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%CORRIGE DE Mines Ponts 2000 MP 2 ($\ln 2$ est irrationnel via des s\'eries 
%enti\`eres)
%Le corrig\'e d\'ebute ligne 123
%Remarques et relev\'es d'erreurs \`a JC Dufait, e-mail: 
%cjcbtm.dufait\char64wanadoo.fr
%Pour la compilation, si vous ne disposez pas des fontes AMS, supprimez 
%les lignes 38 et 39 et remplacer \db par \bf aux lignes 98 et suivantes.
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%
%*****Macros de pr\'esentation*******************
%*****Mise en page
\vsize   =   24 true cm
\hsize   =   17 true cm
\hoffset=-1.1 true cm
%\voffset=-2.2 true cm % \`a adapter pour l'imprimante 
\overfullrule=0mm
\hfuzz=5mm
\leftskip = 1cm % dimension marge gauche
\parindent = 0mm % pas d'indentation 
%*****Fontes
\font\pc=cmcsc10
\font\Bf=cmbx10 scaled\magstep1
\font\BF=cmbx10 scaled\magstep2
\font\tenmib=cmmib10 % bold math italic
\newfam\grasfam \textfont\grasfam=\tenmib
\def\bfm{\fam\grasfam}
\font\tenmsbm=msbm10
\font\sevenmsbm=msbm7
\font\fivemsbm=msbm5     
\newfam\dbfam \textfont\dbfam=\tenmsbm \scriptfont\dbfam=\sevenmsbm
\scriptscriptfont\dbfam=\fivemsbm
\def\db{\fam\dbfam}
\font\tenmsam=msam10
\font\sevenmsam=msam7
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\newfam\amsafam \textfont\amsafam=\tenmsam \scriptfont\amsafam=\sevenmsam
\scriptscriptfont\amsafam=\fivemsam
\mathchardef\le="3A36
\mathchardef\ge="3A3E
%*****Accents
%\catcode`\\'e=\active\def\'e{\'e} 
%\catcode`\\c{c}=\active\def\c{c}{\c c} 
%\catcode`\\`e=\active\def\`e{\`e} 
%\catcode`\\`a=\active\def\`a{\`a} 
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%\catcode`\\^u=\active\def\^u{\^u}        
%\catcode`\\"{\i}=\active\def\"{\i}{\"\i}       
%\catcode`\\"o=\active\def\"o{\"o} 
%*****Haut et bas de page
%\def\makeheadline{
%\ifnum\pageno=1
%\null\vskip 2mm\null
%\else
%\line{\rm \titre\hfil\folio/\nbretotal}
%\vskip 2mm\hrule\vskip5mm\fi}
%\def\makefootline{}
%*****Fin
\def\finetoiles{\centerline{*\hphantom{*}*\hphantom{*}*}\centerline{*\hphantom{*}*}\centerline{*}}
%*****Cadres
%----- cadre pour le titre 
\def\cadrelong#1{%
{\SV                    % va a la ligne
\leftskip=3mm           % pas de marge gauche
\hrule                  % trait horizontal sup\'erieur
\dimen0=\hsize\advance\dimen0 by 7mm %
\hbox to \dimen0{\vrule  % trait vertical gauche
\hfil                   % centrage horizontal
\vrule height 16pt depth 8pt width 0pt     % cale de hauteur
\BF #1%                  % texte en gras
\hfil                   % centrage horizontal
\vrule                  % trait vertical droit
}\hrule                 % trait horizontal inf\'erieur
\sv}}                   % petit espace
%*****Op\'erateurs math\'ematiques*********************
%*****Nouvelles d\'efinitions
\let\oldsum=\sum                         % modifie la d\'efinition de \sum
\def\sum{\oldsum\limits}                 % pour placer correctement les bornes
\let\oldprod=\prod                       % idem pour \prod
\def\prod{\oldprod\limits}
\let\oldlim=\lim                         % idem pour \lim
\def\lim{\oldlim\limits}
\let\oldsup=\sup                         % idem pour \sup
\def\sup{\mathop{\rm Sup}\limits}
\def\frac#1#2{{\textstyle#1\over\textstyle#2}} % fraction
\def\fracs#1#2{{\scriptstyle#1\over\scriptstyle#2}} %  petite fraction
\def\ex{\exists\,}
%*****Fl\'eches
%-----op\'erateur avec dessous: build {op\'erateur} {dessous}
\def\build#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}
%-----fl\`eche double: fl\`eche {variable} {valeur}
\def\fleche#1#2{\build{\hbox to
9mm{\rightarrowfill}}{{#1}\rightarrow{#2}}}
%*****Ensembles de nombres
\def\R{{\db R}\hskip -.05em}
\def\N{{\db N}\hskip -.05em}
\def\Q{{\db Q}\hskip -.05em}
%*****Limites d'intervalles d'entiers:
\def\[{[\![}
\def\]{]\!]}
%*****Raccourcis
\let\un=\underline
\let\h=\hbox
\let\s=\smallskip
\def\sv{\vskip 4mm plus 2mm minus 2mm}   
\def\SV{\vskip 12mm plus 6mm minus 6mm} 
% 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Macros sp\'ecifiques 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\dimendef\grandrecul=100\grandrecul=30pt
\dimendef\petitrecul=101\petitrecul=15pt
\def\num#1{\sv\sv\setbox1\hbox to \grandrecul{\bf#1\delimI\hfil}
\leavevmode\llap{\box1}}%-----num\'ero de question 
\def\numm#1{\setbox2\hbox to \petitrecul{\bf #1\delimII\hfil}
\setbox1\hbox to \grandrecul{\hfill\box2}
\s\sv\leavevmode\llap{\box1$\!$}}%-----num\'ero de sous-question
\def\delimI{.}
\def\delimII{.}
\def\titre{Mines Ponts,  MP,  2000,  Deuxi\`eme \'epreuve}
\def\nbretotal{6}
\input upsnum.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%COMMENTAIRES: Le sujet d\'emontre l'irrationalit\'e de $\ln 2$ par des 
%moyens
%d\'etourn\'es. Le but (louable) \'etant probablement de faire utiliser 
%plusieurs
%domaines du cours : s\'eries enti\`eres, \'equations diff\'erentielles, s\'eries,
%int\'egrales, d.l., utilisation de majorations. Par contre, ceci conduit 
%\`a admettre des r\'esultats disproportionn\'es au but (perturbation lin\'eaire 
%d'une
%r\'ecurrence en 7.c, th. des nombres premiers en 8.c). Quelques
%erreurs et ambigu\"{\i}t\'es (voir dans le corrig\'e) en: 4.b, 6.b, 8.b, 8.d
%sans gravit\'e. Plusieurs questions sont alourdies par les choix
%faits : en 6 (\'etude classique d'une s\'erie enti\`ere en R), en 8.b
%o\`u une sommation de $O$ est plus rapide. Finalement, un sujet
%qui a d\^u se r\'ev\'eler assez difficile pour les \'el\`eves moyens.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\SV 
\cadrelong{\BF \titre }
%\centerline{\sl (\nbretotal\  pages )}
\SV
\num 1%
{\bf Fonction $h$}~:

\numm a%
On a $\frac{C^n_{2n}}{C^{n+1}_{2n+2}}=\frac{(2n)!.\bigl[(n+1)!  \bigr]^2 
}
{\bigl[n! 
\bigr]^2.(2n+2)!}=\frac{n+1}{2(2n+1)}\fleche{n}{+\infty }\frac
14$ donc, d\'e'apr\`es la r\`egle de D'Alembert, $\un{R=\frac 14}$~.

\numm b%
$h$ est $C^\infty $ sur $]-R,R[$ et on a, pour tout $x\in ]-R,R[$~:
$$\eqalign{\qquad
(1-4x)\,h'(x)&=\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)C^{n+1}_{2n+2}\,x^n-4\,
\sum_{n=0}^{+\infty}nC^n_{2n}\,x^n=
\sum_{n=0}^{+\infty}\left( (n+1)\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2 }
-4n\right) \,C^n_{2n}\,x^n\cr
&=\sum_{n=0}^{+\infty}\left( 4n+2
-4n\right) 
\,C^n_{2n}\,x^n=2\,\sum_{n=0}^{+\infty}C^n_{2n}\,x^n=2h(x)\cr}$$
donc $\un{h\h{ v\'erifie l'\'equation diff\'erentielle }(1-4x)y'=2y\h{
sur }\left]-\frac 14,\frac 14 \right[ }$~.

\numm c%
Les solutions de cette \'equation diff\'erentielle homog\`ene sur $\left]-\frac 
14,\frac 14 \right[
$ \`a valeurs dans $\R$ sont donn\'ees par
$$\qquad\ex C\in \R,\quad \forall x\in\left]-\frac 14,\frac 14 
\right[,\qquad
 y(x)=C\exp\left[\int_{0}^{x}\frac{2dt}{1-4t} \right]
=C\exp\left[-\frac 12\ln|1-4x|\right]=\frac{C}{\sqrt{1-4x}}~~.$$
Comme $h(0)=C^0_0=1$, il vient~: $\un{ \forall x\in\left]-\frac 14,\frac 
14 \right[,\quad 
h(x)=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}}$~.

\num 2%
{\bf Fonctions $M_p$}~:\sv

On a, pour $\alpha \in\R$, $\forall t\in]-,1,1[,\quad
(1+t)^\alpha =\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots(\alpha
-k+1)}{k!}\,t^k$ donc, pour $\alpha =-p$ et $t=-x$, on
a $\forall x\in]-,1,1[,\quad
M_p(x) =\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-p)(-p -1)\cdots(-p-k+1)}{k!}\,(-x)^k=
\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{p(p +1)\cdots(p+k-1)}{k!}\,x^k$
soit $\un{\forall x\in]-,1,1[,\quad
M_p(x) 
=\sum_{k=0}^{+\infty}C_{p+k-1}^k\,x^k=\sum_{k=0}^{+\infty}C_{p+k-1}^{p-1}\,x^k}$~.

\num 3%
{\bf Fonction $f$}~:

\numm a%
$x\in D_f\Longleftrightarrow x^2-6x+1>0$, soit $\bigl(x-3-\sqrt{8}  
\bigr) 
\bigl(x-3+\sqrt{8}  \bigr)>0$. Donc $\un{D_f=\bigl]-\infty, 3-\sqrt{8} 
\bigr[ \cup
\bigl] 3+\sqrt{8},+\infty \bigr[}$~.
 
