\documentclass{article}
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\pagestyle{fancy}
\begin{document}

%Macros perso
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
\newcommand{\scal}[2]{\left \langle #1 , #2 \right \rangle}
\newcommand{\norme}[1]{\left \| #1 \right \|}
\newcommand{\rg}[1]{\mathrm{rg} \: #1}
\newcommand{\transpose}[1]{\,^{t}#1}
\newcommand{\systeme}[1]{\left \{ \begin{array}{l}  #1 \end{array} \right.}



\lhead{ENGEES 2000, PSI Maths B}
\rhead{page \thepage}
\cfoot{}

%Num{\'e}rotation des questions
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\arabic{enumi}�)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\alph{enumii})}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\roman{enumiii}.}
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}


\begin{center}


{\'E}COLE NATIONALE DU G{\'E}NIE DE L'EAU ET DE L'ENVIRONNEMENT DE STRASBOURG

\vspace{1 cm}

\Large{CONCOURS D'ENTR{\'E}E 2000}\normalsize

\vspace{1 cm}
\underline{{\'E}PREUVE DE MATHEMATIOUES B}

\vspace{1 cm}
\textbf{FILIERE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGENIEUR}

\vspace{1 cm}
\textbf{DUR{\'E}E : 2 heures 30}

\vspace{15 mm}

\textit{\underline{N.B.} : Ce sujet comporte 3 pages de texte}

\vspace{1 cm}
\large{\textbf{Les calculatrices sont interdites.}}\normalsize

\vspace{1 cm}
\textit{\textbf{Si au cours de l'{\'e}preuve, un candidat rep{\`e}re ce qui lui semble {\^e}tre une erreur d'{\'e}nonc{\'e}. il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amen{\'e} {\`a} prendre.}}

\vspace{2 cm}
Cette {\'e}preuve comporte 2 probl{\`e}mes
\end{center}


\begin{center}\textbf{PROBLEME 1}\end{center}

Dans ce probl{\`e}me, $m$ et $n$ sont deux entiers v{\'e}rifiant $m {\geq} n > 0$, $A$ est une matrice r{\'e}elle {\`a} $m$ lignes et $n$ colonnes ; $B$ est un {\'e}l{\'e}ment de $\R^{m}$.
On identifie tout {\'e}l{\'e}ment de $E = \R^{n}$, ou de $F = \R^{m}$, avec sa matrice unicolonne associ{\'e}e dans une base canonique fix{\'e}e.
On note $(X, Y) \mapsto \scal{X}{Y}$ les produits scalaires dans les espaces euclidiens $E$ et $F$ et $X \mapsto \norme{X}$ les normes associ{\'e}es.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Ecrire en fonction des colonnes $X$, $Y$ le produit scalaire $\scal{X}{Y}$ ainsi que la norme $\norme{X}$.

\item Soit $\varphi$ une application lin{\'e}aire de $E$ dans $\R$, d{\'e}montrer qu'il existe un vecteur $U$ de $E$ tel que, pour tout $X$ de $E$, $\varphi(X) = \scal{X}{U}$.

\item Soit $f$ une application lin{\'e}aire de $E$ dans $F$, d{\'e}montrer qu'il existe une application lin{\'e}aire $g$ de $F$ dans $E$ telle que
$$\forall (X, Y) \in E \times F, \scal{f(X)}{Y} = \scal{X}{g(Y)}.$$

Si $A$ d{\'e}signe la matrice de $f$, calculer la matrice de $g$ dans les bases canoniques de $E$ et $F$.
\end{enumerate}

\item On consid{\`e}re la partie $J = \set{\norme{A X - B}^{2}, X \in \R^{n}}$ de $\R$ et on pose $K_{0} = \inf{(J)}$.
Justifier l'existence du r{\'e}el $K_{0}$, montrer que la valeur $K_{0}$ est atteinte.

\bigskip
On donne maintenant le syst{\`e}me d'{\'e}quations lin{\'e}aires ($m$ {\'e}quations, $n$ inconnues) :
\begin{center}
$(\mathcal{S})$ $A.X = B$.
\end{center}

On appelle pseudo-solution de $(\mathcal{S})$ tout {\'e}l{\'e}ment $Y$ de $\R^{n}$ v{\'e}rifiant l'{\'e}quation :
$$\norme{A.Y - B}^{2} = K_{0}$$

et l'on associe {\`a} $(\mathcal{S})$ le syst{\`e}me $(\mathcal{S'})$ $\transpose{A}.A.X = \transpose{A}.B$.


\item
\begin{enumerate}
\item D{\'e}montrer qu'un {\'e}l{\'e}ment $Y$ de $\R^{n}$ est pseudo-solution de $(\mathcal{S})$ si et seulement s'il est solution de $(\mathcal{S'})$.

(\textit{Indication :} on pourra {\'e}crire $AX - B = A(X - Y) + (AY - B)$ et poser $X - Y = t U$ o{\`u} $t$ est un r{\'e}el variable et $U$ un vecteur fix{\'e} ad{\'e}quat).

\item Soit le sous-espace de $F$ $G = \set{A X ; X \in E}$, et soit $p$ le projecteur orthogonal de $F$ sur $G$.
$Y$ {\'e}tant pseudo-solution de $(\mathcal{S})$, comparer $AY$ et $p(B)$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item D{\'e}montrer que les {\'e}quations $A.X = 0_{m}$ et $\transpose{A}.A.X = 0_{n}$ sont {\'e}quivalentes ($0_{m}$ et $0_{n}$ d{\'e}signent les colonnes nulles de $E$ et $F$) .

\item En d{\'e}duire que $\rg{(A)} = \rg{(\transpose{A}.A)}$.
\end{enumerate}

\item D{\'e}montrer que, si $A$ est de rang $n$, alors $(\mathcal{S})$ a une seule pseudo-solution.

\item On consid{\`e}re, {\`a} titre d'exemple, le syst{\`e}me $(\mathcal{S})$ 
$$\systeme{-x + z = 2 \\ 2 x + 3 y - z = 1 \\ z = -3 \\ x + 2 z = 4}$$
\begin{enumerate}
\item V{\'e}rifier que le syst{\`e}me $(\mathcal{S})$ est impossible.
\item Calculer la (ou les) pseudo-solution(s) de $(\mathcal{S})$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}\textbf{PROBL{\`E}ME 2}\end{center}

On consid{\`e}re sur $\R$, l'{\'e}quation diff{\'e}rentielle $(\mathcal{E})$ $y' (1 + x^{2}) = 1 + 3 x y$.

\begin{enumerate}
\item R{\'e}soudre $(\mathcal{E})$ ; v{\'e}rifier qu'il existe une unique fonction $g$, solution de $(\mathcal{E})$, qui admet une limite finie quand $x$ tend vers $+{\infty}$.
\item Calculer et {\'e}tudier le signe de la d{\'e}riv{\'e}e $g'$ de $g$.
\item Etudier la limite {\'e}ventuelle de $\dfrac{g(x)}{x^{3}}$ quand $x$ tend vers $-{\infty}$. Etudier s'il existe une courbe {\'e}l{\'e}mentaire polynomiale
asymptote.
\item Repr{\'e}senter graphiquement la fonction $g$ avec ses asymptotes.
\end{enumerate}

\end{document}
