%  corrig\'e \'ecrit par Robert Chardard
%  et relu par Madame Feuillet
%  Toute remarque sur ce corrig\'e peut \^etre envoy\'ee \`a
%  Chardard, 11, all\'ee Pottier 91620 NOZAY


\documentclass[a4paper,twoside]{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\setlength\parindent{0pt}


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\font\@upstt=cmtt10\def\ps@ups{\let\@mkboth\@gobbletwo
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\ifx\numerodepage\undefined\else\count0=\numerodepage\fi   
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\begin{document}
\newcommand{\Question}[1]{\bigskip \fbox{\bf Question \textbf{#1}} \bigskip}
\begin{center}
\bf \large Premi\`ere partie
\end{center}



\Question{1a}

Si $X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}$ et si
$Y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}$, on a:

\medskip 

$J_XY=\begin{pmatrix}
x_2y_3-x_3y_2 \\ x_3 y_1-x_1y_3 \\ x_1y_2-x_2y_1 \end{pmatrix}$

\medskip

\fbox{ Donc, $J_X=\begin{pmatrix} 
0   & -x_3 & x_2 \\
x_3 & 0    & -x_1 \\
-x_2 & x_1 & 0 \end{pmatrix}$ est antisym\'etrique}

\medskip

Toute matrice antisym\'etrique \'etant de la forme $\begin{pmatrix}
0 & a & b \\
-a & 0 & c \\
-b & -c & 0 \end{pmatrix}$, il est clair que 

\medskip

\fbox{\vbox{$j$ est un isomorphisme de $E$ sur l'espace des matrices
carr\'ees antisym\'etriques d'ordre 3}}

\Question{1b}\marginpar{Plusieurs questions (dont celle-ci)
pourraient \^etre trait\'ees en utilisant les propri\'et\'es du produit
vectoriel et du produit mixte. C'est un excellent exercice pour
le lecteur de chercher o\`u et comment}

Si $X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}$ et si
$Y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}$, on a:

\medskip 

$\begin{array}{lcl} J_XJ_Y & = & \begin{pmatrix} 
0   & -x_3 & x_2 \\
x_3 & 0    & -x_1 \\
-x_2 & x_1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 
0   & -y_3 & y_2 \\
y_3 & 0    & -y_1 \\
-y_2 & y_1 & 0 \end{pmatrix} \\
\noalign{\smallskip}
 & = &
\begin{pmatrix} 
-x_3y_3-x_2y_2   & x_2y_1            & x_3y_1       \\
x_1y_2           & -x_3y_3-x_1y_1    & x_3y_2        \\
x_1y_3           & x_2y_3            & -x_2y_2-x_1y_1
\end{pmatrix} \\
\noalign{\smallskip}
 & = & 
Y\, ^t\!X - (X|Y)I \end{array}$

\Question{1c}

Avec les m\^emes notations que dans la question 1b :

\medskip

$J_XJ_Y-J_YJ_X=
\begin{pmatrix}
0              &    x_2y_1-x_1y_2   &    x_3y_1-x_1y_3    \\
x_1y_2-x_1y_2  &        0           &    x_3y_2-x_2y_3    \\
x_1y_3-x_3y_1  &    x_2y_3-x_3y_2   &        0
\end{pmatrix}=
J_{X\wedge Y} $

\Question{2a}

\fbox{pour $X=0_E \quad \exp (J_X)=I$}

\bigskip

De la question 1b, on d\'eduit que : $\quad J_X^2=\ X\, ^t\!X- (X|X)I$

\medskip

Or : $J_XX\, ^t\!X=(X\wedge X)\, ^t\!X=0$

\medskip

On en d\'eduit que : $J_X^3=-(X|X)J_X$

\medskip

D'o\`u, par r\'ecurrence, pour tout $n$ de $\mathbb N^{\star}$ :

