% ENS Lyon-Cachan MP* 2000
% Corrige de F. Ranty

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\centerline{\bf ENS Lyon-Cachan 2000, MP$*$}
\bigskip
\sv
\centerline{\bf Pr\'eliminaires}
\medskip
{\bf 0-1} $A[X]$ est non vide; si $P$ et $Q$ sont deux \'el\'ements de $A[X]$ on
voit que $P-Q$ appartient \`a $A[X]$. On en d\'eduit que $(A[X],+)$ est un
sous-groupe de $(K[X],+)$. On v\'erifie enfin que $1$ appartient \`a $A[X]$ et
que $A[X]$ est stable pour la multiplication. On peut alors conclure que
$A[X]$ est un sous-anneau de $K[X]$.
\sv
{\bf 0-2} Le d\'eterminant d'une matrice est un polyn\^ome \`a coefficients entiers
en les coefficients
de la matrice. On en d\'eduit que si $P$ et $Q$ sont deux \'el\'ements de $A[X]$
alors $Res(P,Q)$ est un \'el\'ement de $A$.
\sv
{\bf 0-3} Ici $K=\C (X)$ et $A=\C [X]$. Soit $P$ un \'el\'ement de $\C [X][Y]$, il
existe $A_j\in \C [X]$, pour $0\le j\le n$, tels que
$P(X,Y)=\dsum_{j=1}^n A_j(X) Y^j$, puis en explicitant les polyn\^omes $A_j$,
$P(X,Y)=\dsum_{j=1}^n \dsum_{i=0}^{r_j}a_{i,j}X^i Y^j$. On a alors la forme
souhait\'ee.
\sv
On suppose que $P(X,Y)=\dsum_{i,j\ge 0}a_{i,j}X^i Y^j
=\dsum_{i,j\ge 0}b_{i,j}X^i Y^j$. On a alors la relation
$\dsum_{j\ge 0}(\dsum_{i\ge 0}(a_{i,j}-b_{i,j})X^i) Y^j=0$, ce qui entra\^{\i}ne,
par unicit\'e de l'\'ecriture des \'el\'ements de $K[Y]$ dans la base
$(Y^j)_{j\in \N}$ : pour tout $j\in N$, $\dsum_{i\ge 0}(a_{i,j}-b_{i,j})X^i=0$.
On en d\'eduit (en utilisant le m\^eme argument dans $\C [X]$) que, pour tous
$i,j\ge 0$, $a_{i,j}=b_{i,j}$. On en conclut que $P$ s'\'ecrit de fa\c{c}on unique
sous la forme propos\'ee.
\sv
Enfin, si $P\ne 0$, $\{i+j\,|\, a_{i,j}\ne 0\}$ est un sous-ensemble fini,non
vide, de $\N$, il admet donc un plud grand \'el\'ement $d(P)$.
\medskip
\centerline{\bf I La propri\'et\'e fondamentale du r\'esultant}
\sv
{\bf I-1} On suppose $P\wedge Q\ne 1$. En appelant $\Delta$ le PGCD de $P$ et
$Q$, on a $P=\Delta P_1$ et $Q=\Delta Q_1$. On voit alors que le couple
$(Q_1,P_1)$ v\'erifie les relations demand\'ees.
\sv
R\'eciproquement on suppose qu'il existe $A$ et $B$ non nuls v\'erifiant
$\cases{\deg A<\deg Q \text{ et } \deg B<\deg P\cr
        AP=BQ\cr}$. Le polyn\^ome $P$ divise $AP$ et donc \'egalement $BQ$. Or,
si $P$ est premier avec $Q$, le th\'eor\`eme de Gauss permet d'affirmer que $P$
divise $B$. Cela n'est pas possible car $B$ est non nul et de degr\'e
strictement inf\'erieur au degr\'e de $P$. On en d\'eduit que $P\wedge Q\ne 1$.
\sv
{\bf I-2-a} $(1,X,\dots ,X^d)$ est clairement une base de $K[X]_d$; l'espace
est donc de dimension $d+1$.
