%********************************************************************
%*******         BANQUE FILI\`ERE PT 00     MATH II-A         *******
%*******               CORRIG\'E au format plain              *******
%********************************************************************
%propos\'e par Yves Saladin PT LPO Coef-1 Trioncelle 97122 Bemaw\^o
%toute remarque est bienvenue: mel yves.saladin@wanadoo.fr
%********************************************************************


%****************************** Macros ******************************

%Ensembles de nombres
\font\msbmx=msbm10
\font\msbmvii=msbm7
\newfam\fambb
\def\Bbb{\fam\fambb}
\textfont\fambb=\msbmx
\scriptfont\fambb=\msbmvii
\def\R{{\Bbb R}}
\def\N{{\Bbb N}}

%Cadres:
\def\boxit#1#2{\vbox{\hrule\hbox{\vrule
\vbox spread#1{\vfil\hbox spread#1{\hfil#2\hfil}\vfil}%
\vrule}\hrule}}

%Num\'erotation des questions:
\def \q#1{\medskip\hskip1.4em{#1$^\circ$)}}

%Abr\'eviations
\let\dsp=\displaystyle
\let\ssi=\Leftrightarrow
\let\Ssi=\Longleftrightarrow
\let\ov=\overrightarrow
\def\egal{\mathop{=}\limits}
\def\Ker{\mathop{\rm Ker}}
\def\Id{\mathop{\rm Id}}
\def\pass{\mathop{\rm Pass}}

%Mise en page
\parindent 0pt
\overfullrule=0pt

\input psfig.sty
\input upsnum.tex

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%************************    Corrig\'e    *****************************

\centerline {\bf Banque PT -- Math II-A}
\vskip 2cm plus 5mm minus 5mm
\centerline {\bf Exercice I}
\q1
$f$ est l'endomorphisme de $\R^3$ canoniquement associ\'e \`a $A=\pmatrix{
5&2&4\cr
12&3&8\cr
-12&-4&-9}$.

Son polyn\^ome caract\'eristique $\chi_f$ est d\'efini par~:
\medskip
$\chi_f(X)=
\left\vert\matrix{
5-X&2&4\cr
12&3-X&8\cr
-12&-4&-9-X
}\right\vert
\egal_{C_1\leftarrow C_1-3C_2}
\left\vert\matrix{
-1-X&2&4\cr
3+3X&3-X&8\cr
0&-4&-9-X
}\right\vert$

$\egal_{L_2\leftarrow L_2+3L_1}
(1+X)\left\vert\matrix{
-1&2&4\cr
0&9-X&20\cr
0&-4&-9-X
}\right\vert
=-(1+X)\left(X^2-81+80\right)=(1+X)^2(1-X)$.


$g$ est l'endomorphisme de $\R^3$ canoniquement associ\'e \`a $B=\pmatrix{
-1&-2&-2\cr
0&-3&-2\cr
0&4&3}$.

On obtient, par d\'eveloppement selon la premi\`ere colonne~:
\medskip
$\chi_g(X)=
\left\vert\matrix{
-1-X&-2&-2\cr
0&-3-X&-2\cr
0&4&3-X
}\right\vert
=
-(1+X)\left(X^2-9+8\right)=(1+X)^2(1-X)$.

\medskip

$$\boxit{3pt}{$\chi_f(X)=\chi_g(X)=(1+X)^2(1-X)$.}$$

$$\boxit{3pt}{Les valeurs propres de $f$ et $g$ sont donc $-1$ (double), et
1.}$$

\q2
\'Equations des sous-espaces propres de $f$~:

$\Ker(f-\Id)$ est l'ensemble des triplets $(x,y,z)$ de $\R^3$
v\'erifiant

$\left\{\matrix{
4x+2y+4z=0\cr
12x+2y+8z=0\cr
-12x-4y-10z=0
}\right.
\Ssi
\left\{\matrix{
2x+y+2z=0\cr
\hfill -2y-2z=0\cr
\hfill -y-z=0
}\right.
\Ssi
\left\{\matrix{
2x+z=0\cr
\hfill y+z=0
}\right.
$

$$\boxit{3pt}{$\Ker(f-\Id)$ est la droite vectorielle d'\'equations
$\left\{\matrix{
y=2x\hfill\cr
z=-2x
}\right.$.}$$