\medskip

$J_X^{2n+1}=(-1)^{n} (X|X)^{n}J_X \qquad \qquad  J_X^{2n}=(-1)^{n-1}
(X|X)^{n-1}J_X^2$

\medskip

On en d\'eduit :

\medskip

$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{J_X^{2n+1}}{(2n+1)!} =
\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n(X|X)^n}{(2n+1)!} J_X=
\dfrac{\sin\sqrt{(X|X)}}{\sqrt{(X|X)}}J_X$

\medskip

$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{J_X^{2n}}{(2n)!} =
\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}(X|X)^{n-1}}{(2n)!} J_X^2=
\dfrac{1-\cos\sqrt{(X|X)}}{(X|X)}J_X^2$
   
\medskip

\fbox{pour $X\neq 0_E \quad 
\exp (J_X)= I+\dfrac{\sin\sqrt{(X|X)}}{\sqrt{(X|X)}}J_X+
\dfrac{1-\cos\sqrt{(X|X)}}{(X|X)}J_X^2$}

\Question{2b}



On a : $\left\{\begin{array}{ccc} 
J_XU=0 & J_XV=\sqrt{(X|X)} W & J_XW=-\sqrt{(X|X)}V \\\noalign{\smallskip}
J_X^2U=0 & J_X^2V=-(X|X)V    & J_X^2W=-(X|X)W\end{array}\right.$

\medskip

De ces r\'esultats et de la question 2a, on d\'eduit que:

\medskip

\fbox{$\exp (J_X)$ est de matrice dans $\{ U,V,W\}$  
$\begin{pmatrix}
1     &     0    &    0      \\
0  & \cos \sqrt{(X|X)} &  -\sin \sqrt{(X|X)} \\
0 & \sin \sqrt{(X|X)} & \cos \sqrt{(X|X)}\end{pmatrix}$}

\marginpar{Remarquons que l'\'enonc\'e confond la matrice $\exp (J_X)$
et l'application lin\'eaire de $E$ dans $E$ canoniquement associ\'ee.
Nous ferons donc de m\^eme.}

\medskip

On reconnait dans $\exp (J_X)$ la rotation d'axe la droite de
base $U$, orient\'ee par $U$ et dont l'angle a pour mesure
$\theta =\sqrt{(X|X)}$.

\medskip

\fbox{Donc, $\exp (J_X)$ est un \'el\'ement de $SO(3)$}

\medskip

\fbox{pour $X=0_E \quad \exp (J_X)=I$}

\Question{2c}

L'application $M\longmapsto AMA^{-1}$ est continue, puisqu'elle
est lin\'eaire sur un espace de dimension finie. De plus, on
\'etablit facilement par r\'ecurrence que :
$AJ_X^nA^{-1}=(AJ_XA^{-1})^n$. De ces deux r\'esultats, on peut
d\'eduire que :

\medskip

$\displaystyle A\exp
(J_X)A^{-1}=A\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}
\dfrac{(J_X)^n}{n!} \right) A^{-1}= \sum_{n=0}^{+\infty}
\dfrac{A(J_X)^nA^{-1}}{n!} = \sum_{n=0}^{+\infty}
\dfrac{(AJ_XA^{-1})^n}{n!} $

\medskip

Il reste \`a d\'emontrer que : $A\, J_X\, A^{-1}=J_{AX}$

\begin{itemize}
\item Pour tout $Y$ de $E$: $(AJ_XA^{-1})Y=A(X\wedge (A^{-1}Y))$
\item $A^{-1}$ est la matrice de passage de la base canonique de $E$ \`a
une base orthonormale directe $B'$. Donc, si $C$ et $D$ sont deux
vecteurs de $E$, $A(C\wedge D)$ est le vecteur des coordonn\'ees de
$U\wedge V$ dans la base $B'$. Mais ce m\^eme vecteur est donn\'e par
le produit vectoriel des vecteurs $AC$ et $AD$ (coordonn\'ees de
$C$ et $D$ dans la base $B'$), ceci parce que $B'$ est une base
orthonormale directe.

