

Il en r\'esulte que $J(f)$ est un intervalle.

\item[I.B.2)]
Avec les hypoth\`ese de I.B.1), on a
$$\forall x \in I, \quad d_{ta+(1-t)b}(x)\leq  t \sup_{x\in I} d_a(x) + 
(1-t) \sup_{x\in I} d_b(x)$$
ainsi $g(ta+(1-t)b) \leq  t g(a) + (1-t) g(b)$.

Il en r\'esulte que $g={\cal L}(f)$ est une fonction convexe sur $J(f)$.

\item[I.B.3)] 

\item[ a)] 
Si $I\subset {\bf R}^+$, pour $p_1\leq p_2$ et $x\in I$, on a
$d_{p_1}(x)\leq d_{p_2}(x)$.  $g={\cal L}(f)$
 est donc une fonction croissante sur $J(f)$.

\item[ b)]
 Si $I\subset {\bf R}^+$, pour $p_1\leq p_2$ et $x\in I$, on a
$d_{p_1}(x)\geq d_{p_2}(x)$. $g={\cal L}(f)$
 est donc une fonction d\'ecroissante sur $J(f)$.

%
\item[{\bf I.C -}]{\bf Etude d'un cas particulier } 

Soit $f\in C^2(I, {\bf R} )$ telle que: $\forall x \in I, \; f''(x)>0$.
On note $\alpha$ et $\beta$ les extr\'emit\'es de l'intervalle $f'(I)$. 

\item[I.C.1)] 
Pour $p\in ]\alpha,\beta[$, la fonction $d_p$ a pour d\'eriv\'ee $d_p'(x)=p-f'(x)$.
$f'$ \'etant strictement croissante sur $I$, d'apr\`es le th\'eor\`eme des valeurs 
interm\'ediaires, il existe un unique $x\in I$, not\'e $x(p)$, tel que $f'(x)=p$,
d'o\`u le tableau de variations 

\medskip
\centerline{
\begin{tabular}{c|ccccc}
  $x$       &       &          & $x(p)$ &            & \\
\hline\hline
$d_p'(x)$   &   +   &$\searrow$&  0     &$\searrow$& -      \\
\hline
          &         &          & $g(p)$ &          & \\ 
$d_p$       &       &$\nearrow$&        &$\searrow$ &           
\end{tabular}
}

\medskip
Il en r\'esulte que $p\in J(f)$ , ainsi  $]\alpha,\beta[ \subset J(f)$, 
et 
$$\forall p \in ]\alpha,\beta[, \quad  g(p)=p x(p)-f(x(p)) \; \mbox{ o\`u } \; 
x(p)=(f')^{-1} (p).
$$ 

\item[I.C.2)] 
La fonction $x$ est de classe $C^1$ sur $]\alpha,\beta[$, ainsi $g$
est de classe $C^1$ sur $]\alpha,\beta[$ et un calcul imm\'ediat donne 
$$\forall p \in ]\alpha,\beta[, \quad  g'(p)=x(p).$$   

\item[I.C.3)] 
Pour $p \in ]\alpha,\beta[$, la tangente $D_p$ au point d'abscisse $x(p)$ au
graphe de $f$ a pour \'equation 

$y-f(x(p))=f'(x(p))(x-x(p))$. Sachant que $f'(x(p))=p$, on obtient
$$y=px-g(p).$$

\item[I.C.4)] 
On note ${\cal H}= \{ h\in C^2({\bf R}, {\bf R} ) \; / \; 
\forall x \in {\bf R}, \; h''(x)>0  \mbox{ et } h'({\bf R})={\bf R} \}$.

\item[ a)]
Soit $h \in {\cal H}$ et $g={\cal L}(h)$. 

D'apr\`es  I.C.1), on a $J(h)={\bf R}$ et d'apr\`es  I.C.2), on a $g'=x=(h')^{-1}$
ainsi $g'$ est un 
$C^1-$~diff\'eomorphisme de  ${\bf R}$ et $g\in C^2({\bf R}, {\bf R} )$.

