\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\title{\textsc{Ponts Deuxieme epreuve PC 2000}}
\author{}
\usepackage[frenchb]{babel}
\input upsnum.sty
\begin{document}
\maketitle
\underline{\textbf{Theoreme de Cauchy cas lin\'eaire sans second membre}}\\
Toutes les \'equations diff\'erentielles consid\'er\'ees 
dans ce probl\`eme sont des \'equations diff\'erentielles lin\'eaires du second ordre r\'esolues 
en $y"$ sans second membre \`a coefficients continus sur R . Leurs 
solutions sont des R solutions et le probleme de cauchy aux donn\'ees 
initiales $(t_{0},y_{0},y'_{0})$ admet une unique solution . En 
particulier la fonction nulle est la seule solution au  probl\`eme 
$(t_{0},0,0)$.\hrule.
\part{}
\section{caract\'{e}risation d'une solution p\'eriodique}
Si $f$ est solution de $E_{1}$ et admet $2\pi$ pour p\'eriode alors 
$f(0)=f(2\pi)$ et $f'(0)=f'(2\pi)$.\\
Reciproquement sous cette hypothese en d\'efinissant $g$ par 
$g(t)=f(t+2*\pi)$, g est solution de $E_{1}$ pour le probleme de 
Cauchy $(t=0,f(2\pi),f'(2\pi))$ .$E_{1}$ \'etant une \'equation 
diff\'erentielle lin\'eaire r\'esolue en $y"$ \`a coefficients continus ,ce probleme 
admet une unique solution et donc $g=f$ et $f$ admet $2*\pi$ pour p\'eriode
\section{construction d'une solution p\'eriodique}
\subsection{} Si $f$ est une solution admettant $2*\pi$ pour p\'eriode solution de 
$E_{1}$ elle est de classe $C_{\infty}$ et v\'erifie donc les hypoth\`eses 
du th\'eoreme de convergence normale des s\'eries de Fourier
\subsection{} Comme $f$ est de classe $C_{1}$ le cours donne 
$c_{n}(f')=inc_{n}(f)$. En appliquant \`a f' on a donc 
$c_{n}(f")=-n^{2}c_{n}(f)$. On en d\'eduit en appliquant au calcul du 
coefficient de Fourier d'ordre n  du membre de gauche de l'\'equation que 
$$-n^{2}c_{n}(f)+c_{n-1}(f)=0$$
\subsection{} Par suite avec $n=0\ c_{-1}(f)=0\ puis\ c_{n}(f)=0 
\ pour\ n\ n\acute{e}gatif$. Puis pour $n$ dans N 
$c_{n}(f)=\frac{c_{0}(f)}{(n!)^{2}} $. On en d\'eduit que si f existe 
$$f(t)=c_{0}\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{exp(int)}{(n!)^{2}}$$
\underline{\textbf{Remarque:}}%
    Il faudrait ici une r\'eciproque : surtout du fait que la fonction ainsi 
d\'efinie est bien de classe $ C_{2} $ en utilisant les th\'eoremes de 
d\'erivation des s\'eries de fonctions normalement convergentes 
$1/(n!)^{2}=o(1/n^{4})$.
\section{in\'egalit\'e v\'erifi\'ee par f et f'}
\subsection{}
La s\'erie de Fourier de $f$ \'etant normalement convergente, f est 
born\'ee . De plus avec $N(f)=sup_{R}\lbrace\mid f(t)\mid\rbrace$ comme f est solution de 
$E_{1}$ elle v\'erifie $N(f")=N(f)$ . L'in\'egalit\'ee des accroissements 
finis conduit \`a la majoration de $\mid C\mid$ et $\mid D\mid$ par 
$\frac{h^{2}}{2}N(f)$.