Donc: $\forall (C,D)\in E^2\quad \forall A\in SO(3) \quad
A(C\wedge D)= (AC)\wedge (AD)$

Donc : $A(X\wedge (A^{-1}Y))=(AX)\wedge Y=J_{AX}Y$

\item Donc : $A\, J_X\, A^{-1}=J_{AX}$
\end{itemize}

\medskip

\fbox{$\forall X\in E\quad \forall A\in SO(3)\quad A\, \exp
(J_X)\, A^{-1}=\exp (J_{AX})$}

\Question{2d}

Puisque $A$ est un \'el\'ement de $SO(3)$, c'est une rotation. 
Il existe donc $P$ dans $SO(3)$
et $\theta$ dans $\mathbb R$ tels que :

\medskip

$A=P\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}P^{-1}$

\medskip

On peut imposer de plus que $\theta\in\rbrack 0,2\pi\rbrack$.
\marginpar{Dans le cas o\`u $\theta$ est n\'egatif, on parviendrait
aux m\^emes conclusions, mais attention : 

$U=-I_1 \ldots$}


On pose $X=\theta I_1$ et,
 avec les notations de la question 2b,
on prend :

\medskip

$U=I_1 \qquad V=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \qquad
W=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

\medskip

D'apr\`es le r\'esultat de la question 2b, on a :

\medskip

$\exp (J_{\theta I_1})= 
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

\medskip

\fbox{$
\forall A\in SO(3)\quad \exists P\in SO(3) \quad \exists
\theta \in \mathbb R \quad A=P\, \exp (\theta J_{I_1})\, P^{-1}$}

\Question{2e}


Avec les notations de la question 2d et la question 2c :

\medskip

\fbox{$\forall A\in SO(3)\quad A=\exp (J_{(\theta PI_1)})$}


\vskip 1cm

\hrule

\begin{center}
\bf \large Deuxi\`eme partie
\end{center}

\hrule

\Question{1}

Il est clair que :
\begin{itemize}
\item $\forall (X,Y)\in E^2  \quad \forall \lambda\in\mathbb
R\quad L(\alpha X+Y)=\alpha L(X)+L(Y)$
\item $L(X)=0\Longrightarrow X=0$
\item Pour tout $X$ de $E$, $L(X)$ est antisym\'etrique d'ordre 4
\end{itemize}

\fbox{\vbox{$L$ est donc une application lin\'eaire injective de $E$ dans
l'espace des matrices antisym\'etriques d'ordre 4.

Il en est de m\^eme pour $R$}}

\medskip

Toute matrice antisym\'etrique $M$ d'ordre 4 s'\'ecrit sous la forme
$\begin{pmatrix}
0 & -^t\! A \\
A & J_B \end{pmatrix}$

\medskip

L'\'egalit\'e $M=L(X)+R(Y)$ est \'equivalente \`a:

\medskip

$X-Y=A \qquad \text{et} \qquad X+Y = B$

\medskip

On en d\'eduit que l'\'egalit\'e $M=L(X)+R(Y)$ admet une unique
solution $(X,Y)$

\medskip

\fbox{\vbox{ Les sous-espaces images de $E$ par $L$ et $R$ sont
donc deux sous-espaces suppl\'ementaires de l'espace des matrices
carr\'ees antisym\'etriques d'ordre 3}}

\Question{2} 

\begin{itemize}
\item $\forall x\in E\quad \forall y\in E\quad \forall
\alpha\in\mathbb R\quad \alpha q_x^{+} +q_y^{+}=q_{\alpha x + y}^{+}$

$\forall x\in E\quad \forall y\in E\quad \forall
\alpha\in\mathbb R\quad \alpha q_x^{-} +q_y^{-}=q_{\alpha x + y}^{-}$

