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\input frpage.sty
\def\Res{\mathop{\rm Res}\nolimits}
\newdimen\htne
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\newdimen\totallgt
\def\resultant#1#2#3#4#5#6#7#8{\setbox2=\hbox{$#2$}\setbox4=\hbox{$#4$}
\htne=\ht2\htse=\ht4 \dpse=\dp4
\setbox3=\hbox{$\underbrace{#3}_{#5}$}\ht3=\htse\dp3=\dpse
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\advance\manque\dp4\advance\manque -1pt
\setbox13=\hbox{$\matrix{#1\\#3}$}
\totallgt=\ht13\advance\totallgt 8pt
\matrix{\left|\matrix{#1&\box2\\ \box3&\box4}\right|}
\vrule width 0pt depth \the\manque height 0pt
\matrix{\left.\vrule width 0mm depth 0pt height \the\htne\right\}#7\\
\left.\vrule width 0mm depth 0pt height \the\htse\right\}#8
}}
\def\ld#1{\Ddot{#1}.(4pt,1pt,7pt,0pt)}
\def\vd#1{\Ddot{#1}.(0pt,-2pt,0pt,-4pt)}
\def\dd#1{\Ddot{#1}.(2pt,-2pt,7pt,-4pt)}
\def\dD#1{\Ddot{#1}.(3pt,-2pt,9pt,-4pt)}
\def\DD#1{\Ddot{#1}.(5pt,-2pt,12pt,-4pt)}
\def\tvi{\vrule height 11 pt depth 4pt width 0pt}

\grostitre{ENS Lyon-Cachan 2000}
\nofoot
Les parties II, III et IV sont des applications ind\'ependantes
de la partie I. Dans la partie pr\'eliminaire ainsi que dans la
premi\`ere partie, $K$ d\'esigne un corps qui peut \^etre
quelconque. Dans les trois parties d'applications, $K$ sera
\'egal respectivement \`a $\R$, \`a $\Q(X)$, et enfin \`a $\C(X)$.
L'anneau des polyn\^omes \`a coefficients dans $K$ sera le plus
souvent not\'e $K[X]$ -- cependant, il sera not\'e $K[Y]$ lorsque
$K$ sera lui m\^eme un corps de fractions rationnelles.

D'autre part, soient $m,\,n$ deux entiers naturels non-nuls. Si
$P(X)=\sum_{i=0}^na_iX^i$ et $Q(X)=\sum_{j=0}^mb_jX^j$ sont deux \'el\'ements
de $K[X]$ de degr\'es respectifs $n$ et $m$, on appelle
r\'esultant de $P$ et $Q$ (not\'e $\Res_K(P,Q)$,
ou bien $\Res(P,Q)$ si aucune confusion n'est possible) le
d\'eterminant de la matrice carr\'ee \`a coefficients dans $K$ de
taille $(n+m, n+m)$ suivante, dite {\sl matrice r\'esultante}:
$$
\resultant
{\matrix{
a_0&a_1\quad\dd8\ld9
      &  &     &       &a_{n-1}\dd8\\
0\Ddot5.(8pt,1pt,8pt,-4pt)
      &a_0\quad\dd5 &     &\ld9&         & \\
\vdots&         &     &       &         & \\
0\ld7 &         &\quad0   &a_0   &a_1&a_2\ld6}}
{\matrix{
a_n\>\dd8&0&\ld5\hfill&0\\
      &&          &0 \\
      &&          &\vdots\\
      &&\>a_{n-1}&a_n }}
{\matrix{
  b_0 &b_1\Ddot{13}.(7pt,-1pt,9pt,-4pt)\tvi
                  &\ldots&b_{m-1}&  b_m   &0\ld9\Ddot9.(9pt,-2pt,9pt,-4pt)\\
0\vd8\Ddot{10}.(7pt,-1pt,9pt,-4pt)
        &b_0\Ddot{10}.(7pt,-1pt,9pt,-4pt)&      &        &b_{m-1}&b_m\dD9\tvi\\
\tvi\\
\tvi\\
0\ld{12}&         &      &        &0&b_0\tvi
}}
{\matrix{
      &   &&   0  &0\tvi\\
      &   &&      &0\tvi\\
      &   &&      &\vdots\\
      &   &&      &0\tvi\\
b_1&\ld5\quad&&&b_m\tvi
}}
nmmn
$$
o\`u chaque $a_i$ apparait exactement $m$ fois, et chaque $b_j$ apparait
n fois. Noter que les $m$ premiers coefficients diagonaux sont
\'egaux \`a $a_0$, et que les $n$ derniers sont \'egaux \`a $b_m$.

