%%%%%%%%%%%%%%%%%  Ecole de l'Air 2000-MP2. Jean Gu\'egand
%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
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    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\def \Frac#1#2{{\displaystyle#1\over\displaystyle#2}}
\def \R{\hbox{I\kern -1.8pt R}}			
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% DEBUT
%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%
\smallskip\centerline{ Deuxi\`eme \'epreuve MP, Ecole de l'Air, 2000}
\smallskip\centerline{ \gros Structures rigides.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\smallskip   Remarque pr\'eliminaire  :  Nous noterons comme le texte $.$ le produit
scalaire des espaces euclidiens (de dimension $2$ ou $3$ utilis\'es) et
$|| . ||$  la norme euclidienne associ\`ee et qui permet de d\'efinir la distance $d$
euclidienne dont on parle dans ce probl\`eme. 
\smallskip  La distance entre deux points $M$ et $N$ est not\'ee $MN = d(M,N) = ||
\overrightarrow{MN}||$.
\smallskip  Notons aussi le  fait que l'\'enonc\'e suppose tacitement les longeurs $l$ ou
$L$ du texte {\bf strictement} positives.
\smallskip 
Nota bene :  Il est indispensable de compl\'eter ce corrig\'e des figures (\'evidentes
\`a r\'ealiser) illustrant les diverses questions, ce qui est laiss\'e \`a la charge du
lecteur. 
\bigskip 
\bigskip  

                                    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\smallskip  { \bf $1^{\circ}$)}     
%%(Figure /\\)
 Pour tout $\epsilon\in ]0,L[$, on
peut modifier le triangle \'equilat\'eral initial en un triangle  isoc\`ele avec
$AB = AC = L$ et $BC = L-\epsilon$ o\`u $\epsilon $ arbitrairement petit.

                                    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip  { \bf $2^{\circ}$)}  On additionne les d\'eveloppements de :
\smallskip\centerline{
$||\overrightarrow{AB}||^2 = || \overrightarrow{AO} +  \overrightarrow{OB}||^2 =
 AO ^2 + OB^2+ 2 \overrightarrow{AO},
\overrightarrow{OB}\rangle$}
 et $||CB||^2 =  CO ^2 + OB^2+ 2 \overrightarrow{CO},
\overrightarrow{OB}\rangle$. On coclut en additionnant et avec $
\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{ OB} = \vec O$ ($O$ milieu de $[A,C]$).
D'o\`u la formule souhait\'ee.

\smallskip  On en d\'eduit $2 OB^2 + L^2 \leq 2 L^2$  et $OB\leq \Frac{L}{\sqrt2}$. 
\smallskip   Le
calcul est identique pour prouver  $OD\leq \Frac{L}{\sqrt2}$. en \'echangeant $B$
et $D$ ci-dessus.

\smallskip  Par l'in\'egalit\'e triangulaire $ L\sqrt2 = BD 
\leq BO +   OD\leq L\sqrt2 $. D'o\`u n\'ecessairement $BO = OD=
\Frac{L}{\sqrt2}$ (si l'une des in\'egalit\'es pr\'ec\'edentes \'etait stricte, on ne
pourrait avoir l'\'egalit\'e pour la somme).

\smallskip  Donc $O$ est aussi le milieu de $[B,D]$  : et $ABCD$ est un
parall\'elogramme.

\smallskip  En raisonnant dans les triangles isoc\`eles  $AOB$ et $BOC$, si les
diagonales n'\'etaient pas orthogonales, l'un de ces triangle aurait un de ses
c\^ot\'es de longueur $> L$ ce qui est absurde. Par suite les diagonales du
parall\'elogramme se coupent "\`a angle droit", et $ABCD$ est un carr\'e.