\item Pour tout $x=\begin{pmatrix} x_0 \\ X\end{pmatrix}$ de $E$,
pour tout $y=\begin{pmatrix} y_0 \\ Y\end{pmatrix}$, on a:

$\begin{array}{lcl}
q_x^{+}q_y^{+} & = & \begin{pmatrix} x_0  & -\, ^t\!X \\ X & x_0I+J_X
\end{pmatrix}  \begin{pmatrix} y_0  & -\, ^tY \\ Y & y_0I+J_Y
\end{pmatrix}   \\
\noalign{\smallskip}
 & = &\begin{pmatrix} x_0y_0-\, ^t\! XY & -x_0\, ^t Y-y_0\, ^t\!
X-\, ^t\! XJ_Y \\ y_0X+x_0Y+J_XY & -X\, ^t Y+x_0y_0I+J_XJ_Y
+x_0J_Y+y_0J_X\end{pmatrix} \\
\noalign{\smallskip}
& = & q_z^{+} \qquad \text{avec} \ z=\begin{pmatrix} x_0y_0-\,
^t\! X Y \\ 
x_0Y+y_0X+J_XY\end{pmatrix} 
  \end{array}$

\medskip 

On a en effet :

\begin{itemize}
\item $^t(J_XY)=\, ^t(X\wedge Y) = -\, ^t (Y\wedge X) = -\,
^t(J_YX)= -\, ^t\! X\, ^t\! J_Y= \, ^t\! X J_Y$

(on rappelle que $J_Y$ est antisym\'etrique)

\item En utilisant la lin\'earit\'e de $X\longmapsto J_X$ et les
questions 1b et 1c de la premi\`ere partie, on a :

\medskip

$\begin{array}{lcl}
J_{x_0Y+y_0X+J_XY} & = & x_0J_Y+y_0J_X+J_{X\wedge Y} \\
 & = & x_0J_Y+y_0J_X+J_XJ_Y-X\, ^tY+(X|Y)I  \end{array} $
\item On en d\'eduit donc bien que $q_x^{+}q_y^{+}=q_z^{+}$
\end{itemize}

\item De m\^eme, pour tout $x=\begin{pmatrix} x_0 \\ X\end{pmatrix}$ de $E$,
pour tout $y=\begin{pmatrix} y_0 \\ Y\end{pmatrix}$, on a:

\medskip

$q_x^{-}q_y^{-}=q_z^{-}\qquad \text{avec} \ z=\begin{pmatrix}
x_0y_0-\, ^t\! XY \\ x_0Y+y_0X+J_XY\end{pmatrix}$

\item
Pour tout $x=\begin{pmatrix} x_0 \\ X\end{pmatrix}$ de $E$,
pour tout $y=\begin{pmatrix} y_0 \\ Y\end{pmatrix}$ de $E$, on a:

\medskip

$\begin{array}{lcl}
q_x^{+}q_y^{-} & = & \begin{pmatrix} x_0  & -\, ^t\!X \\ X & x_0I+J_X
\end{pmatrix}  \begin{pmatrix} y_0  &  ^tY \\ -Y & y_0I+J_Y
\end{pmatrix}   \\
\noalign{\smallskip}
 & = &\begin{pmatrix} x_0y_0+\, ^t\! XY & x_0\, ^tY-y_0\, ^t\!
X-\, ^t\! XJ_Y \\ y_0X-x_0Y-J_XY & X\, ^tY+x_0y_0I+J_XJ_Y
+x_0J_Y+y_0J_X\end{pmatrix} \\
\noalign{\smallskip}
 & = &\begin{pmatrix}y_0x_0+\, ^tYX & -y_0\, ^t\! X+x_0\, ^tY+\,
^tYJ_X \\ -x_0Y+y_0X+J_YX & Y\, ^t\! X
+x_0y_0I+J_YJ_X+x_0J_Y+y_0J_X\end{pmatrix} \\
\noalign{\smallskip}
 & = & q_y^{-}q_x^{+} 
  \end{array}$

