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\title{Ecole de l'air - 2000 - PC/PSI  :  corrig\'e.} \date{} 
\input upsnum.sty
\begin{document}


\maketitle   
\fbox{S\'erie enti\`ere dont les coefficients sont donn\'es par la suite de Fibonacci et s\'eries extraites.}
\begin{flushright} Ch Cumenge  \end{flushright} 
\bigskip
\bigskip
\newcommand{\fraction}[2]{\frac{\displaystyle{#1 }}{\displaystyle{#2 }}} 
 
\bf 1.a)\rm La suite de Fibonacci v\'erifie une relation de r\'ecurence lin\'eaire portant sur les deux termes pr\'ed\'ecesseurs, et est donc d\'etermin\'ee par $F_{0}$ et $F_{1}$; l'encadrement propos\'e est v\'erifi\'e pour $n=0$ et $n=1$ , et s'\'etend trivialement par r\'ecurrence. \\ 
Comme  $\mid F_{n}.z^{n}\mid \leq (2\mid z\mid )^{n}$ , la s\'erie  $\sum_{}^{}F_{n}z^{n}$ converge si $\mid z\mid<\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{2}}$ , donc $R\geq \frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{2}}$.\\
\bf 1.b) \rm $r_{a}=\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{\mid a\mid}}$  si  $a\neq0$  et  $r_{a}=+\infty $  si  $a=0$  (s\'erie nulle). \\
Si $\mid z\mid<\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{\mid a\mid}}$ , $S_{a}(z)=a\sum_{n=0}^{\infty }(az)^{n}=\frac{\displaystyle{a}}{\displaystyle{1-az}}$ . \\
\bf 1.c) \rm Si $\mid z\mid <R$ , les s\'eries enti\`eres concern\'ees sont absolument convergentes, ce qui permet d'\'ecrire : \\
\centerline{$\sum_{n=0}^{\infty }F_{n}z^{n}=1+z+\sum_{n=2}^{\infty }(F_{n-1}+F_{n-
2})z^{n}=1+(z+z.\sum_{q=1}^{\infty }F_{q}z^{q})+z^{2}.\sum_{q=0}^{\infty }F_{q}z^{q}$}
\centerline{d'o\`u  : $\Phi (z)=1+z.\Phi (z)+z^{2}.\Phi (z)$. }
On en d\'eduit  $\Phi (z)(1-z-z^{2})=1$ ; les valeurs qui annulent le trin\^ome sont  $\alpha _{1}=-(1+\sqrt[]{5})/2$  et  $\beta _{1}=(-1+\sqrt[]{5})/2$ ; on notera que ceci entraine la divergence de la s\'erie enti\`ere pour $\mid z\mid=(\sqrt[]{5}-1)/2$ , et donc  $R\leq (\sqrt[]{5}-1)/2$ ! Il reste \`a arranger un peu la d\'ecomposition en \'el\'ements simples de $\Phi (z)$.
\begin{displaymath}
\Phi (z)=\cfrac{-1}{(z-\alpha _{1})(z-\beta _{1})}=\cfrac{1}{\beta _{1}-\alpha _{1}}(\cfrac{1}{z-\alpha _{1}}-\cfrac{1}{z-\beta _{1}})=\cfrac{-1}{\alpha _{1}(\beta _{1}-\alpha _{1})}(\cfrac{1}{1-z/\alpha _{1}})+\cfrac{1}{\beta _{1}(\beta _{1}-\alpha _{1})}(\cfrac{1}{1-z/\beta _{1}})   
\end{displaymath}
Or $\alpha _{1}.\beta _{1}=-1$ d'o\`u  $1/\alpha _{1}=-\beta _{1}$ et $1/\beta _{1}=-\alpha _{1}$ ; on obtient : 
\begin{displaymath} 
\Phi (z)=\cfrac{\beta _{1}}{\beta _{1}-\alpha _{1}}(\cfrac{1}{1-(-\beta _{1})z})+\cfrac{-\alpha _{1}}{\beta _{1}-\alpha _{1}}(\cfrac{1}{1-(-\alpha _{1})z})=\cfrac{1}{\beta -\alpha }(\cfrac{-\alpha }{1-\alpha z}+\cfrac{\beta }{1-\beta z})
\end{displaymath}
ceci en posant  $\alpha =-\beta _{1}=(1-\sqrt[]{5})/2$  et  $\beta =-\alpha _{1}=(1+\sqrt[]{5})/2$. Il s'agit de l'expression recherch\'ee.\\ 
L'unicit\'e provient de l'unicit\'e de la d\'ecomposition en \'el\'ements simples. \\
\bf 1.d) \rm
$\alpha +\beta =1$ , $\alpha .\beta =-1$ et $\beta -\alpha =\sqrt[]{5}$ .\\ 
La relation   $F_{n}=\frac {\displaystyle{\beta ^{n+1}-\alpha^{n+1}}}{\displaystyle{\sqrt[]{5}}}$ se v\'erifie sans probl\`eme par r\'ecurrence en remarquant que $\alpha $ et $\beta $ sont les deux racines de l'\'equation  $x^{2}-x-1=0$ , \'equation caract\'eristique de la relation de r\'ecurrence de Fibonacci.\\
R\'eciproquement  $F_{0}=1=\frac{\displaystyle{\beta -\alpha }}{\displaystyle{\sqrt[]{5}}}$ donc $\beta -\alpha =\sqrt[]{5}$  et  $F_{1}=1=\frac{\displaystyle{(\beta -\alpha )(\beta +\alpha )}}{\displaystyle{\sqrt[]{5}}}$  donc $\alpha +\beta =1$  ce qui donne  $\alpha =\frac{\displaystyle{1-\sqrt[]{5}}}{\displaystyle{2}}$  et  $\beta =\frac{\displaystyle{1+\sqrt[]{5}}}{\displaystyle{2}}$. 
\it (remarque : formulation de la question un peu alambiqu\'ee)\rm \\ 
\bf 1.e) \rm 
$F_{-1}=0$ .  
On applique la r\`egle de d'Alembert : $R=\underset{n\rightarrow \infty }{lim} \mid \frac{\displaystyle{F_{n}}}{\displaystyle{F_{n+1}}} \mid = \underset{n\rightarrow \infty }{lim} \frac{\displaystyle{\beta ^{n}-\alpha ^{n}}}{\displaystyle{\beta ^{n+1}-\alpha ^{n+1}}}$. \\ 
Or  $\beta >\mid \alpha \mid $ d'o\`u  $\beta ^{n}-\alpha ^{n} \underset{n\rightarrow \infty }{\sim }\beta ^{n}$  et  $R=\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{\beta }}$ . L'in\'egalit\'e qui suit est imm\'ediate.\\ 

