\documentclass{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\setlength{\oddsidemargin}{-1 cm}
\setlength{\textwidth}{18 cm}
\setlength{\textheight}{25 cm}
\setlength{\topmargin}{-1 cm}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\begin{document}

%Macros perso
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
\newcommand{\ouvert}[2]{\left ] #1, #2 \right [}
\newcommand{\bsup}[2]{\sup_{#1}\limits #2}
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}
\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\produit}[3]{\prod_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\transpose}[1]{\,^{t}#1}
\newcommand{\scal}[2]{\left \langle #1 , #2 \right \rangle}
\newcommand{\norme}[1]{\left \| #1 \right \|}
\newcommand{\normedeux}[1]{\left \| #1 \right \|_{2}}





%En-t{\^e}te
\lhead{Mines -Ponts 2000, PC Maths I}
\rhead{page \thepage}
\cfoot{}

%Num{\'e}rotation des questions
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}�)}
\renewcommand{\labelenumii}{\alph{enumii})}
\renewcommand{\labelenumiii}{\roman{enumiii}.}
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}

\begin{center}
\large
{\'E}COLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS{\'E}ES, 

{\'E}COLES NATIONALES DE L'A{\'E}RONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, 

DE TECHNIQUES AVANC{\'E}ES, DES T{\'E}L{\'E}COMMUNICATIONS,

DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-{\'E}TIENNE, DES MINES DE NANCY,

DES T{\'E}L{\'E}COMMUNICATIONS DE BRETAGNE,

{\'E}COLE POLYTECHNIQUE (FILI{\`E}RE TSI).

\bigskip
CONCOURS D'ADMISSION 2000

\textbf{MATH{\'E}MATIQUES}

\bigskip
\textbf{PREMI{\`E}RE {\'E}PREUVE}

\textbf{FILI{\`E}RE PC}
\normalsize

(Dur{\'e}e de l'{\'e}preuve : 3 heures)

Sujet mis {\`a} disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP.

\bigskip
\textbf{L'emploi de la calculette est interdit.}
\end{center}

Les candidats sont pri{\'e}s de mentionner de fa{\c c}on tr{\`e}s apparente sur la premi{\`e}re page de la copie : \\MATH{\'E}MATIQUES I - PC.

L'{\'e}nonc{\'e} de cette {\'e}preuve, particuli{\`e}re aux candidats de la fili{\`e}re PC, comporte 5 pages.

Si un candidat rep{\`e}re ce qui lui semble {\^e}tre une erreur d'{\'e}nonc{\'e}, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amen{\'e} {\`a} prendre.

\bigskip
Dans tout le probl{\`e}me, $n$ est un entier naturel sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $2$ ($n {\geq} 2$).
Soit $B = (e_{1}, e_{2}, {\dots}, e_{n})$ la base canonique de l'espace vectoriel complexe $\C^{n}$.
A un vecteur $X$ de l'espace vectoriel $\C^{n}$, de coordonn{\'e}es $x_{1}$, $x_{2}$, {\dots}, $x_{n}$, est associ{\'e}e la matrice $V(X)$ dont les {\'e}l{\'e}ments $V(X)_{p,q}$, $1 {\leq} p {\leq} n$, $1 {\leq} q {\leq} n$, sont d{\'e}finis par la relation :
$$V(X)_{p,q} = (x_{p})^{q-1}.$$

Le d{\'e}terminant $v(X)$ de la matrice $V(X)$ est un d{\'e}terminant de Van der Monde ; il est admis que sa valeur est donn{\'e}e par la relation suivante :
$$v(X) = \det{(V(X))} = \produit{1{\leq}p<q{\leq}n}{}{(x_{q}-x_{p})}.$$

Il est admis que l'application $\norme{ }$ de l'espace vectoriel complexe $\C^{n}$ dans $\R^{+}$ :
$$X \mapsto \norme{X} = \bsup{1{\leq}p{\leq}n}{\abs{x_{p}}},$$

est une norme. Soit $E_{n}$ l'espace vectoriel norm{\'e} $(\C^{n}, \norme{ })$.