$\Ker(f+\Id)$ est caract\'eris\'e par~:

$\left\{\matrix{
6x+2y+4z=0\cr
12x+4y+8z=0\cr
-12x-4y-8z=0
}\right.
\Ssi
3x+y+2z=0
$

$$\boxit{3pt}{$\Ker(f+\Id)$ est le plan vectoriel d'\'equation
$3x+y+2z=0$.}$$

\'Equations des sous-espaces propres de $g$~:

$\Ker(g-\Id)$ est l'ensemble des triplets $(x,y,z)$ de $\R^3$
v\'erifiant

$\left\{\matrix{
-2x-2y-2z=0\cr
\hfill -4y-2z=0\cr
\hfill 4y+2z=0
}\right.
\Ssi
\left\{\matrix{
x+y+z=0\cr
\hfill 2y+z=0
}\right.
\Ssi
\left\{\matrix{
x-y=0\cr
2y+z=0
}\right.
$

$$\boxit{3pt}{$\Ker(g-\Id)$ est la droite vectorielle d'\'equations
$\left\{\matrix{
y=x\hfill\cr
z=-2x
}\right.$.}$$

$\Ker(g+\Id)$ est caract\'eris\'e par~:

$\left\{\matrix{
-2y-2z=0\cr
-2y-2z=0\cr
4y+4z=0
}\right.
\Ssi
y+z=0
$

$$\boxit{3pt}{$\Ker(g+\Id)$ est le plan vectoriel d'\'equation
$y+z=0$.}$$

\q3
Recherche d'une base ${\cal B}'=(V_1,V_2,V_3)$ de vecteurs propres communs \`a $f$ et $g$~:

on constate que
$\Ker(f-\Id)\subset\Ker(g+\Id)$, et
$\Ker(g-\Id)\subset\Ker(f+\Id)$.

On peut donc choisir par exemple $V_1$ dans $\Ker(f-\Id)$,
$V_2$ dans $\Ker(g-\Id)$, et $V_3$ dans
$\Ker(g+\Id)\cap\Ker(f+\Id)$.
\smallskip
Ce dernier sous-espace a pour \'equations
$\left\{\matrix{
3x+y+2z=0\cr
\hfill y+z=0
}\right.
\Ssi
\left\{\matrix{
3x-y=0\cr
y+z=0
}\right.
\Ssi
\left\{\matrix{
y=3x\cr
z=-3x
}\right.$
\smallskip
Avec le choix d'une premi\`ere composante \'egale \`a 1, cela donne~:

$$\boxit{5pt}{$V_1=(1,2,-2);\quad V_2=(1,1,-2);\quad V_3=(1,3,-3)$.}$$

\q4
La matrice de passage de ${\cal B}$ \`a ${\cal B}'$ est donc

$$\boxit{5pt}{$P=\pass_{\cal B}^{{\cal B}'}=\pmatrix{
1&1&1\cr
2&1&3\cr
-2&-2&-3
}$.}$$

On peut obtenir la matrice inverse par op\'erations \'el\'ementaires sur
les lignes~:
\medskip

\centerline{
$\left(\matrix{
1&1&1\cr
2&1&3\cr
-2&-2&-3}
\right\vert
\left.\matrix{
1&0&0\cr
0&1&0\cr
0&0&1}
\right)$
\quad
$\left(\matrix{
1&1&1\cr
0&-1&1\cr
0&0&-1}
\right\vert
\left.\matrix{
1&0&0\cr
-2&1&0\cr
2&0&1}
\right)$
\quad
$\left(\matrix{
1&1&0\cr
0&-1&0\cr
0&0&-1}
\right\vert
\left.\matrix{
3&0&1\cr
0&1&1\cr
2&0&1}
\right)$}
\smallskip
\centerline{
$\left(\matrix{
1&0&0\cr
0&-1&0\cr
0&0&-1}
\right\vert
\left.\matrix{
3&1&2\cr
0&1&1\cr
2&0&1}
\right)$
\quad
$\left(\matrix{
1&0&0\cr
0&1&0\cr
0&0&1}
\right\vert
\left.\matrix{
3&1&2\cr
0&-1&-1\cr
-2&0&-1}
\right)$}
\medskip
La matrice de passage de ${\cal B}'$ \`a ${\cal B}$ est donc

$$\boxit{5pt}{$P^{-1}=\pass_{{\cal B}'}^{{\cal B}}=\pmatrix{
3&1&2\cr
0&-1&-1\cr
-2&0&-1
}$.}$$

