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\begin{document}
\subsection{ \ \ \ \ ESIM PC}

\subsection{Epreuve de Mathematiques I - Analyse\hfill}

\vspace{1pt}

\hfill\ \ \ \ Session\ \ 2000\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ %

\[
Partie\;\;I
\]

\begin{enumerate}
\item  On \'{e}tudie la s\'{e}rie de fonctions\ \ $\left(  u_{k}\right)
_{k\in\mathbb{N}^{\ast}}$ $:$ $%
\begin{array}
[c]{c}%
\left]  0,+\infty\right[  \rightarrow
\mathbb{R\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;x\longmapsto u_{k}(x)=(2k^{2}x^{2}-1)\exp(-k^{2}x^{2})
\end{array}
.$\newline 

\begin{enumerate}
\item  Pour $x\in\left[  a,b\right]  $ et $k$ assez grand $hk\geq\dfrac{1}{a})$
on a\ \ \newline \ \ $1\leq(2k^{2}x^{2}-1)\leq(2k^{2}b^{2}-1)$ \ \ et
$\;\;\;0<\exp(-k^{2}x^{2})\leq\exp(-k^{2}a^{2})\;,$\newline c'est \`{a} dire,
en notant $v_{k}=(2k^{2}b^{2}-1)\exp(-a^{2}k^{2})\;,\;:\forall k\geq\dfrac
{1}{a},$ $\;\;\;\;\;\;\sup\limits_{x\in\left[  a,b\right]  }\left|
u_{k}(x)\right|  \leq v_{k}$ .\newline 

La s\'{e}rie num\'{e}rique de terme g\'{e}n\'{e}ral $v_{k}$ stritement positif
est convergente (on peut lui appliquer le crit\`{e}re de d'Alembert pour s'en
convaincre : $\dfrac{v_{k+1}}{v_{k}}\thicksim\exp(-(k+1)^{2}+k^{2})a^{2}%
=\exp(-(2k+1)a^{2})$ tend vers $0$ \ ).\newline \fbox{La s\'{e}rie de
fonctions \ \ $\left(  u_{k}\right)  _{k\in\mathbb{N}^{\ast}}$ est normalement
convergente, donc uniform\'{e}ment convergente sur $\left[  a,b\right]  .$}\newline 

\item  Soit\ $c\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ . Choisissons $a$ et $b$ tels que $:$
$0<a<c<b.$ : $S$ est limite uniforme sur $\left[  a,b\right]  $ de la suite de
fonctions continues $S_{n}:x\longmapsto%%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=1}^{k=n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{k=n}}
%EndExpansion
u_{k}(x)$ , alors $S$ est continue sur $\left[  a,b\right]  $ et en
particulier au point $c\;.$\newline \fbox{$S\;$est\ continue\ sur$\;\mathbb{R}%
_{+}^{\ast}$}.\newline 
\end{enumerate}

\item  On choisit $k\in\mathbb{N}^{\ast}.$

\begin{enumerate}
\item  La fonction\ $u_{k}\;$ est continue sur $\left[  0,+\infty\right[  $ et
elle est positive sur $\left[  \dfrac{1}{k},+\infty\right[  $. Au voisinage de
$x=+\infty\;,$ $u_{k}$ est n\'{e}gligeable devant la fonction $\;x\longmapsto
\dfrac{1}{x^{2}}$ ( l'exponentielle l'emporte sur les fonctions polyn\^{o}mes)
qui est int\'{e}grable sur $\left[  1,+\infty\right[  ,$ alors, par
comparaison :\newline \fbox{$u_{k}$ est int\'{e}grable sur $\left[
0,+\infty\right[  $}.\newline 

\item  On peut remarquer que $\dfrac{d(t\exp(-k^{2}t^{2}))}{dt}=(1-2k^{2}%
t^{2})\exp(-k^{2}t^{2})$ (ou sinon int\'{e}grer par parties) .\newline \fbox{$%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
u_{k}(t)dt=\left[  -t\exp(-k^{2}t^{2})\right]  _{0}^{+\infty}=0$}\ , d'o\`{u}
:\ \fbox{$%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=1}^{k=n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{k=n}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
u_{k}(t)dt=0$}$,$ puisque chaque terme de cette s\'{e}rie est nul.\newline 

