\input upsnum.tex
\input amssym

%%%%macros perso%%%%%%%%%%%%%%%%
% %Les blackboard
\def \dr {{\Bbb R}}
\def \dn {{\Bbb N}}
\def \dz {{\Bbb Z}}
\def \dc {{\Bbb C}}
\def \dne {{\Bbb N}^{\ast}}
\def \dre {{\dr}^{\ast}}
\def\drp {{\dr}^+}
\def \drep {{\dr}_{\ast}^+}
\def \dzem {{\dz}_{\ast}^-}
%sup romain
\def \Sup{\mathop{\rm sup}}

%varepsilon
\let\eps=\varepsilon

%% - coefficients du bin\^ome
\def \comb#1#2{{\rm C}_{#1}^{#2}}
%--- exponentielle
\def\e{{\rm e}}
%-------fonctions de classe Ck
\def\cl#1{{\cal C}^{#1}}
%
% Plus et moins l'infini
%
\def \pf{{+\infty}}
\def \mf{{-\infty}}
%%-----------------limites, \'equivalents, petito,grando-----------
%
%limite quand 1->2
\def \limF#1#2{{\displaystyle \lim_{#1 \to #2}}\,} 
%
%%limite \`a gauche
\def \limG#1#2{{\displaystyle
 \lim_{\scriptstyle #1 \to #2\atop\scriptstyle #1 < #2}}\,}
%
%%limite \`a droite
\def \limD#1#2{{\displaystyle
 \lim_{\scriptstyle #1 \to #2\atop\scriptstyle #1 > #2}}\,}
%
\def \PETITO#1{{\lower1.4ex
 \hbox{$\buildrel{\displaystyle o}\over{\scriptstyle #1}$}}}
%
%
\def \GRANDO#1{{\lower1.4ex
 \hbox{$\buildrel{\displaystyle O}\over{\scriptstyle #1}$}}}

\def\EQUIV#1{\mathrel{\lower1.4ex
 \hbox{$\buildrel{\displaystyle\sim}\over{\scriptstyle #1}$}}}
%----------------------------------------------------
%
%-------fonctions particuli\`eres
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
%-----ensembles
\def\set#1{\{\,#1\,\}}
\def\ens#1#2{\{\, #1 \mid #2 \,\}}
\let\moins=\setminus
%

%%%% VALEUR ABSOLUE
\def\abs#1{\mathopen\vert\, #1\,\mathclose\vert}
\def\Abs#1{\Bigl\vert\, #1\,\Bigr\vert}
%
%
%% Quotients
\def\quot#1#2{\mathchoice
{\vbox{\hbox{$\displaystyle #1$}\kern -.5ex}%
\over
\vbox{\kern 0pt\hbox{$\displaystyle #2$}}%
}%
{\vbox{\hbox{$\displaystyle #1$}\kern .25ex}%
\over
\vbox{\kern .5ex\hbox{$\displaystyle #2$}}%
}%
{#1/#2}%
{#1/#2}}%
%%%------ SOMMES--------
%
%
% - somme de #1=#2 \`a #3
\def \Som#1#2#3{{\displaystyle \sum_{#1=#2}^{#3}}\, }
%--% - somme pour #1
\def \SOM#1{{\displaystyle \sum_{#1}}\, }
%
%%%%%-------INTEGRALES---------
\def \Integ#1#2#3#4{{\displaystyle\int_{#1}^{#2}} #4\,{\rm d}{#3}}
%   la m\^eme, avec un petit signe  en textstyle, un grand signe 
%   en displaystyle
\def \integ#1#2#3#4{\int_{#1}^{#2} #4\,{\rm d}{#3}}
%
%%-------------souligner, encadrer, numeroter--------
%centrer
\def\ct#1{\par\centerline{#1}\par}
%souligner
\def \souligne#1{$\underline{\vphantom y \smash{\hbox{#1}}}$}
%Encadrer
\def\boxit#1#2{\setbox1=\hbox{\kern#1{#2}\kern#1}%
\dimen1=\ht1 \advance\dimen 1 by #1 \dimen2=\dp1 \advance\dimen2 by #1
\setbox1=\hbox{\vrule height\dimen1 depth\dimen2\box1\vrule}%
\setbox1=\vbox{\hrule\box1\hrule}%
\advance\dimen1 by .4pt \ht1=\dimen1
\advance\dimen2 by .4pt \dp1=\dimen2 \box1\relax}
%encadrer+center
\def\bct#1{\smallskip\centerline{\boxit{7pt}{#1}}\smallskip}
%
% numerotation
% Num\'erotation en gras type RMS
\def \noa#1{{\bf #1.}}
\def \nob#1#2{{\bf {#1}.{#2}.}}
\def \noc#1#2#3{{\bf #1.#2.#3.}}

%%%%mise en page%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\voffset=-5truemm
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\centerline{\bf Corrig\'e maths 2 CCP 2000}
\bigskip
\centerline{\bf Partie I}
\bigskip
\nob I 1
\par
\noc I 1 1
Pour tout complexe $z$, la s\'erie $\SOM{n\ge 0}\quot{z^n}{n!}$ est absolument
convergente (de somme $\e^z$), donc \'egalement la s\'erie 
$\SOM{n\ge 0}\quot{z^n}{(n+1)!}$.