$f(V_1)=V_1$, $f(V_2)=-V_2$, et $f(V_3)=-V_3$, donc la matrice de $f$
dans la base ${\cal B}'$ est~:

$$\boxit{5pt}{$A'=\pmatrix{
1&0&0\cr
0&-1&0\cr
0&0&-1
}$.}$$

$g(V_1)=-V_1$, $g(V_2)=V_2$, et $g(V_3)=-V_3$, donc la matrice de $g$
dans la base ${\cal B}'$ est~:

$$\boxit{5pt}{$B'=\pmatrix{
-1&0&0\cr
0&1&0\cr
0&0&-1
}$.}$$


\vfill\eject
\centerline {\bf Exercice II}

\q 1
$(a_n)_{n\in\N}$ est la suite d\'efinie par~:
$$\left\{\matrix{
a_0=a_1=1\hfill\cr
\forall n\geq1,\quad a_{n+1}=a_n+\dsp{2\over n+1}\,a_{n-1}\qquad
(1)
}\right.$$

Il est imm\'ediat que tous ses termes sont positifs;

pour tout $n\geq 1,\quad a_{n+1}-a_n=\dsp{2\over
n+1}\,a_{n-1}\geq0$, donc la suite $(a_n)_{n\in\N}$ est
croissante \`a partir du rang 1, et en particulier,

\centerline{$\forall n\geq1,\quad a_n\geq a_1=1$.}

\medskip
Montrons la propri\'et\'e $\forall n\geq1,\quad a_n\leq n^2$ par
r\'ecurrence.

L'in\'egalit\'e $a_n\leq n^2$ est vraie pour $n=1$ et $n=2$
($a_2=2\leq4$).

Soit $n\geq2$ fix\'e, et supposons que pour tout $k\leq n$, l'in\'egalit\'e $a_k\leq k^2$
soit vraie. Alors,

\smallskip
$\eqalign{a_{n+1}&=a_n+\dsp{2\over n+1}\,a_{n-1}\leq n^2+\dsp{2\over n+1}(n-1)^2\cr
&\leq n^2+\dsp{2\over n-1}(n-1)^2\cr
&\leq n^2+2\,(n-1)\cr
&\leq n^2+2\,n-2\cr
&\leq n^2+2\,n+1\cr
&\leq (n+1)^2.}$
\smallskip

L'in\'egalit\'e $a_k\leq k^2$ est donc vraie pour $k=n+1$.
En conclusion,

$$\boxit{3pt}{pour tout $n\geq1$, on a : $1\leq a_n\leq n^2$.}$$

L'in\'egalit\'e pr\'ec\'edente montre que, si $R_1$ d\'esigne le rayon de
convergence de la s\'erie enti\`ere $\sum x^n$, $R_2$ celui de $\sum
n^2x^n$, et $R$ celui de $\sum a_nx^n$, on a~:

\centerline{$R_2\leq R\leq R_1$.}

Comme $R_1=1$ (s\'erie g\'eom\'etrique de raison $x$), et $R_2=1$
(appliquer la r\`egle de d'Alembert), on en d\'eduit~:
$$\boxit{3pt}{le rayon de
convergence de la s\'erie enti\`ere $\sum a_nx^n$ vaut 1.}$$

\q 2
Soit $N\in\N^*$ fix\'e.
En multipliant les deux membres de $(1)$ par $(n+1)\,x^n$, et en sommant
pour $n$ variant de 1 \`a $N$, on a, pour tout $x$ de
$\R$~:
\medskip
$\dsp \sum_{n=1}^N (n+1)a_{n+1}x^n=\sum_{n=1}^N (n+1)a_nx^n+2\sum_{n=1}^N a_{n-1}x^n$

