%  Corrig\'e du probl\`eme de Maths II pos\'e en 2000 \`a l'ESIM
%  Fili\`ere MP

% par Daniel GENOUD - Lyc\'ee La Martini\`ere-Monplaisir - LYON
% email : Daniel.Genoud@ac-lyon.fr

% LaTeX 2.09

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% Num\'erotation ups

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% Macros utilis\'ees

\def\num#1{\bigskip \hskip-6mm{{\bf Question #1}\par\smallskip}}
\def\N{{\bf N}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\R{{\bf R}}
\def\C{{\bf C}}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}
\def\du{\,{\rm d}u}
\def\dt{\,{\rm d}t}
\def\dx{\,{\rm d}x}

\begin{document}

\centerline{{\large \bf ~ESIM - Session 2000 - Fili\`ere MP }}
\bigskip


\centerline{{\bf ~\'EPREUVE DE MATH\'EMATIQUES II - ANALYSE - 3 heures}}
\bigskip



\bigskip
\bigskip
\bigskip

\centerline{{\large\bf Partie 1}}

\bigskip


\centerline{Formule sommatoire de Poisson}
\bigskip


\num 1

$f'$ \'etant continue sur $\R$ car $q\ge 1$, on a :
$f(t)-f(y)=\dint_y^t f'(u)\du$.

$\forall\,t\in[y,y+1],~\big|f(y)-f(t)\big|\le
\dint_y^{t}\big|f'(u)\big|\du\le\dint_y^{y+1}\!\big|f'(u)\big|\du$.

\smallskip

Comme ~$\forall\,t\in[y,y+1],~~\big|f(y)\big|\le\big|f(y)-f(t)\big|
+\big|f(t)\big|$,

\qquad en int\'egrant, on obtient : $~\big|f(y)\big|=\dint_y^{y+1}\big|f(y)\big|\dt
\le\dint_y^{y+1}\!\big|f'(t)\big|\dt+\dint_y^{y+1}\!\big|f(t)\big|\dt$.


\num{2} Soit $x$ un r\'eel fix\'e.
~$f$ et $f'$ \'etant int\'egrables,  les int\'egrales
$~\dint_{-\infty}^\infty\!\big|f(t)\big|\dt~$ et
$~\dint_{-\infty}^\infty\!\big|f'(t)\big|\dt~$ existent.

Consid\'erons la suite croissante $(J_n)_{n\in\N}$
de parties finies de $\Z$ d\'efinies par $J_n=[\![-n;n]\!]$;

~on a : $~\displaystyle\bigcup_{n\in\N}J_n=\Z$.

Pour montrer que la famille $~\big(f(x+p)\big)_{p\in\Z}~$ est
sommable, il suffit de montrer que la suite r\'eelle positive
$n\longrightarrow s_n=\dsum_{p\in J_n}\big|f(x+p)\big|$ est \underline{major\'ee}.

En effet, $~\forall\,n\in\N,~s_n=\dsum_{p=-n}^n\big|f(x+p)\big|
\le \dsum_{p=-n}^n\Big[\dint_{x+p}^{x+p+1}\!\big|f(t)\big|\dt
+\dint_{x+p}^{x+p+1}\!\big|f'(t)\big|\dt\Big]$

\hskip3.5cm
$=\dint_{x-n}^{x+n+1}\!\big|f(t)\big|\dt
+\dint_{x-n}^{x+n+1}\!\big|f'(t)\big|\dt$,

donc $~\forall\,n\in\N,~s_n\le\dint_{-\infty}^\infty\!\big|f(t)\big|\dt
+\dint_{-\infty}^\infty\!\big|f'(t)\big|\dt$. ~cqfd


\num 3
$\forall\,x\in\R,~S(x+1)=\dsum_{p\in\Z}f(x+1+p)
\mathop{=}\limits_{q=p+1}\dsum_{q\in\Z}f(x+q)=S(x)$,
~donc \underline{$S$ est 1-p\'eriodique}.


\num{4}
Pour consid\'erer les compacts de $\R $, on peut se limiter aux
segments $[a,b]$.

