%  Enonc\'e du probl\`eme de Maths      I pos\'e en 2000 \`a l'ESIM
%  Fili\`ere MP

% par Daniel GENOUD - Lyc\'ee La Martini\`ere-Monplaisir - LYON
% email : Daniel.Genoud@ac-lyon.fr

% LaTeX 2.09


\documentstyle[a4]{article}

\input upsnum.sty

\voffset=-30truemm
\hoffset=-18truemm
\textwidth 16cm        \columnsep 10pt          \columnseprule 0pt
\textheight = 54\baselineskip \advance\textheight by \topskip



% Num\'erotation ups

\parindent=0pt


% Macros utilis\'ees

\def\num#1{\bigskip \hskip-8mm{#1}}
\def\R{I\!\!R}
\def\N{I\!\!N}
\def\dfrac#1#2{\displaystyle \frac{#1}{#2}}

\begin{document}

\centerline{{\large \bf ~ESIM - Session 2000 - Fili\`ere MP}}
\bigskip


\centerline{{\large \bf ~\'EPREUVE DE MATH\'EMATIQUE I -  (3 H)}}
\bigskip


\bigskip



\centerline{{\large\bf Premi\`ere partie}}

\bigskip



\num{1)~a)} Si $X=\pmatrix{a\cr b\cr c\cr}$ et
$Y=\pmatrix{x\cr y\cr z\cr}$, ~alors $X\wedge Y=\pmatrix{bz-cy\cr
cx-az\cr ay-bx\cr}=\pmatrix{0 & -c & b\cr c &0 &-a\cr -b &a&0\cr}
\pmatrix{x\cr y\cr z\cr}$,

~donc $~J_X=\pmatrix{0 & -c & b\cr c &0 &-a\cr -b &a&0\cr}~$
est \underline{antisym\'etrique}.
\smallskip

$j:X\longmapsto J_X$ est lin\'eaire car si
$X'=\pmatrix{a'\cr b'\cr c'\cr}$,

alors $~\underline{j(\lambda X+X')}\,=J_{\lambda X+X'}=
\pmatrix{0 & -\lambda c-c' &\lambda b+b'\cr \lambda c+c' &
0 &-\lambda a-a'\cr -\lambda b-b' &\lambda a+a'&0\cr}=
\lambda J_X+J_{X'}=\,\underline{\lambda \,j(X)+j(X')}.$
\smallskip

$j$ est une \underline{bijection} de $E$ sur ${\cal A}_3(\R)$ car \'etant donn\'e
une matrice $M$ antisym\'etrique d'ordre 3, $M$ est de la forme
$\pmatrix{ 0    &  -u  & -v   \cr  u   &  0  &  -w  \cr  v &  w  &0\cr}$,
alors $M$ admet $V=\pmatrix{w\cr -v\cr u\cr}$
comme unique ant\'ec\'edent par $j$.
\smallskip

\underbar{Autre m\'ethode} : on montre que $\ker(j)=\{0_E\}$
et que $\dim E=3=\dim{\cal A}_3(\R)$, ~donc $j$ est bijective.



\num{~~~b)} En notant  $X=\pmatrix{a\cr b\cr c\cr}$ et
$Y=\pmatrix{x\cr y\cr z\cr}$, alors
$~J_X.J_Y=\pmatrix{0 & -c & b\cr c &0 &-a\cr -b &a&0\cr}
\pmatrix{0 & -z & y\cr z &0 &-x\cr -y &x&0\cr}$

donc $~J_X.J_Y=
\pmatrix{
    -cz-by    & bx   & cx   \cr
      ay  & -cz-ax   & cy   \cr
      az  &  bz  & -by-ax   \cr}=
-(ax+by+cz)\,I+\pmatrix{
    ax    & bx   &  cx  \cr
    ay    & by   &  cy  \cr
    az    & bz   &  cz  \cr}$

\hskip2cm$=
\,\underline{Y.^t\!X-(X|Y)I}$.


