%********************************************************************
%*******         BANQUE FILI\`ERE PT 00     MATH I-A          *******
%*******               CORRIG\'E au format plain              *******
%********************************************************************
%propos\'e par Yves Saladin PT LPO Coef-1 Trioncelle 97122 Bemaw\^o
%toute remarque est bienvenue: mel yves.saladin@wanadoo.fr
%********************************************************************


%****************************** Macros ******************************

%Ensembles de nombres
\font\msbmx=msbm10
\font\msbmvii=msbm7
\newfam\fambb
\def\Bbb{\fam\fambb}
\textfont\fambb=\msbmx
\scriptfont\fambb=\msbmvii
\def\R{{\Bbb R}}
\def\Z{{\Bbb Z}}

%Cadres:
\def\boxit#1#2{\vbox{\hrule\hbox{\vrule
\vbox spread#1{\vfil\hbox spread#1{\hfil#2\hfil}\vfil}%
\vrule}\hrule}}

%tableaux
\def\tvi{\vrule height 12pt depth 5pt width 0pt}
\def\tv{\tvi\vrule}

%Num\'erotation des questions:
\def \q#1{\medskip\hskip1.4em{#1$^\circ$)}}

%Abr\'eviations
\let\dsp=\displaystyle
\let\ssi=\Leftrightarrow
\let\Ssi=\Longleftrightarrow
\def\dint{\dsp\int}
\def\Atan{\mathop{\rm Arctan}}
\def\sgn{\mathop{\rm sgn}}
\def\Arg{\mathop{\rm Arg}}
\def\tendvers{\mathop{\hbox{\rightarrowfill}}\limits}
\def\eq{\mathop{\sim}\limits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\Acos{\mathop{\rm Arccos}\nolimits}
\def\iint{\mathop{\int\!\!\!\int\!\!\!}}
\def\diint{\dsp\iint\nolimits}
\def\diintuv#1#2{\diint_{#1}#2\,{\rm d}u{\rm d}v}
\def\diintrt#1#2{\diint_{#1}#2\,{\rm d}\rho{\rm d}\theta}

%Mise en page
\parindent 0pt
\hfuzz=6pt
\overfullrule=0pt

\input upsnum.tex

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%************************    Corrig\'e    *****************************

\centerline {\bf Banque PT -- Math I-A}
\vskip 2cm plus 5mm minus 5mm
{\bf Partie I}
\q1
La fonction $G$ de ${\cal P}=\left\{(x,y)\in\R^2,\ y>0\right\}$
dans $\R^2$ d\'efinie par~: $G(x,y)=\Atan\left(\dsp{x\over y}\right)$
est de classe ${\cal C}^\infty$ sur ${\cal P}$, comme compos\'ee de
fonctions de classe ${\cal C}^\infty$.

On calcule successivement~: $\forall (x,y)\in{\cal P}$,
\medskip
\centerline{
$\dsp{\partial G\over \partial x}(x,y)={1\over y}{1\over 1+{x^2\over y^2}}={y\over
x^2+y^2}$;
\qquad
$\dsp{\partial G\over \partial y}(x,y)=-{x\over y^2}{1\over 1+{x^2\over y^2}}=-{x\over
x^2+y^2}$;}
\medskip
\centerline{
$\dsp{\partial^2 G\over \partial x^2}(x,y)=-{2\,x\,y\over (x^2+y^2)^2}$;
\qquad
$\dsp{\partial^2 G\over \partial y^2}(x,y)={2\,x\,y\over (x^2+y^2)^2}$;}
\medskip
\centerline{$\Delta G(x,y)=0$.}
$$\boxit{3pt}{La fonction $G$ est harmonique sur ${\cal P}$.}$$

\q2
Si $\varphi$ est une application de classe ${\cal C}^\infty$ sur
$\R$, alors, par composition, $F:(x,y)\mapsto \varphi\left(\dsp{x\over y}\right)$
est de classe ${\cal C}^\infty$ sur ${\cal P}$; donc $F$ est harmonique sur ${\cal P}$
si et seulement si~: $\forall (x,y)\in{\cal P},\ \Delta F(x,y)=0$.

On calcule successivement~: $\forall (x,y)\in{\cal P}$,
\medskip
\centerline{
$\dsp{\partial F\over \partial x}(x,y)={1\over y}\,\varphi'\left({x\over y}\right)$;
\qquad
$\dsp{\partial F\over \partial y}(x,y)=-{x\over y^2}\,\varphi'\left({x\over y}\right)$;}
\medskip
\centerline{
$\dsp{\partial^2 F\over \partial x^2}(x,y)={1\over y^2}\,\varphi''\left({x\over y}\right)$;
\qquad
$\dsp{\partial^2 F\over \partial y^2}(x,y)={2\,x\over y^3}\,\varphi'\left({x\over y}\right)
+{x^2\over y^4}\,\varphi''\left({x\over y}\right)$;}
\medskip
\centerline{$\dsp\Delta F(x,y)={2\,x\over y^3}\,\varphi'\left({x\over y}\right)
+\left({1\over y^2}+{x^2\over y^4}\right)\,\varphi''\left({x\over y}\right)$.}

Donc $F$ est harmonique sur ${\cal P}$
si et seulement si~:
$\forall x\in\R,\ \forall y\in\R_+^*,\quad
\dsp 2\,{x\over y}\,\varphi'\left({x\over y}\right)
+\left(1+{x^2\over y^2}\right)\,\varphi''\left({x\over
y}\right)=0$

$\Ssi
\forall t\in\R,\quad
2\,t\,\varphi'(t)+(1+t^2)\,\varphi''(t)=0
\Ssi
\exists\lambda\in\R,\ \forall t\in\R,\quad\dsp
\varphi'(t)=\lambda\,e^{-\ln(1+t^2)}={\lambda\over 1+t^2}$

$\Ssi
\exists(\lambda,\mu)\in\R^2,\ \forall t\in\R,\quad\dsp
\varphi(t)=\lambda\Atan t+\mu$.

$$\boxit{3pt}{Les applications $\varphi$ cherch\'ees sont de la forme~:
$t\mapsto\lambda\Atan t+\mu,\ (\lambda,\mu)\in\R^2$.}$$

\q3
L'application de $\R^*$ dans $\R$ d\'efinie par $\dsp t\mapsto\Atan t+\Atan{1\over t}$ est
impaire, ainsi que l'application $\sgn$, donc il suffit d'\'etablir l'\'egalit\'e demand\'ee dans le cas $t>0$.

Dans ce cas, en notant $\alpha=\Atan t$, on a~:
$\alpha\in]0,{\pi\over2}[$, et $\tan\alpha=t$, donc $\tan({\pi\over2}-\alpha)=\dsp{1\over
t}$, et comme ${\pi\over2}-\alpha$ est aussi dans
$]0,{\pi\over2}[$, on a aussi~:
${\pi\over2}-\alpha=\dsp\Atan{1\over t}$.
Donc, si $t>0$,
$\ \dsp\Atan t+\Atan{1\over t}={\pi\over2}$.