\item  La relation de Chasles , $%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\left|  u_{k}(t)\right|  dt=%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{\tfrac{1}{k}}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{\tfrac{1}{k}}}
%EndExpansion
\left|  u_{k}(t)\right|  dt+%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{\tfrac{1}{k}}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{\tfrac{1}{k}}^{+\infty}}
%EndExpansion
\left|  u_{k}(t)\right|  dt$ nous permet l'in\'{e}galit\'{e} suivante : (je
rappelle que $u_{k}(x)\geq0$ quand $x\geq\dfrac{1}{k})$ :\newline $%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\left|  u_{k}(t)\right|  dt\geq%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{\tfrac{1}{k}}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{\tfrac{1}{k}}^{+\infty}}
%EndExpansion
u_{k}(t)dt=\left[  -t\exp(-k^{2}t^{2})\right]  _{\tfrac{1}{k}}^{+\infty
}=\dfrac{1}{ke}$ , qui est le terme g\'{e}n\'{e}ral d'une s\'{e}rie de Riemann
divergente.\newline \fbox{La s\'{e}rie $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k\geq1}^{{}}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k\geq1}^{{}}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\left|  u_{k}(t)\right|  dt$ est divergente.}\newline 
\end{enumerate}

\item  On va utiliser la m\'{e}thode de Riemann pour encadrer une
int\'{e}grale par d\'{e}coupage de $\left[  0,+\infty\right[  $ en intervalles
$\left[  k,k+1\right[  .$\newline 

\begin{enumerate}
\item  Pour $k\geq a$ on int\`{e}gre par rapport \`{a} $t\in$ $\left[
k,k+1\right]  \;\;$ l'in\'{e}galit\'{e} $\;\;f(k+1)\leq f(t)\leq f(k)$ et on
obtient:\newline $f(k+1)\leq%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{k}^{k+1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{k}^{k+1}}
%EndExpansion
f(t)dt\leq f(k),$ d'o\`{u} : \ \ $\forall k\geq a,\;\;\;0\leq d_{k}(f)\leq
f(k)-f(k+1)$ .\newline La s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $\;v_{k}%
=f(k)-f(k+1)$ a pour sommes partielles \ $V_{n}=$ $\sum\limits_{k=0}^{n}%
v_{k}=f(0)-f(n+1)..$ $f$ \'{e}tant positive et d\'{e}croissante sur $\left[
a,+\infty\right[  ,$ admet une limite finie $\;l\geq0\;$ en $+\infty,$ ce qui
nous montre que la suite des sommes partielles $\;(S_{n})_{n\in\mathbf{N}}%
$converge .\newline \fbox{Par comparaison la s\'{e}rie $\sum\limits_{k\geq
0}^{{}}d_{k}(f)$ converge aussi}

\item  Je note $k_{0}\;$la partie ent\`{e}re de $a$ et j'utilise pour $0\leq
k\leq k_{0}-1$ la m\^{e}me technique :\newline $f(k+1)\geq f(t)\geq f(k)\;\;$
donne $\;\;\;\;\;0\geq d_{k}(f)\geq f(k)-f(k+1)$ . alors pour $n\geq k_{0}+1$
les sommes partielles $D_{n}(f)=$ $\sum\limits_{k=0}^{n}d_{k}(f)$ sont
encadr\'{e}es par $(f(0)-f(k_{0}))+d_{k_{0}}\leq D_{n}(f)\leq d_{k_{0}%
}+(f(k_{0}+1)-f(n+1)).$\newline \newline Comme $f$ est \`{a} valeurs positives
on en d\'{e}duit pour tout $n\geq k_{0}+1$:\ \ $-f(k_{0}))+d_{k_{0}}\leq
D_{n}(f)\leq d_{k_{0}}+(f(k_{0}+1)$ et encore : \ \ $-%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{k_{0}}^{k_{0}+1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{k_{0}}^{k_{0}+1}}
%EndExpansion
f(t)dt\leq D_{n}(f)\leq f(k_{0})+(f(k_{0}+1)$\newline Par passage \`{a} la
limite quand $n\rightarrow+\infty$ et en tenant compte du fait que $f(a)$ est
le maximun de $f$ sur $\left[  0,+\infty\right[  \;\;\;:\;\;\;$%
\fbox{$-f(a)\leq-%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{k_{0}}^{k_{0}+1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{k_{0}}^{k_{0}+1}}
%EndExpansion
f(t)dt\leq D(f)\leq f(k_{0})+(f(k_{0}+1)\leq2f(a)$}\newline L'entier
\fbox{$p=2$}convient.\newline 
\end{enumerate}

