\documentclass{article}
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\newcounter{nexo}
\setcounter{nexo}{0}

\newcommand{\exo}{\stepcounter{nexo} \begin{center}
\vspace{2ex} \underline{\large Exercice n${}^\circ$ \arabic{nexo}}
\end{center} }

\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\arabic{enumi}${}^\circ$)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\alph{enumii})}}

\everymath{\displaystyle}

\begin{document}

\begin{center}
\shadowbox{\large BANQUE PT \hspace{4.5cm} MATHS IIA \hspace{4.5cm} 2000}
\end{center}

\begin{center}
{\huge L'usage des machines \`{a} calculer est interdit}
\end{center}

\exo

Soient $f$ et $g$ les endomorphismes de $\R^3$ respectivement repr\'{e}sent\'{e}s dans
la base canonique ${\cal B}$ de $\R^3$ par les matrices $A$ et $B$ suivantes :

\hfill $A=\left( \begin{array}{ccc} 5&2&4 \\ 12&3&8 \\ -12&-4&-9 \\ 
 \end{array}\right)$, \qquad 
$B=\left( \begin{array}{ccc} -1&-2&-2 \\ 0&-3&-2 \\ 0&4&3 \\
  \end{array} \right)$ \hfill{}

\begin{enumerate}
\item
Former les polyn\^{o}mes caract\'{e}ristiques de $f$ et $g$.

En d\'{e}duire les valeurs propres de $f$ et $g$.

\item 
D\'{e}terminer, par leurs \'{e}quations, les sous-espaces vectoriels propres de $f$ et
$g$.

\item
Construire une base ${\cal B}'$ de $\R^3$ dont les vecteurs sont \`{a} la fois
vecteurs propres de $f$ et vecteurs propres de $g$ ;
La premi\`{e}re composante non nulle de chacun de ces vecteurs sera
obligatoirement prise \'{e}gale \`{a} 1.

\item
Donner les matrices de passage directe et inverse de la base ${\cal B}$ \`{a} la
base  ${\cal B}'$, ainsi que les matrices $A'$ et $B'$ qui repr\'{e}sentent
respectivement $f$ et $g$ dans ${\cal B}'$.

\end{enumerate}

\exo

Soit $(a_n)_{n\in\N}$ la suite de nombres r\'{e}els d\'{e}finie par :

\hspace{2cm} $ \begin{array}{ll}
&a_0=a_1=1,\textrm{ et } \\ 
(1)&a_{n+1}=a_+\frac{2}{n+1}a_{n-1}, \textrm{ pour tout }n\in\N, n\se 1 \\
 \end{array}$

\begin{enumerate}
\item 
Montrer que, pour tout $n\se1$, on a $1\ie a_n\ie n^2$.

En d\'{e}duire le rayon de convergence de la s\'{e}rie enti\`{e}re $\sum a_n x^n$.
\vspace{-1ex}

\item
Soit $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ la somme de cette s\'{e}rie.

Montrer que, dans un intervalle ouvert de convergence, $S$ est solution d'une
\'{e}quation diff\'{e}rentielle lin\'{e}aire du premier ordre que l'on \'{e}tablira (on
pourra, par exemple, multiplier les deux membres de $(1)$ par $x^n$ et sommer
pour $n$ variant de 1 \`{a} l'infini. On notera $(E)$ cette \'{e}quation.

\item
En int\'{e}grant $(E)$, expliciter la fonction $S$ \`{a} l'aide de fonctions usuelles.

\item
Existe-t-il des solutions de $(E)$ sur $\R$ ?

\end{enumerate}

\exo

Le plan euclidien $\R^2$ est rapport\'{e} au rep\`{e}re othonormal $(O,\i,\j)$.
On d\'{e}signe par $p$ une constante r\'{e}elle strictement positive donn\'{e}e et par
${\cal P}$  la courbe de repr\'{e}sentation param\'{e}trique :

\hfill $t\in\R \mapsto M(t)$ d\'{e}fini par
$\overrightarrow{OM}(t)=\frac{t^2}{2p}\i+t\j$


\begin{enumerate}
\item 
Reconna\^{i}tre et repr\'{e}senter graphiquement ${\cal P}$.

\item
Former une \'{e}quation cart\'{e}sienne de la normale en $M(t)$ \`{a} ${\cal P}$.

\item
Discuter, suivant les valeurs du nombre r\'{e}el $\theta$, l'existence et le
nombre de points $M(t)$ de ${\cal P}$ diff\'{e}rents de $M(\theta)$ tels que la
normale en $M(t)$ \`{a} ${\cal P}$ passe par $M(\theta)$.

\item
Montrer que les droites coupant ${\cal P}$ en deux points distincts tels que
les normales \`{a} ${\cal P}$ en ces points se coupent sur ${\cal P}$, passent par
un point fixe \`{a} d\'{e}terminer.

\end{enumerate}

\exo

L'espace euclidien $\R^3$ est rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal $(O;\i,\j,\k)$.
On d\'{e}signe par $a$ une constante r\'{e}elle strictement positive donn\'{e}e, et par
${\cal C}$ et ${\cal S}$ respectivement la courbe et la surface de
repr\'{e}sentations param\'{e}triques : 

\begin{list}{$\bullet$}{}
\item 
$t\in\R \mapsto M(t)$ o\`{u} $\overrightarrow{OM}(t)=\cos{t}\i+\sin{t}\j+at\k$
pour ${\cal C}$

\item
 $(t,u)\in\R^2 \mapsto M(t,u)$ o\`{u} 
$\overrightarrow{OM}(t,u)=(a\cos{t}-u\sin{t})\i+(a\sin{t}+u\cos{t})\j+(at+u)\k$
pour ${\cal S}$
\end{list}

\begin{enumerate}
\item 
Pr\'{e}ciser les points r\'{e}guliers de ${\cal S}$.

Donner une \'{e}quation du plan tangent \`{a} ${\cal S}$ en un point r\'{e}gulier.

\item
${\cal S}$ est-elle une surface r\'{e}gl\'{e}e ?

${\cal S}$ est-elle une surface d\'{e}veloppable ?

\item
${\cal S}$ est-elle engendr\'{e}e par les tangentes \`{a} ${\cal C}$ ?

\item
Pour $u\not=0$, comparer le plan osculateur \`{a} ${\cal C}$ au point de param\`{e}tre
$t$ et le plan tangent \`{a} ${\cal S}$ au point de param\`{e}tres $(t,u)$.

\end{enumerate}




\end{document}
