\subsection{}
 $  2hf'(t)=D-C+f(t+h)-f(t-h) $ par suite 
$\forall h > 0\ N(f')\leq\left(\frac{h}{2}+\frac{1}{h} \right)N(f) $  
avec $\left(\frac{h}{2}+\frac{1}{h} \right) \ge \sqrt(2)$ . On conclut
 $$\mathbf{\underline{N(f') \le \sqrt(2)N(f)}}$$
\part{}
\setcounter{section}{0}
\section{rayon de convergence } 
$u_{n}(x)=(-1)^{n}\frac{x^{n}}{(n!)^{2}}$ est le terme g\'en\'eral d'une 
s\'erie enti\`ere de rayon de convergence $R=\infty$ de somme not\'ee g
\section{signe de g}
On v\'erifie que la s\'erie enti\`ere d\'eriv\'ee de $g$ de somme $g'$ 
converge sur [0,2] par application du crit\`ere des s\'eries altern\'ees 
d\`es le rang 0 . 
Le signe du premier terme (n\'egatif ) donne le signe de $g'$ sur 
[0,2]: $g'<0$. De m\^eme la s\'erie de $g$ converge par application du 
m\^eme crit\`ere \`a partir du rang 1.Avec $g(0)=1$ et 
$g(2)=1-2+R_{1}(2)$ avec $\mid R_{1}(2)\mid\le u_{2}(2) =1$ , $g(2) 
\le 0 $ , puis  
$g(\sqrt(2))=1-\sqrt(2)+\frac{2}{4}+R_{2}(\sqrt(2)$ et
$\mid R_{2}(\sqrt(2))\mid\le\mid u_{3}(\sqrt(2)\mid$ soit 
$\mid R_{2}(\sqrt(2))\mid\le \frac{2\sqrt(2)}{36}<0,08$ 
(en majorant $\sqrt(2)$ par 1,42  Comme $R_{2}(\sqrt(2))<0$ 
(Crit\`ere sp\'ecial des SA) on a \`a nouveau  par la m\^eme 
majoration  $g(\sqrt(2)) )> 1,5-1,42-0,08=0$ . \\Par 
d\'ecroissance de g sur l'intervalle on peut conclure que g s'annule en 
$x_{0} \in]\sqrt(2),2]$ ,est positive avant $x_{0}$ et n\'egative apr\`es. 
\part{}
\setcounter{section}{0}
\begin{center} \textbf {ETUDE de L'EQUATION : } $E_{2}$ 
$y"(t)+exp(t)y(t)=O $ \end{center}
On note que $E_{2}$ est une \'equation 
diff\'erentielle lin\'eaire r\'esolue en $y"$ \`a coefficients continus 
sur R .
\section{z\'eros de la fonction y}
\subsection{}
D'apr\`es le th\'eor\`eme de Cauchy cas lin\'eaire sans second membre $y=0$
\subsection{}
Soit $z$ solution de F et $y$ v\'erifiant H(strictement positive sur 
$[\alpha,\beta]) $. On v\'erifie ais\'ement (utiliser 1.1 et faire un dessin) que 
$z'(\alpha)=\lim\limits_{t\to \alpha +}\frac{z(t)-0}{t-\alpha} \ge 
0 \ et\ \not =0$ et de m\^eme $z'(\beta)<0$. Un calcul direct donne avec 
$W(t)=y(t)z'(t)-y'(t)z(t)$ , $W'(t)=(exp(t)-exp(a))y(t)z(t)$ est 
donc strictement positif sur $]\alpha,\beta[ $. W  est croissante sur $[\alpha,\beta])$ .
Comme $W(\alpha)=y(\alpha)z'(\alpha)>0$ et $W(\beta)=y(\beta)z'(\beta)<0$  
ceci conduit � une absurdit\'e .
Donc sur $[\alpha,\beta]$ intervalle d\'efini par deux z\'eros 
cons\'ecutifs de z , y s'annule.\\
\underline {\textbf{Remarque:}} les r\'esultats demeurent si on  suppose simplement $z$ 
et $y$ de signe strict fixe sur les intervalles respectifs (les 
\'equations diff\'erentielles \'etant lin\'eaires changer 
si besoin $z$ en $-z$ et  si besoin $y$ en $-y$ )
\subsection{}
Avec $a=\tau $ $z(t)=\sin(exp(-\tau/2)(t-\tau))$ est une solution 
de F s'annulant en $\tau$ et $\tau +\pi exp(-\tau /2) $ deux z\'eros 
cons\'ecutifs. Par suite $y$ s'annule sur tout intervalle $[\tau ,\tau +\pi 
exp(-\tau /2)] $.