On a bien~:
$$\boxit{3pt}
{pour tout r\'eel $t$ non nul, $\dsp\Atan t+\Atan{1\over t}=\sgn(t)\,{\pi\over2}$.}$$

\q4
$\Arg(z)$ d\'esigne l'argument principal du nombre complexe non nul
$z$.
On a donc, si $z=x+i\,y$, $(x,y)\in{\cal P}$~:
$\Arg(z)\in]0,\pi[$, et
\medskip
\centerline{$\left\{\matrix{
x=\vert z\vert\,\cos\big(\Arg(z)\big)\cr
y=\vert z\vert\,\sin\big(\Arg(z)\big)
}\right.$}
\medskip

-- Si $x>0$, alors $\Arg(z)\in]0,{\pi\over2}[$ et
$\dsp{y\over x}=\tan\big(\Arg(z)\big)$, donc

\centerline{$\dsp\Arg(z)=\Atan\left({y\over x}\right)
={\pi\over2}-\Atan\left({x\over y}\right)={\pi\over2}-G(x,y)$.}

-- Si $x<0$, alors $\Arg(z)\in]{\pi\over2},\pi[$ et
$\dsp{y\over x}=\tan\big(\Arg(z)\big)=\tan\big(\Arg(z)-\pi\big)$,
avec $\Arg(z)-\pi\in]-{\pi\over2},0[$ donc
$\dsp\Arg(z)-\pi=\Atan\left({y\over x}\right)$, d'o\`u

\centerline{$\dsp\Arg(z)=\pi+\Atan\left({y\over x}\right)=
\pi-{\pi\over2}-\Atan\left({x\over y}\right)={\pi\over2}-G(x,y)$.}

-- Si $x=0$, alors $\dsp\Arg(z)={\pi\over2}$, et $G(x,y)=0$, donc
la formule est encore valable.

$$\boxit{3pt}{$\dsp\forall (x,y)\in{\cal P},\quad G(x,y)={\pi\over2}-\Arg(x+i\,y)$.}$$

\q5
-- Si $x>0$, alors $\dsp\lim_{y\tendvers_{y>0}0}\Atan\left({x\over y}\right)={\pi\over2}$
car $\dsp{x\over y}$ tend vers $+\infty$.

-- Si $x<0$, alors $\dsp\lim_{y\tendvers_{y>0}0}\Atan\left({x\over y}\right)=-{\pi\over2}$
car $\dsp{x\over y}$ tend vers $-\infty$.

-- Si $x=0$, alors $G(x,y)=0$, et
$\dsp\lim_{y\tendvers_{y>0}0}G(x,y)=0$

$$\boxit{5pt}{$g(x)=\left\{\matrix{
\dsp{\pi\over2}&\hbox{ si } x>0\cr
0&\hbox{ si } x=0\cr
\dsp-{\pi\over2}&\hbox{ si } x<0
}\right.$}$$

Nature de $\dint_{-\infty}^{+\infty}\!{y\,g(t)\over (x-t)^2+y^2}\,{\rm
d}t$~:
soit $(x,y)\in{\cal P}$ fix\'e;
la fonction $t\mapsto\dsp{y\,g(t)\over (x-t)^2+y^2}$ est continue
sur $]-\infty,0[$ et sur $]0,+\infty[$ (car $(x-t)^2+y^2\geq y^2>0$),
et ses restrictions \`a ces intervalles se prolongent
par continuit\'e en 0.

De plus,

$\dsp{y\,g(t)\over
(x-t)^2+y^2}\eq_{t\to+\infty}{\pi\,y\over2\,t^2}$, et l'int\'egrale
$\dint_1^{+\infty}{{\rm d}t\over t^2}$
est convergente.
\medskip
Le crit\`ere d'\'equivalence pour les int\'egrales impropres de fonctions
positives permet de conclure que l'int\'egrale
$\dint_0^{+\infty}\!\!{y\,g(t)\over (x-t)^2+y^2}\,{\rm d}t$ est
convergente.

On a de m\^eme
$\dsp{y\,g(t)\over
(x-t)^2+y^2}\eq_{t\to-\infty}-{\pi\,y\over2\,t^2}$, et on peut
conclure \'egalement que l'int\'egrale
$\dint_{-\infty}^0{y\,g(t)\over (x-t)^2+y^2}\,{\rm d}t$ converge.


$$\boxit{3pt}{L'int\'egrale $\dint_{-\infty}^{+\infty}\!{y\,g(t)\over (x-t)^2+y^2}\,{\rm d}t$
converge.}$$

Calcul~:
\medskip
$\dint_0^{+\infty}\!\!{y\,g(t)\over (x-t)^2+y^2}\,{\rm d}t=
{\pi\over2}\,y\dint_0^{+\infty}\!\!{1\over (t-x)^2+y^2}\,{\rm d}t
={\pi\over2}\,y\,\left[{1\over y}\,\Atan\left({t-x\over y}\right)\right]_0^{+\infty}
={\pi\over2}\,\left[{\pi\over2}+\Atan\left({x\over y}\right)\right]$

$\eqalign{\dint_{-\infty}^0{y\,g(t)\over (x-t)^2+y^2}\,{\rm d}t&=
-{\pi\over2}\,y\dint_{-\infty}^0{1\over (t-x)^2+y^2}\,{\rm d}t
=-{\pi\over2}\,y\,\left[{1\over y}\,\Atan\left({t-x\over y}\right)\right]_{-\infty}^0\cr
&=-{\pi\over2}\,\left[-\Atan\left({x\over
y}\right)+{\pi\over2}\right]
={\pi\over2}\,\left[\Atan\left({x\over y}\right)-{\pi\over2}\right]}$

On a donc
$\dint_{-\infty}^{+\infty}\!{y\,g(t)\over (x-t)^2+y^2}\,{\rm d}t=\pi\,\Atan\left({x\over
y}\right)$.

$$\boxit{3pt}{$\forall (x,y)\in{\cal P},\quad
\dint_{-\infty}^{+\infty}\!{y\,g(t)\over (x-t)^2+y^2}\,{\rm d}t=\pi\,G(x,y)$.}$$

\bigskip
{\bf Partie II}

\q1
Notons $C_\alpha$ la conique d'\'equation $\dsp {x^2\over \alpha}+{y^2\over
\alpha-1}=1,\quad(\alpha\in\R\setminus\{0,1\})$~:

Nature de $C_\alpha$ :

\setbox1=\vbox{\offinterlineskip
\halign{
  #&    \quad#            &\quad#&\quad#   &\quad#     &\quad#    &\quad#             &\quad#    &\quad#            &\quad#   &  #  \cr
\noalign{\hrule}
\tv&\hfill$\alpha$\hfill  & \tv  &$-\infty$&           &0         &                   &1         &                  &$+\infty$& \tv \cr
\noalign{\hrule}
\tv&$\hfill\alpha$\hfill  & \tv  &         &$-$        &\tv$\,$\tv&\hfill$+$\hfill    &\tv$\,$\tv&\hfill$+$\hfill   &         & \tv \cr
\noalign{\hrule}
\tv&\hfill$\alpha-1$\hfill& \tv  &         & $-$       &\tv$\,$\tv&\hfill$-$\hfill    &\tv$\,$\tv&\hfill$+$\hfill   &         & \tv \cr
\noalign{\hrule}
\tv&Nature                & \tv  &         &$\emptyset$&\tv$\,$\tv&Hyperbole          &\tv$\,$\tv&Ellipse           &         & \tv \cr
\noalign{\hrule}}}

$$\box1$$

Si $\alpha>1$, l'ellipse a pour centre $O$, pour demi-longueur du
grand axe (port\'e par $Ox)$ $a=\sqrt\alpha$, pour demi-longueur du
petit axe $b=\sqrt{\alpha-1}$.