\item $f_{1}$ et $f_{2}$ sont des fonctions continues et positives sur
$\left[  0,+\infty\right[  $ et nous v\'{e}rifions en dressant leurs tableaux
de variations qu'elles satisfont aux conditions de $la$ question $3$
:\newline \newline $f_{1}^{\prime}(t)=-2t\exp(-x^{2}t^{2})$ $\leq0$\ \ et
\ \ $f_{2}^{\prime}(t)=4x^{2}t(1-t^{2}x^{2})\exp(-x^{2}t^{2})$ change de signe
en\ \ $a=\dfrac{1}{x}$\newline .\newline \fbox{%
\begin{tabular}
[b]{rr}%
$t$ & $0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\infty$\\
f$_{1}(t)$ & $1$\ \ \ \ \ \ \ $\searrow$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $0$%
\end{tabular}
} $\;\;$\fbox{%
\begin{tabular}
[b]{rr}%
$t$ & $0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a\;\;\;\;\;\;\;\;\;$\ $\;\;\;+\infty
\;$\\
f$_{2}(t)$ & $0\;\;\;\;\nearrow\;$\ $\;f_{2}(a)$ \ \ \ \ $\searrow
$\ \ \ \ \ \ $0$%
\end{tabular}
}\ \ 

\begin{enumerate}
\item  Puisque $x>0$ le changement $t\longmapsto y=xt$ est un $C^{1}%
$diff\'{e}omorphisme de $\left[  0,+\infty\right[  $ sur lui m\^{e}me .
$\newline
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
f_{1}(t)dt=%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\exp(-y^{2})\dfrac{dy}{x}=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2x}\;\;$\ \ puis, avec une
int\'{e}gration par parties en plus :\newline $\;\;%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
f_{2}(t)dt=%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
2y^{2}\exp(-y^{2})\dfrac{dy}{x}=\dfrac{1}{x}\left[  -y\exp(-y^{2})\right]
_{0}^{+\infty}+\dfrac{1}{x}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\exp(-y^{2})dy=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2x}\;.$\newline 

\item $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=0}^{k=n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{k=n}}
%EndExpansion
u_{k}(x)=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=0}^{k=n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{k=n}}
%EndExpansion
(d_{k}(f_{2})-d_{k}(f_{1}))+%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{n+1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{n+1}}
%EndExpansion
(f_{2}(t)-f_{1}(t))dt$ donne par passage \`{a} la limite en tenant compte de
$u_{0}(x)=-1$ :\ \ \ \ \fbox{$S=D(f_{2})-D(f_{1})+1$}\newline 

\begin{enumerate}
\item  Le maximum de $f_{1}$ est $1$ et le maximum de $f_{2}\;$est
$f_{2}(\dfrac{1}{x})=\dfrac{2}{e}$ . Alors la majoration de I3b) nous donne
:\newline \newline \fbox{$\forall x>0,\;\;\;\left|  S(x)\right|
\leq2(1+\dfrac{2}{e})+1$ }