On a en effet :

\begin{itemize}
\item $^t\! XY=\, ^tYX$
\item $J_YX=Y\wedge X =-(X\wedge Y)=-J_XY$
\item $^t( J_XY)= \, ^t\! XJ_Y\quad $ (d\'ej\`a vu)

Donc : $^t YJ_X= -\, ^t\! XJ_Y\quad $  ($J_X$ \'etant
antisym\'etrique)

\item De la question I 1b, on d\'eduit que :

$Y\, ^t\! X
+x_0y_0I+J_YJ_X = X\, ^tY+x_0y_0I+J_XJ_Y$
\end{itemize}

\item Un \'el\'ement de $Q^{+}\cap Q^{-}$ s'\'ecrit sous la forme
$\begin{pmatrix} x_0 & -\, ^t\! X \\ X & x_0I+J_X \end{pmatrix}$
et sous la forme $\begin{pmatrix} y_0 & ^tY \\ -Y &
y_0I+J_Y\end{pmatrix}$.

Il s'\'ecrit donc sous la forme $\begin{pmatrix} x_0 & 0 \\ 0 &
x_0I\end{pmatrix}$

\end{itemize}

\fbox{\vbox{Donc, $Q^{+}$ et $Q^{-}$ sont deux sous-espaces
vectoriels de $\mathcal{M}_4(\mathbb R )$, stables pour
la multiplication, les \'el\'ements de $Q^{+}$ commutent avec les
\'el\'ements de $Q^{-}$ et $Q^{+}\cap Q^{-}$ est l'ensemble des
matrices scalaires}}

\Question{3}

\marginpar{On choisit ici de ne pas suivre l'indication de
l'\'enonc\'e, en saisissant l'occasion de faire un peu d'analyse
plut\^ot que des calculs alg\'ebriques p\'enibles}

On remarque d'abord que, pour tout $X$ de $E$ : 

$^t\! XJ_X=0$ (facile \`a v\'erifier)

\medskip

De plus, d'apr\`es la question I 1b :

$J_XJ_X=X\, ^t\!X-(X|X)I$

\medskip

On en d\'eduit :

$\begin{array}{lcl} 
^t(q_x^{+})\, q_x^{+} & = & \begin{pmatrix}    x_0 & ^t\! X \\
X & x_0I-J_X \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0 & -\, ^t\! X \\
X & x_0I+J_X\end{pmatrix} \\
\noalign{\smallskip}
 & = & \begin{pmatrix} x_0^2+\, ^t\!XX & 0 \\
0 & X\, ^t\! X+x_0^2I-J_XJ_X\end{pmatrix} \\
\noalign{\smallskip}
 & = & <x|x>i\end{array}$

\medskip

Donc, une condition n\'ecessaire pour que $q_x^{+}$ soit dans
$SO(4)$ est que : $(x|x)=1$. 

\medskip

R\'eciproquement, si $x\in E$ est tel que $<x,x>=1$, alors,
$q_x^{+}$ est un \'el\'ement de $O(4)$. Il reste \`a d\'emontrer que
$q_x^{+}$ est de d\'eterminant 1. Pour cela, on remarque que :

\begin{itemize}
\item Puisque $q_x^{+}$ est un \'el\'ement de $O(4)$, son d\'eterminant
est \'egal \`a $1$ ou \`a $-1$.
\item L'ensemble $S$ des \'el\'ements $x$ de $E$ tels que $<x,x>=1$ est
une partie connexe par arcs de $E$. C'est en effet l'image du
connexe par arcs
$E\setminus\{ 0\}$ par l'application continue $x\longmapsto
\dfrac{1}{\| x\| }x$.

\item L'application $x\longmapsto \det q_x^{+}$ est continue sur
$E$, comme compos\'ee de l'application continue $\det$ et de
l'application $x\longmapsto q_x^{+}$ (continue parce que lin\'eaire
sur un espace de dimension finie).

