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\newenvironment{lsq} % Liste des sous questions
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\parindent=0pt

\begin{document}
\title{Centrale \'{e}preuve de math\'{e}matiques II}
\maketitle

Le but du probl\`{e}me est d'\'{e}tablir certains r\'{e}sultats sur les polytopes de $\mathbb R^n$
(voir d\'{e}finition plus loin) notamment lorsque $n=2$.

\begin{itemize}
  \item On utilisera la structure euclidienne de $\mathbb R^n$ (ses \'{e}l\'{e}ments, consid\'{e}r\'{e}s comme des
  vecteurs, seront not\'{e}s avec une fl\`{e}che, $\overrightarrow{U}$ par exemple) ainsi que sa
  structure d'espace affine euclidien et, dans ce cas, ses \'{e}l\'{e}ments seront appel\'{e}s points et not\'{e}s sans
  fl\`{e}che, $M$ par exemple. $O=(0,0,\ldots,0)$ d\'{e}signe l'origine de l'espace affine $\mathbb R^n$.

  \item $\mathbb R^n$ est muni de sa structure euclidienne canonique, le produit scalaire s'\'{e}crira
  \[
  (\overrightarrow{U}|\overrightarrow{V})=\sum\limits_{i=1}^{n}u_iv_i
  \]
  o\`{u} $\overrightarrow{U}=(u_1,\ldots,u_n)$, $\overrightarrow{V}=(v_1,\ldots,v_n)$. La norme de
  $\overrightarrow{U}$ sera not\'{e}e $\|\overrightarrow{U}\|$.
\end{itemize}

{\it D\'{E}FINITIONS}
\begin{enumerate}
  \item \textbf{Combinaison affine, combinaison convexe}~:
  soient $M_1,\ldots,M_p$ $p$ points de $\mathbb R^n$, $\lambda _1,\ldots,\lambda _p$ $p$ r\'{e}els
  \textbf{de somme \'{e}gale \`{a} 1}, on appelle combinaison affine des points $M_i(\lambda _i)$ le point
  \[
  M=\lambda _1M_1+\cdots+\lambda _pM_p
  \]
  barycentre des points $M_i$ affect\'{e}s des coefficients $\lambda _i$,
  ce qui se traduit vectoriellement par
  la relation $\overrightarrow{OM}=\sum\limits_{i=1}^{p}\lambda _i\overrightarrow{OM_i}$.

  \noindent
  Lorsque les $\lambda _i$ sont tous $\ge 0$, on parlera de combinaison convexe.

  \item \textbf{Ensemble convexe}~:
  soit $C$ un sous-ensemble non vide de points de $\mathbb R^n$. On dit que $C$ est convexe s'il
  est stable par combinaison convexe (i.e. pour tout $p$ de $\mathbb N^*$, pour tout $p$-uplet
  $(M_1,\ldots,M_p)$ de points de $C$ et pour tout $p$-uplet $(\lambda _1,\ldots,\lambda _p)$
  de r\'{e}els positifs, de somme \'{e}gale \`{a} 1,
  on a $\sum\limits_{i=1}^{p}  \lambda _iM_i\in C$).

  \item \textbf{Polytope}~:
  On appelle polytope l'ensemble des combinaisons convexes d'une partie
  finie $\{M_1,\ldots,M_p\}$ de $\mathbb R^n$ ($p$ entier, $p\ge 1$). Cet ensemble, not\'{e}
  $\text{conv\,}(M_1,\ldots,M_p)$, est d\'{e}fini par
  \[
  \text{conv\,}(M_1,\ldots,M_p)=
  \{M\in \mathbb R^n\ |\ \exists (\lambda _1,\ldots,\lambda _p)\in \mathbb R_+^p,\
  \sum\limits_{i=1}^{p}\lambda _i=1,\ M=\sum\limits_{i=1}^{p} \lambda _iM_i\}).
  \]
  Par exemple $\text{conv\,}(M_1,M_2)$ est le segment $[M_1,M_2]$.
  \begin{itemize}
    \item en dimension 2, on parle de polygone convexe,

    \item en dimension 3, on parle de poly\`{e}dre convexe.
  \end{itemize}

  \item \textbf{Point extr\'{e}mal}~:
  soit $C$ un sous-ensemble convexe de $\mathbb R^n$, on dit qu'un point $A\in C$ est extr\'{e}mal si
  $C\setminus\{A\}$ est encore convexe.
\end{enumerate}

\medskip

\centerline{\sc Partie I~: quelques propri\'{e}t\'{e}s des polytopes.}
\begin{liq}{I}
  %I.1
  \item
  \begin{lsq}
    %a
    \item Montrer que tout segment de $\mathbb R^n$ est convexe.

