\documentclass[10pt,a4paper,francais]{article}
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% tir\'e de a4wide.sty
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\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\labelenumi}{$\mathbf{\theenumi.}$}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumiii}{(\textbf{\theenumiii})}

\setlength{\leftmargini}{0pt}
\setlength{\leftmarginii}{1.2em}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%	Quelques macros

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}

\newcommand{\dps}{\displaystyle}

\newcommand{\N}{\mathbf{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbf{R}}

\newcommand{\abs}[2][]{#1\lvert #2 #1\rvert}
	% valeur absolue...

\newcommand{\into}[3][\big]{\mathopen{#1]}#2,#3\mathclose{#1[}}
	% intervalle ouvert ]#2;#3[
\newcommand{\intof}[3][\big]{\mathopen{#1]}#2,#3 #1\rbrack}
	% intervalle ouvert-ferm\'e ]#2;#3]
\newcommand{\intfo}[3][\big]{#1\lbrack #2,#3 \mathclose{#1[}}
	% intervalle ferm\'e-ouvert [#2;#3[
\newcommand{\intf}[3][\big]{#1\lbrack  #2,#3 #1\rbrack}
	% intervalle ferm\'e [#2,#3] 
\newcommand{\Intf}[3][]{#1\lbrack\!#1\lbrack#2,#3#1\rbrack\!#1\rbrack}
       %intervalle ferm\'e [|#2;#3|] pour les nombres entiers

\newcommand{\dt}[1][t]{\mathrm{d}\mspace{-0.5mu}#1}
	%	\'el\'ement diff\'erentiel dans une int\'egrale, dtpar d\'efaut

\newcommand{\ee}{\mathrm{e}}
	% le nombre e, base de l'exponentielle


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\Large
Concours \textsf{ENGEES 2000} \\
Fil\`ere Physique Chimie \\
\'EPREUVE de MATH\'EMATIQUES B\\
Dur\'ee : deux heures trente\\[3ex]
\normalsize 
\textit{Les deux parties du probl\`eme sont ind\'ependantes}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{3ex}
\begin{center}
\hrulefill\\[2ex]
\textsf{\large Partie I.
}\\[-1ex]
\hrulefill
\end{center}
%--------------------------------------------------

	Pour tout $n\in\N$, on note $\R_n[X]$ le sous-espace de l'espace vectoriel
$\R[X]$, constitu\'e des polyn\^omes de $\R[X]$ de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$.

	On consid\`ere $\Delta : \R[X]\to\R[X]$ d\'efini par :
$$
\forall P\in\R[X],\ \Delta\bigl(P\bigr)(X)=P(X+1)-P(X)
$$

	Enfin, soit $\mathcal{N}=(N_k)_{k\in\N}$ d\'efinie par $N_0(X)=1$ et
$$
\forall k\in\N^*,\
N_k(X)=\frac1{k!}\prod_{i=0}^{k-1}(X-i)=\frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!}
$$

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item	Montrer que pour tout $n\in\N$, $(N_0,\dots,N_n)$ est une base de $\R_n[X]$.
		\item	Calculer $\Delta(N_k)$ pour tout $k\in\N$.
	\end{enumerate}
	\item	Montrer que $\Delta$ est un endomorphisme de $\R[X]$. Pr\'eciser son noyau
et son image.
	\item	Soit $n\in\N$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\R_n[X]$ est stable par $\Delta$. On notera $\Delta_n$
l'endomorphisme de $\R_n[X]$ d\'efini par :
$$
\forall P\in\R_n[X],\ \Delta_n\bigl(P\bigr)(X)=P(X+1)-P(X)
$$
$\Delta_n$ est l'endomorphisme de $\R_n[X]$ induit par $\Delta$.

		\item Pr\'eciser le noyau et l'image de $\Delta_n$.
		
		\item Pr\'eciser la matrice de $\Delta_n$ relativement \`a la base
$(N_0,\dots,N_n)$. Montrer que $(\Delta_n)^{n+1}=0$.

		\item	\'Etudier si $\Delta_n$ est diagonalisable.
		
		\item	Montrer que l'ensemble $\mathcal{C}_n=\{u\in\mathcal{L}(\R_n[X]),\ 
\Delta_n\circ u=u\circ\Delta_n  \}$ est un espace vectoriel de dimension $n+1$
admettant $\bigl((\Delta_n)^j\bigr)_{j\in\Intf0n}$ comme base; on rappelle que
$(\Delta_n)^0$ d\'esigne l'application identit\'e de $\R_n[X]$.

		\item	D\'eterminer l'ensemble $\mathcal{R}_n=\{u\in\mathcal{L}(\R_n[X]),\ 
u\circ u=\Delta_n \}$.
	\end{enumerate}