La distance focale $c$ v\'erifie $c^2=a^2-b^2=1$, donc $c=1$, et les
foyers sont les points $F'(-1,0)$ et
$F(1,0)$.

Si $0<\alpha<1$, l'hyperbole a pour centre $O$, pour axe
transverse $Ox$; son \'equation est de la forme $\dsp {x^2\over a'^2}-{y^2\over
b'^2}=1$, avec $a'=\sqrt{\alpha}$, et $b'=\sqrt{1-\alpha}$.

La distance focale $c'$ v\'erifie $c'^2=a'^2+b'^2=1$, donc $c'=1$, et les
foyers sont encore $F$ et $F'$.

$$\boxit{3pt}{Les coniques de la famille ${\cal F}$
($\alpha\in]0,1[\cup]1,+\infty[$) ont m\^emes foyers.}$$

\q2
$(x_0,y_0)\in{\cal P}$ \'etant donn\'e, avec $x_0\not=0$, la fonction $\psi:\alpha\mapsto
\dsp{x_0^2\over \alpha}+{y_0^2\over
\alpha-1}-1$ est d\'efinie sur $\R\setminus\{0,1\}$, et est somme de
fonctions d\'ecroissantes sur chacun des intervalles
$]-\infty,0[$, $]0,1[$, et $]1,+\infty[$.
On a donc le tableau suivant~:

\setbox2=\vbox{
\offinterlineskip
\halign{
  #&    \quad#&\quad#&\quad#    &\quad#    &\quad#                          &   \quad# &                     \quad#     &\quad#    &\quad#   & #  \cr
\noalign{\hrule}
\tv& $\alpha$ & \tv  & $-\infty$&          &$\phantom{-\infty}0$            &          &$\phantom{-\infty}1$            &          &$+\infty$&\tv \cr
\noalign{\hrule}
\tv&$\psi$    & \tv  & $-1$     &$\searrow$&$-\infty\,$\tv$\,$\tv$\,+\infty$&$\searrow$&$-\infty\,$\tv$\,$\tv$\,+\infty$&$\searrow$& $-1$    &\tv \cr
\noalign{\hrule}}
}
$$\box2$$

La conique  $C_\alpha$ de la famille ${\cal F}$ passe par $M_0(x_0,y_0)\in{\cal P}$, avec
$x_0\not=0$, si et seulement $\alpha$ v\'erifie
$\psi(\alpha)=0$ (avec $\alpha\in]0,1[\cup]1,+\infty[$);
l'examen du tableau de variations montre qu'il y a exactement deux
telles valeurs ($\psi$ est continue), l'une dans $]0,1[$ et l'autre dans
$]1,+\infty[$.
$$\boxit{3pt}{Pour tout point $(x_0,y_0)\in{\cal P}$, avec $x_0\not=0$,
il passe exactement une ellipse et une hyperbole de la famille ${\cal F}$.}$$

L'\'equation $\psi(\alpha)=0$ \'equivaut \`a
$\alpha\,(\alpha-1)=(\alpha-1)\,x_0^2+\alpha\,y_0^2
\ssi
\alpha^2-\alpha\,(1+x^2_0+y_0^2)+x_0^2=0$;
on a donc
$$\boxit{3pt}{
$\left\{\matrix{
\alpha_1\,\alpha_2=x_0^2\hfill\cr
\alpha_1+\alpha_2=1+x_0^2+y_0^2
}\right.$
}$$

Si $x_0=0$, alors une conique de la famille ${\cal F}$ passe par
le point $(0,y_0)$ ($y_0>0)$ si et seulement si il existe un r\'eel $\alpha$
de $]0,1[\cup]1,+\infty[$ v\'erifiant

$\dsp{y_0^2\over \alpha-1}=1
\ssi
\alpha-1=y_0^2
\ssi
\alpha=1+y_0^2>1$.
$$\boxit{3pt}{Pour tout point $(0,y_0)\in{\cal P}$,
il passe exactement une conique de la famille ${\cal F}$; il s'agit d'une ellipse.}$$

\q3
Soit $M_0(x_0,y_0)\in{\cal P}$, avec $x_0\not=0$, et
$C_{\alpha_1}$, $C_{\alpha_2}$ les coniques de ${\cal F}$ passant
par $M_0$.

La tangente en $M_0$ \`a $C_{\alpha_1}$ a pour \'equation cart\'esienne
\medskip
\centerline{$\dsp {x\,x_0\over\alpha_1}+{y\,y_0\over\alpha_1-1}=1$.}
\medskip
De m\^eme, la tangente en $M_0$ \`a $C_{\alpha_2}$ a pour \'equation cart\'esienne
\medskip
\centerline{$\dsp {x\,x_0\over\alpha_2}+{y\,y_0\over\alpha_2-1}=1$.}
\medskip
V\'erifions l'orthogonalit\'e de ces deux droites en faisant le produit
scalaire des vecteurs normaux~:
\medskip
$\dsp{x_0\over\alpha_1}\,{x_0\over\alpha_2}+{y_0\over\alpha_1-1}\,{y_0\over\alpha_2-1}
={x_0^2\over\alpha_1\,\alpha_2}+{y_0^2\over\alpha_1\,\alpha_2-(\alpha_1+\alpha_2)+1}
={x_0^2\over x_0^2}+{y_0^2\over x_0^2-(1+x_0^2+y_0^2)+1}
=1-1=0$.


$$\boxit{3pt}{Les tangentes en un point commun \`a deux coniques de ${\cal F}$
sont orthogonales.}$$

\q4
La fonction $x:(u,v)\mapsto \ch u\,\cos v$ est de classe ${\cal C}^\infty$
sur $\R^2$, et on a imm\'ediatement~:

$\forall (u,v)\in\R^2,\quad
\dsp{\partial^2 x\over \partial u^2}(u,v)= \ch u\,\cos v,
\qquad
{\partial^2 x\over \partial v^2}(u,v)= -\ch u\,\cos v
$,

donc $\forall (u,v)\in\R^2,\quad \Delta x(u,v)=0$, et la fonction $x$
est harmonique sur $\R^2$.