\sv
{\bf I-2-b} On a clairement $f((A,B)+\lambda(C,D))=f(A+\lambda C,B+\lambda D)
=f(A,B)+\lambda f(C,D)$ en utilisant les r\`egles de calcul dans $K[X]$. On
consid\`ere la famille
${\cal B}=\bigl((1,0),(X,0),\dots,(X^{m-1},0),(0,1),(0,X),\dots,(0,X^{n-1})\bigr)$,
il est facile de montrer que c'est une base de $K[X]_{m-1}\times K[X]_{n-1}$
(par exemple en remarquant qu'elle est libre et de cardinal $m+n$). On
consid\`ere ensuite ${\cal B'}$ la base canonique de $K[X]_{m+n-1}$. On v\'erifie
enfin que la matrice de $f$ dans les bases ${\cal B}$ et ${\cal B'}$ est la
transpos\'ee de la matrice r\'esultante de l'\'enonc\'e.
\sv
{\bf I-3} On suppose $P\wedge Q=1$. Soit $(A,B)\in \Ker f$. On a alors
$AP=-BQ$ avec $\deg A < m$ et $\deg B<n$. La question {\bf 1} permet
d'affirmer que $A=0$ ou $B=0$. Mais si $A=0$, alors $BQ=0$ puis $B=0$ (car
$Q\ne 0$ et $K[X]$ est int\`egre). On fait de m\^eme si $B=0$. Finalement on obtient
$\ker f=\{(0,0)\}$, c'est-\`a-dire $f$ est injective. On en d\'eduit que $f$ est un
isomorphisme entre les deux espaces vectoriels de dimension $m+n$,
$K[X]_{m-1}\times K[X]_{n-1}$ et $K[X]_{m+n-1}$, puis que le d\'eterminant de
la matrice de $f$ dans les bases ${\cal B}$ et ${\cal B'}$ est non nul. On a
donc montr\'e que $Res_K(P,Q)\ne 0$.
\sv
R\'eciproquement on suppose que $Res_K(P,Q)\ne 0$. On en d\'eduit que $f$ est
injective. La question {\bf 1} prouve alors que $P$ et $Q$ sont premiers
entre eux.
\sv
{\bf I-4} Pour $\lambda \ne 0$, on a
$\lambda ^nP(\dfrac{X}{\lambda})=\dsum_{i=0}^n\lambda ^{n-i}a_i X^i$ et
$\lambda ^mQ(\dfrac{X}{\lambda})=\dsum_{j=0}^m\lambda ^{m-j}b_j X^j$.

Dans le calcul du r\'esultant
$Res_\C(\lambda ^nP(\dfrac{X}{\lambda}),\lambda ^mQ(\dfrac{X}{\lambda}))$ il
faut donc remplacer, pour tous $i,j$, $a_i$ par $\lambda ^{n-i}a_i$ et $b_j$
par $\lambda ^{m-j}b_j $.

La matrice r\'esultante de $\lambda ^nP(\dfrac{X}{\lambda}),\lambda ^mQ(\dfrac{X}{\lambda})$
se d\'eduit donc de celle de $P,Q$ par les op\'erations \'el\'ementaires suivantes~:
\sv
-- pour $1\le i\le m$, multiplication de la ligne~$i$ par $\lambda^{n+i-1}$~;

-- pour $1\le i\le m$, multiplication de la ligne~$m+i$ par $\lambda^{m+i-1}$~;

-- pour $1\le j\le m+n$, division de la colonne~$j$ par $\lambda^{j-1}$.
\sv
Le r\'esultant est donc multipli\'e par
$\lambda^{n+(n+1)+\dots+(n+m-1)}\times\lambda^{m+(m+1)+\dots+(m+n-1)}$ et
divis\'e par $\lambda^{0+1+\dots+(m+n-1)}$ soit au total multipli\'e par
$\lambda^{mn}$.
\sv

%Si $M$ est la matrice r\'esultante on sait que
%$\det M=\dsum_{\sigma \in {\cal S}_{m+n}}\epsilon (\sigma)
%m_{1,\sigma (1)} \dots m_{m+n,\sigma (m+n)}$. Le terme $m_{1,\sigma (1)}$
%(\'eventuellement nul) de $Res_\C(P,Q)$ va \^etre remplac\'e par le terme
%$\lambda ^{n+1-\sigma (1)}m_{1,\sigma (1)}$, puis plus g\'en\'eralement, pour
%$1\le i\le m$, le terme $m_{i,\sigma (i)}$ va \^etre remplac\'e par le terme
%$\lambda ^{n+i-\sigma (i)}m_{i,\sigma (i)}$.