                                    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip  { \bf $3^{\circ}$)} On peut supposer  $\alpha \in [0,2\pi[$ (le cas
$\alpha = 2\pi$ est identique \`a celui $\alpha = 0$). On distingue trois cas
(faire  trois figures) :

\smallskip  Premier cas : $\alpha \in [0,\Frac{2\pi}3]$. En raisonnant dans
les triangles isoc\`eles $BOA$ et $AOC$, on a : $\Frac{\alpha}2 \in
[0,\Frac{\pi}3]$ et $\Frac{\pi}3-\Frac{\alpha}2 \in [0,\Frac{\pi}3]$

\smallskip\centerline{$AB = 2L\sin(\Frac{\alpha}2) \leq L\sqrt3$,  $AC = 2L
\sin(\Frac{\pi}3-\Frac{\alpha}2 ) \leq L\sqrt3$.}

\smallskip  Deuxi\`eme cas : $\alpha \in [\Frac{2\pi}3, \Frac{4\pi}3]$.

On raisonne dans le triangle isoc\`ele  $COA$. On pose $\theta = \alpha -
\Frac{2\pi}3$. 
\smallskip  On a $AC = 2 L \sin(\Frac{\theta}2 )\leq L\sqrt3$.

\smallskip   Mais dans le triangle isoc\`ele  $AOB$,  si   $\theta ' = 2\pi -\alpha$.
$AB = 2 L \sin(\Frac{\theta'}2) = 2L \sin(\Frac{\alpha}2) \geq L\sqrt3$, avec
\'egalit\'e seulement pour $\alpha =\Frac{4\pi}3$.

\smallskip  Troisi\`eme cas : $\alpha \in ]\Frac{4\pi}3, 2\pi[$.  On raisonne dans le
triangle isoc\`ele  $COA$, et cette fois  $AC >L\sqrt3$.

\smallskip  Bilan : Partant de $\alpha_0 = \Frac{4\pi}3$, pour $\alpha \in
[\Frac{2\pi}3, 2\pi[$,  voisin et diff\'erent de $\alpha_0$, l'une des
in\'egalit\'e des fils n'est pas v\'erifi\'ee.

\smallskip  Remarque :  un dessin plus "l'\'evidence g\'eom\'etrique"  permettent sans doute 
d'affirmer directement (sans tous les d\'etails pr\'ec\'edents) que $AB\leq L \sqrt3$
si et seulement si $0\leq\alpha\leq\Frac{2\pi}3$ ou $\Frac{4\pi}3\leq \alpha \leq 2\pi$.



\smallskip  {\bf Conclusion : }la structure plane propos\'ee est rigide.

\smallskip  En revanche dans l'espace la structure n'est pas rigide car il suffit de
consid\'erer un d\'eplacement du point $A$  dans le plan m\'ediateur de $[B,C]$
sur la sph\`ere de centre $O$ et de rayon $L$ (c'est-\`a dire le long d'un grand
cercle : faire une figure) : une telle modification convient et permet de
modifier arbitrairement faiblement les longueurs\dots (\`a pr\'eciser si
n\'ecessaire\dots).



                                    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip  { \bf $4^{\circ}$)} Tacitement $L>0$.  Il faut comprendre que tacitement
$\vec u = \overrightarrow{OA}$, etc.

\smallskip   $\bullet$ Commen\c{c}ons par remarquer que la famille $(\vec u,\vec v,\vec w)$
est li\'ee ($3$ vecteurs d'un plan), et il existe $(a,b,c)\in\R^3$ diff\'erent de
$(0,0,0)$ tel que $a \vec u + b \vec v+c \vec w = \vec 0$.

\smallskip   Si $(\vec u,\vec v)$ \'etait li\'ee, on aurait ici (cf longueurs) $\vec v = \vec
u$ ou
$\vec v = -\vec u$ mais alors $\vec v.\vec  w$ et $\vec u.\vec w$ de signes
contraires et on a une contradiction. Donc
$c
\not = 0$  et par permutation de $\vec u,\vec v, \vec w$ les trois r\'eels  $
a,b,c$ sont non nuls.