De m\^eme, la fonction $y:(u,v)\mapsto \sh u\,\sin v$ est de classe ${\cal C}^\infty$
sur $\R^2$, et
$\dsp{\partial^2 y\over \partial u^2}=y,
\quad
{\partial^2 y\over \partial v^2}= -y
$,
donc $\Delta y=0$; la fonction $y$
est harmonique sur $\R^2$.

$$\boxit{3pt}{Les fonctions $x$ et $y$ sont harmoniques sur $\R^2$.}$$

La matrice jacobienne de $H:(u,v)\mapsto \big(x(u,v),y(u,v)\big)$
au point $(u,v)$ s'\'ecrit
\medskip
\centerline{
$J_H(u,v)=\pmatrix{
{\partial x\over \partial u}(u,v)&{\partial x\over \partial v}(u,v)\cr
{\partial y\over \partial u}(u,v)&{\partial y\over \partial v}(u,v)
}
=\pmatrix{
\sh u\,\cos v&-\ch u\,\sin v\cr
\ch u\,\sin v&\sh u\,\cos v
}$.}

Le jacobien de $H$ en $(u,v)$ est
\medskip

$\eqalign{\left\vert J_H\right\vert(u,v)&=\left\vert\matrix{
\sh u\,\cos v&-\ch u\,\sin v\cr
\ch u\,\sin v&\sh u\,\cos v
}\right\vert
=\sh^2u\,\cos^2v+\ch^2u\,\sin^2v
=\sh^2u\,\cos^2v+(1+\sh^2u)\,\sin^2v\cr
&=\sh^2u\,(\cos^2v+\sin^2v)+\sin^2v
=\sh^2u+\sin^2v.
}$

On a donc
$\left\vert J_H\right\vert(u,v)=0\Ssi \sh u=0 \hbox{ et } \sin
v=0 \Ssi
u=0 \hbox{ et } v=0\!\!\!\pmod\pi.$

$$\boxit{3pt}{Le jacobien de $H$ s'annule aux points $(0,k\,\pi),\ k\in\Z$.}$$

\q5
Image par $H$ de la droite $u=u_0$~:
il s'agit de la courbe param\'etr\'ee
$\left\{\matrix{
x = \ch u_0\,\cos v\cr
y = \sh u_0\,\sin v
},\quad v\in\R.\right.$

-- si $u_0\not=0$, on reconna\^\i t une ellipse de centre $O$, de
demi-longueurs d'axes $\ch u_0$ et $\vert\sh u_0\vert$.

Son \'equation cart\'esienne est $\dsp {x^2\over \ch^2u_0}+{y^2\over
\sh^2u_0}=1\ssi{x^2\over \ch^2u_0}+{y^2\over
\ch^2u_0-1}=1$; l'ellipse en question est donc $C_{\ch^2u_0}$.

-- si $u_0=0$, le param\'etrage s'\'ecrit
$\left\{\matrix{
x = \cos v\cr
y = 0\hfill
},\quad v\in\R,\right.$
et on reconna\^\i t le segment d'extr\'emit\'es $(-1,0)$
et $(1,0)$, c'est-\`a-dire $[F'F]$.
$$\boxit{3pt}{
$H$ transforme la droite d'\'equation $u=u_0$ en l'ellipse $C_{\ch^2u_0}$ si $u_0\not=0$,
en le segment $[F'F]$ sinon.}$$

Image par $H$ de la droite $v=v_0$~:
il s'agit de la courbe param\'etr\'ee
$\left\{\matrix{
x = \cos v_0\,\ch u\cr
y = \sin v_0\,\sh u
},\quad u\in\R.\right.$

-- si $v_0\not=0\!\!\!\pmod{{\pi\over2}}$, on reconna\^\i t une branche d'hyperbole
d'\'equation cart\'esienne $\dsp {x^2\over \cos^2v_0}-{y^2\over
\sin^2v_0}=1\ssi{x^2\over \cos^2v_0}+{y^2\over
\cos^2v_0-1}=1$; l'hyperbole en question est donc $C_{\cos^2v_0}$;
la branche parcourue est celle situ\'ee dans le demi-plan $x\,\cos
v_0>0$.

% N.B. : dans ce cas, les images N'APPARTIENNENT PAS \`a la famille ${\cal F}$, elles sont
% CONTENUES dans des \'el\'ements de ${\cal F}$

-- si $v_0=0\!\!\!\pmod\pi$, le param\'etrage s'\'ecrit
$\left\{\matrix{
x = \varepsilon\ch u\cr
y = 0\hfill
},\quad u\in\R (\varepsilon\in\{-1,1\}\hbox{ fix\'e})\right.$.
On obtient les demi-droites $[Fx)$
(cas $\varepsilon=1$, c'est-\`a-dire $v_0=0\!\!\!\pmod{2\pi}$) et $[F'x')$
(cas $v_0=\pi\!\!\!\pmod{2\pi}$).

-- si $v_0={\pi\over2}\!\!\!\pmod\pi$, le param\'etrage s'\'ecrit
$\left\{\matrix{
x = 0\hfill\cr
y = \varepsilon \sh u
},\quad u\in\R, (\varepsilon\in\{-1,1\}\hbox{ fix\'e})\right.$
et on obtient l'axe des ordonn\'ees.

\setbox3=\vbox{\hsize=14cm
$H$ transforme la droite d'\'equation $v=v_0$ en~:

-- la branche de l'hyperbole $C_{\cos^2v_0}$ situ\'ee dans le
demi-plan $x\,\cos v_0>0$ si $v_0\not=0\!\!\!\pmod{{\pi\over2}}$;

-- la demi-droite $[Fx)$ si $v_0=0\!\!\!\pmod{2\pi}$;

-- la demi-droite $[F'x')$ si $v_0=\pi\!\!\!\pmod{2\pi}$;

-- l'axe $y'Oy$ si $v_0={\pi\over2}\!\!\!\pmod\pi$.
}
$$\boxit{3pt}{\box3}$$
\medskip
% de quelle r\'eciproque s'agit-il? je ne vois pas l'implication directe...
% S'agit-il d'IMAGES r\'eciproques par H ?
% anticipant sur la suite, j'interpr\`ete la question de cette fa\c con~:
Recherche des images r\'eciproques par $H$ des coniques $C_\alpha$, et des
axes $x'Ox$, $y'Oy$~:

Soit $C_\alpha$ la conique d'\'equation
${x^2\over \alpha}+{y^2\over\alpha-1}=1$ ($\alpha\in]0,1[\cup]1,+\infty[$).

$H^{-1}( C_\alpha)=\left\{(u,v)\in\R^2,\
{\ch^2 u\,\cos^2 v\over \alpha}+{\sh^2 u\,\sin^2 v\over\alpha-1}=1\right\}$.

\medskip
-- Si $\alpha>1$, alors soit $u_0$ l'unique r\'eel strictement positif
tel que $\ch u_0=\sqrt\alpha$.
On cherche les couples $(u,v)$ tels que
${\ch^2 u\,\cos^2 v\over \ch^2 u_0}+{\sh^2 u\,\sin^2 v\over\sh^2 u_0}=1
\ssi
{\ch^2 u\,\cos^2 v\over \ch^2 u_0}+{\sh^2 u\,\sin^2 v\over\sh^2 u_0}=
\cos^2 v+\sin^2v$

$\ssi
\left({\ch^2 u\over \ch^2 u_0}-1\right)\,\cos^2 v+\left({\sh^2 u\over\sh^2 u_0}-1\right)
\,\sin^2 v=0$.

Si $\vert u\vert< u_0$, alors $\left\{\matrix{
\ch^2 u<\ch^2 u_0\cr
\sh^2 u<\sh^2 u_0
}\right.$
donc
$\left\{\matrix{
{\ch^2 u\over \ch^2 u_0}-1>0\cr
{\sh^2 u\over\sh^2 u_0}-1>0
}\right.$
et l'\'egalit\'e pr\'ec\'edente implique $\cos v=\sin v=0$, ce qui est
impossible.

De m\^eme, $\vert u\vert> u_0$ est impossible, car alors
${\ch^2 u\over \ch^2 u_0}-1$ et ${\sh^2 u\over\sh^2 u_0}-1$ sont tous deux $<0$.

On a donc n\'ecessairement $u=\pm u_0$, et dans ces conditions tout
r\'eel $v$ convient.