\bigskip
Le but du probl{\`e}me est de montrer qu'{\`a} cette application $v$ de $E_{n}$ dans $\C$ peut {\^e}tre associ{\'e} un r{\'e}el $\rho$ tel que, pour tout vecteur $X$ de $E_{n}$ la relation suivante a lieu :
$$\abs{v(X)} {\leq} \rho \norme{X}^{n(n-1)/2},$$

o{\`u} le r{\'e}el $\rho$ est une valeur prise pour un vecteur unitaire particulier $W$ :
\begin{center}$\rho = \abs{v(W)}$, avec : $\norme{W} = 1$.\end{center}


\begin{enumerate}
\item \textbf{D{\'e}finition du r{\'e}el $\rho$ :}

L'entier $n$ est fix{\'e} ($n {\geq}�2$).
\begin{enumerate}
\item Comparer pour tout vecteur $X$ de l'espace vectoriel norm{\'e} $E_{n}$ et tout nombre complexe $\lambda$ les deux expressions $v(\lambda X)$ et $v(X)$.

En particulier, {\'e}tant donn{\'e} un vecteur $X$ de $E_{n}$, soit $Y$ un vecteur de $E_{n}$ de norme unit{\'e} v{\'e}rifiant la relation : $X = \norme{X} Y$ ; exprimer le nombre complexe $v(X)$ en fonction de $v(Y)$ et de $\norme{X}$.

\item D{\'e}montrer que l'application $v$ de l'espace vectoriel norm{\'e} $E_{n}$ dans $\C$ est continue. En d{\'e}duire que l'application continue $X \mapsto \abs{v(X)}$ admet un maximum sur la sph{\`e}re unit{\'e} $S$,
$$S = \set{X \in E_{n} | \norme{X} = 1},$$

atteint pour au moins un vecteur $W$. Soit $\rho$ le maximum de cette fonction sur la sph{\`e}re unit{\'e} :
$$\rho = \max_{\norme{X} = 1}{\abs{v(X)}}.$$

\item D{\'e}montrer les deux relations :
\begin{enumerate}
\item pour tout vecteur $X$ de $E_{n}$, $\abs{v(X)} {\leq} \rho \norme{X}^{n(n-1)/2}$ ;
\item il existe au moins un vecteur unitaire $W$ de $E_{n}$ tel que
$$\abs{v(W)} = \rho.$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item \textbf{Cas $n = 2$ :}

Caract{\'e}riser les vecteurs qui appartiennent {\`a} la sph{\`e}re unit{\'e} $S$ :
$$S = \set{X \in E_{2} | \norme{X} = 1}.$$

D{\'e}terminer le maximum $\rho$ de la fonction $X \mapsto \abs{v(X)}$ sur la sph{\`e}re unit{\'e}. D{\'e}montrer que les vecteurs unitaires qui rendent maximum $\abs{v(X)}$ sont proportionnels {\`a} un m{\^e}me vecteur $X_{1}$ dont la premi{\`e}re coordonn{\'e}e est {\'e}gale {\`a} $1$. Les d{\'e}terminer.

\item \textbf{Cas $n = 3$ :}
\begin{enumerate}
\item Etant donn{\'e}s trois r{\'e}els positifs ou nuls $t_{1}$, $t_{2}$ et $t_{3}$, ($t_{i} {\geq} 0$, $1 {\leq} i {\leq} 3$) d{\'e}montrer l'in{\'e}galit{\'e} suivante
$$t_{1}.t_{2}.t_{3} {\leq} \dfrac{1}{27}(t_{1} + t_{2} + t_{3})^{3}.$$

D{\'e}montrer que l'{\'e}galit{\'e} a lieu si et seulement si les trois r{\'e}els $t_{1}$, $t_{2}$, $t_{3}$ sont {\'e}gaux.