$\dsp\sum_{n=1}^N (n+1)a_{n+1}x^n=
x\sum_{n=1}^N na_nx^{n-1}+\sum_{n=1}^N a_nx^n+2x\sum_{n=1}^N a_{n-1}x^{n-1}\qquad (2)$
\medskip
La s\'erie enti\`ere $\sum na_nx^{n-1}$ s'obtient par d\'erivation terme \`a terme de
$\sum a_nx^n$, donc a le m\^eme rayon de convergence, 1.
La s\'erie enti\`ere $\sum (n+1)a_{n+1}x^n$ se d\'eduit de $\sum na_nx^{n-1}$
par r\'eindexation, de m\^eme que $\sum a_{n-1}x^{n-1}$ vis-\`a-vis de
$\sum a_nx^n$.
Donc, toutes ces s\'eries enti\`eres ont pour rayon de convergence 1.

Ainsi, lorsque $x$ est dans $]-1,1[$, on peut passer \`a la limite lorsque $N$
tend vers $+\infty$ dans $(2)$, et on a alors~:

$\forall x\in]-1,1[,\quad\dsp\sum_{n=1}^{+\infty} (n+1)a_{n+1}x^n=
x\sum_{n=1}^{+\infty} na_nx^{n-1}+\sum_{n=1}^{+\infty} a_nx^n
+2x\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n-1}x^{n-1}\qquad (3)$.

Comme $S(x)=\dsp\sum_{n=1}^{+\infty} a_nx^n$, on a~:
$\dsp\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n-1}x^{n-1}=\dsp\sum_{n=0}^{+\infty}
a_nx^n=a_0+S(x)$.

La somme de la s\'erie d\'eriv\'ee terme \`a terme
$\dsp\sum_{n\geq1} na_nx^{n-1}$ est $S'(x)$, donc~:

$\dsp\sum_{n=1}^{+\infty} (n+1)a_{n+1}x^n=\dsp\sum_{n=2}^{+\infty}
na_nx^{n-1}=S'(x)-a_1$.
\medskip
On obtient donc dans $(3)$~:

$\forall x\in]-1,1[,\quad S'(x)-1=x\,S'(x)+S(x)+2x\big(1+S(x)\big)$.

La fonction $S$ est donc solution sur $]-1,1[$ de l'\'equation
diff\'erentielle lin\'eaire du premier ordre
$$\boxit{3pt}{$(1-x)\,y'-(1+2x)\,y=1+2x$\qquad $(E)$.}$$

\q 3
R\'esolvons $(E)$ sur $]-1,1[$~:

-- le fonction constante $-1$ est une solution \'evidente;

-- une primitive sur $]-1,1[$ de $\dsp x\mapsto {1+2x\over 1-x}=-2+{3\over 1-x}$
est $x\mapsto -2x-3\ln(1-x)$, donc l'\'equation homog\`ene associ\'ee
a pour solutions sur $]-1,1[$ les fonctions
$\dsp x\mapsto
\lambda\,e^{-2x-3\ln(1-x)}=\lambda\,{e^{-2x}\over(1-x)^3}\quad (\lambda\in\R)$.

Les solutions de $(E)$ sur $]-1,1[$
sont donc les fonctions de la forme~:
$\dsp x\mapsto-1+\lambda\,{e^{-2x}\over(1-x)^3}\quad
(\lambda\in\R)$.

La fonction $S$ v\'erifie la condition initiale $S(0)=0$, donc est
obtenue pour $\lambda=1$. On a ainsi~:

$$\boxit{3pt}{$\dsp\forall x\in]-1,1[,\quad S(x)={e^{-2x}\over(1-x)^3}-1$.}$$

\q 4
La fonction constante $-1$ trouv\'ee pr\'ec\'edemment r\'epond \`a la
question.

Question subsidiaire : est-ce la seule solution de $(E)$ sur $\R$?

La r\'esolution du {3$^\circ$)} est en fait valable sur l'intervalle
$]-\infty,1[$.

Sur l'intervalle $]1,+\infty[$, les calculs sont analogues et on
trouve des solutions de la forme

$\dsp x\mapsto-1+\mu\,{e^{-2x}\over(x-1)^3}\quad
(\mu\in\R)$.

