%  Enonc\'e du probl\'eme de Maths 	I pos\'e en 2000 \'a l'ESIM 
%  Fili\'ere MP

% par Daniel GENOUD - Lyc\'ee La Martini\`ere-Monplaisir - LYON
% email : Daniel.Genoud@ac-lyon.fr

% LaTeX 2.09


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% Macros utilis\'ees

\def\num#1{\medskip \hskip-10mm{#1}}
\def\R{I\!\!R}

\begin{document}

\centerline{{\large \bf ~ESIM - Session 2000 }}
\bigskip

\centerline{\hbox to 2.5cm{\hrulefill}}
\bigskip

\centerline{{\large \bf ~Fili\'ere MP }}
\bigskip

\centerline{\hbox to 2.5cm{\hrulefill}}
\bigskip

\centerline{{\large \bf ~\'EPREUVE DE MATH\'EMATIQUES I }}
\bigskip

\centerline{Dur\'ee : 3 heures}
\bigskip

\centerline{\hbox to 2.5cm{\hrulefill}}
\bigskip


\centerline{{\sl L'utilisation de toute calculatrice est interdite}}

\bigskip



\centerline{{\large\bf Premi\'ere partie}}

\bigskip
On d\'esigne par $E$ l'espace des matrices colonnes d'ordre 3 \'a coefficients r\'eels.

$E$ est muni du produit scalaire not\'e $(~|~)$ :
$\forall\, (X,Y)\in E^2,~(X|Y)=^tX.Y$~ o\'u $\,^tX$ d\'esigne la matrice ligne transpos\'ee de la matrice colonne $X$.

On rappelle qu'une matrice carr\'ee $M$, d'ordre 3, est antisym\'etrique
si $\,^tM=-M$.

$SO(3)$ d\'esigne le groupe des matrices carr\'ees d'ordre 3 orthogonales de d\'eterminant 1,
soit $~A\in SO(3)\Longleftrightarrow ^tA.A=I$ et $\det(A)=+1,$
$~I$ d\'esignant la matrice unit\'e d'ordre 3.

L'espace $\R^3$ est suppos\'e orient\'e et l'orientation choisie fait 
de la base canonique de $\R^3$ une base directe.

Si $X$ et $Y$ appartiennent \'a $E$, on d\'esigne par $X\wedge Y$
l'\'el\'ement de $E$ repr\'esentant dans la base canonique de $\R^3$
le produit vectoriel $x\wedge y$ des vecteurs $x$ et $y$ de $\R^3$
repr\'esent\'es respectivement par $X$ et $Y$ dans la base canonique de $\R^3$.

Enfin si $X\in E,$ ~on d\'esignera par $J_X$ la matrice d'ordre 3
d\'efinie par

 $~\forall\, Y\in E,~J_X.Y=X\wedge Y$,~ o\'u
$J_X.Y$ d\'esigne le produit la matrice carr\'ee $J_X$ d'ordre 3 par la matrice colonne $Y$
\'a 3 lignes.
\bigskip


\num{1) a)} V\'erifier que $J_X$ est antisym\'etrique et que 
l'application $j:X\in E\longmapsto J_X$ est une bijection lin\'eaire de $E$
sur l'espace des matrices carr\'ees antisym\'etriques d'ordre 3.

\num{~~~b)} V\'erifier que $~J_X.J_Y=Y.^tX-(X|Y)I$.

\num{~~~c)} Montrer que $~J_{X\wedge Y}=J_X.J_Y-J_Y.J_X$.


\num{2)~~~} Soit $X\in E$.

\num{~~~a)} Calculer $~\exp(J_X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}
\frac{(J_X)^k}{k!}$.

\num{~~~b)} Si $X\ne 0_E$, o\'u $0_E$ est le vecteur nul de $E$,
on pose $\,U=\displaystyle\frac{X}{\sqrt{^tX.X}}$.

Soit $V$ un vecteur de $E$ de norme $1$, orthogonal \'a $U$
et $\,W=U\wedge V$.

Calculer la matrice de $\exp(J_X)$ dans la base $\{U,V,W\}$ de $E$.

En d\'eduire que $\,\exp(J_X)\in SO(3)$.

Donner la valeur de $\exp(J_{0_E})$.

\num{~~~c)}
Montrer que $~\forall\, X\,\in E,~\forall\, A\in SO(3),~~
A.\exp(J_X).A^{-1}=\exp(J_{A.X})$.

\num{~~~d)} Soit $A\in SO(3)$.
~Montrer qu'on peut trouver $P\in SO(3)$ et $\theta\in\R$
tel que 

$A=P.\exp(\theta J_{I_1}).P^{-1}$~
o\'u $I_1\in E$ ~avec ~$I_1=\pmatrix{1\cr 0\cr0\cr}$.

\num{~~~e)} En d\'eduire que $~\forall\, A\in SO(3),$ ~il existe
$X\in E$ tel que $\,A=\exp(J_X)$.

\bigskip
\bigskip
\centerline{{\large\bf Deuxi\'eme partie}}

\def\E{{\cal E}}

\bigskip
On d\'esigne par $\E$ l'espace des matrices colonnes
 d'ordre 4 \'a coefficients r\'eels. 

