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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% D{\'e}but du corrig{\'e} CCP 1 MP 2000
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\grostitre{CCP MP I - ann\'ee 2000}


{\bf I CU dans $\cc$}
\medskip

% Rem: les trois premi{\`e}res questions r{\'e}sultent du cours.
% fallait-il tout red{\'e}montrer ?...

\para{1$ø$}
   $|f_n(x) - f_{n+p}(x)| \le \nn(f_n - f_{n+p}) \to 0$ quand
$n\to+\infty$
et $p$ quelconque par hypoth{\`e}se. Donc la suite $(f_n(x))$ est de
Cauchy pour tout $x$,
dans \R\ complet, donc converge.

% A-t-on le droit de rappeler que la convergence uniforme entra{\^\i}ne
la convergence simple ?
\para{2$ø$}
Une suite de Cauchy est born{\'e}e, donc on peut {\'e}crire
$|f_n(x) - f_{n+p}(x)| \le \nn(f_n - f_{n+p}) \le M$
avec un majorant $M$ ind{\'e}pendant de $x,p,n$.
Faisons tendre $p$ vers $\infty$ ci-dessus, cela donne par passage {\`a}
la limite d'in{\'e}galit{\'e}s larges
$| f_n(x) - f(x) | \le M$; donc $f$ est born{\'e}e comme somme
d'applications born{\'e}es
puisque $f=(f-f_n) + f_n$.

Enfin on a dit que si $\eps>0$ est donn{\'e}, il existe un rang $n_0$ tel
que
$$\forall x\in[0,1], \forall p\in\N, \forall n\ge n_0,|f_n(x) -
f_{n+p}(x)| \le \eps$$
Faisons encore $p\to+\infty$: par passage {\`a} la limite
d'in{\'e}galit{\'e}s larges il vient
pour tout $x\in[0,1]$ $|f_n(x)-f(x) \le \eps$ ie $\nn(f-f_n) \le \eps$
pour $n\ge n_0$.
(on n'avait pas le droit d'{\'e}crire ceci avant !).

\para{3$ø$}
Il ne reste plus qu'{\`a} voir si $f$ est dans le m{\^e}me espace, ie si
$f$ est continue:
or c'est du cours (le reste aussi), ie une limite uniforme d'applications
continues est continue.

Red{\'e}montrons-le:
$$
   |f(x) - f(a)| \le |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(a)| +  |f_n(a) - f(a)|
   \le 2 \nn(f-f_n) + |f_n(x) - f_n(a)|
$$
Si $\eps>0$ est donn{\'e}, soit $n$ fix{\'e} tel que $\nn(f-f_n) \le
\eps/3$. Par continuit{\'e}
de $f_n$, il existe un voisinage de $a$ dans lequel $|f_n(x) - f_n(a)|
\le \eps/3$.
On a dans le m{\^e}me voisinage $|f(x) - f(a)| \le \eps$ ce qui prouve
la continuit{\'e} de $f$
en $a$: c'est vrai pour tout $a$, cqfd.

\para{4$ø$}
% D{\'e}guisement d'une suite ultra-connue...
La limite simple de $(u_n)$ est la fonction $u$ d{\'e}finie par
$\left\{ \matrix{ u(x) = e^0=1 \hbox{ si } x<1 \cr u(1)=e^1=1 \cr}\right.$.
Cette fonction {\'e}tant discontinue, d'apr{\`e}s ce qui pr{\'e}c{\`e}de
la suite
$(u_n)$ qui est dans ${\cal C}^0([0,1],\R)$ ne peut {\^e}tre de Cauchy.

\para{5$ø$)} Par le th{\'e}or{\`e}me de convergence monotone (puisque
$(u_n)$ est une suite
d{\'e}croissante d'applications continues, de limite continue par morceaux,
la suite $(v_n)$ converge bien vers la fonction $v:x\mapsto x = \int_0^x
u$.

