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\documentclass[12pt]{article}
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%TCIDATA{TCIstyle=memo/memo.lat,mem1,tcimemo}

%TCIDATA{Created=Tue Sep 14 08:51:28 1999}
%TCIDATA{LastRevised=Mon May 15 21:03:51 2000}

\input{tcilatex}
\begin{document}


\begin{center}
\textbf{Concours Centrale-Sup\'{e}lec 2000 - option TSI - Math\'{e}matiques 1%
}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
$\underline{Partie\ I}$
\end{center}

\medskip

I.A - Soit $u\in \left] -1,+\infty \right[ \left\backslash \left\{ 0\right\}
\right. $ et appliquons la formule de Taylor-Lagrange \`{a} $x\rightarrow
\ln (1+x),$ $C^{\infty }$ sur $\left] -1,+\infty \right[ \;$sur $\stackunder{%
\leftrightarrows }{\left[ 0,u\right] }.\;$Il existe $c\in \stackunder{%
\leftrightarrows }{\left] 0,u\right[ }$ tel que $\ln (1+u)=u-\dfrac{1}{%
2(1+c)^{2}}u^{2}.$ D'o\`{u} :

\[
\forall u\in \left] -1,+\infty \right[ ,\;\ln (1+u)\leq u\;\text{%
(l'in\'{e}galit\'{e} est vraie pour }u=0\text{)} 
\]

En particulier si $x\in \left[ 0,1\right[ ,$ en substituant $\left\{ 
\begin{array}{c}
x\;\text{\`{a} }u \\ 
-x\;\text{\`{a} }u
\end{array}
\right. $, on obtient$\left\{ 
\begin{array}{c}
\ln (1+x)\leq x \\ 
\ln (1-x)\leq -x
\end{array}
\right. ,$ ce qui \'{e}quivaut \`{a} :

\[
\frame{$\forall x\in \left[ 0,1\right[ ,$ $x+\ln (1-x)\leq 0$ et $x-\ln
(1+x)\geq 0$} 
\]

\medskip

I.B - $\forall n\geq 2,$ $u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1}{n+1}-\ln \dfrac{n+1}{n}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{1}{n+1}+\ln
\left( 1-\dfrac{1}{n+1}\right) \leq 0$ (d'apr\`{e}s I.A)

D'o\`{u} $\left( u_{n}\right) $ est d\'{e}croissante.

$\forall n\geq 2,$ $v_{n+1}-v_{n}=\dfrac{1}{n}-\ln \dfrac{n+1}{n}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{1}{n}-\ln \left(
1+\dfrac{1}{n}\right) \geq 0$ (d'apr\`{e}s I.A)

D'o\`{u} $\left( v_{n}\right) $ est croissante.

$\forall n\geq 2,$ $u_{n}-v_{n}=\dfrac{1}{n}.$ D'o\`{u} $\lim\limits_{n%
\rightarrow +\infty }u_{n}-v_{n}=0.$

On a montr\'{e} que \underline{les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont
adjacentes.}

Les suites $\left( u_{n}\right) $ et $\left( v_{n}\right) $ \'{e}tant
monotones, leur limite $\gamma $ v\'{e}rifie $\gamma =\inf (u_{n})$ et $%
\gamma =\sup (v_{n}).$

D'o\`{u} : \frame{$\forall n\geq 2,$ $v_{n}\leq \gamma \leq u_{n}$}.

\medskip

I.C - Gr\^{a}ce \`{a} une calculatrice, on peut calculer des valeurs
approch\'{e}es par exc\`{e}s de $u_{n}$, par d\'{e}faut de $v_{n}$ pour
encadrer $\gamma $ :

\[
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$n$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
valeur approch\'{e}e de $u_{n}$ par exc\`{e}s & $0.9$ & $0.8$ & $0.7$ & $0.68
$ & $0.66$ \\ \hline
valeur approch\'{e}e de $v_{n}$ par d\'{e}faut & $0.3$ & $0.4$ & $0.4$ & $%
0.47$ & $0.49$ \\ \hline
\end{tabular}
\]

On a donc $0.49\leq \gamma \leq 0.66.$ D'o\`{u} \underline{une valeur
approch\'{e}e de $\gamma $ est $0.57$ \`{a} $10^{-1}$ pr\`{e}s.}

\medskip

I.D - L'on a $\forall n\geq 2,$ $w_{n}=-\ln \left( 1-\dfrac{1}{n}\right) -%
\dfrac{1}{n}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\stackunder{%
n\rightarrow +\infty }{\sim }\dfrac{1}{2n^{2}}$

Donc \underline{$\sum w_{n}$ converge}.

$\forall p\geq 2,$ $\forall m\geq p+1,$ $u_{p}-u_{m}=\left(
\sum\limits_{n=1}^{p}\dfrac{1}{n}-\ln (p)\right) -\left(
\sum\limits_{n=1}^{m}\dfrac{1}{n}-\ln (m)\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\left(
\sum\limits_{n=p+1}^{m}\dfrac{1}{n}\right) +\sum\limits_{n=p+1}^{m}\left(
\ln (n)-\ln (n-1)\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\sum%
\limits_{n=p+1}^{m}\left( \ln (\dfrac{n}{n-1})-\dfrac{1}{n}\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\sum%
\limits_{n=p+1}^{m}w_{n}$

En faisant tendre $m$ vers $+\infty ,$ on obtient \frame{$u_{p}-\gamma
=\sum\limits_{n=p+1}^{+\infty }w_{n}$}

\medskip

I.E.1) \frame{$\forall k\geq 2,$ $\int\nolimits_{k-1}^{k}g(t)\;dt=\dfrac{1}{2%
}\left( \dfrac{1}{k-1}+\dfrac{1}{k}\right) $} (aire d'un trap\`{e}ze)

\medskip

I.E.2) $h$ affine sur $\left] -\infty ,k-\dfrac{1}{2}\right[ ,$ $%
h(k-1)=f(k-1),$ $h^{\prime }(k-1)=f^{\prime }(k-1)$ impliquent :

$\forall x\in \left] -\infty ,k-\dfrac{1}{2}\right[ ,$ $h(x)-f(k-1)=f^{%
\prime }(k-1)(x-k+1)\Leftrightarrow $

$\forall x\in \left] -\infty ,k-\dfrac{1}{2}\right[ ,$ $h(x)=\dfrac{1}{k-1}-%
\dfrac{1}{\left( k-1\right) ^{2}}(x-k+1)$

$h$ affine sur $\left[ k-\dfrac{1}{2},+\infty \right[ $ $h(k)=f(k),$ $%
h^{\prime }(k)=f^{\prime }(k)$ impliquent :

$\forall x\in \left[ k-\dfrac{1}{2},+\infty \right[ ,$ $h(x)-f(k)=f^{\prime
}(k)(x-k)\Leftrightarrow $

$\forall x\in \left[ k-\dfrac{1}{2},+\infty \right[ ,$ $h(x)=\dfrac{1}{k}-%
\dfrac{1}{k^{2}}(x-k).$ D'o\`{u} l'\underline{unicit\'{e} de $h$}$.$