$\forall\, N\in\N,~\forall\,x\in[a,b],~\big|S(x)-S_N(x)\big|=
\Big|\dsum_{p=-\infty}^{-(N+1)}f(x+p)+\dsum_{p=N+1}^\infty f(x+p)\Big|$


$\hskip1.5cm\le
\dsum_{p=-\infty}^{-(N+1)}\dint_{x+p}^{x+p+1}\!\!\big(|f|+|f'|\big)
+\dsum_{p=N+1}^{\infty}\dint_{x+p}^{x+p+1}\!\!\big(|f|+|f'|\big)
=\dint_{-\infty}^{x-N}\!\big(|f|+|f'|\big)+
\dint_{x+N+1}^\infty\!\big(|f|+|f'|\big)$

$\hskip1.5cm
\le\dint_{-\infty}^{b-N}\!\big(|f|+|f'|\big)+
\dint_{a+N+1}^\infty\!\big(|f|+|f'|\big)$
~(majorant ind\'ependant de $x$),

donc $~\forall\, N\in\N,~\big\|S-S_N\big\|_\infty^{([a,b])}
\le\dint_{-\infty}^{b-N}\!\big(|f|+|f'|\big)+
\dint_{a+N+1}^\infty\!\big(|f|+|f'|\big)\mathop{\longrightarrow}
\limits_{N\to\infty}0$
~comme restes d'int\'egrales convergentes.

\smallskip

Ainsi la suite de fonctions $(S_N)_{N\in\N}$
converge uniform\'ement vers $S$ sur tout compact de $\R$.
\bigskip


Pour d\'emontrer ce qui pr\'ec\`ede, on a seulement utilis\'e que $f$ et
$f'$ sont int\'egrables sur $\R$.


Puisque $\,\forall\, k\in[\![0;q-1]\!],~(S_N)^{(k)}(x)=
\dsum_{p=-N}^{N}f^{(k)}(x+p)$,
en rempla\c cant $f$ par $f^{(q-1)}$, on en d\'eduit, puisque $f^{(q-1)}$
et $f^{(q)}$ sont int\'egrables, que la suite
$\,\big(S_N^{(q-1)}\big)_{n\in\N}\,$
\underline{converge uniform\'ement} sur tout compact de $\R$.

Puisque d'apr\`es {\bf Q2}, la suite de fonctions $(S_N)_{N\in\N}$
converge simplement vers $S$ sur $\R$ et que les $S_N$ sont de classe
${\cal C}^{(q-1)}$, le th\'eor\`eme \'etendu de d\'erivation des s\'eries de fonctions
permet de conclure que $S$ est de classe ${\cal C}^{q-1}$ sur $\R$.


\num{5} La continuit\'e de $T$ en particulier autorise \`a consid\'erer
les coefficients de Fourier  exponentiels de $T$.



\centerline{$\forall\,n\in\Z,~c_n=\dfrac{1}{2\pi}\,\dint_{-\pi}^\pi
\Big(\dsum_{p\in\Z}f\big(\dfrac{x}{2\pi}+p\big)\,e^{-inx}\Big)\dx=
\dfrac{1}{2\pi}\,\dint_{-\pi}^\pi\Big(\displaystyle\lim_{N\to\infty}
S_N\big(\dfrac{x}{2\pi}\big)\,e^{-inx}\Big)\dx.$}

Pour $n$ fix\'e dans $\Z$, posons
$~\phi_N(x)=S_N\big(\dfrac{x}{2\pi}\big)\,e^{-inx}~$
et $~\phi(x)=S\big(\dfrac{x}{2\pi}\big)\,e^{-inx}$.



$\forall\,N\in\N,~\forall\, x\in[-\pi,\pi],~
\big|\phi_N(x)-\phi_(x)\big|=\big|S_N\big(\dfrac{x}{2\pi}\big)-
S\big(\dfrac{x}{2\pi}\big)\big|\,|e^{-inx}|$,

donc $~\big\|\phi_n-\phi\big\|_\infty^{([-\pi,\pi])}=
\big\|S_n-S\big\|_\infty^{([-1/2,1/2])}\mathop{\longrightarrow}
\limits_{N\to\infty}0$.

Ainsi la convergence uniforme sur $[-\pi,\pi]$ autorise
\`a permuter limite et int\'egrale.

$c_n=\dfrac{1}{2\pi}\,\displaystyle\lim_{N\to\infty}\dint_{-\pi}^\pi
\phi_N(x)\dx=
\dfrac{1}{2\pi}\,\displaystyle\lim_{N\to\infty}\dint_{-\pi}^\pi
\Big(\dsum_{p=-N}^Nf\big(\dfrac{x}{2\pi}+p\big)\,e^{-inx}\Big)\dx$

$\hskip5mm=
\dfrac{1}{2\pi}\,\displaystyle\lim_{N\to\infty}
\dsum_{p=-N}^N\dint_{-\pi}^\pi f\big(\dfrac{x}{2\pi}+p\big)
\,e^{-inx}\dx$.

