\documentclass[a4paper]{article}
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% Christian RIEFFEL, lyc‚e Louis Armand  ---- Poitiers
% ch.rieffel@free.fr

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Huiti\`{e}me \or Neuvi\`{e}me \or Dixi\`{e}me \or Onzi\`{e}me\or Douzi\`{e}me \or Treizi\`{e}me\or 
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\vspace{2ex} \textbf{\Large \Ordinal[2]{\thenpart} partie} }


% \everymath{\displaystyle}

\begin{document}

\begin{center}
\shadowbox{\large BANQUE PT \hspace{4.5cm} MATHS IIA \hspace{4.5cm} 2000}
\end{center}

Le probl\`{e}me porte sur l'\'{e}tude des \'{e}quations qui r\'{e}gissent le mouvement d'une
particule d'une fibre dans un fluide lui-m\^{e}me en mouvement.

Dans tout ce probl\`{e}me, $\R^3$ est muni de sa structure euclidienne canonique,
sa base canonique $B_0$ est not\'{e}e $\{\vec{e_i}\}_{1\ie i\ie3}$ et le rep\`{e}re
associ\'{e} est $(O,B_0)$.

Le produit scalaire de deux \'{e}l\'{e}ments $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est not\'{e}
$\vec{u}\cdot \vec{v}$ et la norme d'un \'{e}l\'{e}ment $\vec{u}$ est not\'{e}e 
$\|\vec{u}\|$.


\partie

Soit $\vec{f} : t\mapsto \vec{F}(t)$ une fonction de classe ${\cal C}^1$ de
$\R$ dans $\R^3$ et $a$ un endomorphisme de $\R^3$.

\begin{enumerate}
\item 
On consid\`{e}re le syst\`{e}me diff\'{e}rentiel suivant : 

\hfill $\der{\vec{F}}{t}=a(\vec{F})$ \hfill $(E)$

\begin{enumerate}
\item 
Que peut-on dire de l'ensemble des solutions de $(E)$ v\'{e}rifiant une condition
du type $\vec{F}(t_0)=\vec{F_0}$ o\`{u} $t_0$ et $\vec{F_0}$ sont fix\'{e}s ?

\item
Soit $\vec{F}$ une solution de $(E)$. Montrer alors que s'il existe un r\'{e}el
$t_0$ tel que $\vec{F}(t_0)=\vec{0}$, $\vec{F}$ est la fonction nulle.
\end{enumerate}

\gras{Dans la suite, on supposera toujours que $\vec{F}$ ne s'annule pas.}

\item
On d\'{e}finit alors les fonctions $\nu : t\mapsto \|\vec{F}(t)\|$ et
$\vec{f}:t\mapsto \frac{1}{\nu(t)}\vec{F}(t)$

\begin{enumerate}
\item 
Montrer que $\nu$ et $\vec{f}$ sont des fonctions d\'{e}rivables.

\item
V\'{e}rifier alors que $\vec{f(t)}$ et $\vec{f'(t)}$ sont deux vecteurs
orthogonaux pour tout r\'{e}el $t$.

\item
Calculer la d\'{e}riv\'{e}e de $\nu$.
\end{enumerate}

\item
Montrer que si $\vec{F}$ v\'{e}rifie le syst\`{e}me $(E)$, la fonction vectorielle
$\vec{f}$ v\'{e}rifie le syst\`{e}me diff\'{e}rentiel : 

\hfill $\der{\vec{f}}{t}=a(\vec{f})-(a(\vec{f})\cdot\vec{f})\vec{f}$\hfill
$(e)$

\end{enumerate}

\partie

Soient deux r\'{e}els $\lambda\in]-1,1[$ et $G>0$. On pose
$r=\sqrt{\frac{1+\lambda}{1-\lambda}}$.