\num{~~~c)} D'apr\`es b),  $~J_X.J_Y-J_Y.J_X=Y.^t\!X-X.^tY=
\pmatrix{
    ax    & bx   &  cx  \cr
    ay    & by   &  cy  \cr
    az    & bz   &  cz  \cr}
-\pmatrix{
    xa    & ya   &  za  \cr
     xb   &  yb  &  zb  \cr
     xc   &  yc  &  zc  \cr}$

donc $~J_X.J_Y-J_Y.J_X=
\pmatrix{
    0    & -(ay-bx)   &  (cx-az)  \cr
    (ay-bx)    & 0   &  -(bz-cy)  \cr
     -(cx-az)   &  bz-cy  &0    \cr}
=J_{X\wedge Y}$.
\smallskip


Retenons aussi que ~\underline{$J_{X\wedge Y}=Y.^t\!X-X.^tY$.}
\smallskip


\underline{Remarque} : on peut en d\'eduire la formule dite du double produit vectoriel.
~En effet
\smallskip

$~\forall\,Z\in E,~\underline{(X\wedge Y)\wedge Z}\,=
J_{X\wedge Y}.Z=(Y.^t\!X)Z-(X|Y)Z-(X.^tY)Z+(Y|X)Z
=(Y.^t\!X)Z-(X.^tY)Z$

$\hskip3.8cm=Y.(^t\!X.Z)-X.(^tY.Z)=
\,\underline{(X|Z)Y-(Y|Z)X}$.



\num{2)~a)}
On obtient dans  1-b) pour $X=Y$ :

$~(J_X)^2=X.^t\!X-\|X\|^2I$, ~puis
$~(J_X)^3=J_X.X.^t\!X-\|X\|^2J_X=-\|X\|^2J_X$

car $J_X.X=X\wedge X=0$,
~puis $(J_X)^4=-\|X\|^2 (J_X)^2$ et $(J_X)^5=\|X\|^4J_X$.

\smallskip

On v\'erifie alors facilement par r\'ecurrence que :


\centerline{\underline{$
\forall\, p\in\N^*,~(J_X)^{2p}=(-1)^{p-1}\,\|X\|^{2p-2}\,(J_X)^2$}
~et~ \underline{$\forall\, q\in\N,~(J_X)^{2q+1}=(-1)^q\,\|X\|^{2q}\,J_X$}.}
\smallskip

Posons $\theta=\|X\|$ :
$~\exp(J_X)=\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}
\frac{(J_X)^k}{k!}=I+\Big(\sum_{p=1}^\infty(-1)^{p-1}
\frac{\theta^{2p-2}}{(2p)!}\Big)\,(J_X)^2+
\Big(\sum_{q=0}^\infty(-1)^{q}
\frac{\theta^{2q}}{(2q+1)!}\Big)\,(J_X)$.

\smallskip
 Si $X=0_E$, alors $\exp(J_X)=I$.

 Si $X\ne0_E$, alors $\theta\ne 0$ et
~\fbox{$\exp(J_X)=I+\dfrac{1-\cos\theta}{\theta^2}\,(J_X)^2
+\frac {\sin\theta}{\theta} J_X$  ~avec $\theta=\|X\|$. }

\smallskip

\underline{Remarque}  : $ I$ et $(J_X)^2$ \'etant sym\'etriques,
la somme des deux premiers termes constitue la partie sym\'etrique de
$\exp(J_X)$ et le troisi\`eme terme, sa partie antisym\'etrique.



\num{~~~b)} On a $X=\theta U$.

$J_X.X=0$, ~donc $~J_X.U=0$ ~et~ $(J_X)^2.U=0$,
~donc $~\exp(J_X).U=U$.

$J_X.V=X\wedge V=\theta \,U\wedge V=\theta\, W$ ~et~
$(J_X)^2.V=\theta J_X.W=\theta\, X\wedge W=\theta^2\,U\wedge W
=-\theta^2\,V$,

\qquad donc $~\exp(J_X).V=V-(1-\cos\theta)V+\sin\theta\, W$.

$J_X.W=X\wedge W=\theta \,U\wedge W=-\theta V$ et
$(J_X)^2.W=-\theta J_X.V=-\theta\, X\wedge V=-\theta^2\,U\wedge V
=-\theta^2\,W$,

\qquad donc $~\exp(J_X).W=W-(1-\cos\theta)W-\sin\theta\, V$.
\smallskip

Ainsi la matrice relativement \`a la base \underbar{orthonormale directe}
$(U,V,W)$ de $E$ de l'endomorphisme cano\-ni\-quement associ\'e \`a
$\exp(J_X)$ est la matrice $M_\theta=\pmatrix{
      1  &   0 & 0   \cr
       0 & \cos\theta   &-\sin\theta   \cr
       0 & \sin\theta   & \cos\theta   \cr}$.
\smallskip

Or $M_\theta$ est la matrice de la rotation d'angle $\theta$
d'axe orient\'e dirig\'e par $U$, donc $~\underline{\exp(J_X)\in SO(3)}$.