\bct{Le rayon de convergence de la s\'erie enti\`ere 
$\SOM{n\ge 0}\quot{z^n}{(n+1)!}$ est $\pf$.}
\medskip
\noc I 1 2
\bct{$S(0)=1$ et pour tout $z\in\dc\moins\set 0$, 
$S(z)=\quot{\e^z-1}{z}\cdotp$}
\medskip
\nob I 2
\par
\noc I 2 1
La fonction $f$ est continue sur le disque ouvert $D(0,R)$, en tant que somme d'une 
s\'erie enti\`ere de rayon de convergence $R$. Or $f$ n'est pas d\'efinie, ni prolongeable par continuit\'e
 en $2i\pi$,
 donc
\bct{ $2\pi\le R$.}
\medskip
\noc I 2 2 
\bct{$B_0=f(0)=1$}
\medskip
\noc I 2 3
Pour tout complexe $z$ tel que $\abs z<2\pi$, $S(z)f(z)=1$.
En utilisant le th\'eor\`eme relatif au produit de deux s\'eries enti\`eres, \par
si $\abs z<2\pi$, $f(z)S(z)=\Som n 0 \pf c_n z^n$ avec pour tout $n\in\dn$,\par 
$c_n=\Som p 0 n \quot{B_p}{p!}\quot 1{(n-p+1)!}=\quot 1{(n+1)!}\Som p 0 n \comb{n+1}p B_p.$

\par
Par unicit\'e du d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de la fonction $1$, on en d\'eduit que 
$c_0=1$ et pour tout $n\in\dne$, $c_n=0$.
On obtient pour tout $n\in\dne$, 
$\Som p 0 {n-1} \comb{n+1}p B_p+(n+1) B_n=0$.
\bct{Pour tout $n\in\dne$, $B_n=-\quot 1{n+1}\Som p 0{n-1}\comb{n+1}p B_p$.}
\smallskip
On sait que $B_0$ est rationnel; si pour un certain $n\in\dne$, $B_0,B_1,\ldots,B_{n-1}$
sont rationnels, la formule de r\'ecurrence pr\'ec\'edente prouve que $B_n$ l'est \'egalement.\par
Par r\'ecurrence, on en d\'eduit que tous les coefficients $B_n$, pour $n\in\dn$, sont rationnels.
\medskip
\noc I 2 4
\bct{$B_1=-\quot 1 2,\quad B_2=\quot 1 6,\quad B_3=0,\quad B_4=-\quot 1{30}\cdotp$}
\medskip
\noc I 2 5
Soit $z\in D(0,2\pi)$.  Si  $z\not=0$,\par
 $f(z)-f(-z)=\quot{z}{\e^z-1}+\quot{z}{\e^{-z}-1}=z\quot{\e^z+\e^{-z}-2}{(\e^z-1)(\e^{-z}-1)}=-z$, ce qui est encore vrai
pour $z=0$.

\bct{ Pour tout $z\in D(0,2\pi),\quad f(z)-f(-z)=-z$.}
Or $f(z)=B_0+B_1 z+\Som n 2 \pf \quot{B_n}{n!}z^n$, $f(-z)=B_0-B_1 z+\Som n 2 \pf \quot{(-1)^n B_n}{n!}z^n$.\par
On obtient pour tout $z\in D(0,2\pi)$, 
$-z=2B_1 z+\Som n 2 \pf \quot{(1-(-1)^n) B_n}{n!}z^n$\par
Par unicit\'e du d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de la fonction $z\to -z$, on retrouve que 
$B_1=-\quot 1 2$ et pour tout $n\ge 2$, $\quot{(1-(-1)^n) B_n}{n!}=0$.
\par
On a alors,
\bct{Pour tout $k\ge 1$, $B_{2k+1}=0$.}
\medskip
\nob I 3\par
\noc I 3 1
Soit $z\in \dc\moins 2i\pi\dz$\par
$\eqalign{\quot{f(4z)-f(2z)}z&=\quot{4}{(\e^{2z}-1)(\e^{2z}+1)}-\quot{2}{\e^{2z}-1}\cr
                             &=\quot{2(1-\e^{2z})}{\e^{4z}-1}\cr
                             &=\quot{-2}{\e^{2z}+1}\cdotp\cr}$
\smallskip
On en d\'eduit alors que $\Delta(z)=1+\quot{f(4z)-f(2z)}{z}=\quot{\e^{2z}-1}{\e^{2z}+1}\,\cdotp$\par
Pour $z=0$, l'\'egalit\'e est encore vraie en consid\'erant $\limF z 0 \Delta(z)$.