Dans la suite du probl\`{e}me, $a$ est l'endomorphisme de $\R^3$ dont la matrice
dans la base $B_0$ est 

\hfill $A=\left(  \begin{array}{ccc}
0&G.(\lambda-1)&0 \\ G.(\lambda+1)&0&0 \\ 0&0&0 \\
 \end{array}  \right)$ \hfill{}

On cherche $\vec{F}$ la solution de $(E)$ v\'{e}rifiant la condition initiale 
$\vec{F}(0)=x_0\vec{e_1}+y_0\vec{e_2}+z_0\vec{e_3}$.

On pose $\vec{F}(t)=x(t)\vec{e_1}+y(t)\vec{e_2}+z(t)\vec{e_3}$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Donner l'expression de $z(t)$.

\item Int\'{e}grer $(E)$ lorsque $x_0=y_0=0$.
\end{enumerate}

\item
Montrer que $r^2x(t)x'(t)+y(t)y'(t)=0$ pour tout r\'{e}el $t$.
Que peut-on en d\'{e}duire pour les courbes int\'{e}grales de $(E)$ ?

\item
On pose $\omega=G.\sqrt{1-\lambda^2}$.

\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier que $x$ et $y$ sont solutions de l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle

\hfill $\der[2]{u}{t}+\omega^2u=0.$ \hfill{}

\item Int\'{e}grer alors $(E)$ lorsque $x_0^2+y_0^2\not= 0$.

\item On suppose dans cette question que $x_0\not= 0$. V\'{e}rifier qu'il existe
  une constante $t_0$ (\`{a} d\'{e}finir en fonction de $x_0,y_0,r$ et $\omega$) telle
  que : 

\hfill $\ds{\frac{y(t)}{x(t)}}=r\tan{\omega(t-t_0)}$ \hfill{}

lorsque $t$ est au voisinage de 0.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie

Soit $\vec{F}$ une solution de $(E)$ ne s'annulant pas et $\vec{f}$ la
fonction vectorielle unitaire associ\'{e}e, c'est-\`{a}-dire 
$\vec{f}=\frac{\vec{F}}{\|\vec{F}\|}$.

On pose $\vec{f(t)}=\sin \theta(t)\cos\phi(t)\vec{e_1}+\sin \theta(t)
\sin\phi(t) \vec{e_2}+\cos \theta(t) \vec{e_3}$ o\`{u} $\theta$ et $\phi$ sont des
fonctions d\'{e}rivables de $\R$ dans lui-m\^{e}me.

Les valeurs de $\vec{f},\theta$ et $\phi$ en 0 seront not\'{e}es $f_0$, $\theta_0$
et $\phi_0$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Illustrer par une figure la d\'{e}finition de $\theta(t)$ et $\phi(t)$.

\item Prouver que s'il existe $t_0$ tel que $\sin{\theta(t_0)}=0$, alors
  $\sin{\theta}$ est la fonction identiquement nulle.

\item Prouver que s'il existe $t_0$ tel que $\cos{\theta(t_0)}=0$, alors
  $\cos{\theta}$ est la fonction identiquement nulle.

\item D\'{e}montrer que s'il existe $t_0$ tel que $\sin{2\theta(t_0)}=0$, $\theta$
  est une fonction constante.
\end{enumerate}

\item
Soient $\vec{u(t)}=\cos{\phi(t)}\vec{e_1}+\sin{\phi(t)}\vec{e_2}$ et
$\vec{v(t)}$ le vecteur tel que $B_\phi(t)=(\vec{u(t)},\vec{v(t)},\vec{e_3})$
soit une base orthonormale directe.

\begin{enumerate}
\item \'Ecrire $\vec{f'(t)}$ dans la base $B_\phi(t)$ en fonction de
  $\theta(t),\phi(t),\theta'(t)$ et $\phi'(t)$.

\item Donner la matrice $A_\phi(t)$ de $a$ dans la base $B_\phi(t)$.

\item Calculer $a(\vec{f(t)}).\vec{f(t)}$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire la syst\`{e}me diff\'{e}rentiel $(S)$ v\'{e}rifi\'{e} par $\theta$ et $\phi$
  \'{e}quivalent \`{a} $(e)$.