\section{espacement des z\'eros de la fonction y}
\subsection{}
Comme $y$ n'est pas nulle et $y(\tau)=0$ $y'(\tau) \not=0$. $y$ \'etant 
$C_{1}$ y est srictement monotone au voisinage de $ \tau $ et pour un 
certain $c>0$ non nulle sur $]\tau ,\tau +c [$.\\ Ce qui justifie la 
notion de z\'eros cons\'ecutifs .
\subsection{}
Avec $0<\epsilon < c$ Soit $z(t)=\sin(exp(-\beta/2)(t-\beta -\epsilon)$ . 
Avec les deux z\'eros cons\'ecutifs choisis on a n\'ecessairement un z\'ero 
de $y$ dansl'intervalle semi ouvert $[\beta -\epsilon -\pi exp(-\beta 
/2)\ ,\ \beta -\epsilon[$ Par cons�quent :
$$( \beta -\epsilon -\pi exp(-\beta /2)) \le \alpha < \beta -\epsilon <\beta$$. 
En faisant tendre $\epsilon $ vers 0 ,
$\quad \beta  -\pi exp(-\beta /2) \le {\alpha < \beta}$ D'ou le 
r\'esultat:$$\beta - \alpha \ge \pi exp(-\beta /2)$$

\part{}
\setcounter{section}{0}
\section{Fonction $\Psi$}

On remarque que $\Psi (t)=g(exp(t)) $ (g fonction de II) . 
\subsection{}
$v_{n}(t)=u_{n}(exp(t)$. $\forall x \in (-\infty,a]\ \mid 
v_{n}(t)\mid \le \mid u_{n}(exp(a)\mid $ qui est le terme d'une s\'erie 
num\'erique convergence (Rayon de convergence $\infty$ pour $g$).\\La s\'erie 
de fonctions de terme g\'en\'eral $v_{n}$ converge normalement donc 
uniform\'ement sur $(-\infty,a]$.
\subsection{}
Avec la remarque pr\'eliminaire $\Psi$ est par composition de classe 
$C_{\infty}$ avec $\Psi"(t)=exp(2t)g"(exp(t))+exp(t)g(exp(t)) $ ce 
qui conduit \`a $\Psi$ solution de$E_{2}$ sur R si et seulement si 
( $x=exp(t)\  et\  xg"(x)+g'(x)+g(x)=0$ ). Par d\'erivation terme � terme 
d'une s\'erie enti\`ere sur son intervalle de convergence ici R  , avec 
un changement d'indice le r\'esultat est imm\'ediat .
\section{}
Vue la remarque t z\'ero de $\Psi$ Si et seulement si $exp(t)$ est un 
z\'ero positif de g. Sur[0,2] g admet l'unique z\'ero $x_{0}> sqrt(2)$ 
.Par croissance de l'exponentielle $\Psi$ admet un plus petit z\'ero 
$t_{0}=\ln(x_{0})>\frac{\ln2}{2}$ . Supposons d\'efinis les z\'eros 
cons\'ecutifs de $\Psi$
$t_{0},\cdots ,t_{n}$ en ordre croissant . Par application du III 1 c 
et III 2 ,$\Psi$ admet des z\'eros qui sont dans $A_{n}=[t_{n}+ 
c_{t_{n}},\infty[ $ . $A_{n}$ \'etant ferm\'e il existe un plus petit 
z\'ero de $\Psi$ dans $A_{n}$ donc strictement sup\'erieur \`a $t_{n}$ 
soit $t_{n+1}$ . On en d\'eduit par r\'ecurrence que les z\'eros de $\Psi$ constituent une 
suite monotone croissante . Le III 1c prouve en prenant 
$\tau$ arbitrairement grand que $\lim \limits_{n \to 
\infty}t_{n} = +\infty$ . Enfin en reprenant le III 1c et 
$m_{n}=\frac{t_{n}+t_{n+1}}{2}$  avec $\tau =m_{n}$
on a $t_{n}<m_{n}<t_{n+1}\le  m_{n}+\pi exp(\frac{-m_{n}}{2}) $  . D'o\`u
$0<t_{n+1}-t_{n}\le m_{n}-t_{n}+\pi 
exp(\frac{-m_{n}}{2})=\frac{t_{n+1}-t_{n}}{2}+\pi exp(\frac{-m_{n}}{2})$
Par suite $0<\frac{t_{n+1}-t_{n}}{2}\le \pi exp(\frac{-m_{n}}{2})$\\
\underline {Conclusion $\lim \limits_{n \to \infty}(t_{n+1}-t_{n})=0$ } 

\part{}
\setcounter{section}{0}
\section{lemme de Gronwall}
On introduit en plus $G$ primitive nulle en a de g. g \'etant positive 
sur l'intervalle l'in\'egalit\'ee propos\'ee s'\'ecrit $g(t)f(t)\le 
g(t)M+g(t)F(t)$ soit encore $F'(t)-G'(t)F(t) \le g(t) M$ . 
