\documentclass[a4paper]{article}

% Christian RIEFFEL, lyc‚e Louis Armand  ---- Poitiers
% ch.rieffel@free.fr
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\begin{center}
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\\[1ex]
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\begin{document}

\begin{center}
\shadowbox{\Large BANQUE PT \hspace{4.5cm} MATHS IA \hspace{4.5cm} 2000}
\end{center}

\begin{center}
{\huge L'usage des machines \`{a} calculer est interdit}
\end{center}

Dans le plan euclidien $\R^2$ muni d'un rep\`{e}re orthonormal $(O;\i,\j)$, on
consid\`{e}re le demi-plan ouvert ${\cal P}$ d'\'{e}quation $y>0$.

Si $f:(x,y)\mapsto f(x,y)$ est une fonction d\'{e}finie sur un ouvert 
\boldmath${\cal U}$\unboldmath~ de $\R^2$, on appelle laplacien de $f$ et on
note $\Delta f$ l'op\'{e}rateur diff\'{e}rentiel d\'{e}fini,quand il existe, par :

\hfill $\Delta f=\derpar[2]{f}{x}+\derpar[2]{f}{y}$ \hfill \hfill {}

On appelle fonction harmonique sur un ouvert \boldmath${\cal U}$\unboldmath~ de
$\R^2$ une fonction ${\cal C}^{\infty}$ d\'{e}finie sur \boldmath${\cal
  U}$\unboldmath~ et \`{a} valeurs dans $\R$ telle que $\Delta f=0$ en tout point
de \boldmath${\cal U}$\unboldmath~.

Les deux premi\`{e}res parties du probl\`{e}me consistent en l'\'{e}tude de quelques
exemples de fonctions harmoniques sur le demi-plan ${\cal P}$ et les deux
suivantes en une caract\'{e}risation des fonctions harmoniques. Les quatre parties
sont relativement ind\'{e}pendantes et peuvent \^{e}tre trait\'{e}es en admettant les
r\'{e}sultats pr\'{e}c\'{e}dents. On justifiera toutes les r\'{e}ponses.

On rappelle le th\'{e}or\`{e}me de Green-Riemann : 

si ${\cal D}$ est un domaine ferm\'{e} et born\'{e} dont la fronti\`{e}re $\Gamma$ est un
arc de courbe de classe ${\cal C}^1$ orient\'{e} dans le sens direct et si $P$ et
$Q$ sont des fonctions de classe ${\cal C}^1$ sur un ouvert contenant ${\cal
  D}$, on a :

\hfill $\doublint_{\cal D} (\derpar{Q}{x}(x,y)-\derpar{P}{y}(x,y))\d x\d y=
\int_{\Gamma^+} P(x,y)\d x + Q(x,y)\d y$ \hfill{}


\partie

On d\'{e}finit la fonction $G$ de ${\cal P}$ dans $\R$ par
$G(x,y)=\arctan(\frac{x}{y})$.

\begin{enumerate}
\item
Montrer que $G$ est une fonction harmonique sur ${\cal P}$.

\item
D\'{e}terminer toutes les applications $\varphi$ de classe ${\cal C}^{\infty}$ de
$\R$ dans $\R$ telles que l'application $F$ d\'{e}finie par $F:(x,y)\mapsto
\varphi(\frac{x}{y})$ soit harmonique sur ${\cal P}$.

\item
Pour tout r\'{e}el non nul $t$, d\'{e}montrer l'\'{e}galit\'{e} :

\hfill $\arctan{t}+ \arctan{\frac{1}{t}}=\op{sgn}(t)\frac{\pi}{2}$
\hfill{}

o\`{u} $\op{sgn}$ est la fonction signe d\'{e}finie par 
$ \begin{array}{lcl}
\op{sgn}(t)=1&\textrm{ si }&t>0 \\ \op{sgn}(t)=-1&\textrm{ si }&t<0 \\ 
 \end{array}$.

\item
On d\'{e}finit, pour tout complexe non nul, la fonction $\op{Arg}$ de telle sorte
que \begin{tabular}{l}
$\bullet \op{Arg}(z)$ soit un argument du complexe $z$ \\
$\bullet \op{Arg}(z)\in ]-\pi,\pi]$
\end{tabular}.

Exprimer $G(x,y)$ \`{a} l'aide de $\op{Arg}(x+iy)$ pour tout $(x,y)$ de ${\cal
  P}$.