%
%De m\^eme, pour
%$m+1 \le i\le m+n$, $m_{i,\sigma (i)}$ va \^etre remplac\'e par
%$\lambda ^{m+i-\sigma (i)}m_{i,\sigma (i)}$. On en d\'eduit que, dans le calcul
%du nouveau r\'esultant, le terme correspondant \`a la permutation $\sigma$ est
%multipli\'e par
%$\lambda^{(n+1+\dots n+m)+(m+1+\dots +m+n)-(\sigma (1)+\dots \sigma (m+n))}$.
%$\sigma$ est une bijection donc $\{\sigma (1),\dots, \sigma (m+n)\}
%=\{1,\dots,m+n\}$. L'exposant de $\lambda$ vaut donc
%$\dfrac{m(2n+m+1)}{2}+\dfrac{n(2m+n+1)}{2}-\dfrac{(m+n)(n+m+1)}{2}$ ou encore
%$\dfrac{n+m+1}{2}(m+n-m-n)+\dfrac{mn}{2}+\dfrac{mn}{2}$ c'est-\`a-dire $mn$.
%Chaque terme de la somme est donc multipli\'e par $\lambda ^{mn}$, ce qui
%d\'emontre la formule souhait\'ee.
%\sv
\centerline{\bf II Une courbe unicursale}
\sv
Soit $(x,y)$ un point de l'arc param\'etr\'e. Alors il existe $t\in \R$ tel que
$\cases{x=t^2+t\cr
        y=t^3+2t^2\cr}$. On consid\`ere les polyn\^omes de $\R [X]$~:
$P(T)=T^2+T-x$ et $Q(T)=T^3+2T^2-y$. Ces deux polyn\^omes admettent $t$ comme
racine commune, on en d\'eduit qu'ils ne sont pas premiers entre eux et que
$Res_\R(P,Q)=0$. 
$$\text{On a }Res_\R(P,Q)=\vmatrix{-x & 1 & 1 & 0 & 0\cr
                                    0 &-x & 1 & 1 & 0\cr
                                    0 & 0 &-x & 1 & 1\cr
                                   -y & 0 & 2 & 1 & 0\cr
                                    0 &-y & 0 & 2 & 1\cr}=-x^3+y^2-xy+2x^2-y$$

On en d\'eduit que  $-x^3+y^2-xy+2x^2-y=0$ est une \'equation cart\'esienne de la
courbe.
\sv

R\'eciproquement, soit $(x,y)$ un point v\'erifiant
$-x^3+y^2-xy+2x^2-y=0$. Les polyn\^omes $P(T)$ et $Q(T)$ pr\'ec\'edents
ne sont pas premiers entre eux donc admettent un diviseur commun
$\Delta(T)$ non constant. $\Delta(T)$ est aussi un diviseur de
$Q(T)-TP(T) = (x-1)T + (x-y)$ donc si $(x,y)\ne(1,1)$ alors
$\deg(\Delta) = 1$, $\Delta$ admet une racine $t\in\R$ et l'on
a $P(t)=Q(t)=0$ donc le point $(x,y)$ est sur la courbe.
Si $(x,y) = (1,1)$ alors $t=(-1\pm\sqrt5)/2$ est racine commune \`a $P(T)$
et $Q(T)$ donc le point $(1,1)$ est aussi sur la courbe.