$exp(-G(t))$ \'etant positif on est conduit \`a $ exp(-G(t))(F'(t)-G'(t)F(t) 
\le MG'(t)exp(-G(t)) $ . En int\'egrant alors de a \`a t :  
$exp(-G(t))F(t)-0\le M(1-exp(-G(t))-1)$  Puis $F(t)\le M(exp(G(t)-1)$\\
Le r\'esultat s'obtient alors en reportant ce r\'esultat dans l'\'equation
propos\'ee.
\section{Majoration de la valeur absolue de y(t)/t}
\subsection{} Avec $y"(t)=-y(t) \varphi (t)$ la formule de Taylor avec 
reste sous forme int\'egrale donne $y(t)=y(a) 
+(t-a)y'(a)-\int_{a}^{t}(t-x)y(x)\varphi(x)dx $.
\subsection{}
Pour $t\ge  a$ , $|j(t)| \le |j(a)|+\mid y'(a)\mid +\int_{a}^{t}|j(x)| 
x\mid \varphi(x) \mid dx $ .  Les hypoth\`eses du lemme de Gronwall sont 
satisfaites pour $\mid j \mid$ et il conduit � $|j(t)| \le (|j(a)|+\mid 
y'(a)\mid)\int_{a}^{t}x\mid \varphi(x)\mid dx$ .
$$\forall t \ge a\quad |j(t)| \le (|j(a)|+\mid y'(a)\mid)\int_{a}^{+\infty }x\mid 
\varphi(x)\mid du =D$$
\section {limites de $y'(t)$ et $j(t)$ en $+\infty$} 
\subsection {}
$ \forall t \ge a \quad y'(t)=y'(a)+\int_{a}^{t} y"(x)dx$
$\mid y"(t) \mid=\mid y(t)\varphi(t)\mid \le Dt\varphi (t)$ et $y"$ est donc 
int\'egrable sur $[a,\infty[$ par application du th\'eor\`eme de 
majoration . Par suite il existe $\lim\limits_{t \to\infty }y'(t)=l$.\\
\subsection{}
En remplacant $y(t)$ par $y(t)-lt$ .On est amen\'e \`a d\'emontrer le 
r\'esultat en supposant $l=0$.\\
$\forall\epsilon >0 \quad \exists T>a \ \forall t\ge T \mid y'(t)\mid 
<\epsilon $ D'o\`u $\mid y(t)-y(T)\mid \le (t-T)\epsilon $ 
(in\'egalit\'ee des accroissements finis). Par suite 
$\mid j(t)\mid\le \mid \frac{y(T)}{t}\mid + 1\epsilon $ et $\exists 
T_{1}>T\quad  \forall t>T_{1} \quad \mid j(t)\mid\le 2\epsilon$.\\
\underline  { Conclusion :$\lim\limits_{t \to+\infty}j(t)=0$}.

\end{document}