\numm b%
$\diamond$ Pour que la relation soit v\'erifi\'ee, il faut que les
deux membres de l'\'egalit\'e soient d\'efinis. Il faut donc $x\in
D_f$. Mais, pour $x\in D_f$, on a $x\ne 1$ car $3-\sqrt{8}
<1<3+\sqrt{8}$,
$1-4\,\frac{x}{(1-x)^2}=\frac{x^2-6x+1}{(1-x)^2}>0$ donc
$\frac{x}{(1-x)^2}<\frac 14$ et 
$1+4\,\frac{x}{(1-x)^2}=\frac{x^2+2x+1}{(1-x)^2}=\frac{(x+1)^2}{(1-x)^2}$ donc, sauf pour $x=-1$ o\`u on a \'egalit\'e, $\frac{x}{(1-x)^2}>-\frac
14$. Ainsi, les deux membres
sont d\'efinis si et seulement si $x\in D_f\setminus\{-1 \}$.
On peut alors utiliser l'expression de $h$
vue au ({\bf 1.c})~:
$$\forall x\in D_f\setminus\{-1 \},\quad
\frac{1}{1-x}\, h\left( \frac{x}{(1-x)^2}\right)= 
\frac{1}{1-x}\,\frac{1}{\sqrt{1-4\,\frac{x}{(1-x)^2}}} 
=\frac{|1-x|}{1-x}\,
\frac{1}{\sqrt{x^2-6x+1}}$$
donc la relation est v\'erifi\'ee pour $x\in \bigl(  D_f\setminus\{-1 
\}\bigr)
\cap ]-\infty,1[=\bigl]-\infty, -1\bigr[\cup\bigl]-1, 3-\sqrt{8} \bigr[
$ et n'est pas v\'erifi\'ee (car $-f(x)\ne f(x)$) pour  $x\in \bigl(  
D_f\setminus\{-1 \}\bigr)
\cap ]1,+\infty[=\bigl] 3+\sqrt{8},+\infty \bigr[$.\s
Donc $\un{\h{la relation }f(x)=\frac{1}{1-x}\, h\left(
\frac{x}{(1-x)^2}\right)\h{ est v\'erifi\'ee si et seulement si }x\in
\bigl]-\infty, -1\bigr[\cup\bigl]-1, 3-\sqrt{8} \bigr[}$~.\s

$\diamond$ L'ensemble $V=\bigl]-\infty, -1\bigr[\cup\bigl]-1, 3-\sqrt{8} 
\bigr[$ est un
ouvert contenant $0$ donc un voisinage de $0$ et, pour tout $x$
appartenant \`a $V$, on a $f(x)=\frac{1}{1-x}\, h\left(
\frac{x}{(1-x)^2}\right)=\frac{1}{1-x}\,\sum_{n=0}^{+\infty}C^n_{2n}\,\left(
\frac{x}{(1-x)^2}\right)^n$ donc $\un{\ex V\in{\cal V}(0),\quad \forall 
x\in V,\quad
f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}C^n_{2n}\,M_{2n+1}(x)\,x^n}$~.
  
\numm c%
$\diamond$ $\forall x\in V\cap]-1,1[,\quad
f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}C^n_{2n}\,x^n\,\sum_{k=0}^{+\infty}C_{2n+k}^{2n}\,x^k=
\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=0}^{+\infty}C^n_{2n}C_{2n+k}^{2n}\,x^{n+k}=
\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{p=n}^{+\infty}C^n_{2n}C_{n+p}^{2n}\,x^{p}=\sum_{n=0}^{+\infty}
\sum_{p=0}^{+\infty}\alpha
_{n,p}$ avec $\alpha_{n,p}=\cases{0&si $p<n$,\cr 
C^n_{2n}C_{n+p}^{2n}\,x^{p}&si
$p\ge n$.}$\par
Or, pour tout $n\in\N$, $\left(\sum \bigl| \alpha_{n,p} \bigr| 
\right)_{p\in\N}$ est de m\^eme nature que $\left(\sum 
C_{n+p}^{2n}\,|x|^{p} \right)_{p\ge n}
$ donc de m\^eme nature que $\left(\sum C_{2n+k}^{2n}\,|x|^{n+k}
\right)_{k\ge 0}$ qui est convergente car $|x|<1$ et
$\sum_{p=0}^{+\infty} \bigl| \alpha_{n,p} \bigr| 
=C^n_{2n}|x|^{n}\sum_{k=0}^{+\infty}
C_{2n+k}^{2n}\,|x|^{k}=\frac{1}{1-|x|}\,C^n_{2n}\left(
\frac{|x|}{(1-|x|)^2}\right)^n$. Et, si $|x|\in V$ c'est-\`a-dire
si $x\in  \bigl]-3+\sqrt{8}, 3-\sqrt{8} \bigr[$, 
$\left(\sum C^n_{2n}\left(\frac{|x|}{(1-|x|)^2}\right)^n\right)_{n\in\N}$
converge. La famille
$\left(\alpha_{n,p}\right)_{n\in\N}$ est donc sommable
si $x\in \bigl]-3+\sqrt{8}, 3-\sqrt{8} \bigr[$ et on a donc~:
$$\qquad\forall x\in \bigl]-3+\sqrt{8}, 3-\sqrt{8} \bigr[,\quad
f(x)=\sum_{p=0}^{+\infty}\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha_{n,p}=\sum_{p=0}^{+\infty}\sum_{n=0}^{p}
C^n_{2n}C_{n+p}^{2n}\,x^{p}\qquad (\alpha_{n,p}=0\h{ si }n>p)$$
donc $\un{\forall x\in \bigl]-3+\sqrt{8}, 3-\sqrt{8} \bigr[,\quad
f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\,x^n\h{ avec }a_n=\sum_{k=0}^{n}
C^k_{2k}C_{k+n}^{2k}}$~.\s

$\diamond$ Ce qui pr\'ec\`ede montre d\'ej\`a que le rayon de convergence $R_a$
de $\left(\sum a_n\,x^n \right) _{n\in\N}$ v\'erifie $R_a\ge
3-\sqrt{8}$. Mais, si on avait $R_a>3-\sqrt{8}$, en posant, pour
$x\in ]-R_a,R_a[$,
$\widetilde{f}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\,x^n$, on aurait 
$f(x)=\widetilde{f}(x)\fleche{x}
{\bigl(3-\sqrt{8}  \bigr)^- }\widetilde{f}\bigl(3-\sqrt{8} 
\bigr)$ ce qui est faux car $f(x)\fleche{x}
{\bigl(3-\sqrt{8}  \bigr)^- }+\infty$.\par
Donc $\un{\h{le rayon de
convergence de }\left(\sum a_n\,x^n \right) _{n\in\N}\h{ est 
}R_a=3-\sqrt{8}}$~.