    %b
    \item Montrer que tout demi-plan ferm\'{e} ou ouvert $F$ de $\mathbb R^{2}$ est convexe.

    On rappelle qu'un
    demi-plan ferm\'{e}, respectivement ouvert de $\mathbb R^{2}$ peut \^{e}tre d\'{e}fini de la fa\c{c}on suivante~:
    \[
    \exists \overrightarrow{U}\in \mathbb R^{2}\setminus\{0\},\ \exists a\in \mathbb R\ |\
    M\in F \Leftrightarrow (\overrightarrow{OM}|\overrightarrow{U})\le a,
    \]
    respectivement
    \[
    \exists \overrightarrow{U}\in \mathbb R^{2}\setminus\{0\},\ \exists a\in \mathbb R\ |\
    M\in F \Leftrightarrow (\overrightarrow{OM}|\overrightarrow{U})< a.
    \]

    %c
    \item Montrer que, si $(C_{\alpha })_{\alpha \in \mathcal A}$ est une famille de convexes de $\mathbb R^n$,
    $\mathcal A$ ensemble non vide d'indices, alors
    $C=\displaystyle\bigcap_{\alpha \in \mathcal A}^{}C_{\alpha }$ est convexe.
  \end{lsq}

  %I.2
  \item Soit $C$ un sous-ensemble non vide de $\mathbb R^n$, on suppose que
  \[
  \forall (M,N)\in C^{2},\ [M,N]\subset C.
  \]
  Montrer par r\'{e}currence sur $p$ que toute combinaison convexe de $p$ \'{e}l\'{e}ments de $C$ appartient \`{a}
  $C$ c'est \`{a} dire que
  \[
  \forall (M_1,\ldots,M_p)\in C^p,\ \forall (\lambda _1,\ldots,\lambda _p)\in \mathbb R_+^p,\
  \sum\limits_{i=1}^{p}\lambda _i=1,\
  \sum\limits_{i=1}^{p} \lambda _iM_i\in C.
  \]
  En d\'{e}duire une caract\'{e}risation d'un ensemble convexe.

  %I.3
  \item Dans $\mathbb R^{2}$, on appelle triangle tout polygone convexe
  $\text{conv\,}(M_1,M_2,M_3)$ o\`{u} $M_1$, $M_2$, $M_3$ sont trois points non align\'{e}s.
  On note $F_1$ le demi-plan ferm\'{e}
  contenant le point $M_1$ et de fronti\`{e}re la droite $M_2M_3$.
  On d\'{e}finit de m\^{e}me, par permutation circulaire, les demi-plans $F_2$ et $F_3$.
  \begin{lsq}
    %a
    \item Montrer que $\text{conv\,}(M_1,M_2,M_3)=F_1\cap F_2\cap F_3$
    (on pourra commencer par prouver que, si $M=\lambda _1M_1+\lambda _2M_2+\lambda _3M_3$ alors
    ($M\in F_1 \Leftrightarrow \lambda _1\ge 0$)).

    %b
    \item Montrer que $M_1$ est un point extr\'{e}mal de $\text{conv\,}(M_1,M_2,M_3)$.
  \end{lsq}

  %I.4
  \item Montrer que l'image d'un polytope par une bijection affine de $\mathbb R^n$ dans lui-m\^{e}me
  est un polytope.

  %I.5
  \item Soit $T=\{(\lambda _1,\ldots,\lambda _p)\in [0,1]^p\ |\
  \lambda _1+\cdots+\lambda _p=1\}$.
  \begin{lsq}
    %a
    \item Montrer que $T$ est un compact de $\mathbb R^p$.

    %b
    \item Soit $(M_1,\ldots,M_p)$ $p$ points de $\mathbb R^n$, on d\'{e}finit l'application
    \[
    f~: (\lambda _1,\ldots,\lambda _p)\in \mathbb R^p \mapsto
    \lambda _1M_1+\cdots+\lambda _pM_p\in \mathbb R^n.
    \]
    Dire rapidement pourquoi $f$ est continue.