Le changement de variable $\,u=\dfrac{x}{2\pi}+p\,$
donne :


\centerline{$c_n=\dfrac{1}{2\pi}\,\displaystyle\lim_{N\to\infty}
\dsum_{p=-N}^N\dint_{-1/2+p}^{1/2+p}f(u)
\,e^{-in2\pi(u-p)}\du=\displaystyle\lim_{N\to\infty}
\dint_{-1/2-N}^{1/2+N}f(u)\,e^{-in2\pi u}\du=
\dint_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-2ni\pi t}\dt$.}

 \smallskip
\underbar{Remarque} :

 l'existence de cette derni\`ere int\'egrale
est \'evidente car $f$ est int\'egrable sur $\R$
et  $\big|f(t)\,e^{-2ni\pi t}\big|=\big|f(t)\big|$.


\num{6}
Si $q\ge 2$, alors $f$ est de classe ${\cal C}^2$ sur $\R$, donc d'apr\`es {\bf Q4},
$S$ est de classe ${\cal C}^1$.

Le th\'eor\`eme de Dirichlet s'applique : la s\'erie de Fourier de $S$
 converge simplement sur $\R$ vers $S$ (continue), c'est \`a dire :
~$\forall\, x\in\R,~S(x)=\dsum_{n=-\infty}^\infty c_n\,e^{2ni\pi x}.$

\smallskip
\underbar{Remarque} : on a aussi les hypoth\`eses du th\'eor\`eme de convergence normale.


\newpage

\centerline{{\large\bf Partie 2}}

\bigskip

\centerline{Calcul d'une int\'egrale}

\bigskip

\num 7
A $x$ fix\'e $>0$, $~f(x,.) :t\longmapsto \dfrac{x}{x^2+t^2}\,e^{i\,t}~$
est continue sur $\R$ et
$~\big|f(x,t)\big|=\dfrac{x}{x^2+t^2}\mathop{\sim}\limits_{t\to\pm\infty}
\dfrac{x}{t^2}$, ce qui montre que $f(x,.)$ est int\'egrable sur $\R$
d'apr\`es le th\'eor\`eme de l'\'equivalent des fonctions positives et
 l'exemple de Riemann.

Ainsi, $g$ est d\'efinie sur $]0,+\infty[$.



\num{8}
Pour \'etablir que $g$ est de classe ${\cal C}^2$ sur $]0,+\infty[$,
appliquons le th\'eor\`eme de d\'erivation des int\'egrales \`a param\`etres
en montrant  que $f,~\dfrac{\partial f}{\partial x}$
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}\,$ v\'erifient toutes les trois
\underline{l'hypoth\`ese de domination locale}
(sur tout segment $K=[a,b]\subset]0,+\infty[$.)
\smallskip

\hskip-2mm
. $f$ est de classe ${\cal C}^2$ sur $]0,+\infty[\times\R$.


\hskip-2mm
. $\forall\, x\in K,~\forall\, t\in\R,~\big|f(x,t)\big|=\dfrac{x}{x^2+t^2}
\le\dfrac{b}{a^2+t^2}=\varphi_K(t)$
~avec $\varphi_K$ int\'egrable sur $\R$.
\smallskip

\hskip-2mm
. $\forall\, x\in K,~\forall\, t\in\R,~\big|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)\big|
=\dfrac{|t^2-x^2|}{(x^2+t^2)^2}\le\dfrac{t^2+x^2}{(x^2+t^2)^2}
\le\dfrac{1}{a^2+t^2}=\psi_K(t)$
~avec $\psi_K$ int\'egrable sur $\R$.
\smallskip

\hskip-2mm
. $\forall\, x\in K,~\forall\, t\in\R,~\big|\dfrac{\partial^2 f}
{\partial x^2}(x,t)\big|
=\dfrac{|2x^3-6xt^2|}{(x^2+t^2)^3}\le\dfrac{2x^3+6xt^2}{(x^2+t^2)^3}
\le\dfrac{6x(x^2+t^2)}{(x^2+t^2)^3}\le\dfrac{6b}{(a^2+t^2)^2}=\lambda_K(t)$
~avec $\lambda_K$ int\'egrable sur $\R$ car
$\lambda_K(t)\mathop{\sim}\limits_{t\to\pm\infty}\dfrac{b}{t^4}$.