\smallskip  Etablissons alors le lemme suivant (utile aussi pour la question
suivante ):
\smallskip  {\bf Lemme } Si $(e_1,\dots e_p)$ est une famille de vecteurs de l'espace
euclidien
$(E,.)$ tels que $e_i . e_j \leq 0$ pour $i\not = j$, alors pour tous r\'eels
$x_1,\dots x_p$, on a :
 $|| \displaystyle \sum_{i=1}^p |x_i| e_i|| \leq||\displaystyle \sum_{i=1}^p x_i e_i| |$.

\medskip  En effet en d\'eveloppant la diff\'erence des normes au carr\'e on a :
\smallskip  $||\displaystyle \sum_{i=1}^p x_i e_i| |^2 - || \displaystyle \sum_{i=1}^p |x_i| e_i||^2 =
\sum_{i\not= j} (x_i x_j - |x_i|[x_j|) e_i . e_j \geq 0$ comme somme de termes
tous positifs (s'en convaincre\dots).

\smallskip  Par suite ici on a $|| |a| \vec u+|b|\vec  v+|c| \vec w || \leq 0$ et donc 
$|a| \vec u+|b| \vec v+|c|\vec w = \vec 0$ et on a bien le r\'esultat voulu en
rempla\c{c}ant $a$ par $|a|>0$ et idem pour $b$ et $c$.


\smallskip  $\bullet$  On obtient l'in\'egalit\'e demand\'ee 
en appliquant l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz usuelle dans
$\R^3$ muni de son produit scalaire canonique, pour les deux triplets : 
$(a,b,c)$ et $(b,c,a)$.

\smallskip  De plus on aura \'egalit\'e si et seulement si ces deux triplets sont li\'es,
c'est-\`a dire ici compte-tenu de $a,b, c$ dans $\R_+^*$, $\Frac{a}{b} =
\Frac{b}{c} = \Frac{c}{a}$, ce qui \'equivaut facilement \`a
$a=b=c$.

 
\smallskip  $\bullet$ Maintenant on d\'eveloppe :
\smallskip\centerline{$0 = || a\vec u + b\vec v+ c \vec w|| ^2 =
(a^2+b^2+c^2 )L^2 + ab(2\vec u. \vec v) + b c (2\vec u.\vec w) + a c (2\vec
v.\vec w) $}
\smallskip   et par l'in\'egalit\'e pr\'ec\'edente :
 $0 \geq ab(2\vec u.\vec v + L^2) + b c (2\vec u.\vec w+ L^2) + a c (2\vec
v.\vec w+ L^2)
$.

\smallskip  $\bullet$ Pour conclure on on utilise les in\'egalit\'es correspondantes aux
fils :

\smallskip  $|| \vec u - \vec v||^2 = ||u||^2 + || v||^2 - 2\vec u.\vec v \leq 3 L^2$
entra\^{\i}ne 
$2\vec u.\vec v + L^2\geq  0$ et de m\^eme pour les deux autres termes.

\smallskip  En reprenant l'in\'egalit\'e pr\'ec\'edente avec $ab>0$, etc, on a
n\'ecessairement $ 2\vec u.\vec v + L^2 = 0$ et de m\^eme pour les deux autres
termes. En effet si l'un de ces termes \'etait $>0$, l'in\'egalit\'e pr\'ec\'edente serait
fausse.

Par suite : $\vec u.\vec v = - \Frac{L^2}2 = \vec u.\vec w = \vec v. \vec w$.

\smallskip  Cela conduit au cosinus des angles  valant $-\Frac12$ et le triangle des
sommets est \'equilat\'eral.  La structure propos\'ee (avec barres et fils) ne
peut pas \^etre "modifi\'ee".

\smallskip  {\bf Conclusion : } la structure propos\'ee est rigide.


                                    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip  { \bf $5^{\circ}$)} C'est \`a peu pr\`es pareil qu'en $4^{\circ}$.
\smallskip  $\bullet$ On montre l'existence de $a,b,c,d\in\R_+^*$ pratiquement comme
ci-dessus : remarquons d\'ej\`a que  la famille $(\vec u,\vec
v,\vec w,\vec t)$ est li\'ee ($4$ vecteurs de l'"espace", de dimension $3$), et il
existe
$(a,b,c,d)\in\R^4$ diff\'erent de
$(0,0,0,0)$ tel que $a \vec u + b \vec v+c \vec w + d \vec t = \vec 0$.