\bct{Pour tout $z\in \dc\moins 2i\pi\dz\cup\set{0},\quad 1+\quot{f(4z)-f(2z)}{z}=
\quot{\e^{2z}-1}{\e^{2z}+1}=\quot{\e^z-\e^{-z}}{\e^z+\e^{-z}}\,\cdotp$}
\medskip
\noc I 3 2
Remarquons que si $x\in\dr$, $\quot{\e^x-\e^{-x}}{\e^x+\e^{-x}}=\th x$ et
si $x\in\dr$, $x\notin \quot{\pi}2+\pi\dz$, 
$\quot{\e^{ix}-\e^{-ix}}{\e^{ix}+\e^{-ix}}=i\tan x$.\par
D'autre part, si $\abs z<\quot\pi 2$, $\abs{4z}<2\pi$ et $\abs{2z}<2\pi$. 
On a alors, en tenant compte du fait que $B_1=-\quot 1 2$ et $B_{2k+1}=0$ si $k\ge 1$,\par
$f(4z)=1-2z+\Som p 1 \pf \quot{4^{2p}B_{2p}}{(2p)!}z^{2p}$,
$f(2z)=1-z+\Som p 1 \pf \quot{2^{2p}B_{2p}}{(2p)!}z^{2p}$, d'o\`u\par
$1+\quot{f(4z)-f(2z)}z=\Som p 1 \pf \quot{B_{2p}}{(2p)!}2^{2p}(2^{2p}-1)z^{2p-1}
=\Som p 0 \pf \quot{B_{2p+2}}{(2p+2)!}\,2^{2p+2}(2^{2p+2}-1)z^{2p+1}$.
\smallskip
En particulier, si $x$ est r\'eel et $\abs x<\quot{\pi}2$,\par
\bct{$\th x=\Som p 0 \pf \quot{B_{2p+2}}{(2p+2)!}\,2^{2p+2}(2^{2p+2}-1)x^{2p+1}$}
\par
De m\^eme, $\tan x=\quot 1 i \Delta(ix)$, soit 
\bct{$\tan x=\Som p 0 \pf (-1)^p\quot{B_{2p+2}}{(2p+2)!}2^{2p+2}\,(2^{2p+2}-1)x^{2p+1}$}
\smallskip
Notons $R_1$ et $R_2$ les rayons de convergence respectifs des s\'eries enti\`eres pr\'ec\'edentes.\par
$R_1=R_2=\sup\ens{r\in\drp}{\Bigl(\Abs {\quot{B_{2p+2}}{(2p+2)!}2^{2p+2}(2^{2p+2}-1)}\,r^{2p+1}\Bigr)_p\hbox{ est born\'ee} }$ et comme ces deux s\'eries enti\`eres sont absolument convergentes si $\abs x<\quot{\pi}2$, 
$R_1=R_2\ge \quot{\pi}2$. D'autre part la fonction $\tan$ n'\'etant pas d\'efinie ni prolongeable par continuit\'e en $\quot\pi 2$, $R_2\le \quot\pi 2$.
\bct{$R_1=R_2=\quot\pi 2\,\cdotp$}
\medskip
\nob I 4
\par
\noc I 4 1
Pour tous complexes $x$ et $z$, $\e^{xz}=\Som n 0 \pf \quot{x^n}{n!}z^n$ et si $\abs z<2\pi$, 
$f(z)=\Som n 0 \pf \quot{B_n}{n!}z^n$. \par
En utilisant le th\'eor\`eme relatif au produit de deux s\'eries enti\`eres, on en d\'eduit que pour tous complexes $x$ et $z$ tels que $\abs z<2\pi$, \par
\ct{$f(z)\e^{xz}=\Som n 0 \pf c_n z^n$ o\`u pour tout $n$, 
$c_n=\Som p 0 n \quot{x^p}{p!}\,\quot{B_{n-p}}{(n-p)!}\,\cdotp$}
On a alors $f(z)\e^{xz}=\Som n 0 \pf \beta_n(x)\quot{ z^n}{n!}$ o\`u pour tout entier $n$ et pour tout r\'eel $x$, 
\ct{$\beta_n(x)=\Som p 0 n \comb n p x^p B_{n-p}$.}
Pour tout entier $n$, $\beta_n$ est un polyn\^ome de degr\'e $n$ de coefficient dominant $\comb n n B_0=1$.\par
$\beta_n(0)=\comb n 0 B_n=B_n$.