En notant $\phi$ la r\'eciproque de la restriction de $\ch$ \`a $\R_+^*$,
on peut conclure~:
$$\boxit{3pt}{
si $\alpha>1$, $H^{-1}( C_\alpha)=\left\{(u,v)\in\R^2,\
u=\pm\phi(\sqrt\alpha),\ v\in\R\right\}$
}$$

-- Si $\alpha\in]0,1[$, alors soit $v_0=\Acos\sqrt\alpha$.
$v_0\in]0,{\pi\over2}[$, et on cherche les couples $(u,v)$ tels que

${\ch^2 u\,\cos^2 v\over \cos^2 v_0}-{\sh^2 u\,\sin^2 v\over\sin^2 v_0}=1
\ssi
{\ch^2 u\,\cos^2 v\over \cos^2 v_0}-{\sh^2 u\,\sin^2 v\over\sin^2 v_0}=
\ch^2 u-\sh^2u$

$\ssi
\left({\cos^2 v\over \cos^2 v_0}-1\right)\,\ch^2 u-\left({\sin^2 v\over\sin^2 v_0}-1\right)
\,\sh^2 u=0$.

Si $v$ v\'erifie $-v_0< v < v_0\!\!\!\pmod{2\pi}$ ou
$\pi-v_0<v<\pi+v_0\!\!\!\pmod{2\pi}$, alors $\left\{\matrix{
\vert\cos v\vert>\vert\cos v_0\vert\cr
\vert\sin v\vert<\vert\sin v_0\vert
}\right.$
donc
$\left\{\matrix{
{\cos^2 v\over \cos^2 v_0}-1>0\cr
{\sin^2 v\over\sin^2 v_0}-1<0
}\right.$
et l'\'egalit\'e pr\'ec\'edente implique $\ch u=\sh u=0$, ce qui est
impossible.

De m\^eme, $v_0<v<\pi-v_0\!\!\!\pmod{2\pi}$ ou $-\pi-v_0<v<-v_0\!\!\!\pmod{2\pi}$ sont impossibles, car alors
$\left\{\matrix{
{\cos^2 v\over \cos^2 v_0}-1<0\cr
{\sin^2 v\over\sin^2 v_0}-1>0
}\right.$.


On a donc n\'ecessairement $v=\pm \Acos\sqrt\alpha\!\!\!\pmod{2\pi}$,
ou $v=\pi\pm\Acos\sqrt\alpha\!\!\!\pmod{2\pi}$ et dans ces conditions tout
r\'eel $u$ convient.
En conclusion~:
\setbox4=\vbox{
si $\alpha\in]0,1[$,

$H^{-1}( C_\alpha)=\left\{(u,v)\in\R^2,\
u\in\R,\ v\in\{\Acos\sqrt\alpha,-\Acos\sqrt\alpha,\pi-\Acos\sqrt\alpha
,\pi+\Acos\sqrt\alpha\}\!\!\!\pmod{2\pi}\right\}$.}
$$\boxit{3pt}{\box4}$$

-- $H^{-1}( x'Ox)=\left\{(u,v)\in\R^2,\
\sh u\,\sin v=0\right\}=\left\{(u,v)\in\R^2,\
u=0\hbox{ ou } v=0\!\!\!\pmod\pi\right\}$.

-- $H^{-1}( y'Oy)=\left\{(u,v)\in\R^2,\
\ch u\,\cos v=0\right\}=\left\{(u,v)\in\R^2,\
v={\pi\over 2}\!\!\!\pmod\pi\right\}$.

\bigskip
Montrons que~:
$\forall (x_0,y_0)\in{\cal P},\ \exists (u_0,v_0)\in ]0,+\infty[\times]0,\pi[$
unique, $H(u_0,v_0)=(x_0,y_0)$, ce qui montrera que
la restriction de $H$ \`a $]0,+\infty[\times]0,\pi[$ est
une bijection de $]0,+\infty[\times]0,\pi[$ sur ${\cal P}$.
\medskip
-- si $x_0\not=0$, alors par $(x_0,y_0)$ il passe exactement une ellipse $C_{\alpha_1}$
et une hyperbole $C_{\alpha_2}$ de la famille ${\cal F}$ ($\alpha_1>1$
et $0<\alpha_2<1$).

D'apr\`es l'\'etude pr\'ec\'edente, il existe un unique r\'eel strictement positif $u_0$
tel que l'image r\'eciproque $H^{-1}\left(C_{\alpha_1}\right)$ soit la droite
d'\'equation $u=u_0$.

De m\^eme, il existe un unique r\'eel $v_0$ de $]0,\pi[$
tel que l'image r\'eciproque $H^{-1}\left(C_{\alpha_2}^+\right)$
de la branche de $C_{\alpha_2}$ contenant $(x_0,y_0)$ soit la droite
d'\'equation $v=v_0$~: c'est $v_0=\Acos\sqrt{\alpha_2}$ si
$x_0>0$, et $v_0=\pi-\Acos\sqrt\alpha_2$ si $x_0<0$.

Donc, $H^{-1}(x_0,y_0)=H^{-1}\left(C_{\alpha_1}\cap C_{\alpha_2}^+\right)
=H^{-1}\left(C_{\alpha_1}\right)\cap H^{-1}\left(C_{\alpha_2}^+\right)
=\left\{(u_0,v_0)\right\}$
\bigskip
-- si $x_0=0$, alors le syst\`eme d'inconnues
$(u,v)\in]0,+\infty[\times]0,\pi[$~:

$\left\{\matrix{
\ch u\,\cos v=0\cr
\sh u\,\sin v=y_0
}\right.$
\'equivaut \`a
$\left\{\matrix{
v={\pi\over2}\cr
\sh u=y_0
}\right.$

et poss\`ede une solution unique dans $]0,+\infty[\times]0,\pi[$,
qui est $\big(\kappa(y_0),{\pi\over2}\big)$, o\`u $\kappa$ d\'esigne la r\'eciproque de la
fonction $\sh$.
$$\boxit{3pt}{La restriction de $H$ \`a $]0,+\infty[\times]0,\pi[$ est
une bijection de $]0,+\infty[\times]0,\pi[$ sur ${\cal P}$.}$$

\q6
En supposant que $f$ est de classe ${\cal C}^2$ sur $\R^2$,
$f\circ H$ est alors de classe ${\cal C}^2$ sur $\R^2$, et on a successivement
(le th\'eor\`eme de Schwarz s'applique)~:
$\forall (u,v)\in\R^2$,
\medskip

$\dsp{\partial f\circ H\over \partial u}(u,v)
=\sh u\,\cos v\,{\partial f\over \partial x}\big(H(u,v)\big)
+\ch u\,\sin v\,{\partial f\over \partial y}\big(H(u,v)\big)$;

\medskip
\setbox5=\vtop{\hsize=134mm
$\dsp
\ch u\,\cos v\,{\partial f\over \partial x}\big(H(u,v)\big)
+\sh^2 u\,\cos^2 v\,{\partial^2 f\over \partial x^2}\big(H(u,v)\big)
+\sh u\,\cos v\,\ch u\,\sin v\,{\partial^2 f\over \partial x\,\partial
y}\big(H(u,v)\big)$