    %c
    \item Montrer que tout polytope est compact.

    %d
    \item En d\'{e}duire que, dans $\mathbb R^{2}$, si une droite $\Delta $ coupe un polygone convexe
    $\mathcal P$ alors l'intersection est un segment, \'{e}ventuellement r\'{e}duit \`{a} un point.
  \end{lsq}

  %I.6
  \item
  \begin{lsq}
    %a
    \item Soient $\mathcal P$ un polytope de $\mathbb R^n$ et $F$ un demi-espace ferm\'{e} contenant
    $\mathcal P$ d\'{e}fini par
    \[
    F=\{M\in \mathbb R^n\ |\ (\overrightarrow{OM}|\overrightarrow{U})\le a\}
    \]
    o\`{u} $\overrightarrow{U}$ est un vecteur non nul de $\mathbb R^n$ et $a$ un r\'{e}el.

    On suppose que $M_1$ est le seul point de $\mathcal P$ r\'{e}alisant l'\'{e}galit\'{e}
    $(\overrightarrow{OM_1}|\overrightarrow{U})=a$.

    Montrer que $M_1$ est un point extr\'{e}mal de $\mathcal P$.

    \textbf{On admet que la r\'{e}ciproque est vraie, autrement dit que cette propri\'{e}t\'{e} est
    caract\'{e}ristique des points extr\'{e}maux des polytopes.}

    %b
    \item Montrer que l'ensemble des points extr\'{e}maux du polytope, ensemble des combinaisons convexes des points
    $M_1$,..., $M_p$, est un sous-ensemble de l'ensemble $\{M_1,\ldots,M_p\}$.

    %c
    \item On appelle courbe des moments dans $\mathbb R^n$ la courbe d\'{e}finie par
    \[
    t\in \mathbb R \mapsto M(t)=(t,t^{2},\ldots,t^n).
    \]
    \begin{itemize}
      \item Pr\'{e}ciser la courbe obtenue lorsque $n=2$.

      \item Soit $\mathcal P$ le polytope, ensemble des combinaisons convexes des points
      $M(t_1),\ldots,M(t_p)$, o\`{u} $t_1,\ldots,t_p$ sont $p$ r\'{e}els distincts. Montrer que les points
      extr\'{e}maux de $\mathcal P$ sont les points $(M(t_1)$,..., $M(t_p)$
      (prendre prendre pour chaque point $M(t_i)$ le vecteur $\overrightarrow{U_i}=(2t_i,-1,0,\ldots,0)$ et
      pour demi-espace ferm\'{e}
      $F_i=\{M\in \mathbb R^n\ |\ (\overrightarrow{OM}|\overrightarrow{U_i})\le t_i^{2}\}$).
    \end{itemize}
  \end{lsq}
\end{liq}

\medskip
\medskip

\centerline{\sc Partie II~: repr\'{e}sentation complexe des endomorphismes de $\mathbb R^{2}$.}

\medskip

On assimile le plan vectoriel euclidien $\mathbb R^{2}$ au corps $\mathbb C$ des nombres complexes en
identifiant tout couple $(x,y)\in \mathbb R^{2}$ au nombre complexe $z=x+iy$.

\begin{liq}{II}
  %II.1
  \item
  \begin{lsq}
    %a
    \item Soit $f~: z\mapsto f(z)$ une application de $\mathbb C$ vers $\mathbb C$.

    Montrer que les assertions suivantes sont \'{e}quivalentes~:
    \begin{itemize}
      \item $f$ est $\mathbb R$-lin\'{e}aire,

      \item il existe des complexes $\alpha $ et $\beta $ tels que
      \[
      \forall z\in \mathbb C,\ f(z)=\alpha z+\beta \overline{z}.
      \]
    \end{itemize}

    %b
    \item On consid\`{e}re une application $\mathbb R$-lin\'{e}aire de $\mathbb C$ vers $\mathbb C$ d\'{e}finie
    par $f(z)=\alpha z+\beta \overline{z}$.

    Montrer que $\det f=|\alpha |^{2}-|\beta |^{2}$ et en d\'{e}duire une condition n\'{e}cessaire et suffisante
    pour que $f$ soit un automorphisme.