\medskip

\noc I 4 2
Soit $k\ge 0$ et $x\in\dc$.\par
$\eqalign{\beta_{k+1}(x)-\beta_{k+1}(x)
&=\Som p 0{k+1}\comb{k+1}p ((x+1)^p-x^p) B_{k+1-p}\cr
&=\Som p 1{k+1}\comb{k+1}p\bigl(\Som h 0 {p-1}\comb p h x^h\bigr)B_{k+1-p}\cr
&=\Som h 0 {k} x^h\bigl(\Som p {h+1} {k+1} \comb{k+1}p\comb p h B_{k+1-p}\bigr)\cr
&=\Som h 0 k x^h\bigl(\Som p {h+1} {k+1}\quot{(k+1)!}{p!(k+1-p)!}\quot{p!}{h!(p-h)!}B_{k+1-p}\bigr)\cr
&=\Som h 0 k \comb {k+1}h x^h\bigl(\Som p {h+1}{k+1} \comb{k+1-h}{p-h} B_{k+1-p}\bigr)\cr
&=\Som h 0 k  \comb {k+1}h x^h\bigl(\Som l 1 {k+1-h}\comb {k+1-h}l B_{k+1-h-l}\bigr)\cr
&=\Som h 0 k  \comb {k+1}h x^h\bigl(\Som q 0 {k-h}\comb {k+1-h}q B_q\bigr)\cr}$
\smallskip
Or si $n\ge 1$, $\Som q 0 n \comb{n+1}q B_q=0$. Dans la somme pr\'ec\'edente reste donc uniquement le terme 
correspondant \`a $h=k$, de valeur $\comb{k+1}k x^k B_0=(k+1)x^k$.
\bct{$\beta_{k+1}(x+1)-\beta_{k+1}(x)=(k+1)x^k$.}
Soit $k\in\dn$ et $N\in\dne$. Notons $S_{k,N}=\Som n 1 N n^{k}=\Som n 0 N n^k$.\par
$S_{k,N}=\quot 1{k+1}\Som n 0 N(\beta_{k+1}(n+1)-\beta_{k+1}(n))=
\quot 1{k+1}(\beta_{k+1}(N+1)-\beta_{k+1}(0))$. \par
Comme $\beta_{k+1}(0)=B_{k+1}$,
\bct{$\Som n 1 N n^k=\quot{1}{k+1}\Bigl(\beta_{k+1}(N+1)-B_{k+1}\Bigr)$}
\medskip
\noc I 4 3
Pour tous complexes $x$ et $z$ avec $\abs z<2\pi$, $\abs{-z}<2\pi$ et
$h(1-x,-z)=f(-z)\e^{-z}\e^{xz}$.\par
Or $f(-z)\e^{-z}=-\quot{z\e^{-z}}{\e^{-z}-1}=-\quot z{1-\e^z}=f(z)$. D'o\`u
\bct{$h(1-x,-z)=h(x,z)$}
\smallskip
Soit $x\in\dc$, fix\'e. L'\'egalit\'e pr\'ec\'edente et l'unicit\'e du
 d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de $z\mapsto  h(x,z)$ prouve que 
\bct{$\forall n\in\dn \quad\beta_n(1-x)=(-1)^n\beta_n(x)$}
En particulier 
\par
\bct{$\beta_n(1)=(-1)^n\beta_n(0)=(-1)^n B_n$.}
\medskip
\noc I 4 4
En admettant que l'on peut d\'eriver terme \`a terme, 
pour tout r\'eel $x$ et tout $z\in D(0, 2\pi)$,
\ct{$\quot{\partial h}{\partial x}(x,z)=\Som n 1 \pf \beta'_n(x)\quot{z^n}{n!}\cdotp$}
Mais on a aussi 
$\quot{\partial h}{\partial x}(x,z)=zh(x,z)=\Som n 0 \pf \beta_n(x)\quot{z^{n+1}}{n!}=\Som n 1 \pf \beta_{n-1}(x)\,n\,\quot{z^n}{n!}\,\cdotp$
Par unicit\'e du d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere, 
\`a $x$ fix\'e de $z\mapsto zh(x,z)$, on en d\'eduit que pour tout $n\in\dne$,
$\beta'_{n}(x)=n\beta_{n-1}(x)$. Comme ce r\'esultat est valable pour tout r\'eel $x$, on obtient 
l'\'egalit\'e des deux polyn\^omes.
\bct{$\forall n\in\dn\quad \beta'_{n+1}=(n+1)\beta_n$.}
\smallskip
Soit $n\ge 1$.\par
$I_n=\Integ 0 1 x {\beta_n(x)}=\quot 1{n+1}\Integ 0 1 x {\beta'_{n+1}(x)}=\quot 1 {n+1}(\beta_{n+1}(1)-\beta_{n+1}(0))$.
\par
$\beta_{n+1}(1)-\beta_{n+1}(0)=((-1)^{n+1}-1) B_{n+1}$\par
Si $n$ est pair, $n+1$ est un entier impair sup\'erieur \`a 2, donc $B_{n+1}=0$.\par
Si $n$ est impair, $(-1)^{n+1}-1=0$
Dans tous les cas,
\bct{Pour tout $n\ge 1$, $\integ 0 1 x{\beta_n(x)}=0$}
\vskip 2truecm
\centerline{{\bf Partie II}}
\bigskip
\nob{II}1
Pour tout $n\in\dn$, d'apr\`es I.4.1, $\beta_n(x)=\Som p 0 n \comb n p x^p B_{n-p}$. On connait $B_0, B_1,B_2,B_3$ calcul\'es en 
I.2.4. On en d\'eduit
\bct{$\beta_1(x)=x-\quot 1 2\quad\beta_2(x)=x^2-x+\quot 1 6\quad\beta_3(x)=x^3-\quot 3 2 x^2+\quot 1 2 x.$}
\smallskip
\souligne{remarque} 
{\it on aurait pu \'egalement d\'eterminer ces trois polyn\^omes 
en utilisant uniquement les formules de r\'ecurrence (i) et (ii). 