Si $f$ est solution de $(E)$ sur $\R$, alors
$\left\{\matrix{
\exists \lambda \in\R,\forall x<1,\quad
f(x)=\dsp-1+\lambda\,{e^{-2x}\over(1-x)^3};\cr
\exists \mu \in\R,\forall x>1,\quad
f(x)=\dsp-1+\mu\,{e^{-2x}\over(x-1)^3}.
}\right.$

L'existence d'une limite finie en 1 impose
$\lambda=\mu=0$; donc
$$\boxit{3pt}{$(E)$ admet une seule solution sur $\R$, la fonction constante $-1$.}$$

\vfill\eject

\centerline {\bf Exercice III}
\q1
${\cal P}$ est la courbe de repr\'esentation param\'etrique
$\left\{\matrix{
x=\dsp {t^2\over 2p}\cr
y=t\hfill
},\quad t\in\R,\right.$
c'est donc la courbe d'\'equation cart\'esienne
$y^2=2p\,x$, $y\in\R$,
c'est-\`a-dire la parabole de sommet $O$, d'axe $Ox$, de foyer $({p\over2},0)$, parcourue
toute enti\`ere ($y$ d\'ecrit $\R$).
$$\boxit{3pt}{${\cal P}$ est une parabole.}$$

$$\psfig{file=m00dt3fd.eps,width=8cm}$$


\q2
Le vecteur d\'eriv\'e est $\dsp{d\ov M\over dt}=\pmatrix{{t\over p}\cr 1}\not=\ov 0$,
donc le param\'etrage donn\'e est r\'egulier, et la normale en tout
point est la droite passant par $M(t)={t^2\over 2p}\ov i+t\,\ov
j$, et orthogonale \`a $\dsp{d\ov M\over dt}$.

Un point $N(x,y)$ du plan est sur normale en $M(t)$ \`a ${\cal P}$ si et seulement si
$\ov{M(t)N}\cdot\dsp{d\ov M\over dt}=0$, soit encore
$\dsp\left(x-{t^2\over 2p}\right){t\over p}+(y-t)=0
\ssi
{t\over p}\,x+y-t-{t^3\over 2p^2}=0
\ssi
2p\,t\,x+2p^2\,y=t^3+2p^2\,t$.

$$\boxit{3pt}{Une \'equation cart\'esienne de la normale en $M(t)$ \`a ${\cal P}$ est~:
$2p\,t\,x+2p^2\,y=t^3+2p^2\,t$.}$$

\q3
La normale en $M(t)$ \`a ${\cal P}$ passe par le point $M(\theta)$ de ${\cal P}$
si et seulement si les coordonn\'ees $(\dsp{\theta^2\over 2p},\theta)$
de ce point v\'erifient l'\'equation de cette normale~:

$\dsp2p\,t\,{\theta^2\over 2p}+2p^2\,\theta=t^3+2p^2\,t\ssi
t\,(\theta^2-t^2)+ 2p^2\,(\theta-t)=0
\ssi
(\theta-t)\,\left(t(\theta+t)+2p^2\right)=0$.

Comme $M(\theta)\not= M(t)$, on a $\theta-t\not=0$, et on peut conclure~:

$\theta\in\R$ \'etant donn\'e, la normale en $M(t)\not=M(\theta)$
passe par $M(\theta)$ si et seulement si $t$ v\'erifie
$$t^2+\theta\,t+2p^2=0.$$

Le discriminant de cette \'equation du second degr\'e en $t$ est
$\Delta=\theta^2-8p^2$, d'o\`u la discussion~:

\setbox1=\vbox{\hsize= 9cm
-- si $\vert\theta\vert> 2p\,\sqrt2$, il existe deux tels points $M(t_1)$
et $M(t_2)$;

-- si $\vert\theta\vert= 2p\,\sqrt2$, il existe un point $M(t)$
$\left(\dsp t=-{\theta\over2}\right)$;

-- si $\vert\theta\vert< 2p\,\sqrt2$, il n'existe pas de point
$M(t)$.}
$$\boxit{3pt}{\box1}$$

\q4
Si une droite coupant ${\cal P}$ en deux points $M(t_1)$ et $M(t_2)$ distincts tels que
les normales \`a ${\cal P}$ en ces points se coupent sur ${\cal P}$,
alors, en notant $\theta$ le param\`etre du point de ${\cal P}$ situ\'e sur
ces deux normales, par le point $M(\theta)$ passent deux normales
distinctes, donc, d'apr\`es la discussion pr\'ec\'edente,
$\vert\theta\vert> 2p\,\sqrt2$, et les param\`etres $t_1$ et $t_2$
des points distincts en question sont les solutions de l'\'equation
$t^2+\theta\,t+2p^2=0$.