	\item	Soit $P\in\R[X]$ de degr\'e $n\in\N$.
	\begin{enumerate}
		\item	Montrer que
$$
P(X)=\sum_{j=0}^{n}\Delta^j\bigl(P\bigr)(0)\,N_j(X)
$$
		\item	Montrer que pour tout $j\in\Intf0n$, on a :
$$
\Delta^j\bigl(P\bigr)(X)=\sum_{k=0}^j \binom{j}{k}(-1)^{j+k}P(X+k)
$$
		\item	Montrer l'\'equivalence des deux propri\'et\'es suivantes :
		\begin{enumerate}
			\item	pour tout $k\in\Z$, $P(k)\in\Z$;
			\item	pour tout $j\in\N$, $\Delta^j\bigl(P\bigr)(0)\in\Z$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	\item	
	\begin{enumerate}
		\item	Justifier l'existence et l'unicit\'e d'une famille de polyn\^omes
$(B_i)_{i\in\N}$ telle que :
$$
\forall i\in\N,\ \Delta\bigl(B_i\bigr)(X)=X^i\text{ et }B_i(0)=0
$$
		\item	Calculer $B_0$, $B_1$, $B_2$ et $B_3$ en fonction des polyn\^omes de
$\mathcal{N}$ (on pourra utiliser la question \textbf{4.\ a}).
		\item	En d\'eduire la valeur de $\dps\sum_{k=0}^m k^3$ pour tout $m\in\N$ (donner
cette valeur sans utiliser $B_3$ ne rapportera aucun point).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{3ex}
\begin{center}
\hrulefill\\[2ex]
\textsf{\large Partie II.
}\\[-1ex]
\hrulefill
\end{center}
%--------------------------------------------------

\begin{enumerate}
	\item \`A tout $P\in\R[X]$, on associe la s\'erie enti\`ere $F_P$ d\'efinie par :
$$
F_P(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{P(k)}{k!}x^k
$$
	\begin{enumerate}
		\item	D\'eterminer le rayon de convergence d'une telle s\'erie enti\`ere.
		\item	Pour tout $j\in\N$, en notant $P_j=j!\,N_j$, calculer la s\'erie enti\`ere
associ\'ee $F_{P_j}$.
		\item	En d\'eduire que pour tout $P\in\R[X]$, il existe un unique polyn\^ome 
$Q_P\in\R[X]$ de m\^eme degr\'e que $P$, tel que :
$$
\forall x\in\R,\ F_P(x)=\ee^x Q_P(x)
$$
		\item	Montrer que l'application $P\mapsto Q_P$ est un automorphisme de
l'espace vectoriel $\R[X]$.
		\item	Calculer $Q_P$ lorsque $P(X)=X^2+1$.
	\end{enumerate}
	
	\item	Pour tout $k\in\N$, on pose $\dps I_k=\int_0^1 N_k(t)\,\dt$ o\`u $N_k$ est
le polyn\^ome d\'efini au d\'ebut de la partie I.
	\begin{enumerate}
		\item	Calculer $I_0$, $I_1$ et $I_2$.
		\item	Justifier que, pour tout $k\in\N$, $k\geq 2$, on a :
$$
\frac1{6k^2}\leq\abs{I_k}\leq\frac1{6k}
$$
On commencera par encadrer $\abs{N_k(t)}$ pour $t\in\intf01$.

		\item	En d\'eduire le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere d\'efinie par :
$$
\varphi(x)=\sum_{k=0}^\infty I_k x^k
$$
		\item	Justifier que, pour tout $x\in\into{-1}1\setminus\{0\}$, on a :
$$
\varphi(x)=\int_0^1 (1+x)^t\,\dt=\frac{x}{\ln(1+x)}
$$
En d\'eduire que
$$
\int_0^1 \varphi(x)\,\dt[x]=\int_0^1 \frac{2^{1+t}-1}{t+1}\,\dt
$$
		\item	Montrer la convergence de la s\'erie $\sum_k I_k$.
		\item	Soit $n\in\N$, $n\geq3$; pour $t\in\intf01$, on pose
$$
f_n(t)=\prod_{i=2}^{n-1}(i-t)=(2-t)\cdots(n-1-t)
$$
		\begin{enumerate}
			\item	V\'erifier que :
$$
\ln\bigl(f_n(t)\bigr)-\ln\bigl((n-2)!\bigr) \leq (1-t)\sum_{k=1}^{n-2}\frac1k
\leq(1-t)\bigl(1+\ln(n-2)\bigr)
$$
			\item	En d\'eduire l'in\'egalit\'e :
$$
\abs{I_n}\leq\frac1{n(n-1)}\int_0^1 u(1-u)\,\ee^u(n-2)^u\,\dt[u]
$$
			\item	Conclure, \`a l'aide de deux int\'egrations par parties, que la suite
$\bigl((\ln n)^2n I_n\bigr)_{n\in\N^*}$ est born\'ee.
		\end{enumerate}
		
		\item	Montrer que la fonction $g : t\mapsto t^{-1}(\ln t)^{-2}$ est
int\'egrable sur $\intfo2{+\infty}$ et en d\'eduire que la s\'erie $\sum_k\abs{I_k}$ est
convergente.			\\
Calculer la somme $\sum_{k=0}^\infty I_k$.
	\end{enumerate}
	
	\item	Justifier l'\'egalit\'e :
$$
\int_0^1 \varphi(x)\,\dt[x]=\sum_{k=0}^\infty \frac1{k+1}I_k
$$

	\item Pour $x\in\into{-1}1$, on pose
$$
\psi(x)=
\begin{cases}
	\dps\frac{\ln(1-x)}{\ln(1+x)}		&\text{si $x\neq0$}		\\
	-1															&\text{si $x=0$}
\end{cases}
$$
Montrer que $\psi$ est d\'evelopable en s\'erie enti\`ere sur $\into{-1}1$, le rayon
de convergence de son d\'eveloppement valant 1 (on pourra utiliser $\varphi$).

\end{enumerate}
\vspace{3ex}
\begin{center}
	$\bullet$\textbf{ FIN }$\bullet$
\end{center}

\end{document}