Enfin, si $A$ est un sous-anneau de $K$, on notera $A[X]$ le
sous-anneau de l'anneau des polyn\^omes $K[X]$, constitu\'e des
polyn\^omes dont tous les coefficients sont dans $A$.
\vskip-2mm

\partieprelim
\vskip-2mm
Soit $A$ un sous-anneau de $K$.

{\bf 0--1-} V\'erifier que $A[X]$ est bien un sous anneau de $K[X]$.

{\bf 0--2-} Montrer que si $P,Q$ sont deux \'el\'ements de $A[X]$, alors $\Res_K(P,Q)$ reste un
\'el\'ement de $A$.

{\bf 0--3-} Soit $\C[X][Y]$ le sous-anneau de l'anneau des polyn\^omes $\C(X)[Y]$ sur le corps $\C(X)$ d\'efini dans l'introduction
pour $A=\C[X]$ et $K=\C(X)$. Montrer que tout \'el\'ement $P$ de $\C[X][Y]$ s'\'ecrit de fa\c con unique sous la forme
$P(X,Y)=\sum_{i,j\geq0}a_{i,j}X^iY^j$ avec $a_{ij}\in\C$ nul sauf pour un nombre fini de couples $(i,j)$.
En d\'eduire que si $P \neq  0$ est un \'el\'ement de $\C[X][Y]$ s'\'ecrivant comme ci-dessus, alors le nombre
$d(P)=\max\{i+j \ /\ a_{i,j} \neq  0\}$ est un entier naturel bien d\'efini, appel\'e degr\'e total de $P$.

\partie[La propri\'et\'e fondamentale du r\'esultant.]
Soient $P(X)=\sum_{i=0}^na_iX^i$ et $Q(X)=\sum_{j=0}^mb_jX^j$ deux polyn\^omes de
$K[X]$ de degr\'es $n$ et $m$.

{\bf I--1-} Montrer que les polyn\^omes $P$ et $Q$ ne sont pas premiers entre eux dans $K[X]$ si, et seulement
si, il existe deux polyn\^omes $A$ et $B$ non-nuls de $K[X]$, de degr\'es $\deg A<m$ et $\deg B<n$, tels que $AP=BQ$.

{\bf I--2-} On note $K[X]_d$ le sous-espace vectoriel de $K[X]$ constitu\'e des polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $d$.

\quad{\bf I--2-a-} Quelle est la dimension sur $K$ de $K[X]_d$ ?

\quad{\bf I--2-b-} Soit $f$ l'application
$$
f\fonca{(A, B)}{K[X]_{m-1}\times K[X]_{n-1}}{AP+BQ\>.}{K[X]_{m+n-1}}
$$
Montrer que $f$ est une application lin\'eaire, et que sa matrice dans des bases ad-hoc
que l'on pr\'ecisera des espaces vectoriels source et but est la transpos\'ee de la
matrice r\'esultante de l'\'enonc\'e.

{\bf I--3-} Montrer que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux dans $K[X]$ si, et seulement si, $\Res_K(P,Q)\neq0$.

{\bf I--4-} Montrer que pour tout $\lambda$ non nul, on a
$$
\Res_\C(\lambda^nP(\frac X\lambda), \lambda^mQ(\frac
X\lambda))=\lambda^{mn}\Res_\C(P(X),Q(X))
\>.
$$

\partie[Une courbe unicursale.]
On consid\`ere la courbe plane de $\R^2$ param\'etr\'ee par $t \in \R$:
$$
\cases{
x(t)= t^2+t\\
y(t)=t^3+2t^2
}
$$
Quelle est l'\'equation cart\'esienne de la courbe dans le plan ?

\partie[Entiers alg\'ebriques.] %III
On note $\cal O$ l'ensemble des nombres complexes $z$ pour
lesquels il existe un polyn\^ome non-nul $P(X) \in \Z[X]$
(l'anneau des polyn\^omes \`a coefficients dans $\Z$), qui soit
{\sl unitaire} (c'est-\`a-dire par d\'efinition de coefficient
dominant \'egal \`a 1), et v\'erifiant $P(z)=0$.