Le texte de la question est ici un peu ambigu.}
\medskip
\nob{II}2\par
\noc{II} 2 1
D'apr\`es I 4 3, $\beta_2(1-x)=\beta_2(x)$. On en d\'eduit que pour tout $x\in [0,2\pi[$, 
$\Phi_2(x)=\Phi_2(2\pi-x)$, puis par $2\pi$ p\'eriodicit\'e que $\Phi_2$ est paire. \par
Comme $\Phi_2$ est $2\pi$ p\'eriodique, continue sur $[0,2\pi[$, pour montrer la continuit\'e sur $\dr$, 
il suffit de montrer que $\Phi_2$ est continue \`a gauche en 0, ce qui est assur\'e
par la parit\'e de $\Phi_2$ :
$\limG y 0\Phi_2(y)=\limD x 0 \Phi_2(-x)=\Phi_2(0)$.
\medskip
\noc{II}22
 Comme $\Phi_2$ est paire, les coefficients $b_n(\Phi_2)$ pour $n\in\dne$,
 sont nuls.\par
Pour tout $n\in\dn$, $a_n(\Phi_2)=\quot 2{\pi}\Integ 0{\pi}t {\Phi_2(t)\cos nt}=4\Integ 0{1/2} x{\beta_2(x)\cos(2\pi nx)}$, en effectuant
 le changement de variable $x=\quot{t}{2\pi}\cdotp$\smallskip
\bct{$a_0(\Phi_2)=0$}
\par
Pour $n\ge 1$, apr\`es deux int\'egrations par parties,
\bct{$a_n(\Phi_2)=\quot 1{n^2\pi^2}\,\cdotp$}
\smallskip
La fonction $\Phi_2$ est continue sur $\dr$, $2\pi$ p\'eriodique 
et $\cl 1$ par morceaux. D'apr\`es le th\'eor\`eme de Dirichlet de convergence normale, 
la s\'erie de Fourier de $\Phi_2$ converge normalement vers $\Phi_2$ sur $\dr$.
\bct{$\forall x\in\dr,\quad \Phi_2(x)=\Som n 1 \pf \quot{\cos nx}{n^2\pi^2}\,\cdotp$}

\medskip
\nob{II}3
\par
\noc{II}3 1
Montrons que pour tout $k\ge 2$, $\Phi_k$ est continue sur $\dr$.\par
 Le raisonnement est le m\^eme qu'en II.2.1 :
soit $k\ge 2$, la fonction $\Phi_k$ est $2\pi$ p\'eriodique et continue sur $[0,2\pi[$ car $\beta_k$ est continue sur 
$\dr$. Il suffit d'\'etablir la continuit\'e en 0, \`a gauche .\par
Or $\limG y 0 \Phi_k(y)=\limG y {2\pi} \Phi_k(y)=\limG t 1 \beta_k(t)=\beta_k(1)$.\par
Or $\beta_k(1)=(-1)^k\beta_k(0)=(-1)^k B_k$ d'apr\`es I.4.3. Si $k$ est pair, $\beta_k(1)=\beta_k(0)$.
Si $k$ est impair, comme $k\ge 2$, 
$B_k=0$ et $\beta_k(1)=\beta_k(0)=0$.\par
On a donc $\limG y 0 \Phi_k(y)=\Phi_k(0)$, ce qui assure la continuit\'e \`a gauche de $\Phi_k$ en 0 et la continuit\'e de $\Phi_k$
sur $\dr$.
\medskip
Soit $k\ge 3$. $\Phi_k$ est d\'erivable sur $[0,2\pi[$ de d\'eriv\'ee:\par
$\forall x\in [0,2\pi[,\quad \Phi'_k(x)=\quot 1{2\pi}\beta'_k(\quot x{2\pi})=%
\quot k{2\pi}\beta_{k-1}(\quot x{2\pi})=\quot{k}{2\pi}\Phi_{k-1}(x)$.
\par

Comme $k-1\ge 2$, $\Phi_{k-1}$ est $2\pi$ p\'eriodique, continue sur $\dr$.
$\Phi_k$ est $2\pi$ p\'eriodique,  d\'erivable sur $]0,2\pi[$ et admet en 0 des d\'eriv\'ees
 \`a droite et \`a gauche, $\Phi_k'd(0)=\quot{k}{2\pi}\Phi_{k-1}(0)$ et 
$\Phi'_kg(0)=\limG x {2\pi}\quot{k}{2\pi}\Phi_{k-1}(x)=\quot{k}{2\pi}\Phi_{k-1}(0)$.