$\dsp
+\sh u\,\sin v\,{\partial f\over \partial y}\big(H(u,v)\big)
+\ch u\,\sin v\,\sh u\,\cos v\,{\partial^2 f\over \partial y\,\partial x}\big(H(u,v)\big)
+\ch^2 u\,\sin^2 v\,{\partial^2 f\over \partial y^2}\big(H(u,v)\big)
$}

\setbox6=\vtop{\hsize=134mm
$\dsp
\ch u\,\cos v\,{\partial f\over \partial x}\big(H(u,v)\big)
+\sh u\,\sin v\,{\partial f\over \partial y}\big(H(u,v)\big)
+\sh^2 u\,\cos^2 v\,{\partial^2 f\over \partial x^2}\big(H(u,v)\big)$

$\dsp
+\ch^2 u\,\sin^2 v\,{\partial^2 f\over \partial y^2}\big(H(u,v)\big)
+2\sh u\,\ch u\,\sin v\,\cos v\,{\partial^2 f\over \partial x\,\partial y}\big(H(u,v)\big)
$}


$\eqalign{
{\partial^2 f\circ H\over \partial u^2}(u,v)&=
\box5\cr
&=\box6}$

\medskip
$\dsp{\partial f\circ H\over \partial v}(u,v)
=-\ch u\,\sin v\,{\partial f\over \partial x}\big(H(u,v)\big)
+\sh u\,\cos v\,{\partial f\over \partial y}\big(H(u,v)\big)$;

\medskip
\medskip
\setbox7=\vtop{\hsize=140mm
$\dsp
-\ch u\,\cos v\,{\partial f\over \partial x}\big(H(u,v)\big)
+\ch^2 u\,\sin^2 v\,{\partial^2 f\over \partial x^2}\big(H(u,v)\big)
-\ch u\,\sin v\,\sh u\,\cos v\,{\partial^2 f\over \partial x\,\partial
y}\big(H(u,v)\big)$

$\dsp
-\sh u\,\sin v\,{\partial f\over \partial y}\big(H(u,v)\big)
+\sh u\,\cos v\,(-\ch u\,\sin v)\,{\partial^2 f\over \partial y\,\partial x}\big(H(u,v)\big)
+\sh^2 u\,\cos^2 v\,{\partial^2 f\over \partial y^2}\big(H(u,v)\big)
$}

\setbox8=\vtop{\hsize=134mm
$\dsp
-\ch u\,\cos v\,{\partial f\over \partial x}\big(H(u,v)\big)
-\sh u\,\sin v\,{\partial f\over \partial y}\big(H(u,v)\big)
+\ch^2 u\,\sin^2 v\,{\partial^2 f\over \partial x^2}\big(H(u,v)\big)$

$\dsp
+\sh^2 u\,\cos^2 v\,{\partial^2 f\over \partial y^2}\big(H(u,v)\big)
-2\sh u\,\ch u\,\sin v\,\cos v\,{\partial^2 f\over \partial x\,\partial y}\big(H(u,v)\big)
$}


$\eqalign{
{\partial^2 f\circ H\over \partial v^2}(u,v)&=
\box7\cr
&=\box8}$

\medskip
$\eqalign{\Delta \big(f\circ H\big)(u,v)&=
(\sh^2 u\,\cos^2 v+\ch^2 u\,\sin^2 v)\,{\partial^2 f\over \partial x^2}\big(H(u,v)\big)
+(\ch^2 u\,\sin^2 v+\sh^2 u\,\cos^2 v)\,{\partial^2 f\over \partial
y^2}\big(H(u,v)\big)\cr
&=\left\vert J_H\right\vert(u,v)\,\Delta f\big(H(u,v)\big).}$
\medskip
Si $f$ est harmonique sur ${\cal P}$, alors par composition, $f\circ H$ est de classe
${\cal C}^\infty$ sur $]0,+\infty[\times]0,\pi[$, et le calcul pr\'ec\'edent montre qu'alors
$\Delta \big(f\circ H\big)=0$ sur $]0,+\infty[\times]0,\pi[$. Donc~:

$$\boxit{3pt}{Si $f$ est harmonique sur ${\cal P}$,
la fonction $f\circ H$ est harmonique sur $]0,+\infty[\times]0,\pi[$.}$$


\bigskip
\goodbreak
{\bf Partie III}

\q1
Dans l'int\'egrale $\diintuv{D_r}{f(u,v)}$, faisons le changement de
variables d\'efini par
$\left\{\matrix{
u=a+\rho\,\cos\theta\cr
v=b+\rho\,\sin\theta
}\right.$
(coordonn\'ees polaires de p\^ole $(a,b)$.)

Le jacobien est $\rho$, et le disque ferm\'e de centre $(a,b)$ et de rayon
$r$ est obtenu pour
$\left\{\matrix{
0\leq\rho\leq r\hfill\cr
0\leq\theta\leq2\pi
}\right.$.

On a donc

$\eqalign{\diintuv{D_r}{f(u,v)}&=
\diintrt{[0,r]\times[0,2\pi]}{f(a+\rho\,\cos\theta,b+\rho\,\sin\theta)\,\rho}\cr
&=\int_0^r\left(\rho\,\int_0^{2\pi}f(a+\rho\,\cos\theta,b+\rho\,\sin\theta)\,
{\rm d}\theta\right)\,{\rm d}\rho\cr
&=\int_0^r\rho\,2\pi\,m(a,b,\rho)\,{\rm d}\rho
=2\pi\,\int_0^r\rho\,m(a,b,\rho)\,{\rm d}\rho.}$
$$\boxit{3pt}{$\forall r\in]0,b[,\ \diintuv{D_r}{f(u,v)}
=2\pi\,\int_0^r\rho\,m(a,b,\rho)\,{\rm d}\rho$.}$$

En employant la formule de Green-Riemann avec $P=\dsp-{\partial f\over\partial y}$,
$Q=\dsp{\partial f\over\partial x}$ et ${\cal D}=D_r$, on
obtient~:

$$\diintuv{D_r}{\left({\partial^2 f\over \partial x^2}(u,v)+{\partial^2 f\over \partial
y^2}(u,v)\right)}
=\int_{\Gamma_r^+}-{\partial f\over\partial y}(u,v)\,{\rm d}u+
{\partial f\over\partial x}(u,v)\,{\rm d}v$$
o\`u $\Gamma_r^+$ est le cercle de centre $(a,b)$ de rayon $r$
parcouru dans le sens direct;

en le param\'etrant par $\left\{\matrix{
x=a+r\,\cos\theta\cr
y=b+r\,\sin\theta
},\quad\theta\in[0,2\,\pi]\right.$, l'orientation \'etant celle des $\theta$
croissants, on obtient

\setbox9=\vtop{\hsize=110mm
$\dint_0^{2\pi}\left(
-{\partial f\over\partial y}(a+r\,\cos\theta,b+r\,\sin\theta)\,(-r\,\sin\theta)\right.$

\hskip 45mm
$\left.\dsp+{\partial f\over\partial x}(a+r\,\cos\theta,b+r\,\sin\theta)\,(r\,\cos\theta)
\right)\,{\rm d}\theta$
}
$\eqalign{\dint_{\Gamma_r^+}-{\partial f\over\partial y}(u,v)\,{\rm d}u+
{\partial f\over\partial x}(u,v)\,{\rm d}v&=
\box9\cr
&\hskip-12.5mm=r\,\int_0^{2\pi}\left(
{\partial f\over\partial x}(a+r\,\cos\theta,b+r\,\sin\theta)\,\cos\theta
+{\partial f\over\partial y}(a+r\,\cos\theta,b+r\,\sin\theta)\,\sin\theta
\right)\,{\rm d}\theta}$