\item  Sachant que $f_{1}$ et $f_{2}$ sont positives reprenons I3) et le fait
que :$\;%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=0}^{k=n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{k=n}}
%EndExpansion
f(k)=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=0}^{k=n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{k=n}}
%EndExpansion
d_{k}(f)+%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{n+1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{n+1}}
%EndExpansion
f(t)dt.$\newline $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=1}^{k=n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{k=n}}
%EndExpansion
u_{k}(x)=1+%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=0}^{k=n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{k=n}}
%EndExpansion
u_{k}(x)\leq1+%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=0}^{k=n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{k=n}}
%EndExpansion
f_{2}(k)\leq1+2f_{2}(a)+%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{n+1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{n+1}}
%EndExpansion
f_{2}(t)dt\leq1+\dfrac{4}{e}+\dfrac{\sqrt{\pi}}{2x}$\newline $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=1}^{k=n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{k=n}}
%EndExpansion
u_{k}(x)=1+%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=0}^{k=n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{k=n}}
%EndExpansion
u_{k}(x)\geq1-%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=0}^{k=n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{k=n}}
%EndExpansion
f_{1}(k)\geq1-2-%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{n+1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{n+1}}
%EndExpansion
f_{1}(t)dt\geq-1-\dfrac{\sqrt{\pi}}{2x}$\newline $M_{1}=1+\dfrac{4}{e}$ assure
\ \ \fbox{$\forall n\in\mathbb{N}^{\ast},\;\forall x>0,\;\left|
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=1}^{k=n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{k=n}}
%EndExpansion
u_{k}(x)\right|  \leq M_{1}+\dfrac{\sqrt{\pi}}{2x}$}$\;.$\newline 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item  Notons $g$ l'application d\'{e}finie sur $\left[  0,+\infty\right[  $
par $g(x)$ $=xexp(-x).$

\begin{enumerate}
\item  On nous demande de d\'{e}montrer que $\forall w\in$ $\left[
0,+\infty\right[  ,\;\;$ $g(\dfrac{w}{4})\leq1.$ Etudions les variations de
$g:$\newline $g^{\prime}(x)=(1-x)\exp(-x)$ donc $g$ atteint son maximum en
$x=1$ et on a $\forall x\geq0,$ $0\leq g(x)\leq g(1)=\dfrac{1}{e}<1.$\newline 

\item $\forall k\in\mathbb{N}^{\ast},\;\forall x\geq1$ \ \ on sait
$\;\;2k^{2}x^{2}\geq2$ \ \ \ d'o\`{u}\thinspace\ \ \ $u_{k}(x)\geq0.$%
\newline La majoration \ \ $u_{k}(x)\leq2k^{2}x^{2}\exp(-k^{2}x^{2})$ se
poursuit en utilisant I5a) avec $w=2k^{2}x^{2}:$\newline $u_{k}(x)\leq
4\exp(\dfrac{2k^{2}x^{2}}{4}-k^{2}x^{2})=4\exp(-\dfrac{k^{2}x^{2}}{2})$
.\newline En multipliant les deux membres de l'in\'{e}galit\'{e}\ \ $k\leq
k^{2}\;\;$par$\;\;-\dfrac{x^{2}}{2}<0$ \ on a : $\dfrac{-k^{2}x^{2}}{2}%
\leq\dfrac{-kx^{2}}{2}.$\newline La fonction exponentielle est croissante, ce
qui nous permet de ferminer la majoration de $u_{k}^{{}}(x)$ par le terme
g\'{e}n\'{e}ral d'une s\'{e}rie g\'{e}om\'{e}trique\ :\newline �box{$\forall
k\in\mathbb{N}^{\ast},\;\forall x\geq1\;\;\;\;0\leq u_{k}^{{}}(x)\leq
4\exp(\dfrac{-kx^{2}}{2}.)$}\ .