On en d\'eduit que :
\bct{Pour $k\ge 3$, $\Phi_k$ est de classe $\cl 1$ sur $\dr$ et $\Phi'_k=\quot{k}{2\pi}\Phi_{k-1}$.}
Montrons par r\'ecurrence sur $k\ge 3$ la propri\'et\'e ${\cal P}_k$ suivante :
\ct{"$\Phi_k$ est de classe $\cl k$ et ${\Phi_k}^{(k-2)}=\quot{k!}{2^{k-1}\pi^{k-2}}\Phi_2$."}
\par
$\bullet$ On vient d'\'etablir ${\cal P}_3$.\par
$\bullet$ Supposons ${\cal P}_k$ v\'erifi\'ee pour un certain $k\ge 3$. De 
$\Phi'_{k+1}=\quot{k+1}{2\pi}\Phi_k$, on d\'eduit que
 $\Phi_{k+1}$ est de classe $\cl{k-1}$ et que 
$\Phi_{k+1}^{(k-1)}=\quot{k+1}{2\pi}\,{\Phi_k}^{(k-2)}=
\quot{(k+1)!}{2^k\pi^{k-1}}\Phi_2$ par hypoth\`ese de 
r\'ecurrence. ${\cal P}_{k+1}$ est v\'erifi\'ee et la r\'ecurrence est \'etablie.
\medskip
\noc{II}3 2
Soit $p\in\dne$. La fonction $2\pi$ p\'eriodique $\Phi_{2p}$ est de classe $\cl{2p-2}$ et 
$\Phi_{2p}^{(2p-2)}=\alpha_p \Phi_2$ en notant $\alpha_p=\quot{(2p)!}{2^{2p-1}\pi^{2p-2}}\,\cdotp$
\par
Comme $\Phi_2$ est paire, on en d\'eduit que $\Phi_{2p}$ est paire 
(ce que l'on pouvait \'egalement d\'eduire de I.4.3). 
Donc pour tout $n\in\dne$, $b_n(\Phi_{2p})=0$.
\par
De plus les relations entre les coefficients de Fourier d'une fonction et ceux de ses d\'eriv\'ees donnent:

\ct{$\forall n\in\dne,\quad a_n(\Phi_{2p}^{(2p-2)})=(-1)^{p-1}n^{2p-2}a_n(\Phi_{2p})$.}
On en d\'eduit que pour tout $n\ge 1$, 
\bct{$a_n(\Phi_{2p})=\quot{(-1)^{p-1}(2p)!}{2^{2p-1}\pi^{2p}n^{2p}}$}
Enfin, $a_0(\Phi_{2p})=\quot{1}{\pi}\Integ 0{2\pi} t {\beta_{2p}(\quot{t}{2\pi})}=2\Integ 0 1 x {\beta_{2p}(x)}=0$.
\bct{$a_0(\Phi_{2p})=0$}
La fonction $\Phi_{2p}$, pour $p\ge 1$ est $ 2\pi$ p\'eriodique, continue sur $\dr$ de classe au moins $\cl 1$ si $p\ge 2$ et $\cl 1$ par
morceaux si $p=1$. D'apr\`es le th\'eor\`eme de Dirichlet de convergence normale, la s\'erie de Fourier de $\Phi_{2p}$ converge normalement
vers $\Phi_{2p}$ sur $\dr$.
\bct{$\forall x\in\dr,\quad \Phi_{2p}(x)=\Som n 1 \pf \quot{(-1)^{p-1}(2p)!}{2^{2p-1}\pi^{2p}n^{2p}}\cos (nx)$}
\medskip
\noc{II}3 3
L'\'egalit\'e pr\'ec\'edente apliqu\'ee \`a $x=0$ donne \par
$\Phi_{2p}(0)=\beta_{2p}(0)=B_{2p}=\quot{(-1)^{p-1}(2p)!}{2^{2p-1}\pi^{2p}}\,\Som n 1 \pf \quot 1{n^{2p}}\,\cdotp$
\bct{$\Som n 1 \pf \quot 1{n^{2p}}=\quot{(-1)^{p-1}2^{2p-1}\pi^{2p}\beta_{2p}(0)}{(2p)!}\,\cdotp$}
\vskip 2truecm
\centerline{\bf Partie III}
\bigskip
\nob{III}1
Soit $x>1$. La fonction $t\mapsto \quot{t^{x-1}}{\e^t-1}$ est
 continue sur $]0,\pf[$.\par
En 0, $\quot{t^{x-1}}{\e^t-1}\EQUIV{t\to 0} t^{x-2}=%
\quot 1{t^{2-x}}\,\cdotp$ Comme $x>1$, $2-x<1$ et cette fonction est int\'egrable sur 
$]0,1]$ donc aussi $t\mapsto\quot{t^{x-1}}{\e^t-1}$ par comparaison.\smallskip
En $\pf$, $\quot{t^{x-1}}{\e^t-1}\EQUIV{t\to\pf} t^{x-1}\e^{-t}=\PETITO{t\to\pf}(\quot 1{t^2})$. La fonction 
$t\mapsto\quot{t^{x-1}}{\e^t-1}$ est donc int\'egrable sur
 $[1,\pf[$ et finalement int\'egrable sur $]0,\pf[$.