Donc~:
$$\boxit{3pt}{
$\diintuv{D_r}{\Delta f(u,v)}=
r\,\int_0^{2\pi}\left(
{\partial f\over\partial x}(a+r\,\cos\theta,b+r\,\sin\theta)\,\cos\theta
+{\partial f\over\partial y}(a+r\,\cos\theta,b+r\,\sin\theta)\,\sin\theta
\right)\,{\rm d}\theta$.}$$

\q2
La fonction $(r,\theta)\mapsto (a+r\,\cos\theta,b+r\,\sin\theta)$
est de classe ${\cal C}^\infty$ sur $\R^2$, et transforme le pav\'e $[0,b[\times[0,2\pi]$
en le disque ouvert de centre $(a,b)$ et de rayon $b$, qui est inclus dans ${\cal P}$.
Par composition, l'application $(r,\theta)\mapsto f(a+r\,\cos\theta,b+r\,\sin\theta)$
est de classe ${\cal C}^\infty$, donc en particulier continue, sur $[0,b[\times[0,2\pi]$.

Le th\'eor\`eme de continuit\'e des int\'egrales d\'ependant d'un param\`etre
permet de conclure que l'application $r\mapsto\dint_0^{2\pi}f(a+r\,\cos\theta,b+r\,\sin\theta)\,{\rm d}\theta$
est continue sur $[0,b[$.
Il en r\'esulte~:
$$\boxit{3pt}{$r\mapsto m(a,b,r)$ est continue sur $[0,b[$.}$$

\q3
En employant le r\'esultat du {\bf III} 1$^\circ$), $M(a,b,r)=\dsp
{2\over r^2}\,\int_0^r\rho\,m(a,b,\rho)\,{\rm d}\rho$.

L'application $\rho\mapsto \rho\,m(a,b,\rho)$ est continue sur
$[0,b[$, donc, par le th\'eor\`eme fondamental du calcul int\'egral,
l'application $r\mapsto \dint_0^r\rho\,m(a,b,\rho){\rm d}\rho$ est
de classe ${\cal C}^1$, donc en particulier continue, sur $[0,b[$.
Il en r\'esulte~:

$$\boxit{3pt}{$r\mapsto M(a,b,r)$ est continue sur $]0,b[$.}$$

\'Etude de la continuit\'e en $0$~:

$\forall r\in]0,b[$,

$\eqalign{M(a,b,r)-f(a,b)&=\dsp
{2\over r^2}\,\left(\int_0^r\rho m(a,b,\rho){\rm d}\rho-{r^2\over2}\,f(a,b)\right)
={2\over r^2}\,\left(\int_0^r\rho m(a,b,\rho){\rm d}\rho-\int_0^r\rho\,f(a,b){\rm
d}\rho\right)\cr
&={2\over r^2}\,\int_0^r\rho\,\big(m(a,b,\rho)-f(a,b)\big){\rm d}\rho}$

L'application $\rho\mapsto \rho\,m(a,b,\rho)$ est continue en 0,
et $m(a,b,0)=f(a,b)$, donc~:

$\forall\varepsilon>0,\ \exists\alpha>0,\ \forall\rho\in\R,\
0\leq\rho\leq\alpha\Rightarrow \vert
m(a,b,\rho)-f(a,b)\vert\leq\varepsilon$.

Il en r\'esulte~:

$\forall r\in\R_+^*,\ r\leq\alpha\Rightarrow \vert M(a,b,r)-f(a,b)\vert\leq
\dsp{2\over r^2}\,\dint_0^r\rho\,\varepsilon\,{\rm d}\rho=\varepsilon$

et par d\'efinition,
$$\boxit{3pt}{$r\mapsto M(a,b,r)$ est continue en 0.}$$

\q4
D'apr\`es l'\'etude faite au {\bf III} 2$^\circ$),
l'application $(r,\theta)\mapsto f(a+r\,\cos\theta,b+r\,\sin\theta)$
est de classe ${\cal C}^1$ sur $[0,b[\times[0,2\pi]$, donc le th\'eor\`eme de d\'erivation
des int\'egrales d\'ependant d'un param\`etre permet de conclure que
l'application $r\mapsto M(a,b,r)$ est de classe ${\cal C}^1$ sur $[0,b[$.
En particulier,
$$\boxit{3pt}{$r\mapsto m(a,b,r)$ est d\'erivable sur $]0,b[$.}$$

Sa d\'eriv\'ee s'obtient par la r\`egle de Leibniz, et on a~:

$\forall r\in]0,b[,\ \dsp{\partial m\over\partial r}(a,b,r)=
{1\over2\pi}\,\int_0^{2\pi}\left(
{\partial f\over\partial x}(a+r\,\cos\theta,b+r\,\sin\theta)\,\cos\theta
+{\partial f\over\partial y}(a+r\,\cos\theta,b+r\,\sin\theta)\,\sin\theta
\right)\,{\rm d}\theta$

Gr\^ace au {\bf III} 2$^\circ$), on a encore~:

$$\boxit{3pt}{$\forall r\in]0,b[,\ \dsp{\partial m\over\partial r}(a,b,r)=
{1\over2\pi\,r}\,\diintuv{D_r}{\Delta f(u,v)}$.}$$

\q5
On a en fait prouv\'e au {\bf III} 2$^\circ$) que l'application
$r\mapsto \dint_0^r\rho\,m(a,b,\rho){\rm d}\rho$ est de classe ${\cal C}^1$
sur $[0,b[$. Donc, l'application $r\mapsto M(a,b,r)=\dsp
{2\over r^2}\,\int_0^r\rho\,m(a,b,\rho)\,{\rm d}\rho$ est de classe ${\cal C}^1$
sur $]0,b[$; en particulier
$$\boxit{3pt}{$r\mapsto M(a,b,r)$ est d\'erivable sur $]0,b[$.}$$

On calcule (d\'erivation d'un produit et d'une int\'egrale fonction de sa borne sup\'erieure)~:

$\eqalign{
\forall r\in]0,b[,\ \dsp{\partial M\over\partial r}(a,b,r)&
=-{4\over r^3}\,\int_0^r\rho\,m(a,b,\rho)\,{\rm d}\rho+{2\over
r^2}\,r\,m(a,b,r)
=-{4\over r^3}\,{r^2\over2}\,M(a,b,r)+{2\over
r}\,m(a,b,r)\cr
&={2\over r}\,\big(m(a,b,r)-M(a,b,r)\big)}$

$$\boxit{3pt}{$\forall r\in]0,b[,\ \dsp{\partial M\over\partial r}(a,b,r)=
{2\over r}\,\big(m(a,b,r)-M(a,b,r)\big)$.}$$

\bigskip
{\bf Partie IV}

\q1
Si $f$ est harmonique sur ${\cal P}$, elle est de classe ${\cal C}^\infty$
sur ${\cal P}$, et d'apr\`es le {\bf III} 4$^\circ$), pour tout
$r$ de $]0,b[$, $\dsp{\partial m\over\partial r}(a,b,r)=
{1\over2\pi\,r}\,\diintuv{D_r}{\Delta f(u,v)}=0$.

