\input math3.sty
\def\question{\global\parindent0mm\global\sqno0\global\advance\qno1%
\goodbreak\vskip2mm{\bf \the\qno.\ \ }\nobreak}
\def\sousquestion{\global\parindent0mm\goodbreak\vskip2mm
\global\advance\sqno by1\quad {\bf\the\qno.\the\sqno\sevenrm}\ \ }
\def\Ni{{\cal N}_\infty }
\def\su#1(#2){(#1_n\ifx#2..\else(#2)\fi)_{n\in\N}}
\def\vers{\mathop{\longrightarrow}\limits_{n\to\infty }}
\def\CR{{\cal C}([0,1],\R)}
\let\int=\INT

SESSION 2000
\titrecentre{CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES}
\titrecentre{\'EPREUVE SP\'ECIFIQUE-FILI\`ERE MP}
\titrecentre{MATH\'EMATIQUES I}
\titrecentre{DUR\'EE: 4 heures}

{\it Les calculatrices programmables et alphanum\'eriques sont
autoris\'ees, sous r\'eserve des conditions d\'efinies dans la
circulaire n\hbox{$^\circ$} 99-018 du 01.02.99.}

%%\grostitre{CCP 2000, Math. I}\nofoot

Le probl\`eme propos\'e a pour but la d\'emonstration d'un th\'eor\`eme
relatif aux contractions d'un espace de Banach et l'\'etude, gr\^ace
\`a ce th\'eor\`eme, d'une \'equation fonctionnelle.

Si $X$ et $Y$ sont des ensembles, $Y^X$ d\'esigne l'ensemble des
applications de $X$ dans $Y$.

Si $X$ est un ensemble non vide, $\Ni$ d\'esigne la norme de la convergence uniforme sur l'espace
vectoriel des applications born\'ees de $X$ dans $\R$:
$\Ni(f)=\sup(\{|f(x)| \ /\ x\in X\})$.

\partie[Convergence uniforme dans $\CR$] %I

Soit $\su f()$ une suite de Cauchy, pour $\Ni$, de $\cur
C([0,1],\R)$.

\question
Montrer que, pour tout $x\in  [0,1]$, $\su f(x)$ converge.
Soit $f$ la limite simple de la suite
$\su f()$.

\question %2.
Montrer que $f$ est born\'ee et que $\Ni (f_n - f)
\vers0$.

\question %3.
Justifier que $(\CR, \Ni)$ est un espace de Banach.

\question
Soit $\su u()$ la suite de $\CR$ d\'efinie par:
$u_n(x)=e^{x^n}$ pour tout $x\in  [0,1]$. Montrer que, pour tout $x\in
[0,1]$, $\su u(x)$ converge. La suite $\su u()$
est-elle de Cauchy pour $\Ni$ ?

\question %5.
Soit $\su v()$ la suite de $\CR$ d\'efinie par:
$v_n(x)=\int_0^xe^{t^n}\dt$ pour tout $x\in [0,1]$.
Montrer que $\su v()$ converge uniform\'ement sur $[0,1]$ vers un
\'el\'ement $v$ de $\CR$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PARTIE II %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie[Th\'eor\`eme du point fixe de Banach] %II
Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace de Banach r\'eel, soit $A$ un
sous-ensemble ferm\'e non vide de $E$ et soit $T\in A^A$ v\'erifiant: il
existe $\alpha \in [0,1[$ tel que $\|T(x) - T(y)\|\le \alpha \|x - y\|$ pour tout $(x,
y)\in A^2$ (on dit que $T$ est contractante ou encore que $T$ est une
contraction).

\question %1.
Soit $(x, y)\in A^2$ tel que: $T(x)=x$, $T (y)=y$. Montrer que $x
=y$.

\question %2.
Soit $a\in A$, on d\'efinit $(a_n)_{n\in \N}$ par: $a_0=a$,
$a_{n+1}=T(a_n)$

\sousquestion %2.1
Montrer que: $\|a_{n+1}-a_n\|\le \alpha^n\|a_1-a_0\|$.
En d\'eduire que si $(n,p)\in \N\times \N^*$ on a:
$$\|a_{n+p}-a_n\|\le \|a_1-a_0\|\Bigl(\sum_{i=0}^{p-1}\alpha^{n+i}\Bigr)\>.$$

\sousquestion %2.2
Montrer que $\su a()$ est convergente et que sa limite est
\'el\'ement de $A$.