Il en r\'esulte que $g\in {\cal H}$ et donc ${\cal L}({\cal H})\subset {\cal H}$.

\item[ b)]
Soit $h \in {\cal H}$ et $g={\cal L}(h)$.  D'apr\`es  a), on peut d\'efinir 
$g_1={\cal L}(g)$
$$\forall p \in {\bf R}, \quad  g_1(p)=p x_1(p)-g(x_1(p)) \; \mbox{ o\`u } \; 
x_1(p)=(g')^{-1} (p).
$$
 D'apr\`es  I.C.2), on a  ${g_1}'=(g')^{-1}=h'$.

Par ailleurs, comme $x_1(x(p))=p$, on a $g_1(x(p))=x(p)p-g(p)=h(x(p))$.

Il en r\'esulte que $g_1(x)=h(x)$ pour tout $x\in {\bf R}$ ou encore 
${\cal L}({\cal L}(h))=h$.

\item[ c)] 
D'apr\`es b),  ${\cal L}$ est une involution de  ${\cal H}$: c'est 
 donc une  bijection de  ${\cal H}$ sur  ${\cal H}$. 

\end{itemize}
\medskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{ Partie II - G\'en\'eralisation aux fonctions de plusieurs variables.}
%
Soit $f:E \rightarrow {\bf R}$ o\`u $E$ d\'esigne l'espace vectoriel 
${\bf R}^n$ muni du produit scalaire habituel, telle que 
pour tout $p\in E$, l'application $x\in E \rightarrow \langle p,x\rangle  -f(x)$ soit major\'ee.
On appelle {\it transform\'ee de  Legendre} de $f$, l' application $g={\cal L}(f)$ 
d\'efinie sur $E$ par $g(p)=\dsup_{x\in E} ( \langle  p,x\rangle  -f(x) )$.
 
\begin{itemize}
\item[II.1)] 
Soit ${\cal B}_0=(\epsilon_i)_{1 \leq i \leq n}$ la base orthonormale canonique 
de $E$. 

Soit $p\in E$ et $A \in {\cal M}_n( {\bf R})$ une matrice 
sym\'etrique d\'efinie positive ayant pour valeurs propres (strictement positives)  
$\{ \lambda_i \; / \;  i\in[1,n] \}$. On note  $F(x)= \langle  p,x\rangle  -f(x)$ o\`u $f(x)={}^t X A X$.

Il existe une base orthonormale ${\cal B}=(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ de $E$ telle
que 
$$
{}^t R A R =\Lambda= 
\left( 
\begin{array}{cccc}
 \lambda_1 &     0     & \ldots &  0      \\
   0       & \lambda_2 & \ddots &  \vdots \\ 
  \vdots   & \ddots    & \ddots &  0      \\ 
   0       & \ldots    &   0    & \lambda_n  
\end{array}
\right) \quad \mbox{ o\`u } R = {\cal M}_{{\cal B}_0}( {\cal B})\in O_n({\bf R}).
$$
Si $x=\dsum_{i=1}^n y_i e_i$ et $Y= \left( 
\begin{array}{c}
 y_1  \\
 y_2  \\ 
 \vdots \\ 
 y_n  
\end{array}
\right)$, on a $f(x)= {}^t Y \Lambda Y = \dsum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2$.

On a $p=\dsum_{i=1}^n q_i e_i$ et $\langle  p,x\rangle =\dsum_{i=1}^n q_i y_i$. Ainsi
$$F(x)=F_1(y_1,\ldots,y_n)=   \dsum_{i=1}^n q_i y_i-\lambda_i y_i^2.
$$

D'apr\`es I.A.1), chacune des $n$ fonctions $y_i \rightarrow q_i y_i-\lambda_i y_i^2$
est major\'ee sur ${\bf R}$ par $\dfrac{{q_i}^2}{4 \lambda_i}$, ainsi
$F$ est  major\'ee sur $E$ par $\dsum_{i=1}^n \dfrac{{q_i}^2}{4 \lambda_i}$,
ce qui assure l'existence de $g={\cal L}(f)$.