\smallskip  Gr\^ace au lemme de la question
pr\'ec\'edente, ici on a $|| |a| \vec u+|b|\vec  v+|c| \vec w + |d|\vec t|| \leq 0$
et donc 
$|a| \vec u+|b| \vec v+|c|\vec w + |d|\vec t= \vec 0$.
\smallskip  Enfin si l'un des termes par exemple $|a|$ \'etait nul, en faisant le produit
scalaire par $\vec u$, on obtient une somme de trois termes n\'egatifs donnant
$0$ : $ |b| \vec v.\vec u +|c|\vec w.\vec u + |d|\vec t.\vec u =  0$  et $|b|
\vec v.\vec u =|c|\vec w.\vec u = |d|\vec t.\vec u= 0$ conduit \`a $a= b=c=d = 0$
ce qui est exclu. 
\smallskip  En conclusion : on a bien le r\'esultat voulu en
rempla\c{c}ant $a$ par $|a|>0$ et idem pour $b$, $c$ et $d$.

\smallskip  $\bullet$ On \'ecrit : 
$ (a+b+c+ d)^2 = (a^2+b^2+c^2+ d^2)  + 2(ab+bc+ac+
ad+ bd+cd)$, et  par cons\'equent l'in\'egalit\'e demand\'ee revient \`a justifier  :
\smallskip\centerline{$(a+b+c+d)^2 \leq 4(a^2+b^2+c^2) $ }
\smallskip  ce qui r\'esulte simplement de l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz usuelle 
dans
$\R^4$ muni de son produit scalaire canonique, pour les deux quadruplets :
$(a,b,c,d)$ et $(1,1,1,1)$.
\smallskip  (Remarque : on peut aussi montrer cette in\'egalit\'e en consid\'erant un trin\^ome
du second degr\'e en $d$.

\smallskip  De plus on aura \'egalit\'e si et seulement si ces deux quadruplets sont li\'es,
c'est-\`a dire ici compte-tenu de $a,b, c,d$ dans $\R_+^*$,
$a=b=c=d$.

 
\smallskip  $\bullet$ Maintenant on d\'eveloppe :
$0 = || a\vec u + b\vec v+ c \vec w+ d\vec t|| ^2$ ce qui donne :
\smallskip\centerline{$
(a^2+b^2+c^2+ d^2 )L^2 + ab(2\vec u. \vec v) + b c (2\vec u.\vec w) + a c (2\vec
v.\vec w) + ad(2\vec u.\vec t)+ bd(2\vec v.\vec t)+cd (2\vec w.\vec t)$}
\smallskip   et par l'in\'egalit\'e pr\'ec\'edente :
 \smallskip\centerline{$0 \geq 2ab(\vec u.\vec v + \Frac{L^2}3) + 2b c (\vec u.\vec w+ 
\Frac{L^2}3) + 2a c (\vec u.\vec w + \Frac{L^2}3)+ 2ad(\vec u.\vec t
+\Frac{L^2}3)+2 bd(\vec v.\vec t+ \Frac{L^2}3)+2cd (\vec w.\vec t+ \Frac{L^2}3)
$.}

\smallskip  $\bullet$ Pour conclure on on utilise les in\'egalit\'es correspondantes aux
fils :

\smallskip  $|| \vec u - \vec v||^2 = ||u||^2 + || v||^2 - 2\vec u.\vec v \leq \Frac83
L^2$ entra\^{\i}ne 
$\vec u.\vec v +\Frac{L^2}3\geq  0$ et de m\^eme pour les deux autres termes.

\smallskip  En reprenant l'in\'egalit\'e pr\'ec\'edente avec $ab>0$, etc, on a
n\'ecessairement $ \vec u.\vec v +\Frac{L^2}3 = 0$ et de m\^eme pour les autres
termes. En effet si l'un de ces termes \'etait $>0$, l'in\'egalit\'e pr\'ec\'edente serait
fausse.