\bigskip
\bf 2.a) \rm On calcule les deux membres :  \begin{eqnarray*}
(\beta -\alpha )^{2}F_{n}^{2}&=&5.(\frac{\displaystyle{\beta ^{n+1}-\alpha ^{n+1}}}{\displaystyle{\sqrt[]{5}}})^{2}=(\beta ^{n+1}-\alpha ^{n+1})^{2}\\&=&\beta ^{2n+2}+\alpha ^{2n+2}-2(\alpha \beta )^{n+1}=\beta ^{2n+2}+\alpha^{2n+2}+2.(-1)^{n}\\
(\beta -\alpha )^{2}F_{n-1}F_{n+1}&=&(\beta ^{n}-\alpha {n}).(\beta ^{n+2}-\alpha ^{n+2})=\beta ^{2n+2}+\alpha ^{2n+2}-(\alpha \beta )^{n}(\beta ^{2}+\alpha ^{2})\\ &=&\beta ^{2n+2}+\alpha ^{2n+2}-(-1)^{n}(\beta ^{2}+\alpha ^{2})=\beta ^{2n+2}+\alpha ^{2n+2}-3.(-1)^{n} \end{eqnarray*}
En soustrayant : $5(F_{n}^{2}-F_{n+1}F_{n-1})=5.(-1)^{n}$ d'o\`u  :\\ 
\centerline{$\forall n \in {\mathbb N} $ ,avec $F_{-1}=0$ , $F_{n}^{2}-F_{n+1}F_{n-1}=(-1)^{n}$ .}
\bf 2.b) \rm 
Effectuons une r\'ecurrence sur  k  \`a  n  fix\'e : imm\'ediat pour $k=0$ , pour $k=1$ on retrouve la relation de Fibonacci , et on v\'erifie "l'h\'er\'edit\'e" sur les deux termes pr\'edecesseurs. \begin{eqnarray*} 
F_{n+k+1}=F_{n+k}+F_{n+k-1}&=&(F_{k}F_{n}+F_{k-1}F_{n-1})+(F_{k-1}F_{n}+F_{k-2}F_{n-1})\\&=&(F_{k}+F_{k-1})F_{n}+(F_{k-1}+F_{k-2})F_{n-1}=F_{k+1}F_{n}+F_{k}F_{n-1} 
\end{eqnarray*}
A k fix\'e et pour $n\rightarrow \infty $ , le rapport  $\mid \frac{\displaystyle{F_{n+k}}}{\displaystyle{F_{n+k+1}}} \mid $ tend toujours vers $\frac{\displaystyle{1}}{\displaystyle{\beta }}=R$ donc le rayon de convergence est toujours R. \\
Pour $0<\mid z\mid<R $ , toutes les s\'eries enti\`eres consid\'er\'ees convergent absolument et l'on peut \'ecrire (en tenant compte de $F_{-1}=0$) : \\ 
\centerline{$\Phi _{k}(z,1)=F_{k}\sum_{n=0}^{\infty } F_{n}z^{n}+F_{k-1}\sum_{n=0}^{\infty }F_{n-1}z^{n}=F_{k}\Phi (z)+zF_{k-1}\Phi (z)$ .}\\