Pour $x=\dsum_{i=1}^n y_i e_i$ o\`u $y_i=\dfrac{q_i}{2 \lambda_i}$, on a 
$F(x)=F_1(y_1,\ldots,y_n)= \dsum_{i=1}^n \dfrac{{q_i}^2}{4 \lambda_i}$, ainsi $F$ atteint 
sa borne sup\'erieure.

\item[II.2)]
Pour $p=(p_1,\ldots,p_n)=\dsum_{i=1}^n q_i e_i$, on a $P= R Q$ o\`u
 $P= \left( \begin{array}{c}
 p_1  \\  p_2  \\  \vdots \\  p_n  
\end{array} \right)$ et 
 $Q= \left( \begin{array}{c}
 q_1  \\  q_2  \\  \vdots \\  q_n  
\end{array} \right)$.

Un calcul matriciel simple donne
$$\dsum_{i=1}^n \dfrac{{q_i}^2}{4 \lambda_i}= 
{}^t Q \left( 
\begin{array}{cccc}
 \dfrac{1}{4 \lambda_1} &     0     & \ldots &  0      \\
   0       & \dfrac{1}{4 \lambda_2} & \ddots &  \vdots \\ 
  \vdots   & \ddots    & \ddots &  0      \\ 
   0       & \ldots    &   0    & \dfrac{1}{4 \lambda_n} 
\end{array}
\right)Q ={}^t P B P$$
avec 
$$B=\dfrac{1}{4} R 
\left( 
\begin{array}{cccc}
 \dfrac{1}{\lambda_1} &     0     & \ldots &  0      \\
   0       & \dfrac{1}{\lambda_2} & \ddots &  \vdots \\ 
  \vdots   & \ddots    & \ddots &  0      \\ 
   0       & \ldots    &   0    & \dfrac{1}{\lambda_n} 
\end{array}
\right)R^{-1}= \dfrac{1}{4} A^{-1}$$ 
Il en r\'esulte que 
$$
\forall p \in E, \quad  g(p)={}^t P B P \; \mbox{ o\`u } \; B=\dfrac{1}{4} A^{-1}.
$$
De m\^eme, la fonction $h={\cal L}(g)$ s'exprime par
$$
\forall p \in E, \quad  h(p)={}^t P C P \; \mbox{ o\`u } \; C=\dfrac{1}{4} B^{-1}. 
$$
De l'\'egalit\'e $C=A$, on tire $h=f$ ou encore ${\cal L}({\cal L}(f))=f$.

\item[II.3)] \par

\item[ a)]
Pour $p\in E$ et $t>0$, le vecteur colonne associ\'e \`a $tp$ est $tP$, donc
$$f(tp) = {}^t (tP) A (tP) = t^2 \; {}^t P C P = t^2 f(p)$$
 
\item[ b)]
La d\'erivation de l'application compos\'ee $t\rightarrow  tp  \rightarrow f(tp)$
donne
$$\frac{d}{d t} f(tp) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial p_i}(tp) 
\frac{d}{d t}(tp_i)= \sum_{i=1}^n p_i \frac{\partial f}{\partial p_i}(tp) 
$$
Le calcul en $t=1$, combin\'e avec a), donne 
$$
\forall p \in E, \quad \sum_{i=1}^n p_i \frac{\partial f}{\partial p_i}(p)=2f(p)
$$

\item[II.4)] 
Pour $ p \in E$ fix\'e, la fonction $F$ (de classe $C^1$ sur $E$) atteint son 
maximum en un point critique $\xi$. Il v\'erifie donc  $($grad $F)(\xi)=0$.

Le calcul donne 
$\dfrac{\partial F}{\partial x_i}(x)= p_i - \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x)$,
ainsi  $($grad $f)(\xi)=p$.

En utilisant ce qui pr\'ec\`ede et II.3)b), on obtient
$\langle  p,\xi\rangle  = \langle  ($grad $f)(\xi),\xi\rangle  =2f(\xi)$.