La convergence est uniforme, car on peut majorer (croissance de la
fonction)
$e^{t^n} - 1$ par $e^{x^n} - 1$ si $0\le t \le x$. Or
$$0 \le v_n(x) - x =  \int_0^x (e^{t^n} - 1)\; dt \le x.(e^{x^n} - 1)
\le e^{x^n} - 1$$
Soit $\eps>0$ donn{\'e} et posons $a=1-\dfrac{\eps}{e-1}$:
Pour $x\le a$ on a
$$\int_0^x(e^{t^n} - 1)\; dt \le  \int_0^a (e^{t^n} - 1)\; dt\le e^{a^n} -
1$$
et ceci est major{\'e} par $\eps$ pour $n$ assez grand.
Pour $x>a$ on a
$$\int_a^x (e^{t^n} - 1)\; dt \le \int_a^x (e-1) \le (x-a)(e-1) \le
(1-a)(e-1) = \eps
\ \hbox{et} \int_0^x = \int_0^a + \int_a^x \le \eps + \eps$$
On a donc dans le pire des cas, et ind{\'e}pendamment de $x$,
$0\le v_n(x) - x \le 2\eps$ pour $n$ assez grand ie $\nn(v_n - v) \le
2\eps$, cqfd.
\goodbreak
\medskip
{\bf II Thm du point fixe}
\medskip
\para{1$ø$}
On a $\|x-y\| \le \alpha \|x-y\|$ d'o{\`u} $(1-\alpha)\|x-y\| \le 0$
d'o{\`u} $\|x-y\| \le 0$
 ce qui exige que $x=y$.
 \para{2.1}
$\|a_{n+1} - a_n\| = \|T(a_n) - T(a_{n-1})\| \le \alpha  \|a_n - a_{n-1}\|
\le \dots \le
\alpha^n  \|a_1 - a_{0}\|$ de proche en proche (ou par une
r{\'e}currence {\'e}vidente).
%
$$
\|a_{n+p} - a_n\| \le \|a_{n+p} - a_{n+p-1}\| + \|a_{n+p-1}-a_{n+p-2}\| +
\dots
   +\|a_{n+1} - a_n\| \le \bigl(\alpha^{n+p-1} +\dots+\alpha^n  \bigr)
\|a_1 - a_0\|
$$
en utilisant l'in{\'e}galit{\'e} pr{\'e}c{\'e}dente.
\para{2.2}
$\alpha^{n+p-1} +\dots+\alpha^n \le \alpha^n(1+\alpha+\alpha^2+\dots)
= \dfrac{\alpha^n}{1-\alpha}\to 0$
quand $n\ to +\infty$, ind{\'e}pendamment de $p$. Donc la suite
$(a_n)_{n\in\N}$ est de Cauchy, dans la partie
$A$ qui est compl{\`e}te puisque ferm{\'e}e dans un Banach: celle converge
vers un {\'e}l{\'e}ment $\aleph$ de $A$.
\para{2.3}
Passant {\`a} la limite dans $a_{n+1} = f( a_n)$ on trouve (par
continuit{\'e} de $f$ lipschitzienne)
$\aleph = f(\aleph)$ ce qui contraint $\aleph$ {\`a} {\^e}tre fixe par $f$;
mais il ne peut y avoir deux points fixes distincts par {\bf II.1}, donc
le th{\'e}or{\`e}me est {\'e}tabli.

\para{3.1}
Le point d{\'e}licat est la bijectivit{\'e} ! ($T$ est continue)
L'injectivit{\'e} ne serait pas tr{\`e}s difficile, mais faisons d'une
pierre deux coups
en exhibant l'inverse de $U$:

si l'on cherche un ant{\'e}c{\'e}dent par $U$ de $y\in E$, on a
successivement
$$x = y - T(x) = y - T(y-T(x)) = y - T(y-T(y-T(x))) = \dots = b_n$$
o{\`u} $b_0 = y,\ b_{n+1} = y - T(y)$.