{\bf III--1-} Soient $z_1$ et $z_2$ des \'el\'ements de $\cal O$,
annulant les polyn\^omes $P_1$ et $P_2$ de degr\'es respectifs
$n_1$ et $n_2$. Montrer que le polyn�me (en $X$) $\Res_{Q(X)}(P�(X - Y), P�(Y))$ est
un \'el\'ement de $\Z[X]$, unitaire de degr\'e $n_1n_2$ annulant
la somme $z_1+z_2$.

{\bf III--1-} Montrer que $\cal O$ est un sous-anneau de $\C$.

\partie[\'Equations alg\'ebriques: le th\'eor\`eme de B\'ezout faible.] %IV

On se donne deux polyn\^omes $P$ et $Q$ non nuls de $\C[X][Y]$,
et on se propose d'\'etudier le nombre de solutions $(z_1,z_2)$ dans $\C^2$ du syst\`eme
d'\'equations
$$
\cases{
P(z_1,z_2)=0\\
Q(z_1,z_2)=0\>.}
$$
On consid\`ere les deux conditions suivantes sur $P$ et $Q$:

$(C_1)$ $P$ et $Q$ sont premiers entre eux dans l'anneau de polyn\^omes $\C(X)[Y]$
\`a coefficients dans le corps $\C(X)$.

$(C_2)$ En notant les d�compositions de $P$ et $Q$ sous la forme
$P(X,Y)=\sum_{i=0}^nP_i(X)Y^i$ et $Q(X,Y)
=\sum_{j=0}^mQ_j(X)Y^j$ avec $P_n(X)Q_m(X)\ne 0$ dans $\C[X]$, il n'y a
aucun facteur non-constant commun aux $n+m+2$ polyn\^omes
$$
P_0(X),P_1(X),\dots,P_n(X),Q_0(X),\dots,Q_m(X)
$$
dans l'anneau des
polyn\^omes $\C[X]$.

Enfin, on note $d(P)$ et $d(Q)$ les degr\'es totaux de $P$ et de
$Q$ d\'efinis en 0-3-.

{\bf IV--1- Exemples.}
Parmi les trois couples de polyn\^omes suivants, lesquels
v\'erifient $(C_1)$ ? Lesquels v\'erifient $(C_2)$ ? Quels sont leurs
degr\'es totaux ?
$$
\eqalign{
(P_1(X,Y)=XY^2+X,&\quad Q_1(X,Y)=X^2Y^3+XY^2) ;\\
(P_2(X,Y)=XY^2+X+1,&\quad Q_2(X,Y)=Q_1(X,Y));\\
(P_3(X,Y)=Y+X,&\quad Q_3(X,Y)=X^2 - Y^2)\>.
}
$$
\quad{\bf IV-2-a-} On suppose que $P$ et $Q$ v\'erifient $(C_1)$. Montrer
qu'il existe trois polyn\^omes non nuls $A$, $B \in  \C[X][Y]$, et
$C \in  \C[X]$, tels que $AP+BQ=C$.

\quad{\bf IV-2-b-} En d\'eduire que le syst\`eme \'etudi\'e n'a qu'un
nombre fini de solutions si, et seulement si, $P$ et $Q$ v\'erifient
$(C_1)$ et $(C_2)$.

{\bf IV-3-} Montrer que, par un changement de variables
lin\'eaire en $(x, y)$, on peut se ramener au cas o\`u $n=d(P)$ et
$m=d(Q)$.

{\bf IV-4-} On pose $R(X)=\Res_{\C(X)}(P(X, Y), Q(X, Y))$.
La fonction polyn\^omiale de $\C$ dans $\C$ associ\'ee \`a $R$
sera not\'ee $R(z)$. On suppose que $n=d(P)$ et $m=d(Q)$. Montrer
que $\frac{R(z)}{z^{d(P)d(Q)}}$ admet
une limite dans $\C$ lorsque $|z|\longrightarrow+\infty $.

{\bf IV-5-} On suppose que $P$ et $Q$ v\'erifient $(C_1)$ et
$(C_2)$. Montrer que le nombre de solutions du syst\`eme est
inf\'erieur ou \'egal au produit $d(P)d(Q)$.

{\bf IV-6-} Le syst\`eme d'\'equations propos\'e a-t-il toujours
$d(P)d(Q)$ solutions lorsque $P$ et $Q$ satisfont $(C_1)$ et
$(C_2)$ ?

\bye