\item  Ces s\'{e}ries sont convergentes et leurs sommes sont dans le m\^{e}me
ordre\ :\newline $0\leq S(x)\leq%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=1}^{\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}}
%EndExpansion
4\left(  \exp(\dfrac{-x^{2}}{2}.)\right)  ^{k}=4\left(  \dfrac{1}%
{1-\exp(\dfrac{-x^{2}}{2}.)}-1\right)  =\dfrac{4\exp(\dfrac{-x^{2}}{2}%
.)}{1-\exp(\dfrac{-x^{2}}{2}.)}=\dfrac{4}{\exp(\dfrac{x^{2}}{2}.)-1}\;q�$ est
l'in\'{e}galit\'{e} demand\'{e}e\ $\;\;$\fbox{$\forall x\geq1\;\;\;0\leq
S(x)\left(  \exp(\dfrac{x^{2}}{2}.)-1\right)  \leq4$}\ .
\end{enumerate}

\item $S$ est continue sur $\left]  0,+\infty\right[  \;.$ D'apr\`{e}s I3i)
$S$ est born\'{e}e, alors $S$ est int\'{e}grable sur\  $\left]  0,1\right]
.$\newline D'apr\`{e}s I5c)\ $S$ est positive et major\'{e}e\ sur $\left[
1,+\infty\right[  $ par $x\longmapsto\dfrac{4}{\exp(\dfrac{x^{2}}{2}.)-1}$ qui
est n\'{e}gligeable devant $x\longmapsto\dfrac{1}{x^{2}}.$ on en ,'{e}duit
par comparaison que $S$ est int\'{e}grable sur $\left[  1,+\infty\right[
.$\newline \fbox{$S$ est int\'{e}grable sur $\left]  0,+\infty\right[  $%
}\ .\newline
\[
Partie\;\;II
\]

\item[1] $\Phi$ et $\Lambda$ sont d\'{e}finies comme int\'{e}grales \`{a}
param\`{e}tre.\newline * $(x,t)\longmapsto S(t)t^{x}$ est continue sur
$\left]  -1,+\infty\right[  \times\left]  0,+\infty\right[  $ \ \ et
\ $(x,t)\longmapsto t^{x}\exp(-t)\;\;\;$aussi.\newline *Soit $M$ un majorant
de $S$ sur $\left]  0,+\infty\right[  $ ; on a\ \ \ : $\forall(x,t)\in$$\left]  -1,+\infty\right[  \times\left]  0,+\infty\right[  $ $\;\;\left|
S(t)t^{x}\right|  \leq M\;t^{x}\;\;et$ \ \ 0$\leq t^{x}\exp(-t)\leq t^{x}.$ et
on sait que :\ pour $x>-1\;\;$ on a $t\longmapsto t^{x}=\dfrac{1}{t^{-x}}$ est
int\'{e}grable sur $\left]  0,+\infty\right[  .$\newline \fbox{$\Phi$ et
$\Lambda$ sont d\'{e}finies sur $\left]  -1,+\infty\right[  $}\newline 

\item[2] Le th\'{e}or\`{e}me de continuit\'{e} sous le signe somme s'applique:

\begin{enumerate}
\item \fbox{$\Phi$ et $\Lambda$ sont continues sur $\left]  -1,+\infty\right[
$}\newline 

\item  J'effectue le changement de variable $t\longmapsto u=\sqrt{t}^{{}%
}\;(C^{1}-$diff\'{e}omorphisme de $\left]  0,+\infty\right[  $ sur
lui-m\^{e}me):\newline $\Lambda(-\dfrac{1}{2})=%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\exp(-t)$ $\dfrac{dt}{\sqrt{t}}=2%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\exp(-u^{2})$ $du=\sqrt{\pi}.$\newline \fbox{$\Lambda(-\dfrac{1}{2})=\sqrt
{\pi}$}
\end{enumerate}