On va donc chercher $x$ comme point fixe de la fonction $S:u\mapsto
y-T(u)$.
Or cette application est contractante, car
$
   S(u) - S(v) = T(v) - T(u)
$. Donc le th{\'e}or{\`e}me du point fixe s'applique, $S$ poss{\`e}de un
unique point fixe qui
est le $x$ cherch{\'e}.
\para{3.2}
Soit $x= U(x') = x'+T(x')$ et $y= U(y')=y'+T(y')$: on a
$$
  \|x - y\| = \|x' - y' + T(x') - T(y') \| \ge \|x' - y'\| - \|T(x') -
T(y') \|
      \ge \|x' - y'\| - \alpha \|x' - y'\|
$$
puisque $ \|T(x') - T(y') \| \le \alpha \|x' - y'\|$: ce qui prouve ce que
l'on demande, ie
$$\|x' - y'\| \le \dfrac1{1-\alpha} \|x - y\|$$

\para{4.1} Par lin{\'e}arit{\'e} de $V$:
$\|V(x) - V(y)\| = \|V(x-y)\| \le \|V\|.\|x-y\|$ et donc $V$ est
contractante.

\para{4.2}
Question d{\'e}licate. Remarquons que, d'une part, l'hypoth{\`e}se
$\|V\|>1$ n'est pas superf{\'e}tatoire,
et d'autre part, que $\|V_n\| \to \|V\|$ (continuit{\'e} de la norme).
En particulier on a
({\`a} partir d'un certain rang, pour un certain $\alpha \in ]\|V\|, 1[$)
\reponse{$\|V_n\| \le \alpha < 1$ d'o{\`u}
$\|(I + V_n)^{-1}\| \le (1-\alpha)^{-1}$ par \bf 3.2}
Par ailleurs, $y = x_n + V_n(x_n) = x + V(x)$ d'o{\`u}
$$x_n - x = V(x) - V_n(x_n) = \bigl(V(x) - V_n(x)\bigr) - \bigl(V_n(x_n)
- V_n(x)\bigr)
$$
On en tire (par lin{\'e}arit{\'e} de $V_n$)
$(I + V_n)(x_n - x) =  V(x) - V_n(x)
$
d'o{\`u} $$\|x_n - x\| = \|(I + V_n)^{-1}\circ (V - V_n)(x)\|
 \le \dfrac{\|V - V_n\|.\|x\|}{1-\alpha} \to 0$$

\bigskip
{\bf III Etude d'une transformation de ${\cal C}([0,1], \R)$}
\medskip

\para{1}
On applique le th{\'e}or{\`e}me (ou l'in{\'e}galit{\'e}) des
accroissements finis {\`a} une
application de \R\ dans \R, $\wp:z\mapsto \Psi(x,y,z)$ (l'application
partielle,
$x$ et $y$ sont fix{\'e}s).