\item
Soit $x\in\R$. Calculer $\lim_{y\to 0 \atop y>0} G(x,y)$. 
\emph{On discutera selon $x$ et on notera $g(x)$ cette limite.}

Montrer que l'int\'{e}grale $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{y
  g(t)}{(x-t)^2+y^2}\d t$ existe pour tout $(x,y)$ de ${\cal P}$ et l'exprimer
  \`{a} l'aide de $G(x,y)$.

\end{enumerate}

\partie

\begin{enumerate}
\item

On consid\`{e}re dans le plan la famille ${\cal F}$ de coniques d'\'{e}quation :

\hfill $\frac{x^2}{\alpha}+\frac{y^2}{\alpha-1}=1$ \hfill \hfill{}

\'Etudier, suivant le param\`{e}tre r\'{e}el $\alpha$, la nature de ces coniques.

Montrer qu'elles ont m\^{e}me foyers.

\item
Soit $M_0(x_0,y_0)$ un point de ${\cal P}$.

Si $x_0\not=0$, \'{e}tudier la fonction $\psi$ de $\R$ dans $\R$ d\'{e}finie par
\hfill $\psi : \alpha \mapsto \frac{x^2}{\alpha}+\frac{y^2}{\alpha-1}-1$ 
\hfill {}

En d\'{e}duire que, pour tout point $(x_0,y_0)$ de ${\cal P}$, avec $x_0\not=0$,
il passe exactement deux coniques de la famille ${\cal F}$. Montrer qu'elles
sont de natures diff\'{e}rentes.

Soient $\alpha_1$ et $\alpha_2$ les param\`{e}tres correspondants. Exprimer
$\alpha_1.\alpha_2$ et $\alpha_1+\alpha_2$.

Que se passe-t-il pour les points o\`{u} $x_0=0$ ?

\item
Si $M_0(x_0,y_0)$ est un point de ${\cal P}$ avec $x_0\not=0$, montrer que les
droites passant par $M_0$ et tangentes respectivement \`{a} chacun des deux
coniques de la famille ${\cal F}$ passant par $M_0$ sont orthogonales.

\item
On donne les fonctions $x$ et $y$ d\'{e}finies de $\R^2$ dans $\R$ par :
$ \begin{array}{l}
(u,v)\mapsto x(u,v)=\op{ch}u\cos{v} \\ (u,v)\mapsto y(u,v)=\op{sh}u\sin{v} \\ 
 \end{array}$

Montrer qu'elles sont harmoniques.

Soit $H$ la fonction d\'{e}finie de $\R^2$ dans $\R^2$ par 

\hfill $(u,v)\mapsto H(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$. \hfill \hfill{}

\'Ecrire la matrice jacobienne de $H$.

Le jacobien de $H$ peut-il s'annuler ?

\item
Montrer que les images par $H$ des droites d'\'{e}quation $u=u_0$ et $v=v_0$, o\`{u}
$u_0$ et $v_0$ sont r\'{e}els, appartiennent \`{a} la famille ${\cal F}$ ou sont
contenues dans les axes $x'0x$ ou $y'Oy$.

Examiner les cas particuliers.

\'Etudier la r\'{e}ciproque.

En d\'{e}duire que $H$ d\'{e}termine une bijection de $]0,+\infty[\times]0,\pi[$ sur
${\cal P}$.

\item
Calculer $\Delta(f\circ H)$ \`{a} l'aide de $\Delta f$.

Si $f$ est harmonique sur ${\cal P}$, en d\'{e}duire que $f\circ H$ est harmonique
sur $]0,+\infty[\times]0,\pi[$.

\end{enumerate}


\partie

Soit $(a,b)$ un point de ${\cal P}$ et $r$ un r\'{e}el v\'{e}rifiant $0\ie r<b$. On
note ${\cal D}_r$ le disque ferm\'{e} de centre $(a,b)$ et de rayon $r$. \`A la
fonction $f$ de classe ${\cal C}^{\infty}$ d\'{e}finie sur ${\cal P}$ et \`{a} valeurs
dans $\R$, on associe les deux nombres :

$\begin{array}{rl}
&m(a,b,r)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(a+r\cos{\vartheta},b+r\sin{\vartheta})
\d \vartheta \\
\textrm{ et }&M(a,b,r)=
\begin{minipage}[t]{5cm}
$\left\{ \begin{array}{ccc}
\frac{1}{\pi r^2}\doublint_{{\cal D}_r}f(u,v)\d u \d v&\textrm{ si }&
r\not=0 \\ 
f(a,b)&\textrm{ si }& r=0 \\ 
 \end{array} \right.$
\end{minipage}
\\
 \end{array}$