Par suite : $\vec u.\vec v = - \Frac{L^2}3 = \vec u.\vec w = \vec v. \vec w = \vec u.\vec t
=\vec v.\vec t =\vec w.\vec t$.

\smallskip  Cela conduit au cosinus des angles  valant $-\Frac13$ donc les angles des
droites portant les barres (mesur\'es dans $[0,\pi]$ constants et le
t\'etra\`edre est rigide puisque la structure propos\'ee
(avec barres et fils) ne peut pas \^etre "modifi\'ee".

\smallskip  {\bf Conclusion : } la structure propos\'ee est rigide.

                                 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip  { \bf $6^{\circ}$)}
 Nota bene : la r\'esolution propos\'ee sugg\`ere d'utiliser la notion de
matrice de Gram qui, m\^eme si elle est bien connue, n'est pourtant pas au
programme.

\smallskip  Consid\'erons donc cette matrice de Gram : $M = Gram(
\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC},
\overrightarrow{OD})$ dont nous sous-entendons comme l'\'enonc\'e la connaissance par
les candidats. 

Comme la famille $(
\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC},
\overrightarrow{OD})$ est li\'ee dans l"espace "
ambiant  de dimension $3$, il est "classique" que son d\'eterminant est nul (si
par exemple $ \overrightarrow{OD }= a  \overrightarrow{OA }+ b 
\overrightarrow{OB} = c 
\overrightarrow{OC}$, on montre facilement que  la quatri\`eme colonne de $M$ vaut
$C_4 = a C_1 + b C_2 + c C_3$, et $det(M) = 0$.

Posons $OA = x, OB = y , OC = z , DA = x',  DB = y' ,  DC = z' $
avec $x,  y , z , x', y' , z' $
positifs et repr\'esentant les distances variables (longueurs des cordes) de
l'\'enonc\'e,  et prises dans $[0,1]$.

Afin de remplir $M$, il faut calculer les diff\'erents produits scalaires
$\overrightarrow{e_i} .\overrightarrow{ e_j}$ en notant $ \overrightarrow{e_1}
=  \overrightarrow{OA} ,
\overrightarrow{ e_2 }=  \overrightarrow{OB},  \overrightarrow{e_3 }= 
\overrightarrow{OC},
\overrightarrow{ e_4} =  
\overrightarrow{OD}$.

\smallskip  Il s'agit de comprendre comment calculer ces diff\'erents
produits scalaires et uniquement au moyen des distances variables (ce qui n'est
a priori non \'evident). Cela provient des contraintes des barres.

\smallskip  Pr\'ecisons  :  $\overrightarrow{0A}.\overrightarrow{ OA}= x^2$. 
\smallskip   Pour $\overrightarrow{0A}.\overrightarrow{ OB}$, on \'ecrit   $1 = ||
\overrightarrow{AB}||^2 = ||\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}||^2 = OB^2 +
OA^2 - 2
\overrightarrow{ OA}.\overrightarrow{OB}$, d'o\`u :
$\overrightarrow{0A}.\overrightarrow{ OB} =  \Frac{x^2 +y^2  -1}2$ et ainsi de
suite\dots
\smallskip  Pour les derni\`eres lignes et colonne on utilise la contrainte :
$OD^2 = \Frac83 $ .
\smallskip  D'o\`u $\overrightarrow{0A}.\overrightarrow{ OD}= OA^2 + \overrightarrow{0A}.
\overrightarrow{AD}= OA^2 +\Frac{OD^2 - OA^2 - AD^2}2= \Frac{x^2 - x'^2}2 +
\Frac43 $

et des calculs analogues pour les autres termes, ce qui permet imm\'ediatement de
voir que les diff\'erents coefficients de la matrice de Gram s'\'ecrivent tous en
fonction des inconnues donn\'ees par l'\'enonc\'e, et d'elles seules.
 