\sv
\centerline{\bf III Entiers alg\'ebriques}
\sv
{\bf III-1} On a $P_1(Y)=\dsum_{i=0}^{n_1-1}a_iY^i+Y^{n_1}$ et
$P_2(Y)=\dsum_{j=0}^{n_2-1}b_jY^j+Y^{n_2}$ (les $a_i$ et les $b_j$ \'etant des
\'el\'ements de $\Z$). On obtient
$P_1(X-Y)=(X-Y)^{n_1}+\dsum_{i=0}^{n_1-1}a_i(X-Y)^i= X^{n_1}+
\dsum_{i=0}^{n_1-1}B_i(X)Y^i +(-1)^{n_1}Y^{n_1}$ avec, pour $0\le i\le n_1-1$,
$B_i(X)$ \'el\'ement de $\Z [X]$ et $\deg (B_i)< n_1$. On en d\'eduit que
$Res_{\Q (X)}(P_1(X-Y),P_2(Y))$ est un \'el\'ement de $\Z [X]$. Si $M$ est la
matrice r\'esultante les \'el\'ements de ses $n_2$ premi\`eres lignes sont dans
$\Z [X]$ et ceux des $n_1$ derni\`eres lignes sont dans $\Z$. Les seuls
\'el\'ements de degr\'e $n_1$ sont situ\'es sur la diagonale de $M$. De l'expression
$\det M=\dsum_{\sigma \in {\cal S}_{m+n}}\epsilon (\sigma)
m_{1,\sigma (1)} \dots m_{m+n,\sigma (m+n)}$, on d\'eduit que
$Res_{\Q (X)}(P_1(X-Y),P_2(Y))$ est de degr\'e au plus $n_1 n_2$. De plus pour
avoir un terme de degr\'e $n_1 n_2$, il faut n\'ecessairement prendre les
$n_2$ premiers termes sur la diagonale, c'est-\`a-dire imposer
$\sigma(i)=i$ pour tout $1\le i\le n_2$. On voit qu'ensuite, pour n'avoir
aucun terme nul dans le produit, il faut, pour tout $n_2+1 \le i\le n_2+n_1$,
$\sigma(i)\le i$. Seul $\sigma =id$ v\'erifie les conditions impos\'ees, et on
v\'erifie facilement que $\dprod_{i=1}^{n_1+n_2}m_{i,i}$ est unitaire de degr\'e
$n_1 n_2$.
\sv
De plus $Res_{\Q (X)}(P_1(X-Y),P_2(Y))(z_1+z_2)=
Res_Q(P_1(z_1+z_2-Y),P_2(Y))$. Ce dernier r\'esultant est nul car les deux
polyn\^omes $P_1(z_1+z_2-Y)$ et $P_2(Y)$ admettent $z_2$ comme racine commune
et ils ne sont donc pas premiers entre eux.
\sv
On d\'eduit des deux r\'esultats pr\'ec\'edents que $z_1+z_2$ est un entier
alg\'ebrique.
\sv
{\bf III-2} Il est clair que $1$ est \'el\'ement de ${\cal O}$ car il est annul\'e
par le polyn\^ome $X-1$. De plus si $P_1$ annule $z_1$, alors
$Q(X)=(-1)^{n_1}P_1(-X)$ est unitaire et annule $-z_1$. On d\'eduit de ces deux
propri\'et\'es et de la question pr\'ec\'edente que ${\cal O}$ est un sous-groupe de
$\C$. Pour montrer que c'est un sous-anneau il suffit de prouver que
${\cal O}$ est stable pour la multiplication.
\sv
Soit $z_1$ et $z_2$ \'el\'ements de $\C ^*$. On suppose qu'il existe $P$ et $Q$
\'el\'ements non nuls de $\Z [X]$ tels que $P(z_1)=Q(z_2)=0$. Quitte \`a factoriser
par une puissance de $X$, on peut supposer $P(0)\ne 0$ et $Q(0)\ne 0$. On
\'ecrit $P(X)=\dsum_{i=0}^n a_iX^i$ et  $Q(X)=\dsum_{j=0}^m b_jX^j$ et on
calcule $Res_{\Q (X)}(P(XY),Q(Y))$. On montre, de la m\^eme fa\c{c}on qu'\`a la
question pr\'ec\'edente que ce r\'esultant est un \'el\'ement de $\Z [X]$, de
coefficient dominant $(-1)^{mn}a_n^mb_0^n$. De plus ce polyn\^ome annule
le quotient $\dfrac{z_1}{z_2}$ car les polyn\^omes $P(\dfrac{z_1}{z_2}Y)$ et
$Q(Y)$ admettent $z_2$ comme racine commune. On suppose maintenant que 
$z_1$ et $z_2$ sont des \'el\'ements alg\'ebriques (non nuls) annul\'es par $P_1$ et
$P_2$. En divisant la relation $P_2(z_2)=0$ par $z_2^{n_2}$ on fait
apparaitre un polyn\^ome $Q$ de $\Z [X]$, annulant $1/z_2$, et de terme
constant \'egal \`a $1$. Enfin $(-1)^{n_1n_2} Res_{\Q (X)}(P_1(XY),Q(Y))$ donne
un \'el\'ement de $\Z [X]$, unitaire de degr\'e $n_1n_2$, annulant le produit
$z_1z_2$.
