%% This document created by Scientific Word (R) Version 2.5
\documentclass[10pt,thmsa]{article}
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\begin{document}
% taille de la feuille
%
%Cette taille est ajust\'ee quand le haut de le feuille est en haut du guide feuille
\vsize= 27 true cm \hsize= 17 true cm \hoffset= -3.5 cm \voffset= -3.5 cm%
\parindent=0pt
\begin{center}
{\LARGE CONCOURS\ COMMUN\ POLYTECHNIQUE}
{\LARGE MATH\ 2\ PSI\ 2000}
\bigskip
{\large courbes de B\'ezier}
\end{center}
\bigskip Les figures sont laiss\'ees au bon soin des lecteurs.
\section{PARTIE}
\begin{enumerate}
\item On a $B_{F}(t)=(1-t)P_{0}+tP_{1}$\ . Le point courant est donc un
barycentre de $P_{0}$ et $P_{1}$ . On peut aussi \'ecrire
\[
B_{F}(t)=P_{0}+t\overrightarrow{P_{0}P_{1}}\text{ , }t\in \left[ 0,1\right]
\]
\[
\frame{La trajectoire de l'arc est donc le segment $\left[ P_{0},P_{1}\right]
$}
\]
\item On peut remarquer que pour $t=1/2$ , $B_{n\{P_{0}\cdots P_{n}\}}(1/2)$
est le milieu de $B_{n-1,\{P_{0}\cdots P_{n-1}\}}(1/2)$ et de $%
B_{n-1,\{P_{1}\cdots P_{n}\}}(1/2)$
En particulier $Q_{0}=B(1/2)$ , $Q_{1}=B_{1\{P1,P_{2}\}}(1/2)$.On v\'erifie
bien que :
\[
\frame{$B_{F}(1/2)$ est le milieu de $Q_{0},Q_{1}$}
\]
De fa\c{c}on \'evidente :
\[
\frame{$B_{F}(0)=P_{0},BF(1)=P_{2}$}
\]
On a $B_{1\{P_{0},P_{1}\}}(t)=(1-t)P_{0}+tP_{1}$ et $%
B_{1}(P_{1},P_{2})(t)=(1-t)P_{1}+tP_{2}$ On a donc :
\[
\frame{$B_{F}(t)=(1-t)^{2}P_{0}+2t(1-t)P_{1}+t^{2}P_{2}$}
\]
On v\'erifie que la somme de coefficients est 1 : $(1-t)^{2}+2t(1-t)+t^{2}=1$
Par d\'erivation de la formule $B_{F}(t)$ $=\left(
\begin{array}{c}
(1-t)^{2} \\
t^{2}
\end{array}
\right) $qui est une fonction $C^{\infty }$ sur $[0,1]$ $B"_{F}(t)=\left(
\begin{array}{c}
2 \\
2
\end{array}
\right) .$
L'acc\'el\'eration est constante . La trajectoire est donc un arc de parabole
(grand classique de physique).
On peut refaire le calcul dans le rep\`ere $u=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array}
\right) ,v=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array}
\right) $ sachant $B"(t)=2\sqrt{2}u,B(0)=\frac{1}{\sqrt{2}}(u-v),B(1)=\frac{1%
}{\sqrt{2}}(u+v)$ ,
\[
B(t)=\left( \sqrt{2}t^{2}-\sqrt{2}t+1/\sqrt{2}\right) u+\left( \sqrt{2}t-1/%
\sqrt{2}\right) v
\]
Soit $X=\frac{2Y^{2}+1}{2\sqrt{2}}$ . En particulier l'axe de la parabole
est $(O,u)$ et le sommet est en $X=1/\left( 2\sqrt{2}\right) .$C'est le
point $B_{2,F}(1/2)$
On peut donc tracer la trajectoire sachant que c'est un arc de parabole
d'extr\'emit\'es $P_{0}$ et $P_{1}$ et passant par $B_{F}(1/2)=\left(
\begin{array}{c}
1/4 \\
1/4
\end{array}
\right) $ . Une \'etude un peu plus pr\'ecise donne la tangente aux extr\'emit\'es
(cf Partie 4)
\end{enumerate}
\section{PARTIE}
\begin{enumerate}
\item On peut remarquer que la d\'efinition d'un convexe est \'equivalente \`a :
\[
\forall (M,N)\in \Bbb{K}\text{ , }\left[ M,N\right] \subset \Bbb{K}
\]
\begin{itemize}
\item \textbf{1}:Si la partie non vide v\'erifie :
\[
n\in \Bbb{N}^{\ast },\forall \left( M_{i}\right) _{i=1}^{n}\in \Bbb{K}%
^{n},\forall \left( \lambda _{i}\right) _{i=1}^{n}\in \Bbb{R}%
^{+n},\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}=1\Longrightarrow \sum_{i=1}^{n}\lambda
_{i}M_{i}\in \Bbb{K}
\]
alors en prenant $n=2$ , $M_{1}=M,M_{2}=N$ et $\lambda _{1}=\lambda $ on
retrouve la d\'efinition du convexe.