\item Etant donn{\'e}s trois nombres complexes $x_{1}$, $x_{2}$ et $x_{3}$, soient $A$, $B$ et $C$ les trois fonctions des variables $x_{1}$, $x_{2}$ et $x_{3}$ d{\'e}finies par les relations suivantes :
\begin{center}
$A = \abs{x_{1}-x_{2}}^{2} + \abs{x_{2}-x_{3}}^{2} + \abs{x_{3}-x_{1}}^{2}$ ; $B = \somme{k=1}{3}{\abs{x_{k}}^{2}}$ ; $C = \abs{\somme{k=1}{3}{x_{k}}}^{2}$.
\end{center}

D{\'e}montrer que $A$ est une combinaison lin{\'e}aire de $B$ et de $C$.

\item Caract{\'e}riser les vecteurs qui appartiennent {\`a} la sph{\`e}re unit{\'e} $S$ :
$$S = \set{X \in E_{3} | \norme{X} = 1}.$$

\item Calculer, pour un vecteur $X$ quelconque de l'espace $E_{3}$, l'expression $\abs{v(X)}^{2}$.
En d{\'e}duire une majoration de $\rho$.
D{\'e}terminer les {\'e}quations que v{\'e}rifient les coordonn{\'e}es $x_{1}$, $x_{2}$ et $x_{3}$ d'un vecteur $W$ unitaire rendant $\abs{v(W)}$ maximum.
Exhiber une solution {\`a} l'aide des racines cubiques de l'unit{\'e}. En d{\'e}duire le r{\'e}el $\rho$.
\end{enumerate}

\item \textbf{Une minoration du r{\'e}el $\rho$ :}

Soit $\Omega$ le vecteur unitaire dont les coordonn{\'e}es $\omega_{p}$, $1 {\leq} p {\leq} n$, sont d{\'e}fimes par la relation :
$$\omega_{p} = e^{2i(p-1)\pi/n} = \exp{\left(\dfrac{2i(p-1)\pi}{n}\right)}.$$
\begin{enumerate}
\item $V(\Omega)$ est la matrice d{\'e}finie {\`a} partir du vecteur $\Omega$ ; $\conj{V(\Omega)}$ est la matrice complexe conjugu{\'e}e.
D{\'e}montrer que la matrice produit $\conj{V(\Omega)} V(\Omega)$ est une matrice proportionnelle {\`a} la matrice identit{\'e}.
\item En d{\'e}duire la valeur du module $\abs{v(\Omega)}$ du d{\'e}terminant de la matrice $V(\Omega)$ et une minoration du r{\'e}el $\rho$.
\end{enumerate}

\item \textbf{Une in{\'e}galit{\'e} de Hadamard :}

Dans cette question, il est admis que l'application de $\C^{n} \times \C^{n}$ dans $\C$ qui, {\`a} deux vecteurs $X = (x_{i})_{1{\leq}i{\leq}n}$ et $Y = (y_{i})_{1{\leq}i{\leq}n}$ fait correspondre le nombre complexe $\scal{X}{Y}$, d{\'e}fini par la relation suivante
$$\scal{X}{Y} = \somme{i=1}{n}{\conj{x_{i}} y_{i}},$$

est un produit scalaire hermitien. Soit $F_{n}$ l'espace pr{\'e}hilbertien $(\C^{n}, \scal{.}{.})$.

La norme d{\'e}duite de ce produit scalaire est not{\'e}e $\normedeux{ }$ ; elle est d{\'e}finie par la relation :
$$\normedeux{X} = \sqrt{\scal{X}{X}} = \sqrt{\somme{i=1}{n}{\abs{x_{i}}^{2}}}.$$

Etant donn{\'e}e une suite de $n$ vecteurs ind{\'e}pendants $V_{1}$, $V_{2}$, {\dots}, $V_{n}$ de l'espace pr{\'e}hilbertien $F_{n}$, soit $M(V_{1}, V_{2}, {\dots}, V_{n})$ la matrice carr{\'e}e d'ordre $n$ dont les vecteurs colonnes sont les vecteurs $V_{1}$, $V_{2}$, {\dots}, $V_{n}$.
\begin{enumerate}
\item D{\'e}terminer, lorsque les vecteurs $V_{1}$, $V_{2}$, {\dots}, $V_{n}$ sont deux {\`a} deux orthogonaux, le produit $B$ de la matrice transpos{\'e}e de la matrice complexe conjugu{\'e}e de la matrice $M(V_{1}, V_{2}, {\dots}, V_{n})$ avec la matrice $M(V_{1}, V_{2}, {\dots}, V_{n})$ :
$$B = \transpose{\conj{M(V_{1}, V_{2}, {\dots}, V_{n})}}. M(V_{1}, V_{2}, {\dots}, V_{n}).$$

Que vaut le module du d{\'e}terminant de la matrice $M(V_{1}, V_{2}, {\dots}, V_{n})$ ?