\medskip


\nob{III} 2
Notons $f:(x,t)\mapsto \quot{t^{x-1}}{\e^t-1}=%
\quot{\e^{(x-1)\ln t}}{\e^t-1}\,\cdotp$
\par
Par th\'eor\`emes d'op\'erations, la fonction $f$ est de classe
 $\cl\infty$ sur $]1,\pf[\times]0,\pf[$. \par
Pour tout $k\in\dn$, $\quot{\partial^k f}{\partial x^k} (x,t)=(\ln t)^k f(x,t)$. 
\par
(pour $k=0$, il s'agit de la fonction $f$).\smallskip
Pour tous r\'eels $a$ et $b$ tels que $1<a<b$ et pour tout $x\in[a,b]$,\par
\ct{$\eqalign{&\forall t\in ]0,1],\quad \abs{f(x,t)}\le \quot{t^{a-1}}{\e^t-1}=f(a,t)\cr
              &\forall t\in[1,\pf[,\quad \abs{f(x,t)}\le \quot{t^{b-1}}{\e^t-1}=f(b,t)\cr}$}
Finalement, pour tout $x\in[a,b]$, $\forall t\in ]0,\pf[,\quad\abs{f(x,t)}\le f(a,t)+f(b,t)$.\smallskip
Soit $k\in\dn$ et $c>1$, notons $\varphi_{k,c}: t\mapsto \abs{(\ln t)^k f(c,t)}$.\par
$\bullet$ La fonction $\varphi_{k,c}$ est continue sur $]0,\pf[$.\smallskip
$\bullet$ $\varphi_{k,c}(t)\EQUIV{t\to 0} (\abs{\ln t})^k t^{c-2}$. \par
Soit $\alpha$ tel que $1<\alpha<c$, par croissances compar\'ees, 
$\limF t 0 t^{-\alpha+ 2}\varphi_{k,c}(t) =0$ et comme $\alpha >1$, $t\mapsto t^{\alpha-2}$ est int\'egrable sur $]0,1]$.
On en d\'eduit que $\varphi_{k,c}$ est int\'egrable sur $]0,1]$.
\smallskip
$\bullet$ $\varphi_{k,c}(t)\EQUIV{t\to \pf}(\abs{\ln t})^k t^{c-1}\e^{-t}=\PETITO{t\pf}(\quot 1{t^2})$. La fonction $\varphi_{k,c}$ est donc int\'egrable sur 
$[1,\pf[$ et finalement sur $]0,\pf[$.\smallskip
\souligne{bilan}:\par
Pour tout $k\in\dn$, pour tous r\'eels $a$ et $b$ tels que
 $1<a<b$ et pour tout $x\in[a,b]$,\par
\ct{$\forall t\in]0,\pf[,\quad \abs{f(x,t)}\le%
 \varphi_{k,a}(t)+\varphi_{k,b}(t)$} o\`u la fonction $\varphi_{k,a}+\varphi_{k,b}$
est int\'egrable sur $]0,\pf[$ en tant que somme de deux fonctions int\'egrables.
La fonction $f$ et toutes ses d\'eriv\'ees partielles (par rapport \`a $x$) sont continues et v\'erifient 
l'hypoth\`ese de domination sur les segments de $]1,\pf[$.\par
On d\'eduit du th\'eor\`eme de d\'erivation relatif aux int\'egrales \`a param\`etre que la fonction $F$ est de classe $\cl \infty$ sur $]1,\pf[$.
\medskip
\nob{III}3\par
\noc{III} 3 1
Soit $x$ fix\'e, $x>1$, pour tout $t>0$, en \'ecrivant $\quot 1{\e^t-1}=\quot{\e^{-t}}{1-\e^{-t}}$, comme $\e^{-t}\in ]0,1[$, en utilisant le d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere de 
$\quot 1{1+x}$ sur $]-1,1[$,
\ct{$\quot{1}{\e^t-1}=\e^{-1}\,\Som n 0 \pf \e^{-nt}=\Som n 1 \pf \e^{-nt}$}
et donc,
\ct{$\quot{t^{x-1}}{\e^t-1}=\Som n 1 \pf t^{x-1}\e^{-nt}$}
\medskip
\noc{III} 3 2
Soit $n\in\dne$ et $x>1$. La fonction $t\mapsto t^{x-1}\e^{-nt}$ est continue sur $[0,\pf[$. ($x-1>0$).\par
En $\pf$, comme $n\ge 1$, par croissances compar\'ees, $t^{x-1}\e^{-nt}=\PETITO{t\to\pf}(\quot 1{t^2})$, ce qui assure l'int\'egrabilit\'e de cette fonction sur 
$[0,\pf[$.