\smallskip
Comme $\exp(J_{0_E})=I$, on a encore une matrice de $S0(3)$.


\num{~~~c)}
Pour montrer que $~\forall\, X\,\in E,~\forall\, A\in SO(3),~~
A.\exp(J_X).A^{-1}=\exp(J_{A.X})$, c'est \`a dire

$A.\exp(J_X)=\exp(J_{A.X}).A$,
il suffit de montrer que :

\centerline{\underline{$A.J_X=J_{A.X}.A$ ~et~
$A.(J_X)^2=(J_{A.X})^2.A$} ~car $\|AX\|=\|X\|=\theta$.}
\smallskip

A son tour, montrer que ({\bf1}) : $A.J_X=J_{A.X}.A~$
revient \`a monter que :

$~\underline{\forall\,(X,Y)\in E^2,~A.(X\wedge Y)=(A.X)\wedge(A.Y)}$,
(ie les rotations ``conservent le produit vectoriel".)
\smallskip

Soit $(I,J,K)$ une base orthonormale directe de $E$.
Notons $U,V,W$ les vecteurs colonnes de $A$ qui cons\-tituent \'egalement
une base orthonormale directe de $E$.

On a : $A.I=U,~A.J=V,~A.K=W$.

V\'erifions d'abord que l'\'egalit\'e ({\bf1}) est vraie pour tous les couples
form\'es avec les vecteurs $I,J,K$.

On a par exemple :
$A.(I\wedge I)=(A.I)\wedge(A.I)$,
~~$A.(I\wedge J)=A.K=W=U\wedge V=(A.I)\wedge(A.J)$, etc...
\smallskip

L'\'egalit\'e ({\bf 1}) vraie sur les couples de la base s'\'etend
alors \`a tout couple $(X,Y)$
par \underbar{bilin\'earit\'e} de l'application
$(X,Y)\longmapsto A.(X\wedge Y)-(A.X)\wedge(A.Y)$.

\smallskip
Ainsi $~A.J_X=J_{A.X}.A$, d'o\`u
$~A.(J_X)^2=(A.J_X).J_X=J_{A.X}(A.J_X)=
J_{A.X}(J_{A.X}.A)=(J_{AX})^2.A$.
\smallskip


\smallskip
\underbar{Variante 1} : on peut aussi dire que la matrice de $\exp(J_X)$
dans la base $(U,V,W)$ du 2-b) est la m\^eme que celle de $\exp(J_{AX})$
dans la base $(AU,AV,AW)$ car :

\qquad $~i)~\theta=\|X\|=\|AX\|$

\qquad $ii)~(AU,AV,AW)$ est aussi une base orthonormale directe
car $A\in SO(3)$.

Donc $(AU,AV,AW)$ est la base construite pour le 2-b) en substituant
$AX$ \`a $X$ : la formule de changement de base donne alors le r\'esultat.

\smallskip

\underbar{Variante 2} : notons $F,G,H$ les vecteurs colonnes
orthonorm\'es de $\,^t\!A$ :
ainsi $~A=\pmatrix{^t\!F\cr ^t\!G\cr ^t\!H\cr}$.

V\'erifions que $A.(X\wedge Y)=(A.X)\wedge(A.Y)$. Montrons par exemple
l'\'egalit\'e des \'el\'ements de la premi\`ere ligne (il en sera de m\^eme des
 deux autres par permutation circulaire).

On doit donc v\'erifier que $\,^t\!F.(X\wedge Y)=
(^t\!G.X)(^t\!H.Y)-(^t\!H.X)(^t\!G.Y)$.