\smallskip
Le th\'eor\`eme de d\'erivation des int\'egrales \`a param\`etre permet de conclure
que $g$ est de classe ${\cal C}^2$ sur $]0,+\infty[$ et que :
\smallskip


\qquad$\forall\,x>0,~g'(x)=\dint_{-\infty}^\infty\!
\dfrac{t^2-x^2}{(x^2+t^2)^2}\,e^{it}\dt~~{\rm et~~}
g''(x)=\dint_{-\infty}^\infty\!\dfrac{\partial^2}
{\partial x^2}\Big(\dfrac{x}{x^2+t^2}\Big)\,e^{it}\dt
=\dint_{-\infty}^\infty\!\dfrac{2x^3-6xt^2}{(x^2+t^2)^3}\,e^{it}\dt.$



\num{9}
On trouve que $~\dfrac{\partial}{\partial t}\Big(\dfrac{-2tx}{(x^2+t^2)^2}\Big)$
~et  $~\underline{\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}
\Big(\dfrac{x}{x^2+t^2}}\Big)
=\dfrac{-6tx^2-2x^3}{(x^2+t^2)^3}=
\,\underline{-\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\Big(\dfrac{x}{x^2+t^2}}\Big)$.

Ainsi $~\forall\, x>0,~g''(x)=-\dint_{-\infty}^\infty
\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\Big(\dfrac{x}{x^2+t^2}\Big)\,e^{it}\dt.$

En effectuant deux int\'egrations par parties successives,
 sur $[-a,a]$ d'abord, puis faisant tendre $a$ vers $+\infty$,
 on obtient
\smallskip

\hskip2cm
$g''(x)=i\dint_{-\infty}^\infty
\dfrac{\partial}{\partial t}\Big(\dfrac{x}{x^2+t^2}\Big)\,e^{it}\dt=
-i^2\dint_{-\infty}^\infty\dfrac{x}{x^2+t^2}\,e^{it}\dt=g(x)$.
\smallskip

Ainsi, $g$
est solution sur $]0,+\infty[$ de l'\'equation diff\'erentielle
$~y''-y=0$.


\num{10} A $x$ fix\'e $>0$, le changement de variable
$~u\longmapsto t=xu$ est un
${\cal C}^1$-diff\'eomorphisme croissant de $\R$ sur lui-m\^eme,
~donc ~$g(x)=\dint_{-\infty}^\infty\dfrac{x}{x^2+x^2u^2}\,e^{ixu}\,x\du=
\dint_{-\infty}^\infty\dfrac{e^{ixu}}{1+u^2}\du$.

\smallskip
$\forall x>0,~\big|g(x)\big|\le\dint_{-\infty}^\infty\dfrac{1}{1+u^2}\du=
\big[\arctan u\big]_{-\infty}^\infty=\pi$,
~donc  ~$g$ est born\'ee sur $\R^*_+$.
\smallskip

Consid\'erons $\,h(x,u):\longrightarrow \dfrac{e^{ixu}}{1+u^2}$ :

$~h$ est continue sur $\R\times\R$ et domin\'ee en module par
$\varphi :u\longmapsto \dfrac{1}{1+u^2}$ int\'egrable sur $\R$,
donc, d'apr\`es un th\'eor\`eme de continuit\'e des int\'egrales \`a param\`etre,
$\,\widetilde g:x\longmapsto \dint_{-\infty}^\infty
\dfrac{e^{ixu}}{1+u^2}\du\,$
est continue sur $\R$, donc en particulier en $0$.
~Ainsi $~\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\widetilde g(x)=
\widetilde g(0)=\dint_{-\infty}^\infty\dfrac{1}{1+u^2}\du$,
~c'est \`a dire
$~g(x)\mathop{\longrightarrow}
\limits_{{\scriptstyle >\atop\scriptstyle  x\to 0}}\pi$.



\num{11} D'apr\`es la question {\bf9}, $\,g(x)$ est de la forme
$\lambda\,e^x+\mu\,e^x$ pour $x>0$.

La limite de $g$ en $0^+$ donne $~\underline{\lambda+\mu=\pi}$.
\smallskip

$g$ \'etant born\'ee sur $\R$, on
 en d\'eduit que $\lambda=0$ et donc que
~\fbox{ $\forall\, x>0,~g(x)=\pi\,e^{-x}$. }

\bigskip
\bigskip



\centerline{{\large\bf Partie 3}}
\bigskip


\centerline{Application}
\bigskip

\num{12}
On prend ici  $\,f(t)=\dfrac{1}{a^2+t^2}$ o\`u $a$ est une constante $>0$.
\smallskip

$\forall\,t\in\R,~f'(t)=\dfrac{-2t}{(a^2+t^2)^2}=O\big(\dfrac{1}{t^3}\big)~$
et
~$f''(t)=\dfrac{6t^2-2a^2}{(a^2+t^2)^3}=O\big(\dfrac{1}{t^4}\big)$,
~donc $f'$ et $f''$ sont int\'egrables sur $\R$, d'o\`u $q\ge 2$.
\smallskip


Il r\'esulte de la question {\bf4} que $\,S:x\longmapsto\dsum_{p\in\Z}
f(x+p)$ est de classe ${\cal C}^\infty$, donc de classe ${\cal C}^2$,
ce qui permet d'appliquer le r\'esultat de la question {\bf6}
et d'\'ecrire que $~\forall\,x\in\R,~S(x)=\dsum_{n=-\infty}^\infty c_n\,e^{2ni\pi x}$.