\smallskip  Comme en fait ce sont les carr\'es des distances qui interviennent, pour
simplifier, notons $X = x^2, Y = y^2, Z= z^2, X' = x'^2, Y' = y'^2, Z' =
z'^2$. Apr\`es calcul  :
\smallskip\centerline{$ M = \Frac12 \pmatrix{2X & X  +Y-1    & X +Z -1    & X- X' + \Frac83 \cr
                          X+ Y -1 &    2 Y&  Y+Z-1   &  Y - Y' + \Frac83 \cr
                          X+ Z -1 &   Y+Z-1  &2 Z   &  Z - Z' + \Frac83 \cr
      X - X' + \Frac83 & Y - Y' + \Frac83 &Z - Z'+ \Frac83  &  \Frac{16}3\cr}$}

\smallskip  Par suite en d\'eveloppant $det(M) $ s'exprime comme un polyn\^ome des $6$
variables $X,Y,Z,X',Y',Z'$,  et que nous noterons : $P(X,Y,Z,X',Y',Z')$.
(l'expression est suffisamment compliqu\'ee (cinq lignes \`a l'\'ecran) pour que l'on
ne vous la donne pas, si vous \^etes curieux utiliser (comme nous)  Maple et
comptez le nombre de termes obtenus\dots)

\smallskip  Ainsi pour toutes une structure construite donn\'ee avec les param\`etres et
contraintes pr\'ec\'edents, il doit exister un $6$-uplet correspondant dans la
partie de $\R^6$ :

\smallskip\centerline {$ \Delta = \{ (X,Y,Z,X',Y',Z')\in [0,1]^6 /
P(X,Y,Z,X',Y',Z') = 0\}$.}

\smallskip  Notre seule certitude pour l'instant est que $\Omega = (1,1,1,1,1,1)$
est dans $\Delta$, puisqu'au d\'epart les six fils ont comme longueur $1$.

\smallskip  Pour montrer que cette structure est rigide, gr\^ace \`a la d\'efinition (\`a
bien  comprendre, et formaliser ici),  nous allons montrer que si $\omega =
(X,Y,Z,X',Y',Z')\in \Delta $ est suffisamment voisin de $\Omega$, alors il
est \'egal \`a $\Omega$.

\smallskip  Pour cela on utilise un d\'eveloppement limit\'e d'ordre $1$ de $P$
(polyn\^ome donc de classe $C^1$ sur $\R^6$ au voisinage de $\Omega$ : posons
$H = \omega - \Omega$ en remarquant que $P(\Omega) = 0$).
\smallskip\centerline{$P(\omega) = P(\Omega+ H)  = df(\Omega)(H) +
\circ(||H||)$}
\smallskip  Or par un calcul (simplifi\'e par la connaissance de la d\'erivation d'une
fonction compos\'ee par une application multilin\'eaire), on obtient (on fait
confiance \`a Maple)
$\Frac{\partial P}{\partial X}(\Omega) = \Frac13$,
et les autres d\'eriv\'ees partielles en $\Omega$ valent aussi aussi $\Frac13>0$
 (v\'erifier).

\smallskip  Par suite pour $\omega \in \Delta $ suffisamment voisin de $\Omega$, et
diff\'erent de $\Omega$, les composantes de $H $ \'etant n\'egatives ou nulles,
et l'une au moins non nulle, le signe de  $P(\Omega+ H) $ est en fait celui
de $df(\Omega)(H)$ c'est-\`a dire strictement n\'egatif (s'en convaincre en
explicitant le terme $ \circ(||H||)$ ), en contradiction avec
$\omega \in \Delta $. 

D'o\`u la conclusion de cette question  pour le moins mal
pos\'ee.

\smallskip  {\bf Conclusion : } La structure propos\'ee est {\bf rigide}.

                            %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip  { \bf $7^{\circ}$)}  Il n'est pas du tout rigide ce cube... il suffit d'une
bonne intuition g\'eom\'etrique (et une compr\'ehension des "modifications" mises en
jeu) et penser \`a soulever deux ar\^etes verticales oppos\'ees en les ramenant
l\'eg\`erement vers l'int\'erieur pour que les contraintes de barres soient
respect\'ees, et en gardant les
$4$ autres sommets fixes. Le cube se d\'eforme en r\'eunion de deux pyramides
ayant comme base le carr\'e form\'e par les ar\^etes non d\'eplac\'ees  ("effet
papillon") il y a alors deux diagonales
conserv\'ees, et le calcul prouve que les deux autres sont raccourcies...