Soit $h$ la fonction d\'{e}finie par :

$
\begin{array}[t]{ll}
h: & \Bbb{R\rightarrow R} \\ 
& x\rightarrow \left\{ 
\begin{array}{l}
\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{\left( k-1\right) ^{2}}(x-k+1)\;\text{si }x<k-%
\dfrac{1}{2} \\ 
\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k^{2}}(x-k)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{si }%
x\geq k-\dfrac{1}{2}
\end{array}
\right. 
\end{array}
.$ Alors $h$ est une fonction affine sur $\left] -\infty ,k-\dfrac{1}{2}%
\right[ $ et sur $\left[ k-\dfrac{1}{2},+\infty \right[ $ telle que $%
h(k-1)=f(k-1),$ $h^{\prime }(k-1)=f^{\prime }(k-1),$ $h(k)=f(k)$ et $%
h^{\prime }(k)=f^{\prime }(k)$ (de mani\`{e}re simple). D'o\`{u} l'%
\underline{existence de $h.$}

\medskip

I.E.3) $h$ est continue sur $\left] -\infty ,k-\dfrac{1}{2}\right[ $ et sur $%
\left] k-\dfrac{1}{2},+\infty \right[ $ comme fonction affine sur ces
intervalles. En $k-\dfrac{1}{2},$ on a :

$h\left( k-\dfrac{1}{2}\right) =\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k^{2}}\left( -\dfrac{1%
}{2}\right) =\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{2k^{2}}$ et $h$ est continue \`{a}
droite en $k-\dfrac{1}{2}.$

$\lim\limits_{x\rightarrow \left( k-\frac{1}{2}\right) ^{-}}h(x)=\dfrac{1}{%
k-1}-\dfrac{1}{2\left( k-1\right) ^{2}}.$

Or $\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{2k^{2}}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{2\left(
k-1\right) ^{2}}\Leftrightarrow k\left( k-1\right) ^{2}+\dfrac{\left(
k-1\right) ^{2}}{2}=\left( k-1\right) k^{2}+\dfrac{k^{2}}{2}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\Leftrightarrow k^{3}-2k^{2}+k+\dfrac{k^{2}-2k+1}{2}=k^{3}-k^{2}+\dfrac{%
k^{2}}{2}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\Leftrightarrow k^{2}=\dfrac{1}{2}.$ Cette \'{e}quation n'ayant de
solution enti\`{e}re,

\[
\underline{\text{la}\ \text{fonction}\ h\ \text{n'est}\ \text{pas}\ \text{%
continue}\ \text{en}\ \dfrac{1}{2}.} 
\]

\medskip

I.E.4) $\forall k\geq 2,$ $\int\nolimits_{k-1}^{k}h(t)\;dt=\int%
\nolimits_{k-1}^{k-\frac{1}{2}}h(t)\;dt+\int\nolimits_{k-\frac{1}{2}%
}^{k}h(t)\;dt$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int%
\nolimits_{k-1}^{k-\frac{1}{2}}\left( \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{\left(
k-1\right) ^{2}}(t-k+1)\right) \;dt+\int\nolimits_{k-\frac{1}{2}}^{k}\left( 
\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k^{2}}(t-k)\right) \;dt$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{1}{2}\times 
\dfrac{1}{2}\left( \stackunder{h\left( \left( k-\dfrac{1}{2}\right)
^{-}\right) }{\underbrace{\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{2\left( k-1\right) ^{2}}}}%
+\stackunder{h(k-1)}{\underbrace{\dfrac{1}{k-1}}}+\stackunder{h(k)}{%
\underbrace{\dfrac{1}{k}}}+\stackunder{h\left( k-\frac{1}{2}\right) }{%
\underbrace{\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k^{2}}(k-\dfrac{1}{2}-k)}}\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{1}{2\left(
k-1\right) }+\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{8k^{2}}-\dfrac{1}{8\left( k-1\right)
^{2}}.$ D'o\`{u} :

\[
\frame{$\forall k\geq 2,$ $\int\nolimits_{k-1}^{k}h(t)\;dt=\dfrac{1}{2\left(
k-1\right) }+\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{8k^{2}}-\dfrac{1}{8\left( k-1\right)
^{2}}$} 
\]

\medskip

I.F - $f$ est $C^{\infty }$ sur $\Bbb{R}^{+*}.$

$\forall t\in \Bbb{R}^{+*},$ $f^{\prime \prime }(t)=\dfrac{2}{t^{3}};$
D'o\`{u} $f$ est convexe et l'arc de la repr\'{e}sentation de $f$
correspondant \`{a} l'intervalle $\left[ k-1,k\right] $ est situ\'{e} sous
la corde : $\forall t\in \left[ k-1,k\right] ,$ $f(t)\leq g(t).$

De m\^{e}me, $f$ \'{e}tant convexe, le graphe de $f$ est situ\'{e} au-dessus
de ses tangentes. On en d\'{e}duit :

$\forall t\in \Bbb{R}^{+*},$ $\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{\left( k-1\right) ^{2}%
}(t-k+1)\leq f(t)$ et $\forall t\in \Bbb{R}^{+*},$ $\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{%
k^{2}}(t-k)\leq f(t).$ Cela montre : $\forall t\in \left[ k-1,k\right] ,$ $%
h(t)\leq f(t).$

Donc 
\[
\frame{$\forall t\in \left[ k-1,k\right] ,$ $h(t)\leq f(t)\leq g(t)$} 
\]

\medskip

I.G - L'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente montre :

$\forall k\geq ,$ $\int\nolimits_{k-1}^{k}h(t)\;dt\leq
\int\nolimits_{k-1}^{k}f(t)\;dt\leq
\int\nolimits_{k-1}^{k}g(t)\;dt\Leftrightarrow $

$\dfrac{1}{2\left( k-1\right) }+\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{8k^{2}}-\dfrac{1}{%
8\left( k-1\right) ^{2}}\leq \int\nolimits_{k-1}^{k}\dfrac{1}{t}\;dt\leq 
\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{k-1}+\dfrac{1}{k}\right) \Leftrightarrow $

\[
\frame{$\dfrac{1}{2\left( k-1\right) }+\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{8k^{2}}-%
\dfrac{1}{8\left( k-1\right) ^{2}}\leq \ln \left( \dfrac{k}{k-1}\right) \leq 
\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{k-1}+\dfrac{1}{k}\right) $} 
\]

\medskip

I.H - $\dfrac{1}{2\left( k-1\right) }+\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{8k^{2}}-\dfrac{%
1}{8\left( k-1\right) ^{2}}\leq \ln \left( \dfrac{k}{k-1}\right) \leq \dfrac{%
1}{2}\left( \dfrac{1}{k-1}+\dfrac{1}{k}\right) \Rightarrow $

$\dfrac{1}{2\left( k-1\right) }-\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{8k^{2}}-\dfrac{1}{%
8\left( k-1\right) ^{2}}\leq w_{k}\leq \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{k-1}-%
\dfrac{1}{k}\right) $