    %c
    \item Exemple~: donner l'\'{e}criture complexe de la r\'{e}flexion vectorielle (i.e. la sym\'{e}trie
    vectorielle orthogonale) $f$ de $\mathbb R^{2}$ dans $\mathbb R^{2}$, d'axe la droite vectorielle
    $\delta(\theta )$ d'angle polaire $\theta \in [0,\pi [$, c'est \`{a} dire de vecteur directeur
    $\overrightarrow{U}(\theta )=(\cos\theta ,\sin\theta )$).
  \end{lsq}

  %II.2
  \item
  \begin{lsq}
    %a
    \item Soit $p$ un entier, $p\ge 3$. Montrer que le sous-ensemble
    \[
    H=\{(z_1,\ldots,z_p)\in \mathbb C^p\ |\ z_1+\cdots+z_p=0\}
    \]
    de $\mathbb C^p$ est un hyperplan vectoriel.

    %b
    \item Soit $\psi$ l'endomorphisme de $\mathbb C^p$ d\'{e}fini par
    \[
    \psi~:(z_1,z_2,\ldots,z_p)\in \mathbb C^p \mapsto (z_2,\ldots,z_p,z_1)\in \mathbb C^p.
    \]
    On pose, pour tout $k$ \'{e}l\'{e}ment de $[0,p-1]$,
    $\Omega _k=(1,\omega ^k,\omega ^{2k},\ldots,\omega ^{(p-1)k})$, avec
    $\omega =e^{i\frac{2\pi }{p}}$.
    \begin{itemize}
      \item Calculer $\psi^p$. En d\'{e}duire que $\psi$ est un automorphisme diagonalisable.

      \item Calculer $\psi(\Omega _k)$. Que dire du r\'{e}sultat obtenu~?
    \end{itemize}

    %c
    \item En d\'{e}duire une base de l'hyperplan $H$.
  \end{lsq}

  %II.3
  \item On suppose, au cours de cette question, que le vecteur $\overrightarrow{V}=
  (a_1,\ldots,a_p)\in \mathbb C^p$ appartient \`{a} l'hyperplan $H$, autrement dit que
  $a_1+\cdots+a_p=0$.
  \begin{lsq}
    %a
    \item Justifier que $\overrightarrow{V}=\sum\limits_{k=1}^{p-1}\lambda _k\Omega _k$, cette
    \'{e}criture \'{e}tant unique.

    %b
    \item Montrer que $\lambda _1=\dfrac{1}{p}\sum\limits_{r=1}^{p}\omega ^{1-r}a_r$ et que
    $\lambda _{p-1}=\dfrac{1}{p}\sum\limits_{r=1}^{p}\omega ^{r-1}a_r$.

    %c
    \item On suppose que $|\lambda _1|=|\lambda _{p-1}|$ ce qui signifie que
    \[
    (\exists \theta \in [0,2\pi [)\ \lambda _{p-1}=e^{i\theta }\lambda _1.
    \]
    On pose $(\forall r\in [1,p])$
    $\alpha _r=\sin\left[(r-1)\frac{2\pi }{p}-\frac{\theta }{2}\right]$.

    Montrer que $\sum\limits_{r=1}^{p}\alpha _r=0$ et que $\sum\limits_{r=1}^{p}\alpha _ra_r=0$.
  \end{lsq}
\end{liq}

\medskip
\medskip
\centerline{\sc Partie III~: \'{e}tude des familles $\pi $-rationnelles de droites vectorielles.}

\medskip

{\it Toutes les droites consid\'{e}r\'{e}es dans cette partie sont des droites vectorielles de $\mathbb
R^{2}$.}

On rappelle que, pour tout \'{e}l\'{e}ment $\theta $ de $\mathbb R$, on note $\delta (\theta )$ la droite
vectorielle d'angle polaire $\theta \in[0,\pi [$ du plan vectoriel $\mathbb R^{2}$.
Soit $p$ un entier, $p\ge 1$.

Une famille $\mathcal F=(d_1,\ldots,d_p)$ de $p$ droites, $p\ge 1$, de $\mathbb R^{2}$ est dite
$\pi $-rationnelle s'il existe un automorphisme $f$ de $\mathbb R^{2}$ tel que
\[
\{d_1,\ldots,d_p\}=\left\{f\left(\delta \left(\dfrac{k\pi }{p}\right)\right),\ k\in [0,p-1]\right\}.
\]

\begin{liq}{III}
  %III.1
  \item Exemples de familles  de droites $\pi $-rationnelles.
  \begin{lsq}
    %a
    \item Montrer qu'une famille $(d_1)$ r\'{e}duite \`{a} une droite ainsi qu'une famille $(d_1,d_2)$
    constitu\'{e}e de deux droites distinctes sont $\pi $-rationnelles.