Or $(^t\!G.X)(^t\!H.Y)-(^t\!H.X)(^t\!G.Y)=(^t\!X.G)(^t\!H.Y)-(^t\!X.H)(^t\!G.Y)=
\,^t\!X(G.^t\!H-H.^t\!G)Y=\,^t\!X.J_{H\wedge G}.Y$

$\hskip3cm=
\,^t\!X.J_F.Y=\,^t\!X.(-F\wedge Y)=
-[X,F,Y]=[F,X,Y]=\,^t\!F.(X\wedge Y)$. ~cqfd

\smallskip
\underbar{Variante 3} :
en notant $A=A=\pmatrix{^t\!F\cr ^t\!G\cr ^t\!H\cr}$, v\'erifions que
$~A.J_X.A^{-1}=J_{A.X}.$

$A.J_X.A^{-1}=A.J_X.^t\!A=(^t\!F,^t\!G,^t\!H).J_X.(F,G,H)=
(^t\!F,^t\!G,^t\!H).(X\wedge F, X\wedge G,X\wedge H)$,
\smallskip

donc $~A.J_X.A^{-1}=
\pmatrix{
    0    &  ^t\!F.(X\wedge G) & ^t\!F.(X\wedge H)\cr
    ^t\!G.(X\wedge F)    &   0 &  ^t\!G.(X\wedge H)  \cr
     ^t\!H.(X\wedge G)   & ^t\!H.(X\wedge G)  & 0   \cr}$
~~ de la forme $J_Z=\pmatrix{0 & -r & p\cr r &0 &-p\cr -q &p&0\cr}$
\smallskip

avec par exemple $p=^t\!H.(X\wedge G)=[H,X,G]=[X,G,H]=\,^t X.(G\wedge H)=\,^t\!X.F$.
\smallskip

Ainsi $Z=\pmatrix{p=\,^t\!X.F\cr q=\,^t\!X.G\cr  r=\,^t\!X.H\cr}=(^t\!F,^t\!G,^t\!H).X=A.X$,
donc $~A.J_X.A^{-1}=J_{A.X}$.


\num{~~~d)}  Remarquons d'abord que $\,J_{\theta I_1}=
\theta\,J_{I_1}$~ par lin\'earit\'e de $j$.

Le calcul effectu\'e \`a la question 2.b avec ici $U=I_1,~V=I_2,W=I_3$
montre  que :

~\qquad$\exp(\theta\,J_{I_1})=\pmatrix{
    1    &  0  & 0   \cr
     0   &  \cos\theta  & -\sin\theta   \cr
      0  &  \sin\theta   &  \cos\theta   \cr}$,
ce calcul \'etant valable m\^eme si $\theta<0$.



Soit $A\in SO(3)$. Donc $A$ est une matrice de rotation d'angle
not\'e  $\theta$.

Dans une base orthonormale directe ${\cal B}=(U,V,W)$ de $E$
adapt\'ee \`a cette rotation, elle est repr\'esent\'ee par la matrice
$\exp(\theta\,J_{I_1})$.
En notant $P$ la matrice dont les vecteurs colonnes sont $U,~V$ et $W$,
~alors $\,P\in SO(3)~$ et $~A=P.\exp(\theta J_{I_1}).P^{-1}$.


\num{~~~e)} Si $A\in SO(3)$, d'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede $A$ peut s'\'ecrire
$~A=P.\exp( J_{\theta\,I_1}).P^{-1}~$ avec $\,P\in SO(3)$,
donc aussi $~A=\exp( J_{\theta\,P.I_1})$ ~d'apr\`es 2-c).
~C'est de la forme $~\underline{A=\exp(J_X)}$~ avec $X=\theta\,U$ o\`u $U$ est le premier
vecteur colonne de $P$ qui \underline{dirige l'axe de la rotation}.



\bigskip
\bigskip

\centerline{{\large\bf Deuxi\`eme partie}}

\def\E{{\cal E}}
\bigskip


\num{1)~~~}
La lin\'earit\'e de $\,L:X\longmapsto \ell_X\,$ et $\,R:X\longmapsto r_X\,$
r\'esulte imm\'ediatement de la lin\'earit\'e de $j:X\longmapsto  J_X$.

L'injectivit\'e de $L$ et $R$ est \'evidente en consid\'erant leur noyau.

\smallskip

Sachant que $^tJ_X=-J_X$, on obtient
par exemple $^t(\ell_X)=\pmatrix{0 & ^t\!X\cr -X &-J_X\cr}=-\ell_X$,
donc $\ell_X$ est antisym\'etrique, de m\^eme pour $r_X$.