\item[3)] $\forall k\in\mathbb{N}^{\ast},\;\forall x>0$ ,\ j'effectue le
changement de variable $\;t\longmapsto u=k^{2}t^{2}\;(C^{1}-$%
diff\'{e}omorphisme de $\left]  0,+\infty\right[  $ sur
lui-m\^{e}me):\newline $%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
u_{k}(t)t^{x}dt=%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
(2k^{2}t^{2}-1)\exp(-k^{2}t^{2})dt=%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
(2u-1)\exp(-u)\left(  \dfrac{\sqrt{u}}{k}\right)  ^{x}\dfrac{du}{2k\sqrt{u}}%
$\newline $%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
u_{k}(t)t^{x}dt=\dfrac{1}{2k^{x+1}}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
(2u^{\dfrac{x+1}{2}}-u^{\dfrac{x-1}{2}})\exp(-u)du.$\newline Int\'{e}grons par
parties \thinspace\ \ $%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
u^{\dfrac{1+x}{2}}\exp(-u)du=\left[  -u^{\dfrac{1+x}{2}}\exp(-u)\right]
_{0}^{+\infty}+$\ $\dfrac{x+1}{2}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
u^{\dfrac{x-1}{2}}\exp(-u)du.$\newline Il reste\ :\ $%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
u_{k}(t)t^{x}dt$ $=\dfrac{1}{2k^{x+1}}\left(  (x+1)-1\right)
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
u^{\dfrac{x-1}{2}})\exp(-u)du$ ce qui est bien :\newline \fbox{$%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
u_{k}(t)t^{x}dt=\dfrac{x}{2k^{x+1}}\Lambda(\dfrac{x-1}{2})$}\newline 

\item[4)] $Z(x)$ $est$ une s\'{e}rie de Riemann :\newline 

\begin{enumerate}
\item \fbox{Le r\'{e}el $Z(x)$ est d\'{e}fini pour $x>0$}\newline 

\item  L'application\ \ $f:t\longmapsto\dfrac{1}{2(1+t)^{x+1}}$ est
strictement d\'{e}croissante sur $\left[  0,+\infty\right[  .$ Elle atteint
donc son maximum en $t=0$ et ce maximum vaut $\dfrac{1}{2}..$ I3b) nous permet
d'\'{e}crire :\newline $\left|  D(f)\right|  =\left|  Z(x)-%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
f(t)dt\right|  \leq1\;\;$ et ici quand $\;x>1\;$\ \ $%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
f(t)dt=\dfrac{1}{2x}\left[  \dfrac{-1}{\left(  1+t\right)  ^{x}}\right]
_{0}^{+\infty}=\dfrac{1}{2x}$\newline $\left|  xZ(x)-\dfrac{1}{2}\right|  \leq
x\Longrightarrow$\fbox{$\lim\limits_{x\rightarrow0+}xZ(x)=\dfrac{1}{2}$}\newline 
\end{enumerate}

\item[5)] On fixe $\varepsilon>0$ et $x>0$\newline 

\begin{enumerate}
\item  On sait que $S$ est born\'{e}e . soit $M$ un majorant de $S$ . Toujours
d'apr\`{e}s I4) on sait aussi que \newline $\forall n\in\mathbb{N}^{\ast
},\;\forall t>0,\;\left|
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=1}^{k=n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{k=n}}
%EndExpansion
u_{k}(t)\right|  \leq M_{1}+\dfrac{\sqrt{\pi}}{2t}$ d'o\`{u} pour tout
$\lambda>0$ et tout $\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}:$\newline $\left|
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{\lambda}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{\lambda}}
%EndExpansion
(S(t)-S_{n}(t))t^{x}dt\right|  \leq%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{\lambda}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{\lambda}}
%EndExpansion
\left|  S(t)-S_{n}(t)\right|  t^{x}dt\leq%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{\lambda}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{\lambda}}
%EndExpansion
(M+M_{1}+\dfrac{\sqrt{\pi}}{2t})t^{x}dt=F(\lambda)$ \newline Cette fonction
\ \ $t\longmapsto(M+M_{1}+\dfrac{\sqrt{\pi}}{2t})t^{x}\;$ est int\'{e}grable
sur $\left]  0,\lambda\right]  $ parce que $x>0.$ Alors $F(\lambda)$ , qui ne
d\'{e}pend pas de n, tend vers $0$ quand $\lambda$ tend vers $0.$ On a bien
:\newline \fbox{$\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\;\;\;\;\lim\limits_{\lambda
\rightarrow0}\left|
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{\lambda}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{\lambda}}
%EndExpansion
(S(t)-S_{n}(t))t^{x}dt\right|  =0$}\newline 