D'apr\`es {\bf5}, $~c_n=\dint_{-\infty}^\infty\dfrac{1}{a^2+t^2}\,e^{-2ni\pi t}\dt$.

On remarque que $~c_{-n}=c_n$ (en effectuant le changement de variable $u=-t$.)

On a directement $~c_0=\dfrac{\pi}{a}$.

Si $n>0$, le changement de variable $\,t\longmapsto u=-2\pi nt\,$
est un ${\cal C}^1$-diff\'eomorphisme strictement d\'ecroissant de $\R$ sur $\R$.

$c_n=\dint_{+\infty}^{-\infty}\dfrac{e^{-iu}}{a^2+{u^2 \over (2\pi n)^2}}
\,\dfrac{-\du}{2\pi n}=
\dfrac{1}{a}\dint_{-\infty}^\infty\dfrac{2\pi na}{u^2+(2\pi na)^2}
\,e^{iu}\du=g(2\pi na)=\dfrac{\pi}{a}\,e^{-2\pi na}$~ d'apr\`es {\bf11}.

\smallskip
Ainsi ~\fbox{ $\forall\,n\in\Z,~c_n=\dfrac{\pi}{a}_,e^{-2\pi|n|a}$. }


\smallskip
\underbar{Remarque} : on a comme attendu : $\displaystyle\lim_{n\to\pm\infty}c_n(S)=0$.
~D'autre part, $S$ \'etant de classe ${\cal C}^\infty$ sur $\R$,
on v\'erifie que $~\forall\, p\in\N,~c_n=o\big(\dfrac{1}{|n|^p}\big)$
en accord avec  l'\'egalit\'e $~c_n(S^{(p)})=(in)^p\,c_n(S)$.


\medskip

$S(x)=\dfrac{\pi}{a}+\dfrac{\pi}{a}\dsum_{n=1}^\infty e^{-2\pi an}\big(
e^{i2\pi n x}+e^{-i2\pi n x}\big)=
\dfrac{\pi}{a}+\dfrac{2\,\pi}{a}\Re e\Big(\dsum_{n=1}^\infty
e^{2\pi(ix-a)}\big)^n\Big)=
\dfrac{\pi}{a}+\dfrac{2\,\pi}{a}\Re e
\Big(\dfrac{e^{2\pi(ix-a)}}{1-e^{2\pi(ix-a)}}\Big)$

\hskip8mm$=
\dfrac{\pi}{a}+\dfrac{2\,\pi}{a}\Re e
\Big(\dfrac{e^{2\pi(ix-a)}\,\big(1-e^{2\pi(-ix-a)}\big)}
{\big(1-e^{2\pi(ix-a)}\big)\,\big(1-e^{2\pi(-ix-a)}\big)}\Big)=
\dfrac{\pi}{a}+\dfrac{2\,\pi}{a}\Re e
\Big(\dfrac{e^{2\pi(ix-a)}-e^{-4\pi a}}
{1+e^{-4\pi a}-2e^{-2\pi a}\,\cos(2\pi x)}\Big)$

\hskip8mm$=
\dfrac{\pi}{a}+\dfrac{2\,\pi}{a}
\Big(\dfrac{e^{-2\pi a}\,\cos(2\pi x)-e^{-4\pi a}}
{1+e^{-4\pi a}-2e^{-2\pi a}\,\cos(2\pi x)}\Big)=
\dfrac{\pi}{a}+\dfrac{2\,\pi}{a}\,
\dfrac{\cos(2\pi x)-e^{-2\pi a}}{e^{2\pi a}+e^{-2\pi a}-2\,\cos(2\pi x)}$.

\medskip

\centerline{\fbox{ $\forall x\in\R,~~S(x)=\dfrac{\pi}{a}\,
\dfrac{{\rm sh}(2\pi a)}{{\rm ch}(2\pi a)-\,\cos(2\pi x)}$. }}

\end{document}