\smallskip
 Montrons que $~\underline{{\cal A}_4(\R)={\rm Im}(L)\oplus{\rm Im}(R)}$,
c'est \`a dire que toute matrice $Z$ antisym\'etrique d'ordre 4 se
 d\'ecompose de fa\c con unique sous la forme $\ell_X+r_Y$.

\smallskip

$Z$ est de la forme $\pmatrix{0 & -\,^t\!U\cr U& J_V\cr}$
avec $U$ et $V$ dans $E$.
\smallskip


$Z=\ell_X+r_Y\iff Z=\pmatrix{ 0 &-\,^t(X-Y)\cr X-Y & J_{X+Y}\cr}
\iff \cases{X-Y=U &\cr  X+Y=V &\cr}
\iff \cases {X=\frac{1}{2}(U+V)&\cr Y=\frac{1}{2}(V-U)&\cr}$,

\smallskip
ce qui prouve l'existence
et l'unicit\'e de $X$ et $Y$ tels que $~Z=\ell_X+r_Y$.


\num{4)~~~}
Les applications $~x\mathop{\longmapsto}\limits^{L^+}q_x^+=x_0\,i+\ell_X~$
et $~x\mathop{\longmapsto}\limits^{R^-}q_x^-=x_0\,i+r_X~$
sont clairement lin\'eaires de ${\cal E}$ dans ${\cal M}_4(\R)$ car $L$
et $R$ sont lin\'eaires.
Ainsi $Q^+={\rm Im}(L^+)$ et $Q^-={\rm Im}(R^-)$
sont des \underline{sous-espaces vectoriels} de  ${\cal M}_4(\R)$.

\smallskip
\underline{$Q^+$ et $Q^-$ sont stables pour le produit matriciel}. En effet :

$q_x^+.q_y^+=(x_0\,i+\ell_X).(y_0\,i+\ell_Y)=
(x_0\,y_0)\,i+y_0\,\ell_X+x_0\,\ell_Y+\ell_X.\ell_Y$.
\smallskip

$q_x^+.q_y^+=(x_0\,y_0)\,i+
\pmatrix{-\,^t\!X.Y & -y_0\,^t\!X-x_0\,^tY-\,^t\!X.J_Y\cr
y_0\,X+x_0\,Y+J_X.Y & y_0\,J_X+x_0\,J_Y-X.^tY+J_X.J_X\cr}
=(x_0\,y_0-\,^t\!X.Y)\,i+\ell_Z$

\smallskip

avec $Z=y_0\,X+x_0\,Y+X\wedge Y$
~car $^t\!X.J_Y=\,^t(^tJ_Y.X)=\,^t(-J_Y.X)=\,^t(-Y\wedge X)=\,^t(X\wedge Y)$

et $-X.^tY+J_X.J_Y+(X|Y)I=Y.^t\!X-X.^tY=J_{X\wedge Y}$ d'apr\`es $I.1)$.

\smallskip

Donc $~q_x^+.q_y^+=q_z^+$ ~avec $~z=\pmatrix{x_0\,y_0-\,^t\!X.Y\cr
y_0\,X+x_0\,Y+X\wedge Y\cr}$.

\smallskip
On trouve de m\^eme que $~q_x^-.q_y^-=q_z^-$ ~avec le m\^eme $z$ que ci-dessus.


\smallskip
\underline{Les \'el\'ements de $Q^+$ et $Q^-$ commutent}. En effet :

$q_x^+.q_y^-=(x_0\,y_0)i+x_0r_Y+y_0\ell_X+\ell_X.r_Y$ ~et~
$q_y^-.q_x^+=(x_0\,y_0)i+x_0r_Y+y_0\ell_X+r_Y.\ell_X$,

donc ~$q_x^+.q_y^-=q_y^-.q_x^+\iff \ell_X.r_Y=r_Y.\ell_X$.