La fonction $r\mapsto m(a,b,r)$ est donc constante sur $]0,b[$, et,
par continuit\'e, sur $[0,b[$.

$$\boxit{3pt}{La fonction $r\mapsto m(a,b,r)$ est constante sur son
ensemble de d\'efinition.}$$

Comme $m(a,b,0)=f(a,b)$, on a~: $\forall r\in[0,b[,\
m(a,b,r)=f(a,b)$.
$(a,b)$ \'etant arbitrairement fix\'e dans ${\cal P}$, on peut
conclure~:
$$\boxit{3pt}{si $f$ est harmonique sur ${\cal P}$, alors
$f$ v\'erifie la propri\'et\'e de moyenne circulaire sur ${\cal P}$.}$$

\q2
Si $f$ v\'erifie la propri\'et\'e de moyenne circulaire sur ${\cal P}$,
elle est de classe ${\cal C}^\infty$
sur ${\cal P}$, et d'apr\`es le {\bf III} 1$^\circ$),
$\forall r\in]0,b[,\ \diintuv{D_r}{f(u,v)}
=2\pi\,\int_0^r\rho\,m(a,b,\rho)\,{\rm d}\rho
=2\pi\,f(a,b)\,\int_0^r\rho\,{\rm d}\rho
=\pi\,r^2\,f(a,b)$,

d'o\`u $M(a,b,r)=f(a,b)$.
$$\boxit{3pt}{Si $f$ poss\`ede la propri\'et\'e de moyenne circulaire sur ${\cal P}$,
elle poss\`ede la propri\'et\'e de moyenne spatiale sur ${\cal P}$.}$$

\q3
Si $f$ v\'erifie la propri\'et\'e de moyenne spatiale sur ${\cal P}$,
elle est de classe ${\cal C}^\infty$
sur ${\cal P}$, et

\centerline{$\forall r\in]0,b[,\ \dsp{\partial M\over\partial
r}(a,b,r)=0$.}

En utilisant le {\bf III} 5$^\circ$), il en r\'esulte que pour tout
$r$ de $]0,b[$, $m(a,b,r)=M(a,b,r)=f(a,b)$, donc
$f$ v\'erifie la propri\'et\'e de moyenne circulaire sur ${\cal P}$.
$$\boxit{3pt}{La r\'eciproque de la propri\'et\'e pr\'ec\'edente est vraie.}$$

\q4
Montrons que si $f$ v\'erifie la propri\'et\'e de moyenne spatiale sur ${\cal P}$,
il en va de m\^eme pour $\dsp{\partial f\over\partial x}$.

La fonction $\dsp{\partial f\over\partial x}$ est de classe ${\cal C}^\infty$
sur ${\cal P}$.

D'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, $f$ v\'erifie aussi la propri\'et\'e de moyenne circulaire
sur ${\cal P}$.

Soit $b>0$ et $r\in]0,b[$ fix\'es.
Par composition, l'application $(a,\theta)\mapsto f(a+r\,\cos\theta,b+r\,\sin\theta)$ est de classe
${\cal C}^1$ sur $\R\times[0,2\pi]$, donc, gr\^ace au
th\'eor\`eme de d\'erivation des int\'egrales propres \`a
param\`etre, l'application

$\dsp a\mapsto m(a,b,r)={1\over2\,\pi}\,
\int_0^{2\pi} f(a+r\,\cos\theta,b+r\,\sin\theta)
\,{\rm d}\theta$ est aussi de classe ${\cal C}^1$ sur $\R$.

Sa d\'eriv\'ee s'obtient par la r\`egle de Leibniz, et en notant
$D_1 m$ la d\'eriv\'ee partielle de $(a,b,r)\mapsto m(a,b,r)$ par rapport
\`a sa premi\`ere variable, on obtient~:
$$D_1 m(a,b,r)={1\over2\,\pi}\,
\dint_0^{2\pi}{\partial f\over\partial x}(a+r\,\cos\theta,b+r\,\sin\theta)
\,{\rm d}\theta\ .$$

Or, pour tout $(a,b)$ de ${\cal P}$, et tout $r$ de $]0,b[$,
$m(a,b,r)=f(a,b)$, donc $D_1 m(a,b,r)=\dsp{\partial f\over\partial
x}(a,b)$.

On a ainsi~:

$${\partial f\over\partial x}(a,b)={1\over2\,\pi}\,
\dint_0^{2\pi}{\partial f\over\partial x}(a+r\,\cos\theta,b+r\,\sin\theta)
\,{\rm d}\theta$$

ce qui signifie que $\dsp{\partial f\over\partial x}$ poss\`ede la
propri\'et\'e de moyenne circulaire sur ${\cal P}$, donc aussi la
propri\'et\'e de moyenne spatiale sur ${\cal P}$.

On proc\`ede de m\^eme pour d\'emontrer que $\dsp{\partial f\over\partial y}$ poss\`ede la
propri\'et\'e de moyenne spatiale sur ${\cal P}$.
$$\boxit{3pt}{Si $f$ v\'erifie la propri\'et\'e de moyenne spatiale sur ${\cal P}$,
il en va de m\^eme pour ses d\'eriv\'ees partielles d'ordre 1.}$$

En it\'erant cette propri\'et\'e, on montre que
$\dsp{\partial^2 f\over\partial x^2}$ et $\dsp{\partial^2 f\over\partial y^2}$
v\'erifient aussi la propri\'et\'e de moyenne spatiale sur ${\cal P}$.

Enfin, par lin\'earit\'e de l'int\'egrale double,

$\dsp{1\over\pi\,r^2}\,\diintuv{D_r}{\dsp\left({\partial^2 f\over\partial x^2}(u,v)+
\dsp{\partial^2 f\over\partial y^2}(u,v)\right)}=
{\partial^2 f\over\partial x^2}(a,b)+{\partial^2 f\over\partial
y^2}(a,b)$,
donc $\Delta f$ la v\'erifie aussi.
$$\boxit{3pt}{Si $f$ v\'erifie la propri\'et\'e de moyenne spatiale sur ${\cal P}$,
il en va de m\^eme pour $\Delta f$.}$$

\q5
Si $f$ v\'erifie la propri\'et\'e de moyenne circulaire sur ${\cal P}$,
alors pour tout $(a,b)$ de ${\cal P}$, et tout $r$ de $]0,b[$,
$\dsp{\partial m\over\partial r}(a,b,r)=0$.
D'apr\`es le {\bf III} 4$^\circ$), cela implique
$$\boxit{3pt}{$\diintuv{D_r}{\Delta f(u,v)}=0$.}$$

D'apr\`es la question pr\'ec\'edente, $\Delta f$
v\'erifie la propri\'et\'e de moyenne spatiale sur ${\cal P}$, donc
pour tout $(a,b)$ de ${\cal P}$, et tout $r$ de $]0,b[$,
$\dsp{1\over\pi\,r^2}\,\diintuv{D_r}{\Delta f(u,v)}=\Delta
f(a,b)$.

On a donc~: pour tout $(a,b)$ de ${\cal P}$, $\Delta f(a,b)=0$, et

$$\boxit{3pt}{$f$ est harmonique sur ${\cal P}$.}$$

\bye