\item Soit $U_{1}$, $U_{2}$, {\dots}, $U_{n}$ les vecteurs de l'espace $F_{n}$ d{\'e}finis de la mani{\`e}re suivante :
\begin{itemize}
\item $U_{1} = V_{1}$,
\item $U_{2} = V_{2} - proj_{1}(V_{2})$ ; $proj_{1}(V_{2})$  est le vecteur projection du vecteur $V_{2}$ sur la droite vectorielle engendr{\'e}e par $V_{1}$,
\item pour tout entier $i$ compris entre $3$ et $n$ ($3 {\leq} i {\leq} n$) : $U_{i} = V_{i} - proj_{i-1}(V)$ ; $proj_{i-1}(V)$ est le vecteur projection du vecteur $V_{i}$ sur l'espace vectoriel engendr{\'e} par les vecteurs $V_{1}$, $V_{2}$, {\dots}, $V_{i-1}$.
\end{itemize}
D{\'e}montrer l'{\'e}galit{\'e} entre les d{\'e}terminants des deux matrices $M(V_{1}, V_{2}, {\dots}, V_{n})$ et $M(U_{1}, U_{2}, {\dots}, U_{n})$ :
$$\det{(M(U_{1}, U_{2}, {\dots}, U_{n}))} = \det{(M(V_{1}, V_{2}, {\dots}, V_{n}))}.$$

\item D{\'e}duire des r{\'e}sultats pr{\'e}c{\'e}dents l'in{\'e}galit{\'e} :
$$\abs{\det{(M(V_{1}, V_{2}, {\dots}, V_{n}))}} {\leq} \normedeux{V_{1}} \normedeux{V_{2}} {\dots} \normedeux{V_{n}}.$$

D{\'e}montrer, lorsque les vecteurs $V_{1}$, $V_{2}$, {\dots}, $V_{n}$ sont tous diff{\'e}rents de $0$, qu'il y a {\'e}galit{\'e} entre les deux membres de cette relation si et seulement si les vecteurs $V_{1}$, $V_{2}$, {\dots}, $V_{n}$ sont deux {\`a} deux orthogonaux.
\end{enumerate}

\item \textbf{Une majoration du r{\'e}el $\rho$ :}

D{\'e}montrer pour tout vecteur $X$ de l'espace vectoriel $E_{n}$, de coordonn{\'e}es $x_{1}$, $x_{2}$, {\dots}, $x_{n}$, l'in{\'e}galit{\'e} suivante :
$$\abs{v(X)}^{2} {\leq} \produit{q=1}{n}{\somme{p=1}{n}{\abs{x_{p}}^{2(q-1)}}}.$$

D{\'e}terminer pour un vecteur $X$ unitaire ($\norme{X} = 1$) de l'espace vectoriel $E_{n}$ une majoration du module $\abs{v(X)}$.
En d{\'e}duire la valeur du r{\'e}el $\rho$.