\sv
\centerline{\bf IV \'Equations alg\'ebriques : le th\'eor\`eme de B\'ezout faible.}
\sv
{\bf IV-1} On applique l'algorithme d'Euclide \`a $P_1$ et $Q_1$. On obtient
successivement $P_1=(XY+1)Q_1+ (-X^2Y-X)$, puis
$Q_1=(-X^2Y-X)(\dfrac{-1}{X}Y+\dfrac{1}{X^2})+(X+\dfrac{1}{X})\cdotp$ On en
d\'eduit $P_1$ et $Q_1$ sont premiers entre eux dans $\C (X)[Y]$. $X$ est un
facteur commun non constant aux polyn\^omes $X$ et $X^2$. On d\'eduit de ces
r\'esultats que $P_1$ et $Q_1$ v\'erifient $(C_1)$ mais pas $(C_2)$.
\sv
Il est clair que $P_2$ et $Q_2$ v\'erifient $(C_2)$. En appliquant l'algorithme
d'Euclide on montre qu'ils v\'erifient \'egalement $(C_1)$.
\sv
$P_3$ divise $Q_3$ donc les polyn\^omes ne v\'erifient pas $(C_1)$. En revanche
on voit qu'ils v\'erifient $(C_2)$.
\sv
{\bf IV-2-a} On suppose que $P$ et $Q$ v\'erifient $(C_1)$. Donc, d'apr\`es le
th\'eor\`eme de B\'ezout, il existe $F_0,\dots,F_p$ et\break $G_0,\dots,G_q$
\'el\'ements de $\C (X)$ tels que :
$(\dsum_{i=0}^pF_i(X)Y^i)P(X,Y)+(\dsum_{j=0}^qG_j(X)Y^j)Q(X,Y)=1$. En
multipliant cette \'egalit\'e par $M$ le PPCM des d\'enominateurs des fractions
$F_0,\dots,F_p,G_0,\dots,G_q$ on obtient une relation de la forme $AP+BQ=C$
avec $A,B\in \C [X][Y]$ et $C\in \C [X]$.
\sv
{\bf IV-2-b} On suppose que $P$ et $Q$ v\'erifient $(C_1)$ et $(C_2)$. Soit
$(z_1,z_2)$ solution du syst\`eme. On a alors $C(z_1)=0$. Or le polyn\^ome $C$
est non nul, il n'y a donc qu'un nombre fini de valeurs de $z_1$ possibles.
Fixons un tel $z_1$. On a $P(z_1,Y)=\dsum_{i=0}^nP_i(z_1)Y^i$ et
$Q(z_1,Y)=\dsum_{j=0}^mQ_j(z_1)Y^j$. L'un au moins de ces deux \'el\'ements de
$\C [Y]$ n'est pas nul car sinon $X-z_1$ diviserait les $n+m+2$ polyn\^omes
$P_0,\dots,P_n,Q_0,\dots,Q_m$, ce qui contredirait $(C_2)$. Finalement pour
cette valeur de $z_1$ Il n'y a qu'un nombre fini de $z_2$ tel que
$P(z_1,z_2)=Q(z_1,z_2)=0$. On en d\'eduit que le syst\`eme n'a qu'un nombre fini
de solutions.
\sv
On suppose que $P$ et $Q$ ne v\'erifient pas $(C_1)$. Il existe
$R(X,Y)=\dsum_{k=0}^pR_k(X)Y^k$ non constant dans $\C (X)[Y]$ diviseur commun
\`a $P$ et $Q$. Soit $z_1\in \C$ non racine de l'un des $R_i$, $1\le i\le p$. $R(z_1,Y)$ est un \'el\'ement non constant de
$\C [Y]$. Il existe au moins un \'el\'ement $z_2$ tel que $R(z_1,z_2)=0$. On en
d\'eduit qu'il existe une infinit\'e de couples $(z_1,z_2)$ solutions du
syst\`eme.\par
On suppose que $P$ et $Q$ ne v\'erifient pas $(C_2)$. Il existe $\alpha \in\C$
tel que $X-\alpha$ divise les $n+m+2$ polyn\^omes $P_0,\dots,P_n,Q_0,\dots,Q_m$.
On voit alors que, pour tout $z\in \C$, $P(\alpha,z)=Q(\alpha,z)=0$ et donc
que le syst\`eme admet une infinit\'e de solutions.