D'o\`{u} $\forall p\geq 2$, $\forall m\geq p+1,$ $\sum\limits_{k=p+1}^{m}%
\dfrac{1}{2\left( k-1\right) }-\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{8k^{2}}-\dfrac{1}{%
8\left( k-1\right) ^{2}}\leq \sum\limits_{k=p+1}^{m}w_{k}\leq
\sum\limits_{k=p+1}^{m}\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right) 
$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2p}-\dfrac{1}{2m}+\dfrac{1}{8m^{2}}-\dfrac{1}{%
8p^{2}}\leq \sum\limits_{k=p+1}^{m}w_{k}\leq \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{p}-%
\dfrac{1}{m}\right) $ et en faisant tendre $m$ vers $+\infty ,$ on obtient :

\[
\frame{$\dfrac{1}{2p}-\dfrac{1}{8p^{2}}\leq u_{p}-\gamma \leq \dfrac{1}{2p}$}
\]

\medskip

I.I - On d\'{e}duit de l'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente :

\[
u_{p}-\dfrac{1}{2p}\leq \gamma \leq u_{p}-\dfrac{1}{2p}+\dfrac{1}{8p^{2}} 
\]

Pour obtenir une valeur approch\'{e}e \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s de $\gamma ,$
il suffit de rendre:

$\dfrac{1}{8p^{2}}\leq 2\times 10^{-3}$

$\Leftrightarrow p^{2}\geq \dfrac{1000}{16}=62.5$

$\Leftrightarrow p\geq 8.$ Or :

$0.5759<u(8)-1/16\leq \gamma \leq u(8)-1/16+1/512<0.5779$ (calculatrice)

\underline{Donc une valeur approch\'{e}e \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s de $\gamma 
$ est $0.5769.$}

\medskip

\begin{center}
$\underline{Partie\ II}$
\end{center}

\medskip

II.A - $\forall n\geq 1,\;\forall t\in \left[ 0,1\right[ ,$ $\dfrac{1-t^{n}}{%
1-t}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}t^{i}\Rightarrow $

$\int\nolimits_{0}^{1}\dfrac{1-t^{n}}{1-t}\;dt=\int\nolimits_{0}^{1}\left(
\sum\limits_{i=0}^{n-1}t^{i}\right) \;dt\Rightarrow $

\[
\frame{$\sum\limits_{i=}^{n}\dfrac{1}{i}=\int\nolimits_{0}^{1}\dfrac{1-t^{n}%
}{1-t}\;dt$} 
\]

\medskip

II.B - Or $\int\nolimits_{0}^{1}\dfrac{1-t^{n}}{1-t}\;dt=\int%
\nolimits_{0}^{1}\dfrac{1-\left( 1-u\right) ^{n}}{u}\;du$ (changement de
variable $u=-t$)

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int\nolimits_{0}^{n}%
\dfrac{1-\left( 1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}}{x}\;dx$ (changement de variable $%
x=nu$)

D'o\`{u} : 
\[
\frame{$\sum\limits_{i=}^{n}\dfrac{1}{i}=\int\nolimits_{0}^{n}\dfrac{%
1-\left( 1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}}{x}\;dx$} 
\]

Ona alors $u_{n}=\sum\limits_{i=}^{n}\dfrac{1}{i}-\ln (n)$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int\nolimits_{0}^{n}\dfrac{1-\left( 1-\dfrac{x}{%
n}\right) ^{n}}{x}\;dx-\ln (n)$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left( \int\nolimits_{0}^{1}\dfrac{1-\left( 1-%
\dfrac{x}{n}\right) ^{n}}{x}\;dx+\int\nolimits_{1}^{n}\dfrac{1-\left( 1-%
\dfrac{x}{n}\right) ^{n}}{x}\;dx\right) -\int\nolimits_{1}^{n}\dfrac{1}{x}%
\;dx$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int\nolimits_{0}^{1}\dfrac{1-\left( 1-\dfrac{x}{%
n}\right) ^{n}}{x}\;dx-\int\nolimits_{1}^{n}\dfrac{\left( 1-\dfrac{x}{n}%
\right) ^{n}}{x}\;dx$

D'o\`{u} :

\[
\frame{$u_{n}=\int\nolimits_{0}^{1}\dfrac{1-\left( 1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}%
}{x}\;dx-\int\nolimits_{1}^{n}\dfrac{\left( 1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}}{x}%
\;dx$} 
\]

\medskip

II.C.1) $\exp $ est convexe. d'o\`{u} le graphe de l'exponentielle est
situ\'{e} au-dessus de celui de sa tangente au point d'abscisse $0$ : 
\[
\frame{$\forall x\in \Bbb{R},$ $1+x\leq e^{x}$} 
\]

\medskip

II.C.2) Soit $x\in \left[ 0,n\right] .\;$En substituant $-\dfrac{x}{n}$
\`{a} $x$ dans l'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente, on obtient :

$1-\dfrac{x}{n}\leq \exp \left( -\dfrac{x}{n}\right) \Leftrightarrow \left(
1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}\leq e^{-x}$ (car $u\rightarrow u^{n}$ est
croissante sur $\Bbb{R}^{+}).$ Donc :

\[
\frame{$\forall x\in \left[ 0,n\right] ,\;\left( 1-\dfrac{x}{n}\right)
^{n}\leq e^{-x}$} 
\]

\medskip

II.C.3) Soit $x\in \left[ 0,n\right] .\;$En substituant $\dfrac{x}{n}$ \`{a} 
$x$ dans l'in\'{e}galit\'{e} II.C.2), on obtient :

$1+\dfrac{x}{n}\leq \exp \left( \dfrac{x}{n}\right) \Leftrightarrow \left( 1+%
\dfrac{x}{n}\right) ^{n}\leq e^{x}.$ D'o\`{u} :

\[
\frame{$\forall x\in \left[ 0,n\right] ,\;\left( 1+\dfrac{x}{n}\right)
^{n}\leq e^{x}$} 
\]

\medskip

II.C.4) $\forall u\in \left] 0,1\right] ,$ $\exists c\in \left] 0,u\right[
,\;(1-u)^{n}=1-nu+\dfrac{n(n-1)}{2}(1-c)^{n-2}u^{2}$ (formule de
Taylor-Lagrange). D'o\`{u} : $\forall u\in \left] 0,1\right] ,$ $1-nu\leq
\left( 1-u\right) ^{n}$ (qui est encore vrai pour $u=0).$

Si $x\in \left[ 0,n\right] ,$ $\dfrac{x^{2}}{n^{2}}\in \left[ 0,1\right] $
et en substituant $\dfrac{x^{2}}{n^{2}}$ \`{a} $u$ dans l'in\'{e}galit\'{e}
pr\'{e}c\'{e}dente, on obtient :

$1-n\dfrac{x^{2}}{n^{2}}\leq \left( 1-\dfrac{x^{2}}{n^{2}}\right) ^{n}.$
D'o\`{u} :

\[
\frame{$\forall x\in \left[ 0,n\right] ,$ $1-\dfrac{x^{2}}{n}\leq \left( 1-%
\dfrac{x^{2}}{n^{2}}\right) ^{n}$} 
\]