\item Donc, l'image de $S$ par l'application $x\longmapsto \det
q_x^{+}$ est une partie connexe par arcs de $\mathbb R$. On
sait qu'elle est incluse dans $\{ -1,1\}$. Elle est donc \'egale \`a
$\{ 1\}$ ou \`a $\{ -1\}$.

\item Pour $x=\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}$, on v\'erifie
facilement que $q_x^{+}$ est de d\'eterminant 1, ce qui termine la
d\'emonstration.
\end{itemize}

\fbox{$q_x^{+}$ est donc dans $SO(4)$ si et seulement si
$<x,x>=1$}

\medskip

\fbox{On \'etablit de la m\^eme mani\`ere le r\'esultat pour $q_x^{-}$}

\Question{4a}

Soit  $x=\begin{pmatrix} x_0 \\ X\end{pmatrix}$ un \'el\'ement de
$E$.

\medskip

$\begin{array}{lcl}
x\in E & \Longleftrightarrow & x_0^2+(X|X)^2=1 \\
 & \Longleftrightarrow & \exists \theta\in\lbrack 0,\pi\rbrack \qquad
x_0=\cos\theta\quad \text{et} \quad \sqrt{(X|X)}=\sin\theta \\
 & \Longleftrightarrow & \exists\theta\in\lbrack 0,\pi\rbrack
\quad \exists U\in E \qquad (U|U)=1 \quad\text{et}\quad
x=\begin{pmatrix}\cos\theta \\ \sin\theta \enspace U\end{pmatrix}
\end{array}$

\Question{4b}

Pour tout $x$ de $E$ tel que $<x,x>=1$, on a :

\medskip

$\begin{array}{lcl}
q_x^{+}q_x^{-}e_0 & = & \begin{pmatrix} x_0 & -\, ^t\! X \\
X & x_0I+J_X\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_0 &  ^t\! X \\
-X & x_0I+J_X\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\ 0_E\end{pmatrix}  \\
\noalign{\smallskip}
 & = & \begin{pmatrix} x_0 & -\, ^t\! X \\
X & x_0I+J_X\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_0 \\ -X\end{pmatrix}\\
\noalign{\smallskip}
 & = &
\begin{pmatrix} 1\\ 0_E\end{pmatrix}
\end{array}$

\Question{5a}

\marginpar{Il y a une erreur d'\'enonc\'e dans cette question; il
faut trouver $q$ dans $Q^{+}\cap SO(4)$, sinon la question 5c est
incorrecte}
 
Si $a$ est un \'el\'ement de $SO(4)$, alors $z=ae_0$ est un \'el\'ement de
norme 1 et on v\'erifie facilement que $q_z^{+}e_0=ae_0$

\medskip

\fbox{Il existe $q$ dans $Q^{+}\cap SO(4)$ tel que $qe_0=ae_0$}

\Question{5b}


On garde les notations et le r\'esultat de la question 5a. La
matrice $q^{-1}a$ est un \'el\'ement de $SO(4)$ laissant le vecteur
$e_0$ invariant. Elle s'\'ecrit donc sous la forme $\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & A\end{pmatrix}$, o\`u $A$ est un \'el\'ement de $SO(3)$
\marginpar{Ici aussi, pour la m\^eme raison que dans la question 5a
, il faut imposer que
$p$ et $r$ soient dans $SO(4)$} 
(rappelons que, puisque $q^{-1}a$ est un \'el\'ement de $SO(4)$, ses
vecteurs-colonnes sont orthogonaux ...).