Ils v\'erifient donc~:
$\left\{\matrix{
t_1+t_2=-\theta\cr
t_1\,t_2=2p^2\hfill
}.\right.$

Une telle droite $\big(M(t_1)M(t_2)\big)$ est dirig\'ee par $\ov{M(t_1)M(t_2)}=\pmatrix{
\dsp{t_2^2-t_1^2\over2p}\cr
t_2-t_1\hfill
}=\dsp{t_2-t_1\over 2p}\pmatrix{
t_2+t_1\cr
2p
}$,

donc un vecteur directeur a pour coordonn\'ees $\pmatrix{
-\theta\cr
2p
}$.

Une \'equation cart\'esienne de $\big(M(t_1)M(t_2)\big)$ est~:
\smallskip
$\left\vert\matrix{
x-{t_1^2\over2p}&-\theta\cr
y-t_1&2p
}\right\vert=0
\ssi
2p\,x+\theta\,y-t_1\,(t_1+\theta)=0
\ssi
2p\,x+\theta\,y+t_1\,t_2=0
\ssi
2p\,x+\theta\,y+2p^2=0.
$
\smallskip
L'ensemble des droites coupant ${\cal P}$ en deux points distincts tels que
les normales \`a ${\cal P}$ en ces points se coupent sur ${\cal P}$
est l'ensemble des droites d'\'equations
$2p\,x+\theta\,y+2p^2=0$, o\`u $\theta$ d\'ecrit
$]-\infty,-2p\sqrt2[\cup]2p\sqrt2,+\infty[$.

Il s'agit donc d'une partie du faisceau lin\'eaire de droites
concourantes en le point de coordonn\'ees $(-p,0)$.

\setbox2=\vbox{\hsize=11.5cm
Les droites coupant ${\cal P}$ en deux points distincts tels que
les normales \`a ${\cal P}$ en ces points se coupent sur ${\cal P}$
passent par le point de coordonn\'ees $(-p,0)$.}
$$\boxit{3pt}{\box2}$$

\vfill\eject
\centerline {\bf Exercice IV}
% Le corrig\'e qui suit se ref\`ere \`a un \'enonc\'e modifi\'e de la mani\`ere suivante :
% -- param\'etrage de ${\cal C}$ :
% $t\mapsto a\,\cos t \ov i + a\,\sin t\ov j + a\ t\ov k,\quad t\in\R$, et
% -- notation de son point courant : $P(t)$.
\q1
Notons $\ov p=\cos t\ov i+\sin t\ov j$, et $\ov q=-\sin t\ov i+\cos t\ov
j$.

Dans le rep\`ere (orthonorm\'e) $(O,\ov p,\ov q,\ov k)$, la surface ${\cal S}$
a pour param\'etrage~:

\centerline{$(t,u)\mapsto M(t,u)=O+a\,\ov p+u\,\ov q+(a\,t+u)\,\ov k,\quad
(t,u)\in\R^2$.}

Elle est de classe $C^1$, et pour tout $(t,u)$ de $\R^2$,

\hfill
$\dsp{\partial \ov M\over\partial t}(t,u)=a\,\ov q-u\,\ov p+a\,\ov
k$;
\qquad
$\dsp{\partial \ov M\over\partial u}(t,u)=\ov q+\ov k$.
\hfill\hfill

\centerline{$\dsp\left({\partial \ov M\over\partial t}\wedge{\partial \ov M\over\partial u}\right)
(t,u)=u\,\ov q-u\,\ov k$.}

Le point $M(t,u)$ est donc stationnaire si et seulement si $u=0$.