\medskip

II.C.5) II.C.2) montre $\forall x\in \left[ 0,n\right] ,\;0\leq
e^{-x}-\left( 1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}.$

En outre $\forall x\in \left[ 0,n\right] ,\;e^{-x}-\left( 1-\dfrac{x}{n}%
\right) ^{n}=e^{-x}\left( 1-e^{x}\left( 1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\;\;\;\leq e^{-x}\left( 1-\left( 1+\dfrac{x}{n}\right) ^{n}\left( 1-\dfrac{%
x}{n}\right) ^{n}\right) $ (d'apr\`{e}s la question II.C.3))

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\;\;\;\leq e^{-x}\left( 1-\left( 1-\dfrac{x^{2}}{n^{2}}\right) ^{n}\right) 
$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\;\;\;\leq e^{-x}\left( 1-\left( 1-\dfrac{x^{2}}{n}\right) \right) $
(d'apr\`{e}s la question II.C.4)). D'o\`{u} :

\[
\frame{$\forall x\in \left[ 0,n\right] ,\;0\leq e^{-x}-\left( 1-\dfrac{x}{n}%
\right) ^{n}\leq e^{-x}\dfrac{x^{2}}{n}$} 
\]

\medskip

\medskip II.D- $x\rightarrow \dfrac{e^{-x}}{x}$ est continue sur $\left[
1,+\infty \right[ ;$ en outre $\forall x\in \left[ 1,+\infty \right[ ,$ $%
\dfrac{e^{-x}}{x}\leq e^{-x}$ et $\int\nolimits_{1}^{+\infty }e^{-x}\;dx$
converge.

Donc \underline{$\int\nolimits_{1}^{+\infty }\dfrac{e^{-x}}{x}\;dx$ converge}%
.

De plus :

$\forall n\geq 2,$ $u_{n}-\int\nolimits_{0}^{1}\left( 1-e^{-x}\right) \dfrac{%
dx}{x}+\int\nolimits_{1}^{+\infty }\dfrac{e^{-x}}{x}\;dx=\int%
\nolimits_{0}^{1}\dfrac{1-\left( 1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}}{x}%
\;dx-\int\nolimits_{1}^{n}\dfrac{\left( 1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}}{x}\;dx$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\int\nolimits_{0}^{1}\left( 1-e^{-x}\right) \dfrac{dx}{x%
}+\int\nolimits_{1}^{+\infty }\dfrac{e^{-x}}{x}\;dx$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int\nolimits_{0}^{1}\dfrac{%
e^{-x}-\left( 1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}}{x}\;dx+\int\nolimits_{n}^{+\infty }%
\dfrac{e^{-x}}{x}\;dx.$

Or $\left| \int\nolimits_{0}^{1}\dfrac{e^{-x}-\left( 1-\dfrac{x}{n}\right)
^{n}}{x}\;dx\right| \leq \int\nolimits_{0}^{1}e^{-x}\dfrac{x}{n}\;dx=\dfrac{1%
}{n}\int\nolimits_{0}^{1}e^{-x}x\;dx$ qui tend vers $0$ quand $n$ tend vers $%
+\infty .$

Et $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\int\nolimits_{n}^{+\infty }\dfrac{%
e^{-x}}{x}\;dx=0$ car $\int\nolimits_{1}^{+\infty }\dfrac{e^{-x}}{x}\;dx$
converge.

Donc $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}-\int\nolimits_{0}^{1}\left(
1-e^{-x}\right) \dfrac{dx}{x}+\int\nolimits_{1}^{+\infty }\dfrac{e^{-x}}{x}%
\;dx=0\Leftrightarrow $%
\[
\frame{$\gamma =\int\nolimits_{0}^{1}\left( 1-e^{-x}\right) \dfrac{dx}{x}%
-\int\nolimits_{1}^{+\infty }\dfrac{e^{-x}}{x}\;dx$} 
\]

\pagebreak 

\begin{center}
$\underline{Partie\ II}I$
\end{center}

\medskip 

III.A - $\forall x\in \Bbb{R}^{+*},$ $\varphi (x)=\dfrac{1}{1-\left( 1-x+%
\dfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\right) }-\dfrac{1}{x}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{1}{x}\left( 
\dfrac{1}{1-\dfrac{x}{2}+o(x)}-1\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{1}{x}\left( 1+%
\dfrac{x}{2}-1+o(x)\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{1}{2}+o(1)$

\underline{D'o\`{u} $\varphi $ se prolonge par continuit\'{e} en $0$ par $%
\varphi (0)=\dfrac{1}{2}.$}

D'autre part $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\varphi (x)=1;$ donc $%
\exists A>0,$ $\forall x\geq A,\;\left| \varphi (x)\right| \leq 2$ et $%
\varphi ,$ continue sur $\left[ 0,A\right] $, est born\'{e}e sur $\left[
0,A\right] .$

Donc \underline{$\varphi $ est born\'{e}e sur $\Bbb{R}^{+}.$}

\medskip 

III.B - $x\rightarrow e^{-x}\varphi (x)$ est continue sur $\Bbb{R}^{+}$ et $%
x\geq A,\;\left| e^{-x}\varphi (x)\right| \leq 2e^{-x};$ or $%
\int\nolimits_{A}^{+\infty }2e^{-x}\;dx$ converge.

Donc, \underline{$\int\nolimits_{0}^{+\infty }e^{-x}\varphi (x)\;dx$
converge.}

\medskip 

III.C - $x\stackrel{\psi }{\rightarrow }\dfrac{e^{-x}-e^{-nx}}{x}$ est
continue sur $\left[ a,+\infty \right[ $ ($a>0$).

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{2}\psi (x)=\lim\limits_{x\rightarrow
+\infty }x(e^{-x}-e^{-nx})=0$ (l'exponentielle l'emporte sur la puissance).

Donc \underline{$I_{n}(a)$ existe pour tout $a>0.$}

De plus, $I_{n}(a)=\int\nolimits_{a}^{+\infty }\dfrac{e^{-x}}{x}%
dx-\int\nolimits_{a}^{+\infty }\dfrac{e^{-nx}}{x}dx$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int\nolimits_{a}^{+\infty }\dfrac{e^{-x}}{x}%
dx-\int\nolimits_{na}^{+\infty }\left( \dfrac{e^{-u}}{\dfrac{u}{n}}\times 
\dfrac{1}{n}\right) du$ (changement de variable $u=nx$ valide dans la
seconde int\'{e}grale)

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int\nolimits_{a}^{na}\dfrac{e^{-x}}{x}dx$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int\nolimits_{a}^{na}\dfrac{1}{x}%
dx-\int\nolimits_{a}^{na}\dfrac{1-e^{-x}}{x}dx$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\ln (n)-\int\nolimits_{a}^{na}\dfrac{1-e^{-x}}{%
x}dx$.