\item La r\'eciproque se d\'emontre par r\'ecurrence:On note $H_{n}$ la
proposition:
\[
n\in \Bbb{N}^{\ast },\forall \left( M_{i}\right) _{i=1}^{n}\in \Bbb{K}%
^{n},\forall \left( \lambda _{i}\right) _{i=1}^{n}\in \Bbb{R}%
^{+n},\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}=1\Longrightarrow \sum_{i=1}^{n}\lambda
_{i}M_{i}\in \Bbb{K}
\]
\begin{itemize}
\item si $n=1$ on a $M\in \Bbb{K\Rightarrow }M\Bbb{\in K}$ : \'evident
\item pour $n=2$ on a la d\'efinition d'un convexe, donc la propri\'et\'e $H_{2}$
est encore vraie.
\item on suppose$H_{k}$ vraie tout $1\leq k0 \\
\psi _{t}(\frac{\partial T^{i}S^{j}}{\partial T})=\psi
_{t}(iT^{i-1}S^{j})=it^{i-1}P_{j}
\end{eqnarray*}
d'o\`u l'\'egalit\'e si $i\neq 0$ . Si $i=0$ on a deux expressions nulles.
\[
\frame{$\forall W\in V,\frac{d}{dt}\left( \psi _{t}W)\right) =\psi
_{t}\left( \frac{\partial W}{\partial T}\right) $}
\]
\item \textbf{5:}D'apr\`es cette r\`egle de d\'erivation on a comme :$\frac{%
\partial Z}{\partial T}=\frac{\partial \left( 1-T+TS\right) }{\partial T}%
=S-1 $
\[
\frac{d}{dt}B_{n,F}(t)=\frac{d}{dt}\psi _{t}\left( Z^{n}\right) =\psi
_{t}\left( \frac{\partial \left( Z^{n}\right) }{\partial T}\right) =\psi
_{t}\left( nZ^{n-1}S-nZ^{n-1}\right) =n\left(
C_{n-1,1}(t)-C_{n-1,O}(t)\right)
\]
\[
\frame{$\frac{d}{dt}B_{n,F}(t)=n\left( C_{n-1,1}(t)-C_{n-1,0}(t)\right) $}
\]
\item \textbf{6:}Si $t=0$ on sait que $B_{n,\{P_{0}\cdots P_{n}\}}(0)=P_{0}$%
, et donc :
\[
\frac{d}{dt}B_{n,F}(0)=n\left( C_{n-1,1}(0)-C_{n-1,0}(0)\right) =n\left(
P_{1}-P_{0}\right) =n\overrightarrow{P_{0}P_{1}}
\]
. La tangente au point de param\`etre $t=0$ \`a la courbe est la droite $%
P_{0}P_{1}$ .
A cause de la sym\'etrie d\'emontr\'ee \`a la question III2.2 ,La tangente au point
de param\`etre $t=1$ \`a la courbe est la droite $P_{n-1}P_{n}$ .