\bigskip
\bf 3.a) \rm (NB : question de cours) $Y_{n}=\alpha ^{n}$  et  $Y_{n}=\beta ^{n}$.\\ 
La donn\'ee de la relation de r\'ecurrence permet d'\'etablir un isomorphisme  $\Theta $ : $(Y_{0},Y_{1})\longmapsto (Y_{n})_{n}$  entre ${\mathbb R}^{2}$ et E ; or $(F_{n})_{n}$ et $(F_{n-1})_{n}$ sont deux \'el\'ements de E , d\'etermin\'es comme $\Theta (1,1)$ et $\Theta (0,1)$ , donc ces deux suites forment une base de E. \\
On v\'erifie que $(Y_{0},Y_{1})=Y_{0}.(1,1)+(Y_{1}-Y_{0}).(0,1)$ , d'o\`u : \\
\centerline{$Y_{n}=Y_{0}.F_{n}+(Y_{1}-Y_{0}).F_{n-1}$
\vspace{2em} (soit $a=Y_{0}$ et $b=Y_{1}-Y_{0}$) .}
\bf 3.b) \rm $(\alpha ^{n})=\Theta (1,\alpha )$ et $(\beta ^{n})=\Theta (1,\beta )$ donc $L_{n}=c\alpha ^{n}+d\beta ^{n}$ avec (c,d) solution du syst\`eme : $c.(1,\alpha )+d.(1,\beta )=(2,1)$ ; on obtient : 
$L_{n}=\fraction {2\beta -1}{\beta -\alpha }.\alpha ^{n}+\fraction {1-2\alpha }{\beta -\alpha }.\beta ^{n}$ \\
De m\^eme $L_{n}=c'F_{n}+d'F_{n-1}$ avec (c',d') solution du syst\`eme c'.(1,1)+d'.(0,1)=(2,1) ; on obtient  : $L_{n}=2F_{n}-F_{n-1}$ . \\
Pour respecter la relation de r\'ecurrence on est amen\'e \`a poser  $F_{-2}=1$. Alors $F_{n-1}=F_{n}-F_{n-2} \; (\forall n\in {\mathbb N} )$ d'o\`u : 
$L_{n}=2F_{n}-(F_{n}-F_{n-2})=F_{n}+F_{n-2} \; (\forall n\in {\mathbb N} )$ .