    %b
    \item Montrer qu'une famille $(d_1,d_2,d_3)$ constitu\'{e}e de trois droites deux \`{a} deux
    distinctes est elle aussi $\pi $-rationnelle.
  \end{lsq}

  %III.2
  \item Existence de familles de droites non $\pi $-rationnelles.

  Soit $\mathcal F=(d_1,d_2,d_3,d_4)$ une famille constitu\'{e}e de quatre droites deux \`{a} deux
  distinctes.
  \begin{lsq}
    %a
    \item Pour tout $j\in [1,4]$ on note $\overrightarrow{U_j}$ un vecteur directeur de la droite
    $d_j$. Montrer que le rapport
    \[
    \mathcal R
    =\dfrac{\det(\overrightarrow{U_1},\overrightarrow{U_3}).\det(\overrightarrow{U_2},\overrightarrow{U_4})}
    {\det(\overrightarrow{U_1},\overrightarrow{U_4}).\det(\overrightarrow{U_2},\overrightarrow{U_3})}
    \]
    ne d\'{e}pend pas du choix des vecteurs directeurs $\overrightarrow{U_j}$. Il est recommand\'{e}, pour la
    suite du probl\`{e}me, de les choisir unitaires en les \'{e}crivant
    $\overrightarrow{U_j}=(\cos\theta _j,\sin\theta _j)$.

    Ce rapport sera not\'{e} $\mathcal R(\mathcal F)$.

    %b
    \item Soit $f$ un automorphisme de $\mathbb R^{2}$. On pose
    $f(\mathcal F)=(f(d_1),f(d_2),f(d_3),f(d_4))$. Montrer que
    \[
    \mathcal R(f(\mathcal F))=\mathcal R(\mathcal F).
    \]
  \end{lsq}

  %III.3
  \item
  \begin{lsq}
    %a
    \item Justifier l'existence, pour tout $k\in \mathbb N$, d'un polyn\^{o}me $T_k$ \`{a} coefficients
    dans $\mathbb Z$ tel que
    \[
    (\forall \theta \in \mathbb R)\ \cos k\theta =T_k(\cos\theta ).
    \]

    %b
    \item Soit $p$ un entier, $p\ge 4$. On consid\`{e}re une famille $\mathcal D=(d_1,d_2,d_3,d_4)$
    de quatre droites deux \`{a} deux distinctes extraites d'une famille $\pi $-rationnelle $\mathcal
    F$ de $p$ droites.

    Montrer l'existence d'une fraction rationnelle $G$ \`{a} coefficients dans le corps $\mathbb Q$ des
    nombres rationnels, c'est \`{a} dire appartenant \`{a} $\mathbb Q(X)$, telle que l'on ait
    \[
    \mathcal R(\mathcal D)=G\left(\cos \frac{\pi }{p}\right).
    \]

    %c
    \item On admet l'existence de nombres r\'{e}els n'appartenant pas \`{a} l'ensemble
    \[
    \mathcal E=\bigcup_{q\ge 4}^{}\{G\left(\cos\frac{\pi }{q}\right),\ G\in \mathbb Q(X)\}.
    \]
    Montrer que, pour tout entier $p\ge 4$, il existe des familles non $\pi $-rationnelles de $p$
    droites.
  \end{lsq}
\end{liq}

\medskip
\medskip


\centerline{\sc Partie IV~: identification par des rayons d'un polygone convexe.}

\medskip
{\it Dans toute cette partie on se place dans $\mathbb R^{2}$.}

Soient $\mathcal P$ un polygone convexe de $\mathbb R^{2}$ et $\theta $ un r\'{e}el de
$[0,\pi [$.

Pour tout r\'{e}el $x$, on note $\Delta _{\theta ,x}$ la droite affine de vecteur directeur
d'affixe $e^{i\theta }$ passant par le point d'affixe $xie^{i\theta }$.

On rappelle (cf. I.5.d.) que l'intersection $\Delta _{\theta ,x}\cap\mathcal P$, lorsqu'elle est
non vide, est un segment. On note $\ell(\Delta _{\theta ,x}\cap\mathcal P)$ sa longueur, que l'on
prend nulle lorsque cette intersection est vide.