\numm d%
$\forall x\in D_f,\quad f'(x)=-\frac 
12\,\frac{2x-6}{\left(x^2-6x+1\right)
^{3/2}}=-\frac{x-3}{x^2-6x+1}\,f(x)$ donc $\un{f\h{ est solution
sur }D_f\h{ de l'\'equation}}$ $\un{\h{ diff\'erentielle }\quad 
(x^2-6x+1)y'+(x-3)y=0}$~.

\numm e%
$\diamond$ Or, pour $x\in \bigl]-3+\sqrt{8}, 3-\sqrt{8} \bigr[$,
$(x^2-6x+1)f'(x)+(x-3)f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}(n-1)a_{n-1}\,x^n-6
\sum_{n=0}^{+\infty}na_n\,x^n+\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)a_{n+1}\,x^n+\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n-1}\,x^n
-3\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\,x^n=a_1-3a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}\bigl[na_{n-1}-(6n+3)a_n
+(n+1)a_{n+1}  \bigr] \,x^n$ donc $\un{(a_n)\h{ v\'erifie
}a_1=3a_0\h{ et, pour }n\ge 1,\quad 
(n+1)a_{n+1}-3(2n+1)a_n+na_{n-1}=0}$~.\s

$\diamond$ On a $a_0=f(0)$, puis la relation ci-dessus donne 
$\un{a_0=1,\quad
a_1=3,\quad a_2=13,\quad a_3=63}$~.

\num 4%
{\bf Fonction $g$}~:

\numm a%
$\diamond$ Montrons existence et unicit\'e de $b_n$ par r\'ecurrence
sur $n$~: pour $n=0$, on a $b_0=g(0)=0$, pour $n=1$, on a
$b_1=g'(0)=1$ et si $b_{n-1}$ et $b_n$ existent et sont uniques
alors il existe une et une seule valeur de $b_{n+1}$ pour que
({\bf R}) soit v\'erifi\'ee~:
$b_{n+1}=\frac{1}{n+1}\,\bigl[  3(2n+1)b_n+nb_{n-1}\bigr]$. Donc
$\un{\h{les coefficients }b_n\h{ sont bien d\'etermin\'es}}$~. \s
 
$\diamond$ On a imm\'ediatement $\un{b_0=0,\quad
b_1=1,\quad b_2=\frac 92,\quad b_3=\frac{131}{6}}$~.\s

$\diamond$ Le calcul effectu\'e au ({\bf 3.e}) donne, en notant
$R_b$ le rayon de convergence de $\left(\sum b_n\,x^n \right)
_{n\in\N}$, si $R_b>0$~:
$$\qquad \forall x\in]-R_b,R_b[,\quad
(x^2-6x+1)g'(x)+(x-3)g(x)=b_1-3b_0+\sum_{n=1}^{+\infty}
\bigl[nb_{n-1}-(6n+3)b_n+(n+1)b_{n+1}  \bigr] \,x^n=1$$
donc $\un{\h{si }R_b>0,\ g\h{ est solution
sur }]-R_b,R_b[\h{ de l'\'equation diff\'erentielle }\quad 
(x^2-6x+1)y'+(x-3)y=1}$~.

\numm b%
{\pc Erreur d'\'enonc\'e}~. Il manque l'ensemble de validit\'e de l'\'egalit\'e.\sv
Soit la fonction $\widetilde{g}$ d\'efinie sur $\bigl]-\infty,  3-\sqrt{8}
\bigr[$ par $\widetilde{g}(x)=f(x)\,\int_{0}^{x}f(t)\,dt$. $f$ est
d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere sur $]-R_a,R_a[$ donc
$x\mapsto\int_{0}^{x}f(t)\,dt$ aussi et donc $\widetilde{g}$
\'egalement. Notons 
$\widetilde{g}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\widetilde{b}_n\,x^n$
son d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere. On a $\widetilde{g}(0)=0$,
et $\forall x\in ]-R_a,R_a[,\
(x^2-6x+1)\widetilde{g}'(x)+(x-3)\widetilde{g}(x)=
(x^2-6x+1)\left(f'(x)\,\int_{0}^{x}f(t)\,dt 
+f^2(x)\right)+(x-3)f(x)\,\int_{0}^{x}f(t)\,dt=
(x^2-6x+1) f^2(x)=1$ donc, avec le calcul fait au ({\bf 3.e}),
$\cases{\widetilde{b}_0=0\cr\widetilde{b}_1-3\widetilde{b}_0=\widetilde{b}_1=1\cr
(n+1)\widetilde{b}_{n+1}-3(2n+1)\widetilde{b}_n+n\widetilde{b}_{n-1}=0&si$n\ge 1$\cr}$ et l'unicit\'e du ({\bf a}) donne $\forall n,\ 
b_n=\widetilde{b}_n$.
Ceci montre que $\un{g\h{ existe et }\forall x\in ]-R_a,R_a[,\quad
g(x)=f(x)\,\int_{0}^{x}f(t)\,dt}$~.\s

{\bf Remarque}~: La m\'ethode de variation de la constante
appliqu\'ee \`a l'\'equation obtenue au ({\bf a}) ne permet d'obtenir $
g(x)=f(x)\,\int_{0}^{x}f(t)\,dt$ qu'avec la condition $R_b\ne 0$,
repoussant ce probl\`eme \`a la question suivante.