\item \textbf{Recherche des vecteurs $W$ :}

Soit $W$ un vecteur unitaire de l'espace $E_{n}$, de coordonn{\'e}es $x_{p}$, $1 {\leq} p {\leq} n$, pour lequel le d{\'e}terminant $v(W)$ de la matrice $V(W)$ a un module {\'e}gal au r{\'e}el $\rho = n^{n/2}$ :
$$\abs{v(W)} = n^{n/2}.$$
\begin{enumerate}
\item D{\'e}montrer que les coordonn{\'e}es $x_{p}$, $1 {\leq} p {\leq}n$, de ce vecteur $W$ sont deux {\`a} deux diff{\'e}rentes l'une de l'autre :
\begin{center}
pour tout couple d'entiers $p$ et $q$, $p {\neq} q$, $x_{p} {\neq} x_{q}$.
\end{center}

\item D{\'e}montrer, en utilisant par exemple l'in{\'e}galit{\'e} de Hadamard, que les coordonn{\'e}es $x_{1}$, $x_{2}$, {\dots}, $x_{n}$ de ce vecteur ont toutes un module {\'e}gal {\`a} $1$ et v{\'e}rifient les $n - 1$ relations suivantes :
\begin{center}
$\somme{p=1}{n}{x_{p}} = 0$, $\somme{p=1}{n}{(x_{p})^{2}} = 0$, {\dots}, $\somme{p=1}{n}{(x_{p})^{n-1}} = 0$.
\end{center}

A ce vecteur $W$ est associ{\'e} le polyn{\^o}me $P_{W}$ d{\'e}fini par la relation suivante : pour tout r{\'e}el $t$,
$$P_{W}(t) = \produit{p=1}{n}{(t - x_{p})}.$$

Ce polyn{\^o}me $P_{W}$ peut aussi {\^e}tre {\'e}crit sous la forme :
$$P_{W}(t) = \somme{k=0}{n}{a_{k} t^{k}}.$$

\item Que vaut le coefficient $a_{n}$ ? D{\'e}montrer qu'il est possible de poser $a_{0} = -e^{i\theta_{0}}$ o{\`u} $\theta_{0}$ est un r{\'e}el.

Soit $F_{W}$ la fraction rationnelle d{\'e}finie par la relation :
$$F_{W}(t) = \dfrac{P'_{W}(t)}{P_{W}(t)}.$$

$P'_{W}(t)$ est le polyn{\^o}me d{\'e}riv{\'e}e du polyn{\^o}me $P_{W}$.

\item D{\'e}montrer que, sur l'ensemble de d{\'e}finition de la fraction rationnelle $F_{W}$, la relation ci-dessous a lieu :
$$F_{W}(t) = \somme{p=1}{n}{\dfrac{1}{t - x_{p}}}.$$

En d{\'e}duire qu'il existe un r{\'e}el $R$ ($R > 0$) tel que sur l'intervalle ouvert $\ouvert{-R}{R}$ la fonction $F_{W}$ est d{\'e}veloppable en s{\'e}rie enti{\`e}re. D{\'e}terminer un minorant du r{\'e}el $R$.

\medskip
La fonction $F_{W}$ est donc dans l'intervalle $\ouvert{-R}{R}$ la somme d'une s{\'e}rie enti{\`e}re qui s'{\'e}crit :
$$F_{W}(t) = \somme{k=0}{{\infty}}{f_{k} t^{k}}.$$

\item D{\'e}terminer les coefficients $f_{k}$, $k = 0, 1, {\dots}$, {\`a} l'aide des coordonn{\'e}es du vecteur $W$.
Quelle conclusion en tirer sur les $n - 1$ premiers coefficients $f_{0}$, $f_{1}$, {\dots}, $f_{n-2}$ ?

\item D{\'e}duire des r{\'e}sultats pr{\'e}c{\'e}dents l'expression du polyn{\^o}me $P'_{W}$, polyn{\^o}me d{\'e}riv{\'e}e du polyn{\^o}me $P_{W}$.
D{\'e}terminer le polyn{\^o}me $P_{W}$, puis les coordonn{\'e}es $x_{p}$, $1 {\leq} p {\leq}n$ du vecteur $W$.
Calculer, {\`a} titre de v{\'e}rification, les normes de ce vecteur dans $E_{n}$ et dans $F_{n}$, c'est-{\`a}-dire $\norme{W}$ et $\normedeux{W}$.

\item Combien y-a-t-il de vecteurs $W$ dont une au moins des coordonn{\'e}es est {\'e}gale {\`a} $1$ ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{FIN DU PROBL{\`E}ME}\end{center}

\end{document}