Dans toute cette partie, $(a,b)$ est un point fix\'{e} de ${\cal P}$ et $f$ est
une fonction de classe ${\cal C}^\infty$ d\'{e}finie sur ${\cal P}$ et \`{a} valeurs
dans $\R$.

\begin{enumerate}
\item
Pour $r$ v\'{e}rifiant $0<r<b$, \'{e}tablir les deux \'{e}galit\'{e}s :

\hfill $\doublint_{{\cal D}_r} f(u,v)\d u\d v=2\pi\int_{0}^{r} \rho m(a,b,r)\d
\rho$ \hfill{}

\hfill $\doublint_{{\cal D}_r} \Delta f(u,v)\d u\d v=f\int_{0}^{2\pi} \big(
\derpar{f}{x}(a+r\cos{\vartheta},b+r\sin{\vartheta})\cos{\vartheta}+
\derpar{f}{y}(a+r\cos{\vartheta},b+r\sin{\vartheta})\sin{\vartheta}\big)
\d \vartheta$ \hfill{}

\item
Montrer que la fonction $r\mapsto m(a,b,r)$ est continue sur $[0,b[$.

\item
Montrer que la fonction $r\mapsto M(a,b,r)$ est continue sur l'intervalle
ouvert $]0,b[$. Est-elle continue \`{a} droite en $r=0$ ? Justifier.

\item
Montrer que la fonction $r\mapsto m(a,b,r)$ est d\'{e}rivable sur $]0,b[$ et
\'{e}tablir la relation :

\hfill $\derpar{m}{r}(a,b,r)=\frac{1}{2\pi r}\doublint_{{\cal D}_r} \Delta
f(u,v)\d u\d v$ \hfill \hfill{}

\item
Montrer que la fonction $r\mapsto M(a,b,r)$ est d\'{e}rivable sur $]0,b[$ et
\'{e}tablir la relation :

\hfill $\derpar{m}{r}(a,b,r)=\frac{2}{r}(m(a,b,r)-M(a,b,r))$ \hfill \hfill{}

\end{enumerate}


\partie

On reprend les notations de la troisi\`{e}me partie et on dit que la fonction $f$
\`{a} valeurs dans $\R$ poss\`{e}de la propri\'{e}t\'{e} de moyenne circulaire (respectivement
de moyenne spatiale) sur ${\cal P}$ si elle est de classe ${\cal C}^\infty$
sur ${\cal P}$ et si elle v\'{e}rifie la relation $f(a,b)=m(a,b,r)$
(respectivement $f(a,b)=M(a,b,r)$) pour tout $(a,b)$ de ${\cal P}$ et tout $r$
tel que $0<r<b$.

\begin{enumerate}

\item
Si $f$ est harmonique sur ${\cal P}$ et $(a,b)\in {\cal P}$, montrer que la
fonction $r\mapsto m(a,b,r)$ est constante sur son domaine de d\'{e}finition.

En conclure que $f$ v\'{e}rifie la propri\'{e}t\'{e} de moyenne circulaire sur ${\cal P}$.

\item
Si $f$ poss\`{e}de le propri\'{e}t\'{e} de moyenne circulaire sur ${\cal P}$, montrer
qu'elle poss\`{e}de la propri\'{e}t\'{e} de moyenne spatiale sur ${\cal P}$.

\item
\'Etablir la r\'{e}ciproque de la propri\'{e}t\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente.

\item
Si $f$ v\'{e}rifie la propri\'{e}t\'{e} de moyenne spatiale sur ${\cal P}$, montrer que
les d\'{e}riv\'{e}es partielles d'ordre un de $f$ v\'{e}rifient la m\^{e}me propri\'{e}t\'{e}.
En d\'{e}duire que $\Delta f$ la v\'{e}rifie aussi.

\item
En supposant que $f$ v\'{e}rifie la propri\'{e}t\'{e} de moyenne circulaire sur ${\cal
  P}$, d\'{e}montrer l'\'{e}galit\'{e} suivante pour tout $(a,b)$ de ${\cal P}$ et tout
$r$ v\'{e}rifiant $0<r<b$ :

\hfill $\doublint_{{\cal D}_r} \Delta f(u,v)\d u\d v=0$ \hfill \hfill{}

En d\'{e}duire que $f$ est harmonique sur ${\cal P}$.

\end{enumerate}


\end{document}