\sousquestion %2.3
Montrer que $T$ poss\`ede un unique point fixe qui est la limite de
$\su a()$. On \'etablit
ainsi le th\'eor\`eme du point fixe de Banach: \og Toute contraction $T$
d'un ferm\'e non vide $A$
d'un espace de Banach poss\`ede un point fixe unique, de plus si
$a\in A$, la suite $\su a()$
d\'efinie par $a_0=a$,
$a_{n+1}=T(a_n)$, converge vers ce point fixe\fg.

\question %3.
On suppose que $A=E$, soit alors, $U\in E^E$ d\'efinie par: $U (x)=
x+T (x)$.

\sousquestion %3.1
Montrer que $U$ est une bijection continue de $E$ sur $E$.

\sousquestion %3.2
Montrer que, pour tout $(x, y)\in E$ on a:
$$
\|U^{-1} (x) - U^{-1} (y)\|<(1-\alpha)^{-1}\|x - y\|
$$
($U$ est donc un hom\'eomorphisme de $E$ sur $E$).

\question %4.
Soit $\cur L(E)=\{V\in E\ /\ (V\hbox{ lin\'eaire et }V\hbox{
continue})\}$, on note encore $\|V\|=\sup\bigl(\{\|V(x)\|\ /\ \|x\|\le 1\}\bigr)$
la norme subordonn\'ee de $V$ ($V\in \cur L(E)$); soit $I$ l'identit\'e
de $E$.

\sousquestion %4.1
Soit $V\in \cur L(E)$ telle que $\|V\|<1$, montrer que $V$ est contractante.

\sousquestion %4.2
Soit $\su V()$ une suite de $\cur L(E)$ et soit $V\in \cur L(E)$ tels que:
$\|V_n\|<1$ pour tout $n\in \N$,
$\|V\|<1$, $\|V_n-V\|\vers0$.

Soit $y\in E$ alors, d'apr\`es 3, $I+V_n$ et $I+V$ sont des
isomorphismes de $E$; on peut
donc d\'efinir $\su x()=((I+V_n)^{-1}(y))_{n\in \N}$ et $x=(I+V)^{-1}(y)$, montrer que:
$\|x_n-x\|\vers0$
(on aura int\'er\^et \`a \'ecrire: $V(x)-V_n(x_n)=(V(x)-V_n(x))+(V_n(x-x_n))$).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PARTIE III %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie[Une transformation de $\CR$] %III

Soit $\varphi : [0,1] \times [0,1]\times\R\longrightarrow \R$, on dira que $\varphi $ est de
type $\cal U$ si:
$\varphi $ est continue et, il existe $r\in \R_+$ tel que l'on ait:

$|\varphi (x, y, z) - \varphi (x, y, z')\le r|z - z'|$ pour tout
$(x,y,z,z')\in [0,1]\times [0,1]\times \R\times \R$.

\question %1.
Montrer que s'il existe $(\Psi,M)\in \cur C^1(R^3,R)\times \R$, tel que:
$\varphi =\Psi \rest{[0,1]\times [0,1]\times \R}$
 et
$\Bigl|\dpar{\Psi }z(x,y,z)\Bigr|\le M$ pour tout $(x, y, z)\in [0,1]\times
[0,1]\times \R$, alors $\varphi $ est de type $\cal U$.

\question %2.
On suppose que $\varphi $ est de type $\cal U$.

\sousquestion %2.1
Soit $u\in \CR$, montrer que pour tout
$x\in [0,1]:\bigl(y\longmapsto \varphi (x,y,u(y))\bigr)\in \CR$.

\sousquestion %2.2
Montrer que l'on peut d\'efinir $T_\varphi : \CR\longrightarrow \R^{[0,1]}$ par:
$\bigl(T_\varphi (u)\bigr)(x)=\int_0^1\varphi (x,y,u(y))\dy$.