\smallskip

Or $~\ell_X.r_Y=\pmatrix{^t\!X.Y &-\,^t\!X.J_Y\cr -J_X.Y & X.^tY+J_X.J_Y\cr}$
~et~ $r_Y.\ell_X=\pmatrix{^tY.X &^tY.J_X\cr J_Y.X & Y.^t\!X+J_Y.J_X\cr}$.
\smallskip

On a: $~\underline{^t\!X.Y}\,=(X|Y)=\,\underline{^tY.X}$,
$\qquad\underline{-J_Y.X}\,=-(X\wedge Y)=\,\underline{J_Y.X}$,
\smallskip

~$\underline{-\,^t\!X.J_Y}\,=\,^t\!X.^t(J_Y)=\,^t(J_Y.X)=\,^t(Y\wedge X)=
-\,^t(X\wedge Y)=\,\underline{^tY.J_X}$,
\smallskip

$~\underline{X.^tY+J_X.J_Y}\,=X.^tY+Y.^t\!X-(X|Y)I=
Y.^t\!X+X.^tY-(Y|X)I=\,\underline{Y.^t\!X+J_Y.J_X}$.
\smallskip

\underline{Soit $m\in Q^+\cap Q^-$} :
$m$ est de la forme $x_0\,i+\ell_X=y_0\,i+r_Y$, c'est \`a dire

$m=\pmatrix{x_0 & -\,^t\!X\cr X &x_0\,I+J_X\cr}=
\pmatrix{y_0 & \,^tY\cr -Y &y_0\,I+J_Y\cr}$,

d'o\`u $~x_0=y_0,~X=-Y,~J_X=J_Y$, ~donc $~X=Y=0$ ~et~ $m=x_0\,i\,$
est une matrice scalaire.

\num{3)~~~}
Si $X=0$, ~alors $~q^+_x=q_x^-=x_0\,i\in SO(4)\iff x_0^2=1\iff <x,x>\,=1$.

Si $X\ne 0$, alors : $~E_0=q_x^+.e_0=x_0\,e_0+
\pmatrix{ 0 & -\,^t\!X\cr X&J_X\cr}\pmatrix{1\cr 0_E\cr}=
\pmatrix{x_0\cr X\cr}=x$.

$E_1=q_x^+.e_1=x_0\,e_1+\pmatrix{ 0 & -\,^t\!X\cr X&J_X\cr}\pmatrix{0\cr X\cr}=
\pmatrix{-\,^t\!X.X\cr x_0\,X\cr}$ ~car $~J_X.X=0$.

$E_2=q_x^+.e_2=x_0\,e_2+\pmatrix{ 0 & -\,^t\!X\cr X&J_X\cr}\pmatrix{0\cr Y\cr}=
\pmatrix{0\cr x_0\,Y+X\wedge Y\cr}$ ~car $~^t\!X.Y=0$.

De m\^eme $E_3=q^+_x.e_3=\pmatrix{0\cr x_0\,Z+X\wedge Z\cr}$.

D'apr\`es la formule du double produit vectoriel vue au I-1.c),
on a $~X\wedge Z=-(^t\!X.X)Y$.

On constate que $E_0,E_1,E_2$ et $E_3$ sont deux \`a deux orthogonaux.

En effet,
il est imm\'ediat que $(E_0|E_1)=(E_1|E_2)=(E_1|E_3)=0$.

De plus $(E_0|E_2)=\,^t\!X.(x_0\,Y+Z)=0$ car $X$ est orthogonal
\`a $Y$ et $Z$, \quad$(E_0|E_3)=\,^t\!X.(x_0\,Z+X\wedge Z)=0$.

$~(E_2|E_3)=\,^t(x_0\,Y+Z).(x_0\,Z+X\wedge Z)=
x_0^2\,^tY.Z+x_0\,^t\!Z.Z+x_0\,^tY.(X\wedge Z)+\,^t\!Z.(X\wedge Z)$

$\qquad\qquad=
x_0\,^t\!Z.Z+x_0\,^tY.(X\wedge Z)=
x_0\,^t\!Z.Z-x_0\,(^t\!X.X)\,(^tY.Y)=
x_0\,^t\!Z.Z-x_0\,^t\!Z.Z=0$.
\smallskip

On d\'eduit des calculs pr\'ec\'edents que la matrice de $q^+_x$ dans
la base \underline{orthogonale} $(e_0,e_1,e_2,e_3)$
est de la forme $~\pmatrix{M&0\cr 0&M\cr}~$
avec $~M=\pmatrix{x_0&-\,^t\!X.X\cr 1 & x_0\cr}$.