\item Prouver que si $\vec{f_0}$ et $\vec{e_3}$ ne sont pas colin\'{e}aires, le
  syst\`{e}me $(S)$ \'{e}quivaut \`{a} :

\hfill  $\begin{array}{cccc}
\der{\phi}{t}&=&2G\lambda \cos^2{\phi}+G(1-\lambda)&{}\hspace{4cm}{}(1) \\
\der{\theta}{t}&=&2G\lambda \sin{\phi}\cos{\phi}\sin{\theta}\cos{\theta}&
{}\hspace{4cm}{}(2)\\
 \end{array} $

\end{enumerate}

\item Int\'{e}grer $(S)$ lorsque $\lambda=0$ et donner la trajectoire du point $m$
  d\'{e}fini par $\overrightarrow{Om(t)}=\vec{f(t)}$.

\item
On suppose maintenant que $\lambda$ est non nul.
\begin{enumerate}
\item Prouver que toute solution $\varphi$ de $(1)$ est strictement monotone
  et r\'{e}alise une bijection de $\R$ sur $\R$.

\item Montrer que $\theta$ reste constant le long d'une courbe int\'{e}grale si et
  seulement si $\sin{2\theta_0}=0$.

\item Lorsque $\sin{2\theta_0}\not=0$, montrer que $(2)$ s'int\`{e}gre \`{a} l'aide de
  $(1)$ en : 

\hfill $\tan{\theta}=\ds{\frac{C}{\sqrt{\sin^2{\phi}+r^2\cos^2{\phi}}}}$
 \hfill{}

o\`{u} $C$ est une constante.
\end{enumerate}

\item
On d\'{e}signe par ${\cal C}_\lambda$ l'ensemble des courbes int\'{e}grales de $(1)$
et par $\phi_1$ une solution de $(1)$.

\begin{enumerate}
\item Soit un r\'{e}el $t_1$. Montrer que $\phi_2 : t \mapsto \phi_1(t-t_1)$
  est aussi solution de $(1)$. En d\'{e}duire une propri\'{e}t\'{e} g\'{e}om\'{e}trique de
  l'ensemble ${\cal C}_\lambda$.

\item Montrer que $\phi_3 : t \mapsto -\phi_1(-t)$
  est aussi solution de $(1)$. En d\'{e}duire une propri\'{e}t\'{e} g\'{e}om\'{e}trique de
  l'ensemble ${\cal C}_\lambda$.

\item Montrer que $\phi_4 : t \mapsto \frac{\pi}{2}-\phi_1(-t)$
  est solution de l'\'{e}quation $(1)$ associ\'{e}e au param\`{e}tre $\lambda$.

Comment d\'{e}duit-on ${\cal C}_{-\lambda}$ de ${\cal C}_\lambda$ ?

\end{enumerate}
\item
On d\'{e}finit, pour tout entier relatif $k$, le r\'{e}el $t_k$ par 
$\phi(t_k)=k\pi+\frac{\pi}{2}$

\begin{enumerate}
\item Pour int\'{e}grer $(1)$ sur $]t_k,t_{k+1}[$, effectuer le changement de
  variables $u=\tan{\phi}$ et $t=\tau(u)$.

\item
Montrer que la nouvelle \'{e}quation obtenue s'int\`{e}gre en :

\hfill $\tau(u)=\ds{\frac{1}{Gr(1-\lambda)}\op{arctan}\frac{u}{r}+\tau_k}$ 
\hfill{}

o\`{u} $\tau_k$ est une constante que l'on d\'{e}terminera.

\item Retrouver alors sans utiliser la deuxi\`{e}me partie que $\vec{f}$ est une
  fonction p\'{e}riodique de p\'{e}riode 
$T=\ds{\frac{\pi}{G}(r+\frac{1}{r})=\frac{2\pi}{\omega}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}


\partie

\begin{enumerate}
\item 
\end{enumerate}






