\numm c%
$\diamond$ En particulier, on a $\un{R_b\ge R_a=3-\sqrt{8}}$~.\s
$\diamond$ $\displaystyle \forall x\in ]-R_a,R_a[,\ 
g(x)=\left[\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\,x^n\right] \times
\left[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_{n-1}}{n}\,x^n\right] 
=\sum_{n=1}^{+\infty}\left[
\sum_{p=1}^{n}\frac{a_{p-1}a_{n-p}}{p} \right]\,x^n $ donc 
$\un{b_n=\sum_{p=1}^{n}\frac{a_{p-1}a_{n-p}}{p}}$~.

\numm d%
Soit $n\ge 1$ fix\'e, on a ,pour $p\in\[1,n\]$, $d_n=p.m_p$ avec
$m_p\in\N^*$ et donc $b_n=\sum_{p=1}^{n}\frac{a_{p-1}a_{n-p}}{p}=
\sum_{p=1}^{n}\frac{a_{p-1}a_{n-p}m_p}{d_n}$ donc
$d_nb_n=\sum_{p=1}^{n}a_{p-1}a_{n-p}m_p$. Et $a_n=\sum_{k=0}^{n}
C^k_{2k}C_{k+n}^{2k}\in \N^*$ donc $\un{d_nb_n\in \N^*}$~. 


\num 5%
{\bf Etude des suites $(a_n)_{n\in\N}$ et $(b_n)_{n\in\N}$ }~:

\numm a%
$\diamond$ $\un{u_1=1,\quad u_2=\frac 12}$~.\s
$\diamond$ $\forall n\ge 1,\quad u_{n+1}=b_{n+1}a_n-b_na_{n+1}=
\frac{1}{n+1}\,\bigl[  3(2n+1)b_n+nb_{n-1}\bigr]\,a_n-
\frac{1}{n+1}\,\bigl[  
3(2n+1)a_n+na_{n-1}\bigr]\,b_n=\frac{n}{n+1}\,\bigl(a_{n-1}b_n-
b_{n-1}a_n  \bigr)$ donc $\un{\forall n\ge 1,\quad 
u_{n+1}=\frac{n}{n+1}\,u_{n}}$~.\s
$\diamond$ Ainsi, $\forall n\ge 1,\ 
(n+1)u_{n+1}=nu_{n}$ et donc la suite $\bigl(nu_n  \bigr)_{n\ge
1}$ est constante donc $ \un{\forall n\ge 1,\quad u_n=\frac 1n}$~.\s
Donc $\un{\bigl(u_n  \bigr)_{n\ge
1}\h{ est d\'ecroissante, positive et }\sup\limits_{n\ge
1}u_n =1}$~.

\numm b%
$\diamond$ $\un{\h{la suite }\left(
\frac{b_n}{a_n}\right)_{n\in\N}\h{ est d\'efinie }}$ car $\forall
n\in \N,\ a_n\in\N^*$ [cf ({\bf 4.d})].\s

$\diamond$ $\forall
n\in \N^*,\ \frac{b_n}{a_n}-\frac{b_{n-1}}{a_{n-1}}=\frac{a_{n-1}b_n-
b_{n-1}a_n }{a_na_{n-1}}=\frac{u_n}{a_na_{n-1}}>0$ donc $\un{\left(
\frac{b_n}{a_n}\right)_{n\in\N}\h{ est strictement croissante}}$~.\s

$\diamond$ De plus, $\un{\forall
n\in \N^*,\ 0<\frac{b_n}{a_n}-\frac{b_{n-1}}{a_{n-1}}\le 
\frac{C}{a_na_{n-1}}}$~.\s

$\diamond$ Enfin, $\forall n\in \N,\
a_n=\sum_{k=0}^{n}C^k_{2k}C_{k+n}^{2k}\ge \sum_{k=0}^{n}1=n+1$
donc $\forall
n\in \N^*,\ 0<\frac{b_n}{a_n}-\frac{b_{n-1}}{a_{n-1}}\le
\frac{C}{n(n+1)}\le \frac{C}{n^2}$ et la s\'erie $\left(\sum 
\frac{C}{n^2}\right)_{n\in\N^*}$ converge donc la s\'erie  $
\left(\sum \left[  
\frac{b_n}{a_n}-\frac{b_{n-1}}{a_{n-1}}\right]\right)_{n\in\N^*}$ 
converge
\'egalement ce qui \'equivaut au fait que $\un{\h{la suite }\left(
\frac{b_n}{a_n}\right)_{n\in\N}\h{ est convergente}}$~.

\num 6%
{\bf D\'etermination de la limite $\lambda $}~:

\numm a%
$\diamond$ $\forall x\in D_f,\ f'(x)=\frac{3-x}{\left(x^2-6x+1\right)
^{3/2}}$ donc $\un{f\h{ est croissante sur }\bigl]-\infty,  3-\sqrt{8}
\bigr[}$~. D'autre part, pour
$ x\in  ]-R_a,R_a[,\ 
g'(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}b_{n+1}\,x^n$ avec $b_{n+1}>0$ donc
$\forall x\in  ]0,R_a[,\ g'(x)>0$ et $\un{g\h{ est croissante sur 
}\bigl[0,  3-\sqrt{8}
\bigr[}$~.\s

$\diamond$ $\un{f(x)\fleche{x}{\bigl(3-\sqrt{8}  \bigr)^- }+\infty}$ est 
\'evident
et $f(x)=\fracs{1}{\sqrt{\bigl(  x-3-\sqrt{8}\bigr) \bigl(  
x-3+\sqrt{8}\bigr) }}
\build{\sim}{x\rightarrow\bigl(3-\sqrt{8}  \bigr)^- }
\fracs{1}{\sqrt{2\sqrt{8}\bigl(  3-\sqrt{8}-x\bigr) }}$ donc
$\int_{0}^{3-\sqrt{8}}f(t)\,dt$ existe. On a donc $ 
\int_{0}^{x}f(t)\,dt\fleche{x}{\bigl(3-\sqrt{8}  \bigr)^-
}\int_{0}^{3-\sqrt{8}}f(t)\,dt>0$ et donc, puisque 
$g(x)=f(x)\int_{0}^{x}f(t)\,dt$,
\quad $\un{g(x)\fleche{x}{\bigl(3-\sqrt{8}  \bigr)^-
}+\infty}$ ~.\s

{\bf Remarque}~: Ceci montre, comme au ({\bf 3.c}), que $R_b=3-\sqrt{8} $ 
.