\medskip
\noc{II} 3 3
Remarquons tout d'abord que l'int\'egrabilit\'e pour tout $x>1$ et pour tout $n\ge 1$ de 
$t\mapsto t^{x-1}\e^{-nt}$ assure l'existence sur $]1,\pf[$ des fonctions $\Gamma$ et $\Gamma_n$ pour $n\ge 2$.\par
Soit $A>0$ et $n\ge 1$. Dans l'int\'egrale $\Integ 0 A t {t^{x-1}\e^{-nt}}$, effectuons le changement de variable $\cl 1$, $u=nt$.\par
\ct{$\Integ 0 A t {t^{x-1}\e^{-nt}}=\quot 1 {n^x}\Integ 0 {nA} u{u^{x-1}\e^{-u}}$}
puis en faisant tendre $A$ vers $\pf$, puisque les fonctions en pr\'esence sont int\'egrables,
\bct{$\forall n\ge 1,\quad \Gamma_n(x)=\quot 1{n^x}\Gamma(x)$}
\medskip
\noc{III} 3 4
Pour tout $x>1$, en utilisant III.3.1, $F(x)=\Integ 0 \pf t {\Som n 1 \pf t^{x-1}\e^{-nt}}$.\smallskip
Notons, pour tout $n\ge 1$, $u_n: t\mapsto t^{x-1}\e^{-nt}$.\par
$\bullet$ Pour tout $n\ge 1$, $u_n$ est continue et int\'egrable 
 sur $ [0,\pf[$ d'apr\`es III.3.2.\par
$\bullet$ La s\'erie de fonctions $\sum_{n\ge 1} u_n$ converge simplement sur $]0,\pf[$ vers $h:t\mapsto \quot{t^{x-1}}{\e^t-1}$, continue sur
$]0,\pf[$.\par
$\bullet$ Pour tout $n\ge 0$, la fonction $u_n$ est positive sur $]0,\pf[$.\smallskip
D'apr\`es le th\'eor\`eme de convergence pour les s\'eries de fonctions positives sur un intervalle, la convergence de la s\'erie 
$\sum_{n\ge 1}\integ 0 \pf t{u_n(t)}$ \'equivaut \`a l'int\'egrabilit\'e sur $]0,\pf[$ de la fonction limite $h$ et on a dans ce cas, 
$\Som n 1 \pf \Integ 0 \pf t {u_n(t)}=\Integ 0 \pf t {h(t)}$.\smallskip
Or on sait d'apr\`es III.1 que $h$ est int\'egrable, on en d\'eduit alors que 
\ct{Pour tout $x>1$, $F(x)=\Som n 1 \pf \Gamma_n(x)=\Gamma(x).\Som n 1 \pf \quot 1{n^x}$}
De plus pour tout $x>1$ la fonction continue, int\'egrable $t\mapsto t^{x-1}\e^{-t}$ est \`a 
valeurs strictement positives sur $]0,\pf[$, donc $\Gamma(x)=\Integ 0 \pf t {t^{x-1}\e^{-t}}>0$. D'o\`u
\bct{Pour tout $x>1,\quad \quot{F(x)}{\Gamma(x)}=\Som n 1 \pf \quot 1{n^x}\,\cdotp$}
\medskip
\nob{III}4
\par
\noc{III} 4 1
Soit $k\ge 3$, $\eps$ et $A$ deux r\'eels strictement positifs.. En effectuant une int\'egration par parties dans 
$\Integ {\eps}A t {t^{k-1}\e^{-t}}$, on obtient :
\ct{$\Integ{\eps}A t {t^{k-1}\e^{-t}}=\eps^{k-1}\e^{-\eps}-A^{k-1}\e^{-A}+(k-1)\Integ {\eps} A t {t^{k-2}\e^{-t}}$}
Comme les fonctions en pr\'esence sont int\'egrables sur $]0,\pf[$, que $\limF{\eps} 0 \eps^{k-1}\e^{-\eps}=0$, que 
$\limF A \pf A^{k-1}\e^{-A}=0$, par croissances compar\'ees, 
en faisant tendre $\eps$ vers $ 0$ et $A$ vers $\pf$, on obtient :
\bct{$\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)$}
Remarquons que la fonction $\Gamma$ est d\'efinie en $x=1$ et que le calcul pr\'ec\'edent est encore valable pour $k=2$.\medskip
\noc{III} 4 2
$\Gamma(1)=\Integ 0 \pf t{\e^{-t}}=1$. Par r\'ecurrence facile, 
\bct{$\forall k\in\dne \quad \Gamma(k)=(k-1)!$}
puis en utilisant III.3.4
\bct{$\forall k\ge 2, \Som n 1 \pf \quot 1{n^k}=\quot{F(k)}{(k-1)!}$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Fin%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%










\end