\sv
{\bf IV-3}
%Il y dans l'\'ecriture de $P$ un terme non nul de la forme
%$a_{i,d(P)-i}X^iY^{d(P)-i}$ et de m\^eme dans celle de $Q$ un terme non nul de
%la forme $b_{j,d(Q)-j}X^jY^{d(Q)-j}$. On choisit $\alpha,\beta,\gamma,
%\delta \in \C ^*$, tels que $\vmatrix{\alpha & \beta\cr
%				      \gamma & \delta\cr}\ne 0$, et on fait le
%changement de variables $\cases{X=\alpha X_1+\beta Y_1\cr
%				 Y=\gamma X_1+\delta Y_1\cr}$. L'expression
%de $P$ en fonction de $X_1$ et $Y_1$ va faire apparaitre un terme de la forme
%$\lambda Y_1^{d(P)}$ avec $\lambda \in \C ^*$. Le degr\'e total de $P$ n'\'etant
%pas modifi\'e par un changement de variables lin\'eaire, on s'est donc ramen\'e au
%cas o\`u $n=d(P)$. De m\^eme ce changement de variables a ramen\'e au cas o\`u
%$m=d(Q)$.
%
Soit $\dsum_{k=0}^n a_kX^kY^{n-k}$ la somme des termes de degr\'e~$n$ dans~$P(X,Y)$
et $\dsum_{k=0}^m b_kX^kY^{m-k}$ la somme des termes de degr\'e~$m$ dans~$Q(X,Y)$.
On pose $Z=X+\lambda Y$ o\`u $\lambda\in\C$ est \`a d\'eterminer. Soient $P_1,Q_1$
les polyn\^omes d\'efinis par $P_1(Z,Y) = P(X+\lambda Y,Y)$ et  $Q_1(Z,Y) = Q(X+\lambda Y,Y)$.
On a de mani\`ere \'evidente $d(P_1) \le n$, $d(Q_1) \le m$. De plus, le terme en~$Y^n$
dans~$P_1$ est \'egal \`a~$\dsum_{k=0}^n a_k\lambda^kY^n = P_2(\lambda)Y^n$ et
celui en~$Y^m$ dans~$Q_1$ est
\'egal \`a~$\dsum_{k=0}^m b_k\lambda^kY^m = Q_2(\lambda)Y^m$. Il suffit donc de choisir
$\lambda$ non racine de $P_2$ ni $Q_2$ ce qui est possible car ces polyn\^omes
sont non nuls.

\sv
{\bf IV-4} On a $R(z)=Res_C(P(z,Y),Q(z,Y))$. D'apr\`es {\bf I-4} on
a $\dfrac{R(z)}{z^{mn}}=Res_C(\dfrac{1}{z^n}P(z,zY),\dfrac{1}{z^m}Q(z,zY))$.

Or $\dfrac{1}{z^n}P(z,zY)=\dsum_{i=0}^n\dfrac{1}{z^{n-i}}P_i(z)Y^i$. Chaque
$P_i$ \'etant de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n-i$, et donc, pour tout
$0\le i\le n$, $\dfrac{1}{z^{n-i}}P_i(z)$ admet une limite (\'egale au
coefficient de degr\'e $n-i$ de $P_i$) quand $|z|$ tend
vers $+\infty$. On proc\`ede de m\^eme pour $\dfrac{1}{z^m}Q(z,zY)$ et on en
d\'eduit que tous les \'el\'ements de la matrice r\'esultante ont une limite quand
$|z|$ tend vers $+\infty$. On en conclut, par continuit\'e du d\'eterminant, que  
$Res_C(\dfrac{1}{z^n}P(z,zY),\dfrac{1}{z^m}Q(z,zY))$ admet une limite finie quand
$|z|$ tend vers $+\infty$.
\sv
{\bf IV-5}
%Les polyn\^omes $P$ et $Q$ v\'erifient $(C_1)$, donc $R$ n'est pas nul.
%Soit $(z_1,z_2)$ une solution du syst\`eme. Alors
%$R(z_1)=Res_\C(P(z_1,Y),Q(z_1,Y))=0$ car les polyn\^omes $P(z_1,Y)$ et
%$Q(z_1,Y)$ admettent $z_2$ comme racine commune. On en d\'eduit que $R(X)$ est
%divisible par $(X-z_1)$. D'apr\`es la question pr\'ec\'edente
%$\dfrac{R(z)}{z^{mn}}$ admet une limite quand $|z|$ tend vers $+\infty$, on
%en d\'eduit qu'il y a au plus $mn$ valeurs de $z_1$ possibles.