On a montr\'{e} :

\[
\frame{$\forall a>0,$ $I_{n}(a)=\int\nolimits_{a}^{na}\dfrac{e^{-x}}{x}%
dx=\ln (n)-\int\nolimits_{a}^{na}\dfrac{1-e^{-x}}{x}dx$.}
\]

\medskip 

III.D - $\psi $ (notation pr\'{e}c\'{e}dente) est continue sur $\Bbb{R}^{+*}.
$

En $0,$ $\psi (x)=\dfrac{1-x-1+nx+o(x)}{x}\stackunder{x\rightarrow 0}{\sim }%
n-1$ ($n\geq 2$). Donc $\int\nolimits_{0}^{1}\psi (x)dx$ converge; comme $%
I_{n}(1)$ a un sens, 
\[
\frame{$\int\nolimits_{0}^{+\infty }\dfrac{e^{-x}-e^{-nx}}{x}dx$ converge.}
\]

$\forall a>0,$ $0\leq \int\nolimits_{a}^{na}\dfrac{1-e^{-x}}{x}dx\leq
\int\nolimits_{a}^{na}dx$ (car $0\leq 1-e^{-x}\leq x$ pour $x\geq 0\;($%
question II.C.1))

D'o\`{u} $0\leq \int\nolimits_{a}^{na}\dfrac{1-e^{-x}}{x}dx\leq (n-1)a$ et $%
\lim\limits_{a\rightarrow 0}\int\nolimits_{a}^{na}\dfrac{1-e^{-x}}{x}dx=0.$

En faisant tendre $a$ vers $0$ dans l'identit\'{e} obtenue en III.E, on d%
\'{e}montre :

\[
\frame{$\int\nolimits_{0}^{+\infty }\dfrac{e^{-x}-e^{-nx}}{x}dx=\ln (n)$}
\]

\medskip 

III.E - $\int\nolimits_{0}^{+\infty }\left( e^{-x}-e^{-nx}\right) \varphi
(x)dx=\int\nolimits_{0}^{+\infty }\left( e^{-x}-e^{-nx}\right) \left( \dfrac{%
1}{1-e^{-x}}-\dfrac{1}{x}\right) dx$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int%
\nolimits_{0}^{+\infty }\left( \dfrac{e^{-x}-e^{-nx}}{1-e^{-x}}-\dfrac{%
e^{-x}-e^{-nx}}{x}\right) dx$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int%
\nolimits_{0}^{+\infty }\left( \sum\limits_{p=1}^{n-1}e^{-px}-\dfrac{%
e^{-x}-e^{-nx}}{x}\right) dx$ (somme des termes de la suite g\'{e}om\'{e}%
trique de raison $e^{-x}$)

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\sum%
\limits_{p=1}^{n-1}\int\nolimits_{0}^{+\infty
}e^{-px}dx-\int\nolimits_{0}^{+\infty }\dfrac{e^{-x}-e^{-nx}}{x}dx$ (int\'{e}%
grales toutes convergentes)

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\sum%
\limits_{p=1}^{n-1}\left[ \dfrac{e^{-px}}{-p}\right] _{0}^{+\infty }-\ln (n)$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\sum%
\limits_{p=1}^{n-1}\dfrac{1}{p}-\ln (n)$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=v_{n}.$ On a
montr\'{e} :

\[
\frame{$v_{n}=\int\nolimits_{0}^{+\infty }\left( e^{-x}-e^{-nx}\right)
\varphi (x)dx$}
\]

\medskip 

III.F - On d\'{e}duit de la question pr\'{e}c\'{e}dente :

$\forall n\geq 2,$ $v_{n}=\int\nolimits_{0}^{+\infty }e^{-x}\varphi
(x)dx-\int\nolimits_{0}^{+\infty }e^{-nx}\varphi (x)dx$ (les int\'{e}grales
convergent car $\varphi $ est born\'{e}e sur $\Bbb{R}^{+}).$

Or $\left| \int\nolimits_{0}^{+\infty }e^{-nx}\varphi (x)dx\right| \leq
M\int\nolimits_{0}^{+\infty }e^{-nx}dx$ (o\`{u} $M$ est un majorant de $%
\left| \varphi \right| )$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq M\left[ \dfrac{e^{-nx}}{-n}%
\right] _{0}^{+\infty }=\dfrac{M}{n}.$

Donc $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\int\nolimits_{0}^{+\infty
}e^{-nx}\varphi (x)dx=0$ et comme $\gamma =\lim\limits_{n\rightarrow +\infty
}v_{n},$

\[
\frame{$\gamma =\int\nolimits_{0}^{+\infty }e^{-x}\varphi (x)dx$}
\]

\pagebreak 

\begin{center}
$\underline{Partie\ IV}$
\end{center}

\medskip 

IV.A - $\ker \Phi =\left\{ P\in \Bbb{R}\left[ X\right] \left/
P(X+1)-P(X)=0\right. \right\} .$

Soit $P\in \ker \Phi ;$ posons $Q=P-P(0).$ On a alors $Q(0)=0.$ Supposons $%
Q(p)=0$ avec $p\in \Bbb{N}.$

Alors $Q(p+1)=P(p+1)-P(0)=P(p)-P(0)$ (car $P(p+1)-P(p)=0)$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=0.$

$Q$ ayant une infinit\'{e} de racines, $Q$ est nul et $P$ est constant. R%
\'{e}ciproquement, un polyn\^{o}me constant est bien dans $\ker \Phi .$ Donc 
\frame{$\ker \Phi =\Bbb{R}_{0}\left[ X\right] $}.

$\ker \Phi _{n}\subset \ker \Phi =\Bbb{R}_{0}\left[ X\right] ;$ d'autre
part, tout polyn\^{o}me constant est dans $\ker \Phi _{n}.$ Donc \frame{$%
\ker \Phi _{n}=\Bbb{R}_{0}\left[ X\right] $}$.$

$\func{Im}\Phi _{n}=Vect\left\{ \Phi (1),\;\Phi (X),\;\Phi (X^{2}),...,\Phi
(X^{n})\right\} $

$\;\;\;\;\;\;=Vect\left\{
1,\;2X+1,...,\sum\limits_{k=0}^{n-1}C_{n}^{k}X^{k}\right\} $

$\;\;\;\;\;\;=\Bbb{R}_{n-1}\left[ X\right] $ (la famille $1,$ $2X+1,$ ..., $%
\sum\limits_{k=0}^{n-1}C_{n}^{k}X^{k}$ \'{e}tant une famille de $n$ polyn%
\^{o}mes de degr\'{e}s \'{e}chelonn\'{e}s de $\Bbb{R}_{n-1}\left[ X\right] ,$
est libre donc une base de $\Bbb{R}_{n-1}\left[ X\right] ).$ Donc :

\frame{$\func{Im}\Phi _{n}=\Bbb{R}_{n-1}\left[ X\right] $}

Soit $Q\in \Bbb{R}\left[ X\right] ;$ posons $d{{}^\circ}\left( Q\right) =r.\;
$Alors $Q\in \Bbb{R}_{r}\left[ X\right] =\func{Im}\Phi _{r+1}.$ Donc :