On d\'{e}finit ensuite l'application
\[
L_{\theta ,\mathcal P}~: x\in \mathbb R \mapsto \ell(\Delta _{\theta ,x}\cap\mathcal P)\in \mathbb R_+.
\]

On consid\`{e}re deux polygones convexes $\mathcal P$ et $\mathcal P'$ de $\mathbb R^{2}$.

\begin{itemize}
  \item Soit $\delta (\theta )$ une droite vectorielle fix\'{e}e, o\`{u} $\theta\in [0,\pi [$.

  $\mathcal P$ et $\mathcal P'$ sont dits
  $\delta (\theta )$-identifiables si les applications $L_{\theta ,\mathcal P}$ et $L_{\theta ,\mathcal P'}$
  sont \'{e}gales.

  \item Soit $\mathcal F=(\delta (\theta _1),\ldots,\delta (\theta _p))$ une famille de
  $p$ droites vectorielles, avec $p\ge 1$.

  $\mathcal P$ et $\mathcal P'$ sont dits $\mathcal F$-identifiables si pour tout $i\in [1,p]$,
  les polygones $\mathcal P$ et $\mathcal P'$ sont $\delta (\theta _i)$-identifiables, c'est \`{a} dire
  si
  \[
  (\forall i\in [1,p])\ L_{\theta _i,\mathcal P}=L_{\theta _i,\mathcal P'}.
  \]
\end{itemize}

L'objectif de cette derni\`{e}re partie est de montrer qu'une famille convenablement choisie de quatre
droites vectorielles suffit pour savoir si deux polygones convexes sont distincts.

\begin{liq}{IV}
  %IV.1
  \item
  \begin{lsq}
    %a
    \item Trouver l'\'{e}quation polaire de la droite $\Delta (\theta ,x)$.

    %b
    \item Illustrer par un dessin la d\'{e}finition de la fonction $L_{\theta ,\mathcal P}$.
  \end{lsq}

  %IV.2
  \item Le but de cette question est de montrer que si $\mathcal F$ est une famille de droites
  vectorielles permettant de savoir si deux polygones convexes $\mathcal P$ et $\mathcal P'$ sont
  distincts alors $\mathcal F$ n'est pas $\pi $-rationnelle.
  \begin{lsq}
    %a
    \item Montrer que si $f$ est une bijection affine de $\mathbb R^{2}$, d'automorphisme associ\'{e}
    $\overrightarrow{f}$, et si $\mathcal P$ et $\mathcal P'$ sont des polygones convexes
    $\delta(\theta )$-identifiables, alors les polygones convexes $f(\mathcal P)$ et
    $f(\mathcal P')$ sont $\overrightarrow{f}(\delta (\theta ))$-identifiables.

Dans toute la suite de cette question, soit $p$ un entier, $p\ge 3$. On pose
$\omega =e^{i\frac{2\pi }{p}}$.

Le symbole $[A]$ d\'{e}signant l'affixe complexe du point $A$ de $\mathbb R^{2}$, on note $A_1,\ldots,A_p$
et $B_1,\ldots,B_p$ les points de $\mathbb R^{2}$ tels que
\[
(\forall k\in [1,p])\ [A_k]=\omega ^k,\ [B_k]=e^{i\pi /p}\omega ^k,
\]
et on consid\`{e}re les deux polygones convexes distincts $\mathcal P=\text{conv\,}(A_1,\ldots,A_p)$ et
$\mathcal P'=\text{conv\,}(B_1,\ldots,B_p)$.

    %b
    \item Prouver que pour tout $q\in [1,p]$ la r\'{e}flexion affine $\sigma _q$ d'axe la droite
    $\Delta_q$ passant par $O$ et de direction
    $\delta _q=\delta \left((2q-1))\dfrac{\pi }{2p}\right)$ v\'{e}rifie
    $\sigma _q(\mathcal P')=\mathcal P$.

    %c
    \item Exhiber une famille $\mathcal F$ de $p$ droites vectorielles telle que les polygones
    convexes $\mathcal P$ et $\mathcal P'$ soient $\mathcal F$-identifiables.