%
$P$ et $Q$ v\'erifiant $(C_1)$ et $(C_2)$, le syst\`eme en $(x,y)$~: $P(x,y)=Q(x,y)=0$
a un nombre fini de solutions. Si l'on transforme $P$ et $Q$ en $P_1$ et $Q_1$
comme au {\bf IV-3} le syst\`eme transform\'e a aussi un nombre fini de solutions
donc $P_1$ et $Q_1$ v\'erifient aussi $(C_1)$. En particulier, le polyn\^ome
$R_1(Z) = Res_{\C(Z)}(P_1(Z,Y),Q_1(Z,Y))$ est non nul et de degr\'e au plus
$mn$ d'apr\`es la question pr\'ec\'edente.
Consid\'erons $u\in\C$ tel que le syst\`eme en~$v$~: $P_1(u,v)=Q_1(u,v)=0$ admette $k$ solutions
$v_1,\dots,v_k$. On d\'emontre que $u$ est racine d'ordre~$k$ de~$R_1(Z)$ ce qui
suffit \`a prouver que le syst\`eme en $(z,y)$~: $P_1(z,y)=Q_1(z,y)=0$
a au plus $mn$ solutions.
\sv
On consid\`ere l'application~:
$$\application {f_1(Z)} {\C(Z)[Y]_{m-1}\times\C(Z)[Y]_{n-1}} {\C(Z)[Y]_{m+n-1}}
{(A,B)} {AP_1+BQ_1}$$
dont la matrice dans les bases canoniques de ${\C(Z)[Y]_{m-1}\times\C(Z)[Y]_{n-1}}$ et ${\C(Z)[Y]_{m+n-1}}$
est la transpos\'ee de la matrice r\'esultante de $P_1(Z,Y),Q_1(Z,Y)$ consid\'er\'es
comme des polyn\^omes en~$Y$ \`a coefficients dans~$\C(Z)$.

Soit $S(Y) = (Y-v_1)\dots(Y-v_k)$, on prend comme nouvelle base de
$\C(Z)[Y]_{m+n-1}$ la famille~:
$${\cal B} = (1,Y,\dots,Y^{k-1},S,YS,\dots,Y^{m+n-k-1}S).$$
La matrice de~$f_1$ dans la base canonique de
${\C(Z)[Y]_{m-1}\times\C(Z)[Y]_{n-1}}$ et la base $\cal B$
est la matrice dans $\cal B$ de la famille de polyn\^omes
en~$Y$ \`a coefficients dans $\C(Z)$~:
$${\cal F}(Z) = (P_1,YP_1,\dots,Y^{m-1}P_1,Q_1,YQ_1,\dots,Y^{n-1}Q_1).$$
On a donc $R_1(Z) = \alpha\det_{\cal B}({\cal F}(Z))$ o\`u $\alpha\in\C^*$ est le
d\'eterminant de la base canonique de $\C(Z)[Y]_{m+n-1}$ dans~$\cal B$.
Par hypoth\`ese $P_1(u,Y)$ et $Q_1(u,Y)$ sont divisibles par $S(Y)$ donc les
$k$ premi\`eres coordonn\'ees dans~$\cal B$ des polyn\^omes constituant
${\cal F}(Z)$ sont des polyn\^omes en~$Z$ nuls en~$u$ et donc divisibles
par $Z-u$. Les $k$ premi\`eres colonnes de $\fct{mat}_{\cal B}({\cal F}(Z))$
\'etant divisibles par $Z-u$, le d\'eterminant est divisible par $(Z-u)^k$ comme annonc\'e.
\sv
{\bf IV-6} On prend les polyn\^omes $P(X,Y)=XY^2+X+1$ et
$Q(X,Y)=X^2Y^3+XY^2$. Les solutions du syst\`eme $P(z_1,z_2)=Q(z_1,z_2)=0$ sont
les couples $(-1,0),(j,-\bar j)$ et $(\bar j,-j)$. Les polyn\^omes $P$ et $Q$
satisfont $(C_1)$ et $(C_2)$ et pourtant le syst\`eme n'a pas $d(P)d(Q)$ ($=6$)
solutions.








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