$\exists P\in \Bbb{R}_{r+1}\left[ X\right] ,$ $Q=\Phi _{r+1}(P)=\Phi (P).$

D'o\`{u} \frame{$\func{Im}\Phi =\Bbb{R}\left[ X\right] .$}

\medskip 

IV.B - D'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente, $\forall p\in \Bbb{N},$ $%
\exists P\in \Bbb{R}\left[ X\right] ,$ $\Phi (P)=X^{p}.$ On a alors $\Phi
(P-P(0))=\Phi (P)-\Phi (P(0))=\Phi (P)=X^{p}.$

Donc il existe un polyn\^{o}me $P_{p}=P-P(0)$ tel que $\Phi (P_{p})=X^{p}$
et $P_{p}(0)=0.$

Soient $2$ polyn\^{o}mes $P_{p}$ et $P_{p}^{\prime }$ tels que $\Phi
(P_{p})=X^{p}$ et $\Phi (P_{p}^{\prime })=X^{p}.$ On a alors :

$\Phi (P_{p}-P_{p}^{\prime })=0\Rightarrow \exists \lambda \in \Bbb{R},$ $%
P_{p}-P_{p}^{\prime }=\lambda $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow \lambda
=P_{p}(0)-P_{p}^{\prime }(0)=0$

D'o\`{u} $P_{p}=P_{p}^{\prime }$ et il y a unicit\'{e} de $P_{p}\in \Bbb{R}%
\left[ X\right] $ tel que $\Phi (P_{p})=X^{p}$ et $P_{p}(0)=0.$ On a montr%
\'{e} :

\[
\frame{$\exists !P_{p}\in \Bbb{R}\left[ X\right] ,$ $\Phi (P_{p})=X^{p}$ et $%
P_{p}(0)=0$}
\]

\medskip 

IV.C.1) $\Phi (Q_{p})=Q_{p}(X+1)-Q_{p}(X)$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=P_{p}^{\prime }(X+1)-P_{p}^{\prime }(X)$ $%
\Rightarrow $

\[
\frame{$\Phi (Q_{p})=\left\{ 
\begin{array}{l}
pX^{p-1}\;\text{si }p>0\;\text{(car }P_{p}(X+1)-P_{p}(X)=X^{p}) \\ 
0\;\text{si }p=0
\end{array}
\right. $}
\]

\medskip 

IV.C.2) L'on a $\forall p\in \Bbb{N}^{*},$ $\left\{ 
\begin{array}{l}
Q_{p}(0)=P_{p}^{\prime }(0)-P_{p}^{\prime }(0)=0 \\ 
\Phi (\dfrac{Q_{p}}{p})=X^{p-1}=\Phi (P_{p-1})
\end{array}
\right. .$ Or il existe un polyn\^{o}me unique $P_{p-1}$ v\'{e}rifiant $%
P_{p-1}(0)=0$ et $\Phi (P_{p-1})=X^{p-1}.$ D'o\`{u} $\dfrac{Q_{p}}{p}%
=P_{p-1}.$ On a montr\'{e} :

\[
\frame{$\forall p\geq 1,$ $P_{p-1}=pQ_{p}$}
\]

\medskip 

IV.D - D\'{e}terminons $P_{0};$ posons $P_{0}=aX+b$ puique $\func{Im}\Phi
_{1}=\Bbb{R}_{0}\left[ X\right] .$

$P_{0}(X+1)-P_{0}(X)=1\Leftrightarrow a\left( X+1\right) +b-\left(
aX+b\right) =1$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow a=1$

$P_{0}(0)=0\Leftrightarrow b=0.$ Donc \frame{$P_{0}=X$}

On a alors $Q_{1}=P_{0}$ (d'apr\`{e}s IV.C.2)); d'o\`{u} $P_{1}^{\prime
}(X)-P_{1}^{\prime }(0)=X\Leftrightarrow $

$\exists \alpha ,\beta \in \Bbb{R},$ $P_{1}=\dfrac{X^{2}}{2}+\alpha X+\beta ;
$ Comme $P_{1}(0)=0,$ $\beta =0.$ Or le terme constant de $\Phi (X^{2})\;$%
vaut $1.$

D'o\`{u} $\Phi (P_{1})=\dfrac{\Phi (X^{2})}{2}+\alpha \Phi (X)\Rightarrow 
\dfrac{1}{2}+\alpha =0\Rightarrow \alpha =-\dfrac{1}{2}.$

Donc \frame{$P_{1}=\dfrac{X^{2}-X}{2}$}.

On a alors $Q_{2}=2P_{1}$ (d'apr\`{e}s IV.C.2)); d'o\`{u} $P_{2}^{\prime
}(X)-P_{2}^{\prime }(0)=X^{2}-X\Leftrightarrow $

$\exists \alpha ,\beta \in \Bbb{R},$ $P_{2}=\dfrac{X^{3}}{3}-\dfrac{X^{2}}{2}%
+\alpha X+\beta ;$ Comme $P_{2}(0)=0,$ $\beta =0.$ Or le terme constant de $%
\Phi (X^{3})\;$vaut $1.$

D'o\`{u} $\Phi (P_{2})=\dfrac{\Phi (X^{3})}{3}-\dfrac{\Phi (X^{2})}{2}%
+\alpha \Phi (X)\Rightarrow \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+\alpha =0\Rightarrow
\alpha =\dfrac{1}{6}.$

Donc \frame{$P_{2}=\dfrac{X^{3}}{3}-\dfrac{X^{2}}{2}+\dfrac{X}{6}$}.

On a alors $Q_{3}=3P_{2}$ (d'apr\`{e}s IV.C.2)); d'o\`{u} $P_{3}^{\prime
}(X)-P_{3}^{\prime }(0)=X^{3}-\dfrac{3}{2}X^{2}+\dfrac{X}{2}\Leftrightarrow $

$\exists \alpha ,\beta \in \Bbb{R},$ $P_{3}=\dfrac{X^{4}}{4}-\dfrac{X^{3}}{2}%
+\dfrac{X^{2}}{4}+\alpha X+\beta ;$ Comme $P_{3}(0)=0,$ $\beta =0.$ Or le
terme constant de $\Phi (X^{4})\;$vaut $1.$

D'o\`{u} $\Phi (P_{3})=\dfrac{\Phi (X^{4})}{4}-\dfrac{\Phi (X^{3})}{2}+%
\dfrac{\Phi (X^{2})}{4}+\alpha \Phi (X)$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}%
+\alpha =0$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow \alpha =0.$

Donc \frame{$P_{3}=\dfrac{X^{4}}{4}-\dfrac{X^{3}}{2}+\dfrac{X^{2}}{4}$}.