\item \textit{Remarque : on peut trouver aussi le r\'esultat en d\'erivant la
formule du III avec les }$b_{n,k}$
\item Remarque:\textit{Retour sur la parabole du I2 : on a les tangentes au
points de param\`etres }$0$ et $1$ .\textit{Le calcul pr\'ec\'edent donne aussi
que la tangente au point de param\`etre }$1/2$\textit{\ est la droite }$%
Q_{0}Q_{1}$\textit{.}
\item \textbf{7:} on a $Z=1-T+ST$ qui est une fonction affine de $T$ de d\'e%
riv\'ee $\left( S-1\right) $ on a donc :
\[
\frac{\partial ^{k}\left( Z^{n}\right) }{\partial T^{k}}=\frac{n!}{\left(
n-k\right) !}(S-1)^{k}Z^{n-k}\text{ pour }0\leq k\leq n
\]
Par d\'erivation successive on a donc :
\begin{eqnarray*}
\frac{d^{k}}{dt^{k}}B_{n,F}(t) &=&\frac{n!}{\left( n-k\right) !}\psi
_{t}\left( (S-1)^{k}Z^{n-k}\right) =\psi _{t}\left( \frac{n!}{\left(
n-k\right) !}\sum_{j=0}^{k}C_{k}^{j}(-1)^{k-j}Z^{n-k}S^{j}\right) \\
&=&\frac{n!}{\left( n-k\right) !}%
\sum_{j=0}^{k}C_{k}^{j}(-1)^{k-j}C_{n-k,j}(t)
\end{eqnarray*}
En particulier
\[
\frame{$\frac{d^{k}}{dt^{k}}B_{n,F}(0)=\frac{n!}{\left( n-k\right) !}%
\sum_{j=0}^{k}C_{k}^{j}(-1)^{k-j}P_{j}$}
\]
Ce vecteur ne d\'epend que des points $P_{0}\cdots P_{k}$ .
\item En particulier $\frac{d^{2}}{dt^{2}}B_{n,F}(0)=\overrightarrow{%
P_{1}P_{0}}-\overrightarrow{P_{2}P_{1}}$
\end{itemize}
\item On remarque que par sym\'etrie $S$ par rapport \`a $O$ $P_{0}$ et $P_{3}$
sont \'echang\'es ainsi que $P_{1}$ et $P_{2}$ . D'autre par la sym\'etrie est une
application affine donc :
\[
B_{3,F}(t)=B_{3,\widetilde{F}}(1-t)=B_{3,S(F)}(1-t)=S\left(
B_{3,F}(1-t)\right)
\]
les points de param\`etre $t$ et $1-t$ s'\'echangent par la sym\'etrie.
Les tangentes aux points $P_{0}$ et $P_{3}$ sont connus . Ce sont les
droites $P_{0}P_{1}$ et $P_{2}P_{3}.$
par sym\'etrie $B_{3,F}(1/2)=O.$La tangente en ce point admet le vecteur
directeur (s'il est non nul )
\[
\frac{d}{dt}B_{n,F}(t)=3\left( C_{2,1}(1/2)-C_{2,0}(1/2)\right) =3\left(
B_{3,\{P_{0},P_{1},P_{2}\}}(1/2\right) -B_{3,\{P_{1},P_{2}P_{3}\})}
\]
donc si $C_{2,1}(1/2)\neq C_{2,0}(1/2)$ , ces deux points d\'efinissent la
tangente en $O$ \`a la courbe . Or on a vu en I2 comment les construire par
milieux successifs. Or le milieu de $P_{1}P_{2}$ est $O$ .La tangente en $O$
est donc la droite qui joint les milieu de $P_{0}P_{1}$ et $P_{2}P_{3\text{ }%
}.$
On peut faire une \'etude plus classique en \'etudiant la courbe param\'etr\'ee:$%
\left\{
\begin{array}{c}
x(t)=(t-1)^{3}+t^{3} \\
y(t)=6t^{2}(1-t)+6t(1-t)^{2}
\end{array}
\right. $
\end{enumerate}
\section{PARTIE:}
\begin{enumerate}
\item On notera que les points variables sont les points $\left(
P_{k}\right) _{k=0}^{n}$ . Le sujet pose donc $P_{k}=\left(
\begin{array}{c}
x_{k} \\
y_{k}
\end{array}
\right) $
Par contre les points $M_{i}$ et les param\`etres $t_{i}$ sont des constantes .