\item  Pour $\;\;t\geq\lambda$ et $k\geq\dfrac{1}{\lambda}$ on a $2t^{2}%
k^{2}\geq2$ et $u_{k}(t)>0,$ d'o\`{u} pour $n\geq\dfrac{1}{\lambda}$ \ $0\leq
S(t)-S_{n}(t)=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=n+1}^{\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}}
%EndExpansion
u_{k}(t).$\newline Reprenons les notations de I1a) o\`{u} le terme
g\'{e}n\'{e}ral $v_{k}$ d\'{e}pend de $\lambda$ mais pas de $t\in\left[
\lambda,1\right]  .$. J'appelle $V_{n}=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=n+1}^{\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}}
%EndExpansion
v_{k}$ le reste d'ordre $n$ de cette s\'{e}rie convergente . Il vient
:\newline $\forall n\geq\dfrac{1}{\lambda}\;\;\;\left|
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{\lambda}^{1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{\lambda}^{1}}
%EndExpansion
(S(t)-S_{n}(t))t^{x}dt\right|  =%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{\lambda}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{\lambda}}
%EndExpansion
(%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=n+1}^{\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}}
%EndExpansion
u_{k}(t))t^{x}dt\leq V_{n}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{\lambda}^{1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{\lambda}^{1}}
%EndExpansion
t^{x}dt\leq\dfrac{V_{n}}{x+1}\leq V_{n}.$ On a obtenu le r\'{e}sultat
demand\'{e} :\newline \fbox{Pour $\lambda$ et $x>0$ fix\'{e}s,\ la suite
$(\left|
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{\lambda}^{1}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{\lambda}^{1}}
%EndExpansion
(S(t)-S_{n}(t))t^{x}dt\right|  )_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $0$}\newline 

\item  Pour $t\geq1$ nous avons major\'{e} la s\'{e}rie $u_{k}(t)$ par une
s\'{e}rie g\'{e}om\'{e}trique . Son reste \`{a} l'ordre $n$ est donc
major\'{e} par $:0\leq S(t)-S_{n}(t)\leq4\dfrac{\exp(-\dfrac{(n+1)t^{2}}{2}%
)}{1-\exp(-\dfrac{t^{2}}{2})}=4\dfrac{\exp(-\dfrac{nt^{2}}{2})}{\exp
(\dfrac{t^{2}}{2})-1}\leq\dfrac{4}{\sqrt{e}}\exp(-\dfrac{nt^{2}}{2})\leq
\dfrac{4}{\sqrt{e}}\exp(-\dfrac{nt^{{}}}{2}).$\newline Passons \`{a}
l'int\'{e}grale qui nous int\'{e}resse :\newline $\left|
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{1}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{1}^{+\infty}}
%EndExpansion
(S(t)-S_{n}(t))t^{x}dt\right|  =%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{1}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{1}^{+\infty}}
%EndExpansion
(S(t)-S_{n}(t))t^{x}dt\leq\dfrac{4}{\sqrt{e}}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{1}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{1}^{+\infty}}
%EndExpansion
\exp(-\dfrac{nt^{{}}}{2})t^{x}dt$ que l'on peut calculer en fonction de
$\Lambda$ . On effectue le changement de variable $\;u=\dfrac{nt}{2}:\;\;$ $%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{1}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{1}^{+\infty}}
%EndExpansion
\exp(-\dfrac{nt^{{}}}{2})t^{x}dt\leq%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\exp(-\dfrac{nt^{{}}}{2})t^{x}dt=(\dfrac{2}{n})^{x+1}%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\exp(-u)u^{x}du=(\dfrac{2}{n})^{x+1}\Lambda(x).$\newline \fbox{Pour  $x>0$
fix\'{e},\ la suite $(\left|
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{1}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{1}^{+\infty}}
%EndExpansion
(S(t)-S_{n}(t))t^{x}dt\right|  )_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $0$}\newline 