On a alors $Q_{4}=4P_{3}$ (d'apr\`{e}s IV.C.2)); d'o\`{u} $P_{4}^{\prime
}(X)-P_{4}^{\prime }(0)=X^{4}-2X^{3}+X^{2}\Leftrightarrow $

$\exists \alpha ,\beta \in \Bbb{R},$ $P_{4}=\dfrac{X^{5}}{5}-\dfrac{X^{4}}{2}%
+\dfrac{X^{3}}{3}+\alpha X+\beta ;$ Comme $P_{4}(0)=0,$ $\beta =0.$ Or le
terme constant de $\Phi (X^{5})\;$vaut $1.$

D'o\`{u} $\Phi (P_{4})=\dfrac{\Phi (X^{5})}{5}-\dfrac{\Phi (X^{4})}{2}+%
\dfrac{\Phi (X^{3})}{3}+\alpha \Phi (X)$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}%
+\alpha =0$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow \alpha =\dfrac{-6+15-10}{30}=-%
\dfrac{1}{30}.$

Donc \frame{$P_{4}=\dfrac{X^{5}}{5}-\dfrac{X^{4}}{2}+\dfrac{X^{3}}{3}-\dfrac{%
X}{30}$}.

On a alors $Q_{5}=5P_{4}$ (d'apr\`{e}s IV.C.2)); d'o\`{u} $P_{5}^{\prime
}(X)-P_{5}^{\prime }(0)=X^{5}-\dfrac{5}{2}X^{4}+\dfrac{5}{3}X^{3}-\dfrac{X}{6%
}\Leftrightarrow $

$\exists \alpha ,\beta \in \Bbb{R},$ $P_{5}=\dfrac{X^{6}}{6}-\dfrac{X^{5}}{2}%
+\dfrac{5X^{4}}{12}-\dfrac{X^{2}}{12}+\alpha X+\beta ;$ Comme $P_{5}(0)=0,$ $%
\beta =0.$ Or le terme constant de $\Phi (X^{6})\;$vaut $1.$

D'o\`{u} $\Phi (P_{5})=\dfrac{\Phi (X^{6})}{6}-\dfrac{1}{2}\Phi (X^{5})+%
\dfrac{5\Phi (X^{4})}{12}-\dfrac{\Phi (X^{2})}{12}+\alpha \Phi (X)$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow \dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{12%
}-\dfrac{1}{12}+\alpha =0$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow \alpha =0.$

Donc \frame{$P_{5}=\dfrac{X^{6}}{6}-\dfrac{X^{5}}{2}+\dfrac{5X^{4}}{12}-%
\dfrac{X^{2}}{12}$}.

\medskip 

IV.E - \'{E}tudions $P_{5}\;$sur $\left[ 0,1\right] .$

$\forall x\in \left[ 0,1\right] ,$ $P_{5}^{\prime }(x)=x^{5}-\dfrac{5}{2}%
x^{4}+\dfrac{5}{3}x^{3}-\dfrac{x}{6}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x(x-1)\left( x-\dfrac{1}{2}\right)
\left( x^{2}-x-\dfrac{1}{3}\right) .$ Les racines de $x^{2}-x-\dfrac{1}{3}$
sont $\dfrac{1\pm \sqrt{\dfrac{7}{3}}}{2}$ et situ\'{e}es de part et d'autre
de $\left[ 0,1\right] .$

L'on en d\'{e}duit le tableau de variations de $P_{5}$ :

\[
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & $0$ &  & $\dfrac{1}{2}$ &  & $1$ \\ \hline
$P_{5}^{\prime }(x)$ & $0$ & $-$ & $0$ & $+$ & $0$ \\ \hline
$P_{5}(x)$ & $0$ & $\searrow $ & $-\dfrac{1}{128}$ & $\nearrow $ & $0$ \\ 
\hline
\end{tabular}
\]

D'o\`{u} : 
\[
\frame{$\forall x\in \left[ 0,1\right] ,$ $-\dfrac{1}{128}\leq P_{5}(x)\leq 0
$}
\]

\medskip 

IV.F.1) - $I_{p+1}(k)=\int\nolimits_{0}^{1}\dfrac{(p+1)P_{p}(t)}{(t+k)^{p+2}}%
dt$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left[ \dfrac{(p+1)P_{p}(t)}{%
-(p+1)(t+k)^{p+1}}\right] _{0}^{1}+\int\nolimits_{0}^{1}\dfrac{P_{p}^{\prime
}(t)}{(t+k)^{p+1}}dt$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int\nolimits_{0}^{1}\dfrac{%
P_{p}^{\prime }(t)}{(t+k)^{p+1}}dt\;$(car $P_{p}(0)=0$ et $%
P_{p}(1)=P_{p}(0)=0$)

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int\nolimits_{0}^{1}\dfrac{%
Q_{p}(t)+P_{p}^{\prime }(0)}{(t+k)^{p+1}}dt$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int\nolimits_{0}^{1}\dfrac{%
pP_{p-1}(t)+P_{p}^{\prime }(0)}{(t+k)^{p+1}}dt$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=I_{p}(k)+P_{p}^{\prime
}(0)\int\nolimits_{0}^{1}\dfrac{1}{(t+k)^{p+1}}dt$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=I_{p}(k)+P_{p}^{\prime }(0)\left[ \dfrac{%
1}{-p(t+k)^{p}}\right] _{0}^{1}.$ D'o\`{u} :

\[
\frame{$\forall p\in \Bbb{N}^{*},$ $I_{p+1}(k)=I_{p}(k)+\dfrac{P_{p}^{\prime
}(0)}{p}\left( \dfrac{1}{k^{p}}-\dfrac{1}{\left( k+1\right) ^{p}}\right) $}
\]

\medskip 

IV.F.2) $I_{1}(k)=\int\nolimits_{0}^{1}\dfrac{t}{(t+k)^{2}}%
dt=\int\nolimits_{0}^{1}\dfrac{1}{t+k}dt-\int\nolimits_{0}^{1}\dfrac{k}{%
(t+k)^{2}}dt$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\ln \dfrac{k+1}{k}+k\left( \dfrac{1}{k+1}-\dfrac{%
1}{k}\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\ln \dfrac{k+1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$

\[
\frame{$I_{1}(k)=\ln \dfrac{k+1}{k}-\dfrac{1}{k+1}=w_{k+1}$}
\]