On a $B_{n,F}(t_{k})=\sum_{i=0}^{n}b_{n,i}(t_{k})P_{i}=\left(
\begin{array}{c}
\sum_{i=0}^{n}b_{n,i}(t_{k})x_{i} \\
\sum_{i=0}^{n}b_{n,i}(t_{k})y_{i}
\end{array}
\right) $ . Donc
\[
f(x_{0}\cdots y_{n})=\sum_{k=1}^{q}\left( \alpha
_{k}-\sum_{i=0}^{n}b_{n,i}(t_{k})x_{i}\right) ^{2}+\left( \beta
_{k}-\sum_{i=0}^{n}b_{n,i}(t_{k})y_{i}\right) ^{2}
\]
C'est un polyn\^ome par rapport aux variables $x_{i}$ et $y_{i}$ .\frame{$%
\gamma $ est $C^{1}$ sur $\Bbb{R}^{2n+2}$}
\item On a donc avec les notations du $V3:$
\[
\frac{\partial f}{\partial x_{j}}(X,Y)=\sum_{k=1}^{q}2b_{n,j}(t_{k})\left(
\alpha _{k}-b_{n,j}(t_{k})\sum_{i=0}^{n}b_{n,i}(t_{k})x_{i}\right)
\]
et de m\^eme
\[
\frac{\partial f}{\partial y_{j}}(X,Y)=\sum_{k=1}^{q}2b_{n,j}(t_{k})\left(
\beta _{k}-b_{n,j}(t_{k})\sum_{i=0}^{n}b_{n,i}(t_{k})y_{i}\right)
\]
\item On sait que si une fonction $f$ $C^{1}$ sur un ouvert $U$ pr\'esente un
minimum local en un point de $U$ alors ce point est un point critique o\`u les
vecteurs d\'eriv\'ees sont tous nuls . Donc ici :
\[
\forall j\in \lbrack 0..n]\left\{
\begin{array}{c}
\sum_{k=1}^{q}2b_{n,j}(t_{k})\left( \alpha
_{k}-b_{n,j}(t_{k})\sum_{i=0}^{n}b_{n,i}(t_{k})x_{i}\right) =0 \\
\sum_{k=1}^{q}2b_{n,j}(t_{k})\left( \beta
_{k}-b_{n,j}(t_{k})\sum_{i=0}^{n}b_{n,i}(t_{k})y_{i}\right) =0
\end{array}
\right.
\]
soit
\[
\forall j\in \lbrack 0..n]\left\{
\begin{array}{c}
\sum_{k=1}^{q}2b_{n,j}(t_{k})\alpha
_{k}=\sum_{k=1}^{q}b_{n,j}(t_{k})\sum_{i=0}^{n}b_{n,i}(t_{k})x_{i} \\
\sum_{k=1}^{q}2b_{n,j}(t_{k})\beta
_{k}=\sum_{k=1}^{q}b_{n,j}(t_{k})\sum_{i=0}^{n}b_{n,i}(t_{k})y_{i}
\end{array}
\right.
\]
Les deux syst\`emes sont ind\'ependants
\[
\forall j\in \lbrack 0..n]\left\{
\begin{array}{c}
\sum_{k=1}^{q}2b_{n,j}(t_{k})\alpha _{k}=\sum_{i=0}^{n}\left(
\sum_{k=1}^{q}b_{n,j}(t_{k})b_{n,i}(t_{k})\right) x_{i} \\
\sum_{k=1}^{q}2b_{n,j}(t_{k})\beta _{k}=\sum_{i=0}^{n}\left(
\sum_{k=1}^{q}b_{n,j}(t_{k})b_{n,i}(t_{k})\right) x_{i}
\end{array}
\right.
\]
\[
\frame{$A=\left( a_{i,j}\right) $ avec $a_{i,j}=%
\sum_{k=1}^{q}b_{n,i}(t_{k})b_{n,j}(t_{k})$}
\]
\[
\frame{$U=(u_{i})$ avec $u_{i}=\sum_{k=1}^{q}2b_{n,i}(t_{k})\alpha _{k}$}
\]
\end{enumerate}
\end{document}