Comme $\wp'(z) = \dfrac{\partial \Psi}{\partial z}(x,y,z)$ est born{\'e}e
par $M$ en valeur absolue, on a bien
\goodbreak$|\wp(z') - \wp(z)|\le M.|z'-z|$, ce qui prouve que $\varphi$
est de type \uu.
% pq pas "localement lipschitzienne " ?
 \para{2.1}
 Une compos{\'e}e d'applications continues est continue.
 L'application propos{\'e}e est bien d{\'e}finie, et continue.
\para{2.2}
En effet, $x\mapsto \int_0^1 \varphi\bigl(x,y,u(y)\bigr)\;dy$ d{\'e}finit
bien une application de $[0,1]$ dans \R, que l'on peut d{\'e}noter
$T_\varphi (u)$.
% C'est pour trier ceux qui suivent.
D'apr{\`e}s les th{\'e}or{\`e}mes sur les int{\'e}grales sur un segment
fix{\'e} d{\'e}pendant d'un param{\`e}tre,
$T_\varphi (u)$ est continue d{\`e}s que $u$ l'est
(puisqu'alors l'int{\'e}grande est fonction continue
du couple $(x,y)$).
\para{2.3}
Cherchons une majoration ind{\'e}pendante de $x$:
$$\displaylines{
|T_\varphi (u_1)(x) - T_\varphi (u_2)(x)| =
   \left| \int_0^1 \varphi\bigl(x,y,u_1(y)\bigr)
- \varphi\bigl(x,y,u_2(y)\bigr)\;dy\right| \cr
   \le  \int_0^1 \Bigl|\varphi\bigl(x,y,u_1(y)\bigr)
- \varphi\bigl(x,y,u_2(y)\bigr)\Bigr|\;dy
   \le \int_0^1 r|u_1(y) - u_2(y)|\;dy \le r\;\nn(u_1 - u_2)
       \cr
   }
$$
Cette majoration {\'e}tant uniforme, on a bien
$\nn\bigl(T_\varphi (u_1)(x) - T_\varphi (u_2)(x)\bigr) \le  r\;\nn(u_1 -
u_2)$.
L'application $T_\varphi$ est donc lipschitzienne.
\para{2.4}
L'hypoth{\`e}se sur $\lambda$ signifie que
$\lambda T_\varphi$ est contractante, par application de la
partie pr{\'e}c{\'e}dente on en d{\'e}duit que
$\ss_{(\varphi, \lambda)}$ est un hom{\'e}omorphisme de
${\cal C}^0([0,1],\R)$ dans lui-m{\^e}me (avec $\nn$).
\para{3.1}
$\mu$ est continue sur un compact (carr{\'e}), donc y est major{\'e}e:
posons $r = \sup |\mu|$, alors
imm{\'e}diatement on voit que $\varphi$ est de type \uu. La fin de la
question est l'application
de la pr{\'e}c{\'e}dente.
\para{3.2}
% surtout comprendre la question...
Les $T_\varphi$ et autres travaillent sur \cc. Consid{\'e}rons $u\in\cc$:
$$
   \Bigl\|\bigl(T_{\varphi_n} (u) - T_{\varphi}(u)\bigr)(x)\Bigr\|
   = \bigl| \int_0^1 \bigl(\mu_n(x,y) - \mu(x,y)\bigr)\;u(y)\;dy \bigr|
   \le \nn(\mu_n - \mu).\nn(u)
$$
On en tire $\nn(T_{\varphi_n} - T_{\varphi}) \le \nn(\mu_n - \mu)$
par d{\'e}finition d'une norme subordonn{\'e}e.

Or cette derni{\`e}re quantit{\'e} tend vers 0 par hypoth{\`e}se,
donc $T_{\varphi_n}$ tend vers $T_{\varphi}$
pour la norme de ${\cal L}(\cc)$, cqfd.

\bigskip

{\bf IV. Etude d'une application}
\medskip

L'op{\'e}rateur $T_{\varphi}$ est contractant, o{\`u} $\varphi(x,y,z) =
\sin(xy) z$ (ie $\mu(x,y)=\sin(xy)$),
car $\nn(\mu)=\sin 1<1$ (cf. {\bf III.2} notamment).
Par le {\bf II} on en d{\'e}duit que $I+ T_\varphi$ poss{\`e}de un, et un
seul, point fixe dans \cc.
\para{2}
Il n'est pas interdit de remarquer que $v_n(x,y) \to \sin xy$ et
ce uniform{\'e}ment sur
$[0,1]^2$.
\para{2.1}
$(E_1): w_1(x) = x + \int_0^1 x y\; w(y) \;dy = x\Bigl(1 + \int_0^1 y\;
w_1(y) \;dy \Bigr)$.

On peut invoquer des raisons similaires pour justifier existence et
unicit{\'e} d'une solution.

Donc si $w_1 $ est solution alors $w_1(x) = \lambda x $ avec
$$\lambda x = x + \int_0^1 x \lambda y^2\;dy  = x(1 + \dfrac{\lambda}3 )
\qquad\hbox{d'o{\`u} } \lambda = \dfrac32\quad\hbox{ et}
\quad w_1(x) = \dfrac{3x}2$$
\para{2.2}
%{\sl Remarque: on pourrait prouver que l'op{\'e}rateur $T_{\varphi_n}$
est contractante
%car $\nn(\mu_n)\le\sin 1$ reste vraie pour tout $n$\dots}