\medskip 

IV.F.3) $I_{6}(k)=I_{5}(k)+\dfrac{P_{5}^{\prime }(0)}{5}\left( \dfrac{1}{%
k^{5}}-\dfrac{1}{\left( k+1\right) ^{5}}\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=I_{5}(k)$ car $P_{5}^{\prime }(0)=0$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=I_{4}(k)-\dfrac{1}{120}\left( \dfrac{1}{k^{4}}-%
\dfrac{1}{\left( k+1\right) ^{4}}\right) $ car $P_{4}^{\prime }(0)=-\dfrac{1%
}{30}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\dfrac{1}{120}\left( \dfrac{1}{k^{4}}-\dfrac{1}{%
\left( k+1\right) ^{4}}\right) +I_{3}(k)+\dfrac{P_{3}^{\prime }(0)}{3}\left( 
\dfrac{1}{k^{3}}-\dfrac{1}{\left( k+1\right) ^{3}}\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\dfrac{1}{120}\left( \dfrac{1}{k^{4}}-\dfrac{1}{%
\left( k+1\right) ^{4}}\right) +I_{3}(k)$ car $P_{3}^{\prime }(0)=0$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\dfrac{1}{120}\left( \dfrac{1}{k^{4}}-\dfrac{1}{%
\left( k+1\right) ^{4}}\right) +\dfrac{1}{12}\left( \dfrac{1}{k^{2}}-\dfrac{1%
}{\left( k+1\right) ^{2}}\right) +I_{2}(k)$ car $P_{2}^{\prime }(0)=\dfrac{1%
}{6}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\dfrac{1}{120}\left( \dfrac{1}{k^{4}}-\dfrac{1}{%
\left( k+1\right) ^{4}}\right) +\dfrac{1}{12}\left( \dfrac{1}{k^{2}}-\dfrac{1%
}{\left( k+1\right) ^{2}}\right) +P_{1}^{\prime }(0)\left( \dfrac{1}{k}-%
\dfrac{1}{k+1}\right) +I_{1}(k)$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\dfrac{1}{120}\left( \dfrac{1}{k^{4}}-\dfrac{1}{%
\left( k+1\right) ^{4}}\right) +\dfrac{1}{12}\left( \dfrac{1}{k^{2}}-\dfrac{1%
}{\left( k+1\right) ^{2}}\right) -\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{%
k+1}\right) +I_{1}(k)$ car $P_{1}^{\prime }(0)=-\dfrac{1}{2}.$

D'o\`{u} : \frame{$I_{6}(k)=-\dfrac{1}{120}\left( \dfrac{1}{k^{4}}-\dfrac{1}{%
\left( k+1\right) ^{4}}\right) +\dfrac{1}{12}\left( \dfrac{1}{k^{2}}-\dfrac{1%
}{\left( k+1\right) ^{2}}\right) -\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{%
k+1}\right) +I_{1}(k)$}

\medskip 

IV.F.4) D$^{\prime }$apr\`{e}s IV.E, $-\dfrac{1}{128}\int\nolimits_{0}^{1}%
\dfrac{6}{(t+k)^{7}}dt\leq I_{6}(k)\leq 0\Rightarrow $

$-\dfrac{1}{128}\left[ -\dfrac{1}{(t+k)^{6}}\right] _{0}^{1}\leq
I_{6}(k)\leq 0\Rightarrow $

\[
\frame{$-\dfrac{1}{128}\left[ \dfrac{1}{k^{6}}-\dfrac{1}{(k+1)^{6}}\right]
\leq I_{6}(k)\leq 0$}
\]

\medskip 

IV.F.5) On obtient $\Rightarrow $alors :

$-\dfrac{1}{128}\left[ \dfrac{1}{k^{6}}-\dfrac{1}{(k+1)^{6}}\right] \leq -%
\dfrac{1}{120}\left( \dfrac{1}{k^{4}}-\dfrac{1}{\left( k+1\right) ^{4}}%
\right) +$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\dfrac{1}{12}\left( \dfrac{1}{k^{2}}%
-\dfrac{1}{\left( k+1\right) ^{2}}\right) -\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{k}-%
\dfrac{1}{k+1}\right) +\ln \dfrac{k+1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\leq 0\Rightarrow $

$-\dfrac{1}{128}\left[ \dfrac{1}{k^{6}}-\dfrac{1}{(k+1)^{6}}\right] +\dfrac{1%
}{120}\left( \dfrac{1}{k^{4}}-\dfrac{1}{\left( k+1\right) ^{4}}\right) -%
\dfrac{1}{12}\left( \dfrac{1}{k^{2}}-\dfrac{1}{\left( k+1\right) ^{2}}%
\right) +\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right) $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq w_{k+1}\leq \dfrac{1}{120}\left( 
\dfrac{1}{k^{4}}-\dfrac{1}{\left( k+1\right) ^{4}}\right) -\dfrac{1}{12}%
\left( \dfrac{1}{k^{2}}-\dfrac{1}{\left( k+1\right) ^{2}}\right) +\dfrac{1}{2%
}\left( \dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right) \Rightarrow $

$\sum\limits_{p=n+1}^{+\infty }\left[ -\dfrac{1}{128}\left[ \dfrac{1}{%
(p-1)^{6}}-\dfrac{1}{p^{6}}\right] +\dfrac{1}{120}\left( \dfrac{1}{(p-1)^{4}}%
-\dfrac{1}{p^{4}}\right) -\dfrac{1}{12}\left( \dfrac{1}{(p-1)^{2}}-\dfrac{1}{%
p^{2}}\right) +\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{p-1}-\dfrac{1}{p}\right) \right]
\leq $

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{p=n+1}^{+\infty }w_{p}\leq
\sum\limits_{p=n+1}^{+\infty }\left[ \dfrac{1}{120}\left( \dfrac{1}{(p-1)^{4}%
}-\dfrac{1}{p^{4}}\right) -\dfrac{1}{12}\left( \dfrac{1}{(p-1)^{2}}-\dfrac{1%
}{p^{2}}\right) +\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{p-1}-\dfrac{1}{p}\right)
\right] \Rightarrow $

\[
\frame{$-\dfrac{1}{128n^{6}}+\dfrac{1}{120n^{4}}-\dfrac{1}{12n^{2}}+\dfrac{1%
}{2n}\leq u_{n}-\gamma \leq \dfrac{1}{120n^{4}}-\dfrac{1}{12n^{2}}+\dfrac{1}{%
2n}$}
\]

\medskip 

IV.F.6) On en d\'{e}duit :

$-\dfrac{1}{120n^{4}}+\dfrac{1}{12n^{2}}-\dfrac{1}{2n}+u_{n}\leq \gamma \leq 
\dfrac{1}{128n^{6}}-\dfrac{1}{120n^{4}}+\dfrac{1}{12n^{2}}-\dfrac{1}{2n}%
+u_{n}.$Cherchons une valeur approch\'{e}e de $\gamma $ \`{a} $10^{-11}$ pr%
\`{e}s en rendant $\dfrac{1}{128n^{6}}\leq 2\times 10^{-11}\Leftrightarrow
n^{6}\geq \dfrac{10^{11}}{256}\Leftrightarrow n\geq 28.$

Pour $n=28,$ on obtient :

$0.577\;215\;664\;89<\gamma <0.577\;215\;664\;92;$ donc 

\underline{les $10$ premi\`{e}res d\'{e}cimales de $\gamma $ sont $577215664$
plus un $8$ ou un $9$}$.$ Pour conclure, il faut un encadrement plus fin; en
prenant $n=38$ par exemple, on trouve que la derni\`{e}re d\'{e}cimale est
un $9.$

\begin{center}
$\infty \infty \infty \infty \infty \infty \infty \infty $
\end{center}

R\'{e}dig\'{e} par

\medskip

\begin{center}
\emph{Pierre Bron, professeur de Sp\'{e}ciales TSI}

\emph{Lyc\'{e}e Chaptal, 6, all\'{e}e Chaptal, 22000 St Brieuc}

\emph{Tel. 02 96 63 94 14}

\emph{Adresse \'{e}lectronique : BRON.Pierre@wanadoo.fr}

\medskip
\end{center}

\`{a} l'aide de Scientific Workplace

\end{document}