Or $g(p)=F(\xi)= \langle  p,\xi\rangle  -f(\xi)$, ainsi, il existe $x(p)\in E$ 
(prendre  $x(p)=\xi$) tel que  $g(p)=f(x(p))$.

Notons que, d'apr\`es l'\'etude faite en II.1), $\xi$ est unique: c'est le vecteur 
$\dsum_{i=1}^n \dfrac{q_i}{2 \lambda_i} e_i$.

\end{itemize}
\medskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{ Partie III - Probl\`eme d'optimisation.}
%
Soit $A \in {\cal M}_n( {\bf R})$ une matrice 
sym\'etrique positive ayant pour valeurs propres ( positives ou nulles )  
$\{ \lambda_i \; / \;  i\in[1,n] \}$. Pour $p\in E$, on note  $F(x)= \langle  p,x\rangle  -f(x)$ o\`u 
$f(x)={}^t X A X$.

\noindent
Pour $C$, partie ferm\'ee, non vide, convexe de $E$ , on note 
$M = \{ x\in C \; / \; F(x)= \dsup_{y \in C} F(y) \}$.
 
\begin{itemize}
\item[{\bf III.A -}] {\bf Convexit\'e de $M$}

\item[III.A.1)] 
Pour $x_1$ et $x_2$ dans $C$ et $t\in[0,1]$, on a
$x=tx_1+(1-t)x_2 \in C$ puisque $C$ est convexe. Le calcul donne
\begin{eqnarray*}
F(x)& = & t\langle  p,x_1\rangle  + (1-t)\langle  p,x_2\rangle  
          -t^2 \; {}^t X_1 A X_1 -(1-t)^2 \;{}^t X_2 A X_2 - 2t(1-t)\; {}^t X_1 A X_2 \\
    & = & tF(x_1) + (1-t)F(x_2)
          +(t-t^2)\; {}^t X_1 A X_1 +((1-t)-(1-t)^2) \; {}^t X_2 A X_2 - 2t(1-t)\; {}^t X_1 A X_2 \\
    & = & tF(x_1) + (1-t)F(x_2)
          +t(1-t)\;({}^t X_1 A X_1 + {}^t X_2 A X_2 - 2{}^t X_1 A X_2) \\
    & = & tF(x_1) + (1-t)F(x_2)
          +t(1-t)\;{}^t (X_1-X_2) A (X_1 - X_2) 
\end{eqnarray*}


\item[III.A.2)] 
On suppose $M\neq \emptyset$. Soient $x_1$ et $x_2$ dans $M$, $t\in[0,1]$ et
$x=tx_1+(1-t)x_2$.

$A$ \'etant sym\'etrique positive, on a ${}^t Y A Y\geq 0$ pour tout vecteur colonne $Y$.
D'apr\`es III.A.1), on a donc $F(x) \geq  tF(x_1)+(1-t)F(x_2)$.  

Des \'egalit\'es  $F(x_1)=F(x_2)=\dsup_{y \in C} F(y)$, on d\'eduit 
$F(x) \geq \dsup_{y \in C} F(y)$ et donc $F(x)=\dsup_{y \in C} F(y)$.

Il en r\'esulte que $x\in M$ ainsi $M$ est convexe. 

%
\item[{\bf III.B -}] {\bf Cas particulier}
\item[III.B.1)] 
 Dans cette questiion, $A$ \'etant d\'efinie positive, on a  $k=\dmin_{i\in[1,n]} \lambda_i >0$.

Avec les notations de II.1), pour  $x=\dsum_{i=1}^n y_i e_i$, on a
$ {}^t X A X = {}^t Y \Lambda Y = \dsum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2 \geq
k \dsum_{i=1}^n  y_i^2$ ainsi
$$\forall x\in E, \quad  {}^t X A X \geq k\; {}^t X X.$$

\item[III.B.2)]
On choisit $x_0 \in C$ et on note $C_1=\{ x\in C \; / \; F(x) \geq F(x_0) \}$,
ainsi $$M = \{ x\in C_1 \; / \; F(x)= \dsup_{y \in C_1} F(y) \}.$$

On a $C_1= C \bigcap F^{-1}([ F(x_0),+\infty[)$ et $F$ continue sur $E$, ainsi
$C_1$ est un ferm\'e (non vide) de $E$.