\numm b%
{\pc Erreur d'\'enonc\'e}~: L'intervalle doit \^etre ouvert en $0$ car
$U_N(0)=0$.\sv
Pour $x\in\bigl]0,  3-\sqrt{8}\bigr[$, $V_N(x)=\sum_{n=N+1}^{+\infty } 
b_n\,x^n=
\sum_{n=N+1}^{+\infty } \frac{b_n}{a_n}\,a_n\,x^n$. Or, pour$n\ge N+1$, $\lambda -\varepsilon \le \frac{b_n}{a_n}\le\lambda
+\varepsilon$ et $a_n\,x^n> 0$ donc $( \lambda -\varepsilon)
\,a_n\,x^n\le b_n\,x^n\le ( \lambda+\varepsilon)\,a_n\,x^n$
donc, en sommant, $( \lambda -\varepsilon)\,U_N(x)\le V_N(x) \le (
\lambda+\varepsilon)\,U_N(x)$ soit, en divisant par $U_N(x)>0$,
$\un{\forall x\in\bigl]0,  3-\sqrt{8}\bigr[,\quad \lambda
-\varepsilon\le \frac{V_N(x)}{U_N(x)}\le\lambda
+\varepsilon}$~.

\numm c%
$\diamond$ $f_N$ et $g_n$ sont des fonctions polyn\^omes qui sont
donc continues sur $\bigl[0,  3-\sqrt{8}\bigr]$ donc born\'ees et
il suffit de prendre $A_N=\max\left(\| f_N\|_\infty, \| g_N\|_\infty 
\right)
$ pour avoir le r\'esultat voulu~:\s
$\un{\forall N\in\N,\quad \ex A_N\in\R,\quad \forall x\in\bigl[0,  
3-\sqrt{8}\bigr],\qquad
|f_N(x)|\le A_N\quad\h{et} \quad|g_N(x)|\le A_N}$~.\s

$\diamond$ Pour $x\in \bigl]0,  3-\sqrt{8}\bigr[$, $f(x)\ne 0$ et
on a~:
$$\eqalign{\qquad\left|\frac{g(x)}{f(x)}-\lambda  \right|&=
\left|\frac{g_N(x)}{f(x)}+\frac{V_N(x)}{f(x)}-\lambda  \right|=
\left|\frac{g_N(x)}{f(x)}+\frac{V_N(x)}{U_N(x)}\frac{f(x)-f_N(x)}{f(x)}-\lambda  \right| \cr
&\le\left|\frac{V_N(x)}{U_N(x)}-\lambda  \right|+ 
\left|\frac{g_N(x)}{f(x)} \right|
+\left|\frac{f_N(x)}{f(x)}\right|\left|\frac{V_N(x)}{U_N(x)} \right|\cr
&\le\varepsilon+\frac{A_N}{f(x)}\,(1+\lambda +\varepsilon)\cr}$$
et $\frac{A_N}{f(x)}\,(1+\lambda +\varepsilon)\fleche{x}{\bigl(3-\sqrt{8} 
\bigr)^-}0$ donc il existe $\alpha >0$ tel que $\forall x\in \bigl[\alpha 
, 
3-\sqrt{8}\bigr[,\ \frac{A_N}{f(x)}\,(1+\lambda 
+\varepsilon)\le\varepsilon
$ et alors $\forall x\in \bigl[\alpha , 
3-\sqrt{8}\bigr[,\ \left|\frac{g(x)}{f(x)}-\lambda 
\right|\le2\varepsilon$. Donc 
$\un{\frac{g(x)}{f(x)}\fleche{x}{\bigl(3-\sqrt{8} 
\bigr)^-}\lambda}$~.

\numm d%
Or $\displaystyle 
\frac{g(x)}{f(x)}=\int_{0}^{x}f(t)\,dt\fleche{x}{\bigl(3-\sqrt{8}  
\bigr)^-
}\int_{0}^{3-\sqrt{8}}f(t)\,dt=\frac{\ln 2}{2}$ [cf ({\bf a})
pour l'existence de l'int\'egrale]
donc $\un{\lambda =\frac{\ln 2}{2}}$~.

\num 7%
{\bf Un \'equivalent du r\'eel $a_n$ \`a l'infini}~:

\numm a%
On a, pour $n\ge 1$~:
$$\eqalign{\qquad v_{n+1}-6v_{n}+v_{n-1}&=
(n+1)^\alpha a_{n+1}-6v_{n}+v_{n-1}\cr
&=(n+1)^{\alpha} \,\left[\frac{3(2n+1)}{n+1}\,a_n-\frac{
n}{n+1}\,a _{n-1} \right] 
-6v_{n}+v_{n-1}\cr
&=\left[\frac{3(2n+1)}{n+1}\,\left(\frac{n+1}{n} \right) 
^{\alpha}-6\right]\, v_{n}+
\left[1-\frac{n}{n+1}\,\left(\frac{n+1}{n-1} \right) ^{\alpha} \right] 
\,v_{n-1}\cr
&=6\,\left[\left(1+\frac{1}{2n} \right) \,\left(1+\frac{1}{n} \right) 
^{\alpha-1}-1\right]\, v_{n}+
\left[1-\left(1+\frac{1}{n} \right) ^{\alpha-1}
\,\left(1-\frac{1}{n}\right) ^{-\alpha} \right] \,v_{n-1}\cr
&=6\,\left[\left(1+\frac{1}{2n} \right) \,\left(1+
\frac{\alpha-1}{n} 
+\frac{(\alpha-1)(\alpha-2)}{2n^2}+o\bigl(\fracs{1}{n^2}  \bigr) \right)
-1\right]\, v_{n}\cr
&\qquad{}+
\left[1-\left(1+
\frac{\alpha-1}{n} 
+\frac{(\alpha-1)(\alpha-2)}{2n^2}+o\bigl(\fracs{1}{n^2}  \bigr) \right)
\,\left(1+
\frac{\alpha}{n} +\frac{\alpha(\alpha+1)}{2n^2}+o\bigl(\fracs{1}{n^2}  
\bigr) \right)
 \right] \,v_{n-1}\cr
&=6\,\left[\frac{2\alpha-1}{2n} 
+\frac{(\alpha-1)^2}{2n^2}+o\bigl(\fracs{1}{n^2}  \bigr)\right]
\, v_{n}+
\left[\frac{2\alpha-1}{n} + \frac{2\alpha ^2-2\alpha 
+1}{n^2}+o\bigl(\fracs{1}{n^2}  \bigr) 
 \right] \,v_{n-1}\cr 
}$$
donc $\un{\h{pour }\alpha =\frac 12,\quad
 v_{n+1}-6v_{n}+v_{n-1}=\frac 1{n^2} \bigl(A_n\,v_n+B_n\, v_{n-1} \bigr)
\h{ avec }A_n\fleche{n}{+\infty}\frac 34,\ B_n\fleche{n}{+\infty}\frac 
12}$~.

\numm b%
L'\'equation caract\'eristique de cette r\'ecurrence est $r^2-6r+1=0$
dont les racines sont $3+\sqrt{8}$ et $3-\sqrt{8}$ donc il existe
$(K,K')\in\R^2$ tel que $\forall n\in\N,\ w_n=K\bigl(3+\sqrt{8}  \bigr)^n
+K'\bigl(3-\sqrt{8}  \bigr) ^n$. En particulier, $K+K'=0$ et 
$K\bigl(3+\sqrt{8}  \bigr)
+K'\bigl(3-\sqrt{8}  \bigr)=3$ ce qui donne $\un{\forall n\in\N,\quad
w_n=\frac{3}{2\sqrt{8}}\,\left[ \bigl(3+\sqrt{8}  \bigr)^n
-\bigl(3-\sqrt{8}  \bigr) ^n\right] }$~.

\numm c%
$w_n\build{\sim}{n\rightarrow+\infty}\frac{3}{2\sqrt{8}}\,\bigl(3+\sqrt{8} 
\bigr)^n$ et $a_n=\frac{v_n}{\sqrt{n}}$ donc $\un{a_n\build{\sim}
{n\rightarrow+\infty}\frac{3}{2\sqrt{8}\,\sqrt{n}}\,\bigl(3+\sqrt{8} 
\bigr)^n}$~.

\num 8%
{\bf Le r\'eel $\ln 2$ n'est pas rationnel}~:

\numm a%
 D'apr\`es ({\bf 7.c}), 
$\frac{a_n\,\sqrt{n}}{e^{nu}}=\frac{a_n\,\sqrt{n}}{\bigl(3+\sqrt{8} 
\bigr)^n}\fleche{n}{+\infty}\frac{3}{2\sqrt{8}}=K_1>0$ donc $\ex
N_1,\ \forall n\ge N_1,\quad\frac 
12\,K_1\le\frac{a_n\,\sqrt{n}}{e^{nu}}\le 2\,K_1$.
Donc $\un{ \ex
N_1,\ \forall n\ge N_1,\quad\frac 12\,K_1\,
\frac{e^{nu}}{\sqrt{n}}\le a_n\le 2\,K_1\,
\frac{e^{nu}}{\sqrt{n}}}$~.

\numm b%
{\pc Erreur d'\'enonc\'e}~: La question \`a utiliser est ({\bf 5.b}) et
pas ({\bf 5.d}).\sv
D'apr\`es ({\bf 5.b}) et ({\bf 8.a}), on a, pour tout $n\ge N_1$,
$$\qquad \frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}-\frac{b_{n}}{a_{n}}\le
\frac{C}{a_{n+1}a_{n}}\le \frac{C}{\frac 12\,K_1\,
\frac{e^{(n+1)u}}{\sqrt{n+1}}\,\frac 12\,K_1\,
\frac{e^{nu}}{\sqrt{n}}}=\frac{4C}{K_1^2e^{u}}\,\sqrt{n(n+1)}\,e^{-2nu}\le
\frac{4C}{K_1^2e^{u}}\,(n+1)\,e^{(a-2)nu}\,e^{-anu}$$
et $(n+1)\,e^{(a-2)nu}\fleche{n}{+\infty} 0$ car
$(a-2)u>0$ donc la suite $\left(
(n+1)\,e^{(a-2)nu}\right)_{n\ge
N_1}$ est born\'ee et donc  $\ex
M,\ \forall n\ge N_1,\quad
(n+1)\,e^{(a-2)nu}\le M$. On a donc $\forall n \ge N_1,\ 0\le 
\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}-\frac{b_{n}}{a_{n}}\le
\frac{4CM}{K_1^2e^{u}}\,e^{-anu}$ et ce majorant est le terme
g\'en\'eral d'une s\'erie g\'eom\'etrique convergente car $au>0$. En
sommant, on obtient~:
$$\forall n \ge N_1,\ 0\le \lambda 
-\frac{b_{n}}{a_{n}}=\sum_{k=n}^{+\infty}\left(
\frac{b_{k+1}}{a_{k+1}}-\frac{b_{k}}{a_{k}} \right) 
\le\frac{4CM}{K_1^2e^{u}}\,
\frac{e^{-anu}}{1-e^{-au}}$$
donc, en posant $K_2=\frac{4CM}{K_1^2e^{u}}\,
\frac{1}{1-e^{-au}}$, $\un{ \ex
K_2,\ \forall n\ge N_1,\quad 0 \le \lambda -\frac{b_{n}}{a_{n}}\le 
K_2\,e^{-anu}}$~.