Un \'el\'ement $x$ de $\E$ sera mis sous
forme d'une matrice colonne $x=\pmatrix{x_0\cr X\cr}$ constitu\'ee d'un
 \'el\'ement $x_0$ de $\R$ et d'un \'el\'ement $X$ de $E$.

Si $m$ d\'esigne une matrice carr\'ee d'ordre 4, $m$ sera consid\'er\'ee comme
 l'application lin\'eaire de $\E$ dans $\E$ qui \'a la matrice colonne $x$
de $\E$ fait correspondre $m.x$ (produit matriciel). 

$^tm$ d\'esignera la
matrice transpos\'ee de $m$.

L'espace $\E$ sera muni du produit scalaire d\'efini par :
$~\forall\,(x,y)\in\E^2,~<x,y>\,=x_0\,y_0+(X|Y)$.

$SO(4)$ d\'esigne le groupe des matrices d'ordre 4 orthogonales et de
d\'eterminant 1, soit ~$a\in SO(4)\Longleftrightarrow \,^ta.a=i$ et $\det(a)=1$
~o\'u $i$ d\'esigne la matrice unit\'e d'ordre 4.

\smallskip
Pour $X\in E$, on d\'esigne par $\ell_X$ et $r_X$ les matrices carr\'ees 
d'ordre 4 antisym\'etriques : 


\centerline{$\ell_X=\pmatrix{0&-\,^t\!X\cr X& J_X\cr}$
~et ~$~r_X=\pmatrix{0&^t\!X\cr -X& J_X\cr}$.}
\bigskip


\num{1)~~~}
Monter que $\,L:X\longmapsto \ell_X\,$ et $\,R:X\longmapsto r_X\,$
sont deux applications lin\'eaires injectives de $E$ dans l'espace des
 matrices antisym\'etriques d'ordre 4.

Montrer alors que les sous-espaces images par $L$ et $R$ sont des sous-espaces
suppl\'ementaires de l'espace des matrices antisym\'etriques d'ordre 4.

\num{2)~~~}
Si $x\in\E, ~x=\pmatrix{x_0\cr X\cr}$, on d\'esigne par $q_x^+$
et $q_x^-$ les matrices d'ordre 4 suivantes :

$q_x^+=x_0\,i+\ell_X$~ et ~$q_x^-=x_0\,i+r_X$, ~par $Q^+$ l'ensemble des matrices
$q_x^+$ lorsque $x$ parcourt $\E$ et par $Q^-$ l'ensemble des matrices
$q_x^-$ lorsque $x$ parcourt $\E$.
\smallskip

Montrer que $Q^+$ et $Q^-$ sont deux sous-espaces vectoriel de l'espace des
matrices carr\'ees d'ordre 4, stables pour la multiplication,
que les \'el\'ements de $Q^+$ commutent avec les \'el\'ements de $Q^-$ et
que $Q^+\cap Q^-$ est l'ensemble des matrices scalaires (multiples de $i$).

\num{3)~~} Montrer que $q_x^+$ et $q_x^-$ sont dans $SO(4)$ si et seulement si
$<x,x>\,=1$.

On pourra consid\'erer dans le cas o\'u $X\ne 0$ les matrices de $q_x^+$ 
et $q_x^-$ dans la base $(e_0,e_1,e_2,e_3)$ de $\E$ avec 
$e_0=\pmatrix{1\cr 0_E\cr},~~e_1=\pmatrix{0\cr X\cr},~~
~~e_2=\pmatrix{0\cr Y\cr},~~e_3=\pmatrix{0\cr Z\cr}~$
o\'u $0_E$ est le vecteur nul de $E$, ~$Y\in E$ et $Y$ est orthogonal
 \'a $X$ ~et $Z=X\wedge Y$.

On \'etudiera aussi la cas $X=0$.

\num{4)~a)} Montrer que si $x\in\E$  et $<x,x>\,=1$, on peut trouver
$\theta\in\R$  et $U\in E$ tel que $(U|U)=1$
et $x=(\cos\theta,\sin\theta\, U)$.

\num{~~~b)} Montrer que pour $x\in\E$ tel que $<x,x>\,=1$,
le produit $q_x^+.q_x^-$ conserve le vecteur $e_0=\pmatrix{1\cr 0_E\cr}$
de $\E$.

\num{5)~~~} Soit $a\in SO(4)$.

\num{~~~a)} Montrer qu'il existe $q\in Q^+$ tel que $\,q.e_0=a.e_0$.

\num{~~~b)} En d\'eduire qu'il existe $p\in Q^+$ et $r\in Q^-$ tels 
que $\,a=p.r$.

\num{~~~c)} Montrer que si $a$ admet une autre d\'ecomposition $p'.r'$,
alors $p'=\varepsilon p$ et $r'=\varepsilon r$ avec
$\varepsilon=\pm1$.

\bigskip
\bigskip

\centerline{\hbox to 4cm{\hrulefill}}


\bigskip
N.B. L'\'enonc\'e de la derni\'ere question est faux et doit \^etre 
modifi\'e de la fa\c con suivante :

\num{~~~b)} En d\'eduire qu'il existe $p\in Q^+\cap SO(4)$ et 
$r\in Q^-\cap SO(4)$ tels 
que $\,a=p.r$.



\end{document}