Pr\'ecisons tout cela : Consid\'erons la structure form\'ee d'un cube dont les
ar\^etes sont des barres de longueur $L >0$.A une homoth\'etie (de rapport $L$) et
une translation pr\`es, on peut supposer $L = 1$ et que l'un des sommets du cube
est l'origine d'un rep\`ere orthonormal ${\cal R}$ tels les sommets
$A,B,C,D,A',B',C',D'$  aient comme coordonn\'ees respectives  : 
\smallskip\centerline{$(0,0,0) ; (1,0,0) ; (0,1,0) ; (1,1,0); (0,0,1) ; (1,0,1) ;
(0,1,1) ; (1,1,1)$} 

%%On part du cube dont les sommets sont $A  :(0,0,0), B(1,0,0),C(0,1,0),
%%D(1,1,0)$ et $A', B', C', D'$, les points de cote $1$  ayant m\^eme abscisse et
%%m\^eme ordonn\'ee que $A, B, C$ et $D$.
           
 \smallskip  On "soul\`eve" la barre $AA'$, c'est-\`a-dire que l'on change $A$ en $W$
de coordonn\'ees $(\epsilon ,\epsilon ,z)$,  et $A'$ en $W' : (\epsilon ,\epsilon ,1 + z)$, avec $\epsilon ,z$ dans
$[0,1]$.  En traduisant $WB^2$,etc, on v\'erifie que les contraintes des barres
sont r\'ealis\'ees, si et seulement si $2\epsilon ^2 - 2\epsilon  + z^2 = 0$, ce que l'on supposera
d\'esormais (ce qui conduit \`a $z = \sqrt{2\epsilon (1-\epsilon )}$).

Pour un calcul sym\'etrique des longueurs des deux autres diagonales, on "soul\`eve"
en m\^eme temps la barre $DD'$, c'est-\`a-dire que l'on change $D$ en $V$
de coordonn\'ees $(1-\epsilon ,1-\epsilon ,z)$,  et $d'$ en $V' : (1-\epsilon ,1-\epsilon ,1 + z)$,
les sommets $B,B',C,C'$ restent inchang\'es.
 
Alors les deux diagonales $BC'$ et $CB'$ sont inchang\'ees, pendant que les deux
autres v\'erifient :
$ WV'^2 = VW'^2 = 2(1-2\epsilon )^2 + 1 = 3- 8\epsilon (1-\epsilon ) < 3$ pour $\epsilon \in ]0,1[$
arbitrairement petit.

\smallskip  {\bf Conclusion: } La structure cubique propos\'ee n'est  pas rigide.
 
           
\bigskip  Remarques finales : 1) Le d\'eplacement pr\'ec\'edent revient finalement \`a faire
tourner les triangles \'equilat\'eraux initiaux $ABC$ et $DCB$ autour de $BC$, et
$A'B'C'$ et
$D'C'B'$ autour de $B'C'$, avec des fils $AD'$ et $DA'$ (pratiquemement il faut
bien placer ces fils au dessus des ar\^etes fixes)  Si on effectue le d\'eplacement
pr\'ec\'edent en faisant varier
$\epsilon $ de
$0$ \`a
$\Frac1{\sqrt2}$, en final, on a repli\'e contin\^ument la boite cubique dans le plan
contenant
$BB'CC'$ en ayant couch\'e sur ce plan les triangles \'equilat\'eraux pr\'ec\'edents.
\smallskip  2) Il faut envisager ce type de d\'eplacement (qui ici transforme le
cube en un poly\`edre non convexe) pour conclure, car par
exemple toute modification du cube en un parall\'elip\`ede casse les fils (faites
les calculs).


                            %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\smallskip\centerline{\bf FIN}

\bye