L'ensemble des points stationnaires de ${\cal S}$ est donc la courbe de
param\'etrage

\centerline{$t\mapsto M(t,0)=O+a\,\ov p+a\,t\,\ov k,\quad t\in\R$;}

on reconna\^{\i}t la courbe ${\cal C}$.

$$\boxit{3pt}{L'ensemble des points r\'eguliers de ${\cal S}$ est
${\cal S}\setminus{\cal C}$.}$$

Les calculs qui pr\'ec\`edent montrent que la normale \`a ${\cal S}$ en tout point
r\'egulier est dirig\'ee par

$\ov n=\ov q-\ov k=-\sin t\ov i+\cos t\ov j-\ov k$;

un point $N=O+x\,\ov i+y\,\ov j+z\,\ov k$
de l'espace est dans le plan tangent en $M(t,u)$ \`a ${\cal S}$ si
et seulement si
$\ov {M(t,u)N}\cdot\ov n=0
\Ssi
-\sin t\,\left(x-a\,\cos t+u\,\sin t\right)+\cos
t\,\left(y-a\,\sin t-u\,\cos t\right)-\left(z-a\,t-u\right)=0$

$\Ssi
-x\,\sin t+y\,\cos t-z+a\,t=0$.

$$\boxit{3pt}{Une \'equation du plan tangent en un point r\'egulier de ${\cal S}$
est~:
$-x\,\sin t+y\,\cos t-z+a\,t=0$.}$$

\q2
Le param\'etrage de ${\cal S}$ peut se mettre sous la forme

\centerline{$(t,u)\mapsto M(t,u)=\left(O+a\,\ov p+a\,t\,\ov k\right)
+u\,\left(\ov q+\ov k\right)=P(t)+u\,\ov K(t),\quad
(t,u)\in\R^2$,}

o\`u les fonctions $t\mapsto P(t)$ et $t\mapsto \ov K(t)$ sont de
classe $C^1$ sur $\R$, et la fonction $t\mapsto \ov K(t)$ ne
s'annule pas.
$$\boxit{3pt}{${\cal S}$ est une surface r\'egl\'ee, engendr\'ee par les droites passant par $P(t)$
et dirig\'ees par $\ov K(t)=\ov q+\ov k$.}$$

Le param\`etre $u$ est le param\`etre de parcours de chaque g\'en\'eratrice de ${\cal S}$, et
la question 1$^\circ$) montre que le plan tangent en un point
r\'egulier de $S$ ne d\'epend pas de $u$; il en r\'esulte que le plan
tangent est le m\^eme en tout point r\'egulier d'une g\'en\'eratrice~:
$$\boxit{3pt}{la surface ${\cal S}$ est d\'eveloppable.}$$

\q3
${\cal C}$ est la courbe de param\'etrage
$t\mapsto P(t)=O+a\,\ov p+a\,t\,\ov k,\quad t\in\R$; elle est de
classe $C^1$, et pour tout $t$ de $\R$,
$\dsp{d\ov P\over dt}=a\,\ov q+a\ov k=a\,\ov K(t)$.

${\cal C}$ est donc r\'eguli\`ere, et la tangente \`a ${\cal C}$ au
point $P(t)$ est dirig\'ee par $\ov K(t)$; on reconna\^{\i}t une
g\'en\'eratrice de ${\cal S}$.
$$\boxit{3pt}{${\cal S}$ est engendr\'ee par les tangentes \`a ${\cal C}$.}$$

\q4
${\cal C}$ est de
classe $C^2$, et pour tout $t$ de $\R$,
$\dsp{d^2\ov P\over dt^2}=-a\,\ov p$;\quad
$\dsp{d\ov P\over dt}\wedge{d^2\ov P\over dt^2}=-a^2\,\left(\ov q-\ov k\right)\not=\ov
0$, donc ${\cal C}$ est bir\'eguli\`ere, et le plan osculateur en tout
point est le plan passant par $P(t)$ et normal \`a $\ov q-\ov k=\ov n$
(cf 1$^\circ$)).
Il s'agit donc du plan tangent \`a ${\cal S}$ le long de la
g\'en\'eratrice de $P(t)$.
$$\boxit{3pt}{
Le plan osculateur \`a ${\cal C}$ en $P(t)$ et le plan tangent \`a ${\cal S}$ en $M(t,u)$
($u\not=0$) co\"\i ncident.}$$

\bye