\medskip

D'apr\`es la question I 3, il existe $X$ dans $E$ tel que:

\medskip

$q^{-1}a=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \exp (J_X)\end{pmatrix}$

\medskip

On cherche maintenant \`a \'ecrire $q^{-1}a$ sous la forme
$q_x^{+}q_x^{-}$, o\`u $x$ est un vecteur de norme 1, que l'on
notera donc $\begin{pmatrix}\cos\theta \\ \sin\theta \enspace U
\end{pmatrix}$ (d'apr\`es la question II 4a). 
\begin{itemize}
\item Dans le cas o\`u $X=0$, il suffit de prendre $x=\begin{pmatrix}1
\\ 0\end{pmatrix}$. On supposera dans ce qui suit que $X$ est non nul.

\item On a :

$\begin{array}{lcl}
 q_x^{+}q_x^{-} & = & \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\enspace ^t
U \\ \sin\theta \, U & \cos\theta \, I +\sin\theta  \, J_U\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \enspace ^t
U \\ -\sin\theta \, U & \cos\theta\, I+\sin\theta \, J_U\end{pmatrix}
\\\noalign{\smallskip}
 & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\
0 & B\end{pmatrix}\end{array}$

\medskip

avec $B=\cos^2\theta \enspace I
+\sin^2\theta \enspace U\, ^tU+\sin^2\theta\enspace
J_U^2+2\sin\theta\cos\theta \, J_U $

Or, d'apr\`es la question I 1b : $U\, ^t U=J_U^2+I$

\medskip

Donc : $q_x^{+}q_x^{-}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &
I+\sin 2\theta\enspace J_U+2\sin^2\theta\enspace J_U^2\end{pmatrix}$

\item D'apr\`es la question I 2a, on a, si $X\neq 0_E$ et si
$U=\dfrac{X}{\sqrt{^t\! XX}}$ :

\medskip

$\begin{array}{lcl}
\exp (J_X) & = & I+\dfrac{\sin\sqrt{(X|X)}}{\sqrt{ (X|X)}}J_X+
\dfrac{1-\cos\sqrt{(X|X)}}{(X|X)}J_X^2 \\ \noalign{\smallskip}
 & = & I +\sin\sqrt{(X|X)}\enspace J_U + (1-\cos\sqrt{(X|X)})\,
J_U^2 \end{array}$

\item On a donc d\'emontr\'e que : 

\medskip

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \exp
(J_X)\end{pmatrix} = q_x^{+}q_x^{-} \qquad \text{avec} \qquad
x=\begin{pmatrix} \cos\dfrac{\sqrt{(X|X)}}{2\mathstrut} \\
\sin\dfrac{\sqrt{(X|X)}}{2} \enspace \dfrac{X}{\sqrt{(X|X)}}\end{pmatrix}$

\end{itemize}

On a donc pu \'ecrire $a$ sous la forme $qq_x^{+}q_x^{-}$, o\`u $q$
et $q_x^{+}$ sont des \'el\'ements de $Q^{+}\cap SO(4)$ et $q_x^{-}$
est un \'el\'ement de $Q^{-}\cap SO(4)$. Or, le produit de deux
\'el\'ements de $Q^{+}\cap SO(4)$ est un \'el\'ement de $Q^{+}\cap
SO(4)$.

\medskip

\fbox{Il existe $p$ dans $Q^{+}\cap SO(4)$ et $r$ dans $Q^{-}\cap
SO(4)$ tels que $a=pr$}

\Question{5c}

Si $a$ admet une autre d\'ecomposition $p'r'$, on a :

\medskip

$p^{-1}p'=rr^{'-1}$

\medskip

D'apr\`es la question II 2, $p^{-1}p'=rr^{'-1}$ est un \'el\'ement de
$Q^{+}\cap Q^{-}$ et c'est donc une matrice scalaire. Comme 
cette matrice est \'egalement \'el\'ement de $SO(4)$, on a :

\medskip

$p^{-1}p'=rr^{'-1}=\pm i$

\medskip

\fbox{Si $a$ admet une autre d\'ecomposition $p'r'$, alors
$p'=\epsilon p$ et $r'=\epsilon r$ avec $\epsilon =\pm 1$}

\end{document}