Pour tout $x \in C_1$, on a ${}^t P X - {}^t X A X \geq F(x_0)$ donc
${}^t P X - F(x_0) \geq {}^t X A X $.

En utilisant III.B.1) et l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz, on obtient
$$
\| p \| \; \| x \|  - F(x_0) \geq {}^t P X - F(x_0) 
 \geq {}^t X A X \geq k \| x \| ^2
$$
Il en r\'esulte que  l'\'equation 
du  second degr\'e $k u^2 -\| p \| u + F(x_0)=0$ a des racines r\'eelles et que 
 $ \| x \| $ est compris entre ces racines.

Finalement, $C_1$ est un ferm\'e born\'e de $E$ donc un compact.
L'application continue $F$ atteint son maximum sur $C_1$ et assure ainsi la non 
vacuit\'e de $M$.

\item[III.B.3)]
 Soient $x_1$ et $x_2$ dans $M$. 
L'\'el\'ement $x=\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)$ appartient donc au convexe $M$.

D'apr\`es III.A.1), appliqu\'e \`a $x$, on obtient 
$\dsup_{y \in C} F(y)=2\dfrac{1}{2}\dsup_{y \in C} F(y)+\dfrac{1}{4}\;{}^t (X_1-X_2) A (X_1 - X_2)$. 

$A$ \'etant d\'efinie positive, ${}^t (X_1-X_2) A (X_1 - X_2)=0$ implique  $x_1-x_2=0$.

Il en r\'esulte que $M$ ne contient qu'un seul \'el\'ement.

%
\item[{\bf III.C -}]{\bf Une caract\'erisation des points  de $M$}

\item[III.C.1)]
$A$ \'etant positive, avec les notations de III.A.1), on a
$$
F(x)- F(x_2) = t(F(x_1)- F(x_2) +{}^t (X_1-X_2) A (X_1 - X_2))
               -t^2 \;{}^t (X_1-X_2) A (X_1 - X_2).
$$ 
En rempla\c{c}ant $F(x_1)$ et $F(x_2)$ par leurs expressions, on obtient 
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{F(x_1)- F(x_2) +{}^t (X_1-X_2) A (X_1 - X_2)  }\\
& = & {}^tP (X_1-X_2) -{}^t X_1 A X_1 +{}^t X_2 A X_2  +{}^t (X_1-X_2) A (X_1 - X_2)\\
& = &  {}^tP(X_1-X_2)-2\; {}^t X_2 A(X_1-X_2) \\
& = &  {}^t(P-2A X_2)(X_1-X_2)
\end{eqnarray*}
D'o\`u la relation demand\'ee 
$$
F(x)-F(x_2) = t \;{}^t(P-2A X_2)(X_1-X_2) -t^2 \;{}^t (X_1-X_2) A (X_1 - X_2).
$$ 

\item[III.C.2)]
Soit $x\in M$. Pour tout $y \in C$ et 
 $t\in[0,1]$, on a $z=ty+(1-t)x \in C$ donc $F(z)- F(x) \leq 0$.

D'apr\`es  III.C.1), on a
$F(z)- F(x)=  t \;{}^t(P-2A X)(Y-X) -t^2 \;{}^t (Y-X) A (Y-X)$,
ce qui entra\^{\i}ne  ${}^t(P-2A X)(Y-X) -t \;{}^t (Y-X) A (Y-X)\leq 0$ pour 
tout $t\in]0,1]$. 