\numm c% 
$\displaystyle d_n=\prod_{p\ {\rm premier}\atop p\le n} p^{\omega
(p)}$ avec $\omega(p)=\max\bigl\{k\ge 0  \mid p^k\le n\bigr\}$.
En particulier, $p^{\omega (p)} \le n$ et donc $d_n\le
n^{N(n)}=e^{N(n)\,\ln n}$. Or $\frac{N(n)\,\ln n}{n}\fleche{n}{+\infty}
1$ donc $\ex N_2\in\N,\  \forall n\ge N_2,\ \frac{N(n)\,\ln
n}{n}\le 1,1$ soit $N(n)\,\ln
n\le 1,1\,n$ donc $\un{\ex N_2\in\N,\  \forall n\ge N_2,\quad
d_n\le e^{1,1\,n}}$~.

\numm d%
{\pc Erreur d'\'enonc\'e}~: Les entiers $p_n$ et $q_n$ ne sont pas
premiers entre eux~: $p_4\land q_4\ne 1$.\sv
On a d\'ej\`a $0\le \lambda -\frac{b_{n}}{a_{n}}=\lambda
-\frac{p_{n}}{q_{n}}$ et, d'autre part, pour $n\ge \max(N_1,N_2)$
et $r>0$,
$$\frac{1}{q_n^{r+1}}=\frac{1}{a_n^{r+1}d_n^{r+1}}\ge 
\frac{1}{\left(2\,K_1\,
\frac{e^{nu}}{\sqrt{n}} \right)^{r+1}}
\frac{1}{\left( e^{1,1\,n}\right)^{r+1}}=\frac{1}{\left(2\,K_1 
\right)^{r+1}}\,
n^{r+1\over 2}\, e^{-(r+1)(1,1+u)\,n}~~.$$
Or, d'apr\'es le r\'esultat fourni, $1,1+u<\frac{u}{0,61}$ donc
$e^{-(r+1)(1,1+u)\,n}\ge e^{-{r+1\over 0,61}\,un}$. Choisissons
$r<0,22$ de fa\c{c}on \`a avoir $\frac{r+1}{0,61}<2$ et prenons $ 
a=\frac{r+1}{0,61}$.
On a~:
$$\forall n\ge \max(N_1,N_2),\quad
\frac{1}{q_n^{r+1}}\ge \frac{1}{\left(2\,K_1 \right)^{r+1}}\, 
e^{-anu}$$ et, de plus, $\forall n\ge \max(N_1,N_2),\quad
\lambda-\frac{p_{n}}{q_{n}}\le K_2\,e^{-anu}$ d'apr\`es ({\bf b}). Donc
$$\forall n\ge \max(N_1,N_2),\quad 0\le \lambda-\frac{p_{n}}{q_{n}}\le 
K_2
\left(2\,K_1 \right)^{r+1}\,\frac{1}{q_n^{r+1}}~~.$$
Ainsi,\quad $\un{\ex r>0,\ \ex K_3\in\R,\ \ex N_3\in\N,\quad \forall n\ge 
N_3,\quad
0\le \lambda-\frac{p_{n}}{q_{n}}\le\frac{K_3}{q_n^{r+1}}}$~.

\numm e%
Si $\lambda \in\Q$, $\lambda =\frac pq$, alors 
$\left|\lambda-\frac{p_{n}}{q_{n}} \right|=
\left|\frac{pq_{n}-p_{n}q}{qq_{n}} 
\right|=\frac{|pq_{n}-p_{n}q|}{|q|q_{n}} \ge
\frac1{|q|q_{n}}$ car $|pq_{n}-p_{n}q|\in \N$ et si on avait
$|pq_{n}-p_{n}q|=0$ alors 
$\lambda-\frac{p_{n}}{q_{n}}=\sum_{k=n}^{+\infty}\left(
\frac{b_{k+1}}{a_{k+1}}-\frac{b_{k}}{a_{k}} \right)=0$ ce qui est
faux car, pour tout $k$,
$\frac{b_{k+1}}{a_{k+1}}-\frac{b_{k}}{a_{k}}>0$ d'apr\`es ({\bf
5.b}). Donc $\un{\ex L>0,\ \forall n\in\N,\quad 
\left|\lambda-\frac{p_{n}}{q_{n}} \right|
\ge\frac L{q_{n}}}$~.

\numm f%
Si $\ln 2$ est rationnel alors $\lambda =\frac{\ln 2}{2}$ aussi
et donc on a, en utilisant les r\'esultats du ({\bf d}) et du ({\bf e}),
$$\forall n\ge N_3,\quad \frac{K_3}{q_n^{r+1}}\ge \frac L{q_{n}}~~.$$
Donc $\forall n\ge N_3,\quad \frac{K_3}l\ge q_n^{r}\ge a_n^r\ge
(n+1)^r$ ce qui est absurde car
$(n+1)^r\fleche{n}{+\infty}+\infty$. Donc $\un{\ln 2\h{ est 
irrationnel}}$~.
\SV
\finetoiles
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