\bigskip
\bf 4.a) \rm Le rayon de convergence des trois s\'eries introduites (en consid\'erant les s\'eries extraites correspondant aux termes non nuls) est $R=\fraction {1}{\beta }$ , comme dans 1.a) et 2.b) .\\ 
$\Phi _{0}(z,2)=1/2.(\Phi (z)+\Phi (-z))$ (partie paire de $\Phi (z)$) et $\Phi _{1}(z,2)=1/2.(\Phi (z)-\Phi (-z))$ (partie impaire de $\Phi (z)$).
$\Phi (z)=\Phi _{0}(z,2)+\Phi _{1}(z,2)$  et  $\Phi (-z)=\Phi _{0}(z,2)-\Phi _{1}(z,2)$.

\bf 4.b) \rm 
Toutes les s\'eries enti\`eres consid\'er\'ees ont pour rayon de convergence R et sont donc absolument convergentes pour tout z fix\'e tel que $\mid z\mid<R$ , ce qui justifie les calculs suivants. \\ 
$\Phi _{k}(z,m)=\sum_{j=1}^{m}c_{j}\Phi (r_{m}^{j})=c_{1}\sum_{p=0}^{\infty }F_{p}(r_{m}^{1}z)^{p}+....+c_{m}\sum_{p=0}^{\infty }F_{p}(r_{m}^{m}z)^{p}$ pour tout z tel que $\mid z\mid <R$ \'equivaut \`a (car $F_{p}\neq 0 \; \forall p$) : \\
\centerline{  $
\forall p \in {\mathbb N} \; ,\; c_{1}(r_{m}^{1})^{p}+....+c_{m}(r_{m}^{m})^{p+k}=c_{1}(r_{m}^{1})^{k}+....+c_{m}(r_{m}^{m})^{p}=\begin{cases} 
1&\text{si $p\equiv k \; (m)$}\\ 0&\text{sinon}  \end{cases} 
$  }  
Comme $(r_{m}^{j})^{m}=1$ , cette condition \'equivaut au syst\`eme : \\
\centerline{  $ 
(\sum_{j=1}^{m}c_{j}(r_{m}^{j})^{p}=\begin{cases} 
1&\text{si p=k \hspace{1em}}\\ 0&\text{sinon} \end{cases} ) \; (0\leq p\leq m-1) 
$  }

On reconnait un syst\`eme de VanderMonde relatif aux racines m-i\`emes de l'unit\'e, donc de Cramer (remarque : la d\'emonstration de ce point peut \^etre exig\'ee); il y a donc existence et unicit\'e de la combinaison lin\'eaire souhait\'ee.\\ 
R\'eciproquement, la m\^eme m\'ethode conduit au syst\`eme diagonal inversible : \\
\centerline{$ (\sum_{k=0}^{m-1}c'_{k}\delta _{k}^{n}=(r_{m}^{j})^{n}) \; \; (0\leq n\leq m-1) $}
Donc  $\Phi (r_{m}^{j}z)$ est une combinaison lin\'eaire des  $\Phi _{k}(z,m)$ .\\

\bf 4.c) \rm Les p\^oles -simples- de la fraction rationnelle  $\fraction{z^{k}}{1-z^{m}}$ sont les puissances de $r_{m}$ , d'o\`u, en utilisant $r_{m}^{m}=1$ : \\
 $\fraction{z^{k}}{1-z^{m}}=\sum_{i=0}^{m-1}\fraction{c_{i}}{z-r_{m}^{i}}$ , avec $c_{i}=[\fraction{z^{k}}{-mz^{m-1}}]_{(z=r_{m}^{i})}$, soit $c_{i}=\fraction{-1}{m}.\fraction{r_{m}^{ki}}{r_{m}^{i(m-1)}}=\fraction{-1}{m}.r_{m}^{(k+1)i}$ \\

On r\'ecapitule : $\fraction{z^{k}}{1-z^{m}}=\fraction{-1}{m}\sum_{i=0}^{m-1}\fraction{r_{m}^{i(k+1)}}{z-r_{m}^{i}}\underset{(j=m-i)}{=} \fraction{1}{m}\sum_{j=1}^{m}\fraction{r_{m}^{(m-j)(k+1)}}{r_{m}^{m-j}(1-r_{m}^{j}z)}$\\
soit : \centerline{$\fraction{z^{k}}{1-z^{m}}=\fraction{1}{m}\sum_{j=1}^{m}\fraction{r_{m}^{-kj}}{1-r_{m}^{j}z}$ .}
 \\Cas particuliers : 
$  \begin{cases} 
&\text{pour (m,k)=(2,0) : } \fraction{1}{1-z^{2}}=\fraction{1}{2}[\fraction{1}{1-z}+\fraction{1}{1+z}]\\
&\text{pour (m,k)=(2,1) : } \fraction{z}{1-z^{2}}=\fraction{1}{2}[\fraction{1}{1-z}-\fraction{1}{1+z}] 
\end{cases} $ 