Si  ${}^t(P-2A X)(Y-X)\rangle 0$, on peut obtenir
${}^t(P-2A X)(Y-X) -t \;{}^t (Y-X) A (Y-X))> 0$ en choisisant $t>0$ et
suffisamment 
petit. Il en r\'esulte que  
$$
x\in M \Rightarrow \left( x\in C \; \mbox{ et } \; 
\forall y \in C, \; {}^t(P-2A X)(Y-X)\leq 0 \right).
$$

Inversement, soit $ x\in C$ tel qu'on ait  ${}^t(P-2A X)(Y-X)\leq 0$
pour tout  $y \in C$.

En utilisant III.C.1) et le fait que $A$ soit positive, on obtient 
$$F(y)-F(x) = {}^t(P-2A X)(Y-X) - \;{}^t (Y-X) A (Y - X)\leq {}^t(P-2A X)(Y-X) \leq 0$$ 
Il en r\'esulte que $x\in M$.

La caract\'erisation trouv\'ee s'\'ecrit \'egalement
$$\forall y \in C, \; \langle  ( \mbox{grad} F)(x),y-x\rangle  \leq 0.$$

%
\item[{\bf III.D -}] {\bf Cas o\`u $C$ est born\'e}

On suppose $C \subset B_f(O,R)$.

\item[III.D.1)]
$C$ est un ferm\'e born\'e donc un compact. Comme au III.B.2), la continuit\'e de 
$F$ assure la non vacuit\'e de $M$.

Lorsque $A$ n'est pas d\'efinie positive, $M$ peut avoir plus d'un \'el\'ement. 
Par exemple, soit $A=0$, $p=(1,0,\ldots,0)$ et $C=[0,1]^n$ avec $n\geq 2$.
On a $F(x)=\langle  p,x\rangle =x_1$ ainsi  $M=\{1 \} \times[0,1]^{n-1}$ a une infinit\'e 
d'\'el\'ements.

\item[III.D.2)]
La caract\'erisation des applications lin\'eaires continues assure l'existence 
de $\alpha \in {\bf R}$ tel que 
$$\forall x \in E,\; \|AX\| \leq \alpha \|X\|.$$

Pr\'ecisons la d\'emonstration dans le contexte euclidien, avec les notations de II.1). 

Si $x=\dsum_{i=1}^n y_i e_i$ et $Y= \left( 
\begin{array}{c}
 y_1  \\
 y_2  \\ 
 \vdots \\ 
 y_n  
\end{array}
\right)$, on a 
$
\|AX\|^2 =  {}^t X A^2 X =  {}^t Y \Lambda^2 Y = 
\dsum_{i=1}^n \lambda_i^2  y_i^2$.

En notant $\alpha=\sqrt{\dmax_{i\in[1,n]} \lambda_i^2}$, on obtient 
$$
\|AX\|^2 \leq \alpha^2 \dsum_{i=1}^n y_i^2 = \alpha^2 \|X\|^2
$$
d'o\`u la relation demand\'ee. 

\item[III.D.3)]
Soir $r$ tel que $r> \sup \{ 6 \alpha R^2, 2R(\|p\|+ 2 \alpha R) \}$. 
\item[ a)] 
Soit $m\in {\bf N}$ et $u_m\in C$. 

L'application 
$x\rightarrow  \langle   -( \mbox{grad} F)(u_m),x\rangle $ \'etant continue, atteint
sa borne inf\'erieure  sur $C$. Ainsi il existe $v_m \in C$ tel que 
$\forall  x \in C, \;  \langle   -( \mbox{grad} F)(u_m),v_m\rangle  \leq  \langle   -( \mbox{grad} F)(u_m),x\rangle $
qui s'\'ecrit matriciellement
 
\hspace{1cm} i) \quad $\forall  x \in C, \quad  {}^t(2A U_m-P)V_m \leq  {}^t(2A U_m-P)X$.