Similairement, il est n{\'e}cessaire que $w_n$ soit un polyn{\^o}me impair
de degr{\'e} $2n-1$:
$$w_n(x) = a_1 x + a_3 x^3 + \dots + a_{2n-1} x^{2n-1}
 = x(1+\int_0^1 y\; w(y) \;dy) +\sum_{i=2}^n  x^{2i-1}\int_0^1
\dfrac{(-1)^i y^{2i-1}}{(2i-1)!}w_n(y)\;dy $$

et par identification des coefficients il vient
$$\displaylines{
a_1 = 1 + \sum_{j=1}^n   \int_0^1 a_{2j-1} \;y^{2j}\;dy = 1 +
\sum_{j=1}^n \dfrac{a_{2j-1}}{2j+1}
\qquad\hbox{et pour } i>1\dots \cr
 a_{2i-1} = \dfrac{(-1)^i}{(2i-1)!}\sum_{j=1}^n   \int_0^1
a_{2j-1} \;y^{2i+2j-2}\;dy
 = \dfrac{(-1)^i}{(2i-1)!}\sum_{j=1}^n  \dfrac{a_{2j-1}}{2i+2j-1} \cr}
$$
On n'essaiera pas de r{\'e}soudre ce syst{\`e}me !
% rem: on devrait noter $a_{n,2j-1}$ plut{\^o}t que $a_{2j-1}$ mais bon...

Il vient {\`a} l'ordinateur $w_2(x) = \frac{3225\,x}{2171}
- \frac{105\,x^3}{2171},
    w_3[x] = \frac{8441757975\,x}{5681443343}
- \frac{275025240\,x^3}{5681443343} +
  \frac{9802485\,x^5}{5681443343} \dotsè $ et le graphe montre bien la
CUniforme
  (sur tout compact ?):



  \para{2.3}
Tout d'abord, on peut remarquer que la s{\'e}rie de somme partielle
$v_n$ v{\'e}rifie
sur $[0,1]^2$ le crit{\`e}re des s{\'e}ries altern{\'e}es: en
effet $\dfrac{(xy)^{2i-1}}{(2i-1)!}$
d{\'e}cro{\^\i}t vers 0. On a en cons{\'e}quence les sous-suites paires
et impaires qui sont adjacentes,
de limite commune (qui est $\sin xy$ comme on le sait). En particulier
$v_n$ est co{\"\i}nc{\'e}e
entre $v_2$ et $v_3$ pour $n\ge 2$:
$$
   0 \le  xy - \dfrac{x^3 y^3}6 \le v_n(x,y) \le xy - \dfrac{x^3 y^3}6 xy
+ \dfrac{x^5 y^5}{120}
$$
d'o{\`u} $\nn(v_n) \ge \nn(v_2) = \dfrac56$. Ce qui prouve que l'on peut
prendre $\lambda=-1$ dans
la partie {\bf III.3}.

On a donc une et une seule solution donn{\'e}e par le th{\'e}or{\`e}me du
point fixe comme au {\bf II}.

\para{2.4}
La convergence de $v_n$ vers $\sin$ est uniforme sur $[0,1]^2$ -- soit
en consid{\'e}rant qu'il s'agit
d'une s{\'e}rie enti{\`e}re en la variable $xy$, laquelle reste
dans un compact du disque de convergence, soit en utilisant le
th{\'e}or{\`e}me des s{\'e}ries altern{\'e}es
comme {\`a} la question pr{\'e}c{\'e}dente mais pour majorer le reste de
la s{\'e}rie.

Cela signifie que $\nn(v_n-v) \to 0$, comme au {\bf 3.3.2}.

On a donc convergence de la suite des op{\'e}rateurs de Fredholm
associ{\'e}s pour la norme d'op{\'e}rateur
de leur abominable espace ! Il est (enfin) temps d'appliquer la question
{\bf II.4.2} qui montre
que l'on a alors convergence (ie convergence uniforme en l'occurence) de
la suite des
points fixes des $V_n = S_{\varphi_n, 1}$ o{\`u}
$\varphi_n(x,y,z)=v_n(x,y)z$ comme
au {\bf III.3}.

Ce qui signifie bien que $w_n \to w$ uniform{\'e}ment sur $[0,1]$.

\bigskip
\lafin

\vfill\eject

\bye