\smallskip

Pla\c cons-nous dans la \underline{base orthonormale directe}
$(e'_0,e'_1,e'_2,e'_3)$ o\`u :

 \centerline{$e'0=e_0,~~~e'_1=\dfrac{1}{\|X\|}e_1,~~~
e'_2=\dfrac{1}{\|Y\|}e'_2,~~~e'_3=\dfrac{1}{\|X\|\,\|Y\|}e_3$.}

On obtient alors pour matrice repr\'esentant $q^+_x$ dans cette base :
$~\pmatrix{
      x_0  & -\|X\|   &  0  & 0  \cr
     \|X\| & x_0   &   0 &   0 \cr
       0 &  0  & x_0   & -\|X\|   \cr
       0 &  0  &  \|X\|  &  x_0  \cr}$.

\smallskip
On voit alors imm\'ediatement qu'il s'agit d'une \underline{matrice orthogonale
droite} si et seulement si $x_0^2+\|X\|^2=1$,
c'est \`a dire $\underline{<x,x>\,=1}$.

\smallskip
 On montrerait de m\^eme que $q_x^-\in SO(4)\iff<x,x>\,=1$.
\smallskip

\underline{Remarque} : la m\'ethode sugg\'er\'ee par l'\'enonc\'e est laborieuse.

Si on explicite $x=\pmatrix{\alpha\cr a \cr b\cr c\cr}$,
alors $~q_x^+=\pmatrix{
      \alpha  & -a   &  -b  &  -c  \cr
      a & \alpha   &  -c  &    b\cr
      b &  c  & \alpha   &  -a  \cr
      c &  -b  &  a  & \alpha  \cr}$ ~et~
 $q_x^-=\pmatrix{
      \alpha  & a   &  b  &  c  \cr
      -a & \alpha   &  -c  &    b\cr
      -b &  c  & \alpha   &  -a  \cr
      -c &  -b  &  a  & \alpha  \cr}$.

On constate que les vecteurs colonnes de $q_x^+$ et
 $q_x^-$ sont deux \`a deux orthogonaux et ont tous pour norme
euclidienne $\sqrt{\alpha^2+a^2+b^2+c^2}=\|x\|$, d'o\`u le r\'esultat demand\'e.


\num{4)~a)}
Soit  $x\in\E$  tel que  $<x,x>\,=1$,.

Si $X=0_E$, alors on prend $U$ vecteur norm\'e de $E$ quelconque
et $\theta=0$ si $x_0=1$ et $\theta=\pi$ si  $x_0=-1$.

Si $X\ne 0_E$, alors comme $<x,x>\,=x_0^2+\|X\|^2=1$,
on sait qu'il existe $\theta\in\R$ tel que $x_0=\cos\theta$ et
$\|X\|=\sin\theta\ne0$.

En posant $U=\dfrac{1}{\sin\theta}\,X$, on r\'ealise bien
 $(U|U)=1$
et $x=(\cos\theta,\sin\theta\, U)$.


\num{~~~b)} On a  :
$~q_x^+.q_x^-.e_0=\pmatrix{\cos\theta &-\sin\theta\,^t\!U\cr
\sin\theta\,U &\cos\theta\,I+J_{\sin\theta\,U}\cr}\,
\pmatrix{\cos\theta &\sin\theta\,^t\!U\cr
-\sin\theta\,U &\cos\theta\,I+J_{\sin\theta\,U}\cr}\,
\pmatrix{1\cr 0\cr}$

$\hskip30mm=
\pmatrix{\cos\theta &-\sin\theta\,^t\!U\cr
\sin\theta\,U &\cos\theta\,I+J_{\sin\theta\,U}\cr}\,
\pmatrix{\cos\theta \cr -\sin\theta\,U\cr}=
\pmatrix{\cos^2\theta+\sin^2\theta\,^t\!U.U\cr 0\cr}=
\pmatrix{1\cr 0\cr}=e_0$.


\num{5)~~~} Soit $a\in SO(4)$.

\num{~~~a)} On a vu que si $x\in\E$,
alors $\,q_x^+.e_0=x$.

En prenant $x=a.e_0$,
 ~alors $~q_x^+\in Q^+\cap SO(4)$ ~et $~q_x^+.e_0=a.e_0$.



\num{~~~b)}
Remarquons d'abord que $~q_y^+.q_y^-=
\pmatrix{y_0^2+\|Y\|^2 &0\cr 0 &2y_0J_Y+2(J_Y)^2+(y_0^2+\|Y\|^2)\,I\cr}$.