    %d
    \item En d\'{e}duire que, pour toute famille $\pi $-rationnelle $\mathcal G=(d_1,\ldots,d_m)$ de
    $m$ droites vectorielles, il existe au moins deux polygones convexes distincts $\mathcal Q$ et
    $\mathcal Q'$ qui soient $\mathcal G$-identifiables.
  \end{lsq}

  %IV.3
  \item R\'{e}ponse au probl\`{e}me de la reconnaissance de deux polygones convexes distincts
  $\mathcal P$ et $\mathcal P'$.

  Soit $\mathcal F$ une famille de $p$ droites vectorielles distinctes avec $p\ge 4$. On admet que
  s'il existe deux polygones convexes distincts $\mathcal F$-identifiables alors
  $\mathcal F$ est n\'{e}cessairement extraite d'une famille $\pi $-rationnelle.

  Soit $\mathcal D=(d_1,d_2,d_3,d_4)$ une famille de quatre droites vectorielles distinctes telle
  que $\mathcal R(\mathcal D)\in \mathbb R\setminus\mathcal E$ avec
  $\mathcal E=\displaystyle\bigcup_{q\ge 4}^{}\{G\left(\cos\frac{\pi }{q}\right),\ G\in \mathbb Q(X)\}$
  (possible d'apr\`{e}s la question III.3.c.).

  Montrer que si $\mathcal P$ et $\mathcal P'$ sont des polygones convexes
  $\mathcal D$-identifiables alors on a $\mathcal P=\mathcal P'$.
\end{liq}
\end{document}


  %IV.3
  \item Le but de cette question est de construire un polygone convexe auxiliaire $\mathcal S$.
  \begin{lsq}
    %a
    \item On reprend les notations de la question II.3. dans le cas particulier o\`{u} $a_k=\omega ^k$,
    pour tout $k\in [1,p]$.

    V\'{e}rifier que le vecteur $\overrightarrow{V}$ appartient bien \`{a} l'hyperplan $H$ puis, en calculant
    $\lambda _1$ et $\lambda _{p-1}$, d\'{e}montrer que $|\lambda _1|\ne |\lambda _{p-1}|$.

    On admet que cette propri\'{e}t\'{e} subsiste pour tout $p$-uplet $(a_1,\ldots,a_p)\in H$ o\`{u} les
    nombres complexes $a_i$ distincts, sommets d'un polygone convexe, d'argument $\theta _i\in [0,2\pi [$
    sont rang\'{e}s dans l'ordre des arguments croissants.

    %b
    \item On pose $\overline{\Omega }_1=(1,\overline{\omega },\ldots,\overline{\omega }^{p-1})$.
    V\'{e}rifier que $\overline{\Omega }_1=\Omega _{p-1}$ et en d\'{e}duire que les coordonn\'{e}es du
    $p$-uplet $\Sigma $ de $\mathbb C^p$ d\'{e}fini par
    \[
    \Sigma =\lambda _1\Omega _1+\lambda _{p-1}\Omega _{p-1}
    \]
    sont les affixes d'un polygone convexe not\'{e} $\mathcal S$.

    %c
    \item Soit $\sigma $ un nombre complexe non nul, on pose $a'_k=a_k+\dfrac{\sigma }{p}$ et on note
    $\overrightarrow{V'}=(a'_1,\ldots,a'_p)\in \mathbb C^p$. $\overrightarrow{V'}$
    n'appartient plus \`{a} l'hyperplan $H$ puisque $a'_1+\cdots+a'_p=\sigma \ne 0$.

    On a alors $\overrightarrow{V'}=\sum\limits_{k=0}^{p-1}\lambda' _k\Omega _k$.

    On consid\`{e}re le polygone convexe
    $\mathcal Q'=\text{conv\,}(A'_1,\ldots,A'_p)$ o\`{u} les points $A'_k$ ont pour affixe $a'_k$,
    pour tout $k\in [1,p]$.

    Montrer que les coordonn\'{e}es du $p$-uplet $\Sigma '$ de $\mathbb C^p$ d\'{e}fini par
    \[
    \Sigma '=\lambda '_1\Omega _1+\lambda '_{p-1}\Omega _{p-1}
    \]
    sont encore les affixes d'un polygone convexe not\'{e} $\mathcal S'$ et que l'on a
    $|\lambda '_1|\ne |\lambda '_{p-1}|$.

    On remarque donc que l'on a le m\^{e}me r\'{e}sultat que dans le cas o\`{u} $\overrightarrow{V}\in H$, on
    se limite pour la fin du probl\`{e}me au cas o\`{u} $V\in H$.
  \end{lsq}