\item[ b)]
Il r\'esulte de i) que  ${}^t(P-2A U_m)(V_m-U_m) \geq 0$.
En utilisant l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz et III.D.2), on obtient
\begin{eqnarray*}
{}^t(P-2A U_m)(V_m-U_m) & \leq & \|P-2A U_m\| \|V_m-U_m\| \\
 & \leq  & (\|P\|+2 \alpha \|U_m\|)(\|V_m\|+\|U_m\|) \\
 & \leq  & 2R((\|P\|+2 \alpha R)\leq r.
\end{eqnarray*}
Ainsi le r\'eel $t_m$ d\'efini par

\hspace{1cm} ii) \quad $t_m=\dfrac{1}{r}{}^t(P-2A U_m)(V_m-U_m)$,

v\'erifie $t_m\in[0,1]$.

\item[ c)]
Soit $u_{m+1}$ d\'efini par

\hspace{1cm} iii) \quad $u_{m+1}=u_m+t_m(v_m-u_m)$,

alors par convexit\'e de $C$, $u_{m+1}=t_mv_m+(1-t_m)u_m$ est dans $C$.

\medskip

Pour $u_0\in C$, les questions a), b) et c) permettent de d\'efinir, \`a partir
des trois relations i), ii) et iii),  $v_0\in C$, $t_0\in[0,1]$ et $u_1\in C$.
Par r\'ecurrence sur $m$, \`a partir de $u_m$, on d\'efinit $v_m\in C$, 
$t_m \in[0,1]$ et $u_{m+1}\in C$, 

d'o\`u la d\'efinition,  \`a partir de $u_0\in C$, des 
suites  $(u_m)$ et $(v_m)$ de $C$ et de la suite $(t_m)$ de $[0,1]$. 

\item[III.D.4)]
En utilisant  ii) et III.C.1) avec $x_2=u_m$ et $x=u_{m+1}$, on obtient  
\begin{eqnarray*}
F(u_{m+1})-F(u_m) & = &  t_m \;{}^t(P-2A U_m)(V_m-U_m) -{t_m}^2 \;{}^t (V_m-U_m) A (V_m - U_m) \\
& = & {t_m}^2(r- {}^t (V_m-U_m) A (V_m - U_m)) 
\end{eqnarray*}
D'apr\`es l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz, on a
${}^t (V_m-U_m) A (V_m - U_m) \leq \alpha \|V_m-U_m \|^2 
\leq 4 \alpha R^2 \leq r$.

Il en r\'esulte que $(F(u_m))$ est une suite r\'eelle croissante. Etant  major\'ee par 
$\dsup_{y \in C} F(y)$,  elle est donc convergente. 

On a $r- 4 \alpha R^2 >0$ m\^eme si $\alpha=0$.  
Ainsi la relation pr\'ec\'edente et la convergence de la suite  $(F(u_m))$ 
impliquent que $\dlim_{m\rightarrow +\infty}t_m=0$.

Par ailleurs,  $(u_m)$ et $(v_m)$ sont deux suites du compact $C$, il existe donc
$\varphi:{\bf N} \rightarrow  {\bf N}$ strictement croissante tel que 
les suites extraites  $(u_{\varphi(m)})$  et $(v_{\varphi(m)})$ convergent dans $C$ vers $u$ et $v$
respectivement.

Le passage \`a la limite, avec les relation i) et ii) 
$$
\forall  x \in C, \quad  {}^t(2A U_{\varphi(m)}-P)V_{\varphi(m)} 
\leq  {}^t(2A U_{\varphi(m)}-P)X,
$$
$$ 
t_{\varphi(m)}=\frac{1}{r}
{}^t(P-2A U_{\varphi(m)})(V_{\varphi(m)}-U_{\varphi(m)}),
$$
donne 
$$
\forall  x \in C, \quad {}^t(2A U-P)V \leq  {}^t(2A U -P)X \quad \mbox{ et }
\quad {}^t(P-2A U)(V-U)=0
$$
Il en r\'esulte que 
$
\forall  x \in C, \;  {}^t(2A U-P)U \leq  {}^t(2A U -P)X$
ainsi, d'apr\`es III.C.2), $u\in M$.


\end{itemize}
\bigskip
{\centerline{---------------------------\-}}
\end{document}
