Montrer que, pour tout $u\in \CR$, $T_\varphi (u)\in \CR$.

\sousquestion %2.3
Montrer que l'on a:
$$\Ni\bigl(T_\varphi (u_1)-T_\varphi (u_2)\bigr)\le r\Ni(u_1-u_2)$$
pour tous $(u_1,u_2)\in \CR^2$.

\sousquestion %2.4
On d\'efinit, pour $\lambda \in \R$, $S_{(\varphi,\lambda)}: \CR \longrightarrow \CR$ par:
$S_{(\varphi,\lambda)}(u)=u+\lambda  T_\varphi (u)$.
On suppose $r>0$, montrer que l'on a:
$\lambda \in ]-\frac1r,\frac1r[\Longrightarrow S_{(\varphi,\lambda)}$ est un hom\'eomorphisme
de $(\CR, \Ni)$ sur lui m\^eme.

\question %3.
Soit $\mu \in \cur C([0,1]^2,\R)$, soit $\varphi : [0,1]\times [0,1]\times
\R\longrightarrow \R$ d\'efinie par: $\varphi (x, y,z)=\mu (x,y)z$; on supposera $\mu \ne 0$.

\sousquestion %3.1
Montrer que $\varphi $ est de type $\cal U$ et que si
$$\lambda \in \Bigl]-\frac1{\Ni(\mu)},\frac1{\Ni(\mu)}\Bigr[\>,$$
alors on a: $S_{(\varphi,h)}$
est un isomorphisme de $(\CR, \Ni)$ sur lui m\^eme.

\sousquestion %3.2
Soit $(\mu_n)$ une suite de $\cur C([0,1]^2,\R)$ telle que:
$\Ni(\mu_n-\mu)\vers0$. On note $\|\cdot\|_\infty $ la norme subordonn\'ee,
associ\'ee \`a $\Ni$, d\'efinie sur $\cur L(\CR)$. Si $\su \varphi ()$ est la
suite de $\cur C([0,1]\times [0,1]\times \R,\R)$ d\'efinie par
$\varphi_n(x,y,z)=\mu_n(x,y)z$, montrer que: $\|T_{\varphi_n}-T_\varphi \|\vers0$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PARTIE IV %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partie[\'Etude d'une application] %IV
On consid\`ere l'\'equation int\'egrale de Fredholm:
$(E)\ w(x)=x+\int_0^1\sin(xy)w(y)\dy$.

Une solution de $(E)$ (s'il en existe) est donc un \'el\'ement $w$ de
$\R^{[0,1]}$ tel que, pour tout $x\in  [0,1]$, on
ait: $w(x)=x+\int_0^1\sin(xy)w(y)\dy$.
On s'int\'eresse \`a la r\'esolution de $(E)$ dans $\CR$.

\question %1.
Montrer, en utilisant III) que $(E)$ poss\`ede une solution unique
$w\in \CR$.

\question %2.
Soit $\su v()$ la suite de $\cur C([0,1]^2,\R)$ d\'efinie par:
$v_n(x,y)=\sum_{i=1}^n\frac{(-1)^{i+1}}{(2i - 1)!}(xy)^{2i-1}$.
Pour $n\in \N^*$ on d\'efinit l'\'equation int\'egrale $(E_n)$ par:
$w_n(x)=x+\int_0^1v_n(x,y)w_n(y)\dy$.

\sousquestion %2.1
Montrer que $(E_1)$ poss\`ede une solution unique $w_1\in \CR$ et
expliciter $w_1$.

\sousquestion %2.2
Montrer que, pour tout $n\ge 2$, la r\'esolution de $(E_n)$ se ram\`ene \`a
celle d'un syst\`eme
lin\'eaire que l'on explicitera.

\sousquestion %2.3
Montrer, en utilisant III.3), que si $n\ge 2$ alors $(E_n)$ poss\`ede
une solution unique $w_n\in \CR$ (on aura int\'er\^et \`a montrer que:
$$-1\in \Bigl]-\frac1{\Ni(v_n)},\frac1{\Ni(v_n)}\Bigr[$$
si $n\ge 2$).

\sousquestion %2.4
Montrer que
$\Ni(w_n - w)\vers0$.

\bye