\item  Avec les notations de l'\'{e}nonc\'{e}, on choisit $\lambda$ puis
$N_{1}$ puis $N_{2}.\;$Soit$\;N$ le plus grand des deux $N_{1}$ et $N_{2}$ ,
il permet , avec la lin\'{e}arit\'{e} de l'int\'{e}grale, la relation de
Chasles et l'in\'{e}galit\'{e} triangulaire : \newline $\forall n\geq N$
$\;\;\;\left|  \Phi(x)-%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=1}^{n}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
u_{k}(t)t^{x}dt\right|  =\left|
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
(S(t)-S_{n}(t))t^{x}dt\right|  <\dfrac{\varepsilon}{3}+\dfrac{\varepsilon}%
{3}+\dfrac{\varepsilon}{3}=\varepsilon$\newline 
\end{enumerate}

\item[6)] On vient de d\'{e}montrer que pour $x>0$ fix\'{e},\  la s\'{e}rie de
terme g\'{e}n\'{e}ral $%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
u_{k}(t)t^{x}dt=\dfrac{x}{2k^{x+1}}\Lambda(\dfrac{x-1}{2})$ (qui est
proportionnelle \`{a} la s\'{e}rie de Riemann $\dfrac{1}{k^{\alpha}}$ avec
$\alpha=x+1$ ) converge vers $\Phi(x).$ \ \newline On  a not\'{e} en
II4)\ $Z(x)=%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=1}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}}
%EndExpansion
$ $\dfrac{1}{2k^{x+1}}$ , d'o\`{u}:\newline \fbox{$\forall x>0\;\;\;\Phi
(x)=xZ(x)\Lambda(\dfrac{x-1}{2})$}

\item[7)] Comme $\Phi$ et $\Lambda$ sont continues sur $\left]  -1,+\infty
\right[  ,$ en particulier en $x=0$ : $\Phi(0)=\lim\limits_{x\rightarrow0}%
\Phi(x)$ et $\Lambda(-\dfrac{1}{2})=\lim\limits_{x\rightarrow0}\Lambda
(\dfrac{x-1}{2}):$\newline \fbox{$%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
S(t)dt=\Phi(0)=\dfrac{1}{2}\Lambda(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$}.\newline 

\item[8)] On constate que $:\;\;$\fbox{ $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k\geq1}^{{}}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k\geq1}^{{}}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
u_{k}(t)dt\neq%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k\geq1}^{{}}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k\geq1}^{{}}}
%EndExpansion
u_{k}(t)dt$}.\newline Un \underline{th\'{e}or\`{e}me d'int\'{e}gration terme
\`{a} terme d'une s\'{e}rie de fonctions}\  nous dit que :\newline Si une
s\'{e}rie de fonctions \  $t\rightarrow u_{k}(t)$ , continues par morceaux et
int\'{e}grables sur un intervalle\ $I$ satisfont les hypoth\`{e}ses
:\newline convergence simple de cette s\'{e}rie vers une fonction $S$ continue
par morceaux \ et\newline la  s\'{e}rie \`{a} termes positifs $%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\left|  u_{k}(t)\right|  dt$ converge \newline alors $\;S$ est int\'{e}grable
sur $I$ et $\;%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
S(t)dt=$ $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k\geq1}^{{}}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k\geq1}^{{}}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
u_{k}(t)dt.$\newline Nous avons vu en I2c) que \fbox{l'hypoth\`{e}se de
domination  $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k\geq1}^{{}}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k\geq1}^{{}}}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\dint \nolimits_{0}^{+\infty}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}}
%EndExpansion
\left|  u_{k}(t)\right|  dt<+\infty$ n'est pas satisfaite}.
\end{enumerate}
\end{document}