\smallskip

 On a donc $(q^{-1}.a).e_0=e_0$.
Ainsi $a\in SO(4)$ et $q\in SO(4)$, donc $q^{-1}.a\in SO(4)$
(groupe multiplicatif).
Puisque $q^{-1}.a$ laisse invariant $e_0$, on sait que l'orthogonal
$F$ de $e_0$ est stable par $q^{-1}.a$ et que $q^{-1}.a$
induit une rotation $A$ sur $F$.
\smallskip

On a vu au I.2 qu'il existe $X\in E$ tel que $A=\,\exp(J_X)$
et que $\exp(J_X)=I+\dfrac{1-\cos\theta}{\theta^2}(J_X)^2+
\dfrac{\sin\theta}{\theta}\,J_X$ ~avec $\theta=\|X\|$.
\smallskip

Donc $A=I+2\,\Big(\dfrac{\sin(\theta/2)}{\theta}\,J_X\Big)^2
+2\,\cos(\theta/2)\,\dfrac{\sin(\theta/2)}{\theta}\,J_X=
I+2(J_Y)^2+2\,\cos(\theta/2)\,J_Y$ gr\^ace \`a la lin\'earit\'e de $j$
avec $Y=\dfrac{\sin(\theta/2)}{\theta}\,X=\sin(\theta/2)\,U$
~avec $U=\dfrac{X}{\|X\|}$.
\smallskip

Ainsi $~q^{-1}.a=\pmatrix{1 &0 \cr 0& A\cr}
=\pmatrix{1 &0\cr 0 &I+2(J_Y)^2+2\,\cos(\theta/2)\,J_Y\cr}$.
\smallskip

On constate que $~q^{-1}.a=q_y^+.q_y^-~$
 avec $~y=\pmatrix{\cos(\theta/2)\cr \sin(\theta/2)\,U}$
\smallskip

Donc $~a=(q.q_y^+).q_y^-=p.r$~
avec $~p=q.q_y^+\in Q^+$ (stable) ~et~ $r=q_y^-\in Q^-$.

Comme $\|y\|=1$, on en d\'eduit que $r\in SO(4)$ et donc $p=a.r^{-1}$ aussi.

\smallskip
({\sl On a donc obtenu un r\'esultat plus fin que celui de l'\'enonc\'e,
utile pour l'unicit\'e de la question suivante}.)


\num{~~~c)}
On remarque tout d'abord que l'\'enonc\'e est {\bf  faux}
car $\forall\,\lambda\in\R^*,~a=(\lambda.p).\dfrac{r}{\lambda}$,
d'o\`u une infinit\'e de d\'ecomposition avec un \'el\'ement de $Q^+$
et un de $Q^-$.
\smallskip

\'Etablissons l'unicit\'e en imposant aux facteurs
\underline{d'\^etre en plus dans $SO(4)$}.
\smallskip

On v\'erifie d'abord que si $p=q_x^+$ avec $\|x\|=1$,
alors son inverse est aussi  dans $Q^+$. En effet :

 notons $x=\pmatrix{x_0\cr X\cr}$ et
en consid\'erant $y=\pmatrix{x_0\cr -X\cr}$,
on obtient, d'apr\`es II.4, que $~q_x^+.q_y^+=q_z^+$ avec $z=e_0$,
donc $q_z^+=i$, d'o\`u $(q_x^+)^{-1}=q_y^+\in Q^+$.

On a de m\^eme $~(q_x^-)^{-1}=q_y^-\in Q^-$.
\medskip

Supposons que $a=p.r=p'.r'$ avec $p$ et $p'$ dans
$Q^+\cap SO(4)$,~ $r$ et $r'$ dans $Q^-\cap SO(4)$.
\smallskip

On a $~(p')^{-1}.p=r'.r^{-1}$ : le premier terme est dans $Q^+\cap SO(4)$
et le second dans $Q^-\cap SO(4)$.
\smallskip

D'apr\`es II.2, ces deux matrices sont scalaires et de plus orthogonales,
donc \'egales \`a $\varepsilon i$ avec $\varepsilon =\pm1$,

d'o\`u ~\underline{$p'=\varepsilon p$ ~et~ $r'=\varepsilon r$}.



\bigskip
\bigskip


\centerline{\hbox to 4cm{\hrulefill}}





\end{document}