\medskip

\bf 4.d) \rm Pour $\mid z\mid>R$ on a $\mid \alpha z\mid<1$ et $\mid \beta z\mid<1$ ce qui justifie les convergences des d\'eveloppements en s\'eries enti\`eres effectu\'es ci-dessous (du type $\fraction {1}{1-h}=.... $) . 
\begin{eqnarray*}
 \fraction{\beta ^{k+1}z^{k}}{1-\beta ^{m}z^{m}}-\fraction{\alpha ^{k+1}z^{k}}{1-\alpha ^{m}z^{m}}&=&\sum_{n=0}^{\infty }(\beta ^{mn+k+1}-\alpha ^{mn+k+1})z^{mn+k} \\ &=&\sqrt[]{5}\sum_{n=0}^{\infty }F_{mn+k}z^{mn+k}=\sqrt[]{5}\Phi _{k}(z,m)
\end{eqnarray*}

\bf 4.e) \rm $\alpha \beta =-1$ d'o\`u $\alpha ^{m}\beta ^{m}=(-1)^{m}$ ; la r\'eduction au m\^eme d\'enominateur dans l'\'egalit\'e de d) donne donc : \\
\centerline{  $\Phi _{k}(z,m)=\fraction{1}{\sqrt[]{5}}( \; \fraction{  z^{k}[\sqrt[]{5}F_{k}-z^{m}(\alpha ^{k}\beta ^{k}(\beta \alpha ^{m-k}-\alpha \beta ^{m-k}))] }{  1-(\alpha ^{m}+\beta ^{m})z^{m}+(-1)^{m}z^{2m}  } \; )$  }
Avec  $\alpha ^{k}\beta ^{k}=(-1)^{k}$ et $\beta \alpha ^{m-k}-\alpha \beta ^{m-k}=-\alpha \beta (\beta ^{m-k-1}-\alpha ^{m-k-1})=\sqrt[]{5}F_{m-k-2}$ on obtient : \\
\centerline{  $\Phi _{k}(z,m)=\fraction{  z^{k}[F_{k}+(-1)^{k+1}F_{m-k-2}z^{m}]  } {  1-(\alpha ^{m}+\beta ^{m})z^{m}+(-1)^{m}z^{2m}  } \quad (\forall z \; , \; \mid z\mid<R) $  }

Par ailleurs $(\alpha ^{m}+\beta ^{m})(\beta -\alpha )=(\beta ^{m+1}-\alpha ^{m+1})-\alpha \beta (\beta ^{m-1}-\alpha ^{m-1})=\sqrt[]{5}(F_{m}+F_{m-2})$ ; \\
or $\beta -\alpha =\sqrt[]{5}$ d'o\`u $\alpha ^{m}+\beta ^{m}=F_{m}+F_{m-2}$ ; posant $t=z^{m}$ dans la relation pr\'ec\'edente on obtient :  
\centerline{  $\sum_{j=0}^{\infty }F_{k+jm}t^{j}z^{k}=\fraction{  z^{k}[F_{k}+(-1)^{k+1}F_{m-k-2}t]  } {  1-(F_{m}+F_{m-2})t+(-1)^{m}t^{2}  } \quad  (\mid t\mid<R^{1/m})$   } 
En simplifiant : \centerline{  $\forall t\in {\mathbb C}$ , $\mid t\mid<R^{1/m}$ , $\sum_{j=0}^{\infty }F_{k+jm}t^{j}=\fraction{  F_{k}+(-1)^{k+1}F_{m-k-2}t  } {  1-(F_{m}+F_{m-2})t+(-1)^{m}t^{2}  }$   }
 



\